Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo
3 implisit, akan tetapi ada fungsi implisit yang tidak dapat diubah menjadi fungsi
eksplisit. Fungsi pada contoh 9 di atas adalah fungsi implisit yang tidak dapat dinyatakan dalam fungsi eksplisit.
Pengembangan dan analisis lebih lanjut, pembaca dapat membuat beberapa contoh fungsi dan mengelompokkan fungsi-fungsi tersebut dalam
bentuk eksplisit atau implisit. Selain itu pembaca dapat membuat contoh lain fungsi implisit yang dapat diubah menjadi fungsi eksplisit atau fungsi implisit
yang tidak dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Pada prinsipnya dalam fungsi eksplisit
x f
y
, x disebut peubah bebas independent, sedangkan
y
disebut peubah tak bebas dependent. Bentuk
,
y x
f jika dapat diubah dalam
bentuk ekplisit x , dan
y
secara berturut juga dinamakan peubah bebas dan tak bebas. Akan tetapi jika tidak dapat diubah dalam bentuk ekplisit, maka tidak ada
peubah bebas dan tak bebas dalam fungsi tersebut.
1.2 Turunan dan Antiturunan
Andaikan
x f
y
adalah fungsi eksplisit yang kontinu dan terdefinisi pada interval tertentu, turunan derevative fungsi
x f
y
dinotasikan
x f
y
Notasi lain yang digunakan untuk menyatakan turunan fungsi
x f
y
adalah x
f D
x
atau
dx dy
atau
dx x
df
. Turunan fungsi
x f
y
didefinisikan sebagai
x x
f x
x f
dx dy
x
lim
asalkan limitnya ada. Berdasarkan bentuk di definisi turunan di atas,
Misal
t x
x
maka diperoleh
x t
x
Karena
x
maka x
t
Sehingga definisi di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
x t
x f
t f
dx dy
x t
lim
asalkan bentuk di atas mempunyai limit
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo
4 Contoh Soal
1. Tentukan turunan dari fungsi
a.
1
x y
Jawab
x x
f x
x f
dx dy
x
lim
x x
x x
x
1 1
lim
1 1
1 1
1 1
lim
x x
x x
x x
x x
x x
x
1 1
1 1
lim
x x
x x
x x
x
x
1 1
lim
x x
x x
x
x
1 1
1 lim
x x
x
x
1 1
1
x
x 1
2 1
x
b. x
y
3
2 Jawab
x x
f x
x f
dx dy
x
lim
x x
x x
x
3 2
3 2
lim
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo
5
x x
x x
x x
x
x
3 3
3 2
3 2
lim
3 2
3 2
3 2
3 2
3 3
3 2
3 2
lim x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x
3 3
3 2
3 3
2 2
6 2
6 lim
x x
x x
x x
x x
x
3 3
3 2
3 3
3 2
lim
Turunan suatu fungsi sangat diperlukan dalam mempelajari persamaan diferensial. Berikut ini diberikan beberapa rumus dasar tentang turunan fungsi.
Jika
v u,
dan w adalah fungsi-fungsi dalam x yang masing-masing dapat
diturunkan dan c sebarang bilangan real maka:
1.
c
dx d
2.
1
x dx
d
3.
1
n n
nx x
dx d
4.
dx du
nu u
dx d
n n
1
5.
dx dv
dx du
v u
dx d
6.
dx dv
dx du
v u
dx d
7.
dx dw
dx dv
dx du
w v
u dx
d
8.
dx dw
dx dv
dx du
w v
u dx
d
9.
dx du
c cu
dx d
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo
6 10.
dx dv
u dx
du v
dx du
v dx
dv u
uv dx
d
11.
dx dw
vw dx
dv uw
dx dw
uv uvw
dx d
12.
2
v dx
dv u
dx du
v v
u dx
d
Selain rumus umum turunan fungsi tersebut di atas, terdapat beberapa aturan turunan suatu fungsi, antara lain:
1.
x x
dx d
cos sin
2.
x x
dx d
sin cos
3.
x x
dx d
2
sec tan
4.
x x
dx d
2
csc cot
5.
x x
x dx
d tan
sec sec
6.
x x
x dx
d cot
csc csc
7.
2
1 1
arcsin x
x dx
d
8.
2
1 1
arccos x
x dx
d
9.
2
1 1
arctan x
x dx
d
10.
2
1 1
cot x
x arc
dx d
11.
1 1
sec
2
x x
x arc
dx d
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo
7 12.
1 1
csc
2
x
x x
arc dx
d
13.
x x
dx d
cosh sinh
14.
x x
dx d
sinh cosh
15.
x h
x dx
d
2
sec tanh
16.
x h
x dx
d
2
csc coth
17.
x hx
hx dx
d tanh
sec sec
18.
2 1
1 1
sinh x
x dx
d
19.
1 ,
1 1
cosh
2 1
x x
x dx
d
20.
1 ,
1 1
tanh
2 2
1
x x
x dx
d
21.
1 ,
1 1
coth
2 2
1
x x
x dx
d
22.
1 ,
1 1
sec
2 1
x x
x x
h dx
d
23.
, 1
1 csc
2 1
x x
x x
x h
dx d
24.
x x
e e
dx d
25.
x x
dx d
1 ln
26.
a x
x dx
d
a
ln 1
log
Rumus-rumus di atas berlaku untuk fungsi eksplisit, sedangkan fungsi implisit dapat ditentukan turunannya dengan menggunakan kaidah diferensial,
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo
8 yaitu dengan cara mendiferensialkan masing-masing variabel fungsi tersebut.
Setelah diperoleh diferensial masing-masing bagian, selanjutnya variabel yang sejenis dikelompokkan dan akhirnya dengan menggunakan operasi aljabar
diperoleh turunan fungsi yang diberikan.
Perhatikan beberapa contoh berikut: 1. Tentukan
dx dy
dari 4
2 2
y x
Jawab Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel fungsi diperoleh
4
2 2
d d
y d
x d
2 2
dy y
dx x
2 2
dy
y dx
x dy
y dx
x
y x
dx dy
2
4 y
x dx
dy
2. Tentukan
dx dy
dari 2
2 2
xy y
x Jawab
Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel fungsi diperoleh 2
2 2
d d
xy d
y x
d
2 2
2 2
dx y
dy xy
dx xy
dy x
2 2
2 2
dy
xy x
dx y
xy 2
2
2 2
dy xy
x dx
y xy
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo
9 xy
x y
xy dx
dy 2
2
2 2
3. Tentukan
dx dy
dari
x x
x y
Jawab Untuk menentukan
dx dy
dari fungsi di atas, maka bentuk fungsinya diubah terlebih dahulu menjadi bentuk implisit, dan diperoleh:
x x
x y
7 8
x
y Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel diperoleh
7 8
d x
d y
d
7
8
6 7
dx
x dy
y dx
x dy
y
6 7
7 8
Sehingga
7 6
8 7
y x
dx dy
Latihan soal Tentukan
dx dy
fungsi-fungsi berikut ini. 1.
2
1 4
x x
y
2. 3
2 3
2
2
xy y
xy 3.
x y
sin 2
1
4.
1 2
cos
2
x
y
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo
10 5.
2
1 2
1 x
y
6.
2 3
1 sec
x y
7. 3
2 cos
2
y
x xy
8. 1
3
2
y x
yx 9.
3 2
cos
2
y
x xy
y 10.
4
1 sin
x y
Selain turunan fungsi sebagaimana dijelaskan di atas, hal lain yang mendasar untuk memahami dan mendalami persamaan diferensial adalah tentang
antiturunan. Istilah lain untuk antiturunan adalah integral.
Misal x
f y
menyatakan turunan suatu fungsi, antiturunan dari
x f
y
dinotasikan dengan x
f A
x
. Bentuk lain notasi antiturunan fungsi secara sederhana dilambangkan dengan
dx x
f
. Misal antiturunan x
f y
adalah
c x
F
, secara singkat dapat ditulis dengan menggunakan lambang
, ,
real
c c
x F
dx x
f
dan x
f disebut integran.
Jika x
f y
suatu fungsi yang mempunyai antiturunan maka fungsi
tersebut dikatakan terintegralkan integrable. Berikut ini diberikan beberapa rumus dasar antiturunan suatu fungsi.
1. real
c c
n u
du u
n n
. 1
1
dan n bilangan rasional dengan
1
n
Akibatnya untuk n = -1 berlaku
c u
du u
du u
du u
n
ln 1
1
2.
1 ,
1
n jika
c n
x u
dx x
u x
u
n n
3. real
c c
x f
dx x
f x
f
, ln
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo
11 4.
real c
c e
du e
u u
,
5. real
c c
u a
du a
u u
, ln
6.
du v
uv dv
u
7.
real c
c u
du u
. cos
sin
8.
real c
c u
du u
. sin
cos
9.
real c
c u
du u
. tan
sec
2
10.
real c
c u
du u
. cot
csc
2
11.
real c
c u
du u
u
. sec
tan sec
12.
real c
c u
du u
u
. csc
cot csc
13.
real c
c u
c u
du u
. cos
ln sec
ln tan
14.
real c
c u
c u
du u
. sin
ln sin
ln cot
15.
real c
c u
u du
u
. tan
sec ln
sec
16.
real c
c u
u du
u
. cot
csc ln
csc
17.
real c
a c
a u
u a
du ,
. arcsin
2 2
18.
real c
a c
a u
a a
u du
u a
du ,
. arctan
1
2 2
2 2
19.
real c
a c
a u
a u
a u
a du
, .
ln 2
1
2 2
20.
real c
a c
a u
a u
a a
u du
, .
ln 2
1
2 2
21.
real c
a c
u u
u a
u du
, .
ln
2 2
2 2
22.
real c
a c
a u
u a
u du
, .
ln
2 2
2 2
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo
12 23.
real c
a c
a u
a a
u u
du u
a ,
. arcsin
2 2
2 2
2 2
2
24.
real c
a c
a u
arc a
a u
u du
, .
sec 1
2 2
25.
real c
a c
a u
u a
a u
u du
a u
, .
ln 2
2
2 2
2 2
2 2
2
26. real
c a
c a
u u
a a
u u
du a
u
, .
ln 2
2
2 2
2 2
2 2
2
27.
real c
c u
u du
u
. 4
2 sin
2 sin
2
28. real
c c
u u
du u
. 4
2 sin
2 cos
2
29. real
c c
u u
du u
. tan
tan
2
30. real
c c
u u
du u
. cot
cot
2
31. real
c c
u u
du u
. cos
sin 2
3 1
sin
2 3
32. real
c c
u u
du u
. sin
cos 2
3 1
cos
2 3
33. real
c c
u u
du u
. cos
ln tan
2 1
tan
2 3
34. real
c c
u u
du u
. sin
ln cot
2 1
cot
2 3
35. real
c c
u u
u u
du u
. cot
csc ln
2 1
cot csc
2 1
csc
3
36. real
c b
a b
a jika
c b
a u
b a
b a
u b
a du
bu au
, ,
. ,
2 sin
2 sin
cos cos
2 2
37.
2 2
, 2
sin 2
sin sin
sin b
a jika
c b
a u
b a
b a
u b
a du
bu au
38.
2 2
, 2
cos 2
cos cos
sin b
a jika
c b
a u
b a
b a
u b
a du
bu au
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo
13 39.
du
u n
n n
u u
du u
n n
n 2
1
cos 1
sin cos
cos
40.
du u
n n
n u
u du
u
n n
n 2
1
sin 1
cos sin
sin 41.
1 ,
tan tan
1 1
tan
2 1
n jika
du u
u n
du u
n n
n
42. 1
, cot
cot 1
1 cot
2 1
n jika
du u
u n
du u
n n
n
43. 1
, sec
1 2
tan sec
1 1
sec
2 2
n jika
du u
n n
u u
n du
u
n n
n
44. 1
, csc
1 2
cot csc
1 1
csc
2 2
n jika
du u
n n
u u
n du
u
n n
n
, 45.
m n
du u
u m
n n
m n
u u
du u
u
m n
m n
m n
, cos
sin 1
cos sin
cos sin
2 1
1
46.
real c
c u
u u
du u
u
. cos
sin sin
47.
real c
c u
u u
du u
u
. sin
cos cos
48.
du
u u
n u
u du
u u
n n
n
cos cos
sin
1
49.
du u
u n
u u
du u
u
n n
n
sin sin
cos
1
50.
real c
c u
u d
u
. sin
2 1
sin sin
2
51.
real c
c u
u d
u
. cos
2 1
cos cos
2
52.
real c
c u
u d
u
. tan
2 1
tan tan
2
53.
real c
c u
u d
u
. cot
2 1
cot cot
2
54.
real c
c u
u d
u
. sec
2 1
sec sec
2
55.
real c
c u
u d
u
. csc
2 1
csc csc
2
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo
14 56.
real c
a c
a u
u a
a u
u du
a u
, .
ln 2
2
2 2
2 2
2 2
2
57.
real c
a c
u a
u a
a a
u du
u a
u ,
. ln
2 2
2 2
2 2
58.
real c
a c
a u
u du
a u
du ,
. ln
2 2
2 2
59.
real c
a c
a u
arc a
a u
du u
a u
, .
sec
2 2
2 2
60.
real
c a
c u
a u
a u
a u
a u
du u
a u
, .
ln 8
2 8
2 2
4 2
2 2
2 2
2 2
61.
real c
a c
u a
a u
a u
u du
, .
2 2
2 2
2 2
62.
real c
a c
u a
u a
u a
u du
a u
u ,
. ln
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
63.
real
c a
c a
u u
a u
du u
a u
, .
ln
2 2
2 2
2 2
2
64.
real c
a c
a u
a u
a u
du ,
.
2 2
2 2
3 2
2
65.
real c
a c
u a
u a
du u
, .
2 2
2 2
66.
real
c a
c a
u u
a a
u a
u u
du a
u ,
, ln
8 3
5 2
8
2 2
4 2
2 2
2 2
3 2
2
67.
real c
a c
a u
u a
u a
a u
a du
u ,
. arcsin
2
2 2
2 2
2 2
68.
real c
a c
u u
a a
a u
a du
u u
a ,
. ln
2 2
2 2
2 2
69.
real
c a
c a
u a
u a
a u
u du
u a
u ,
. arcsin
8 2
8
4 2
2 2
2 2
2 2
70.
real c
a c
u a
u a
u a
u du
, .
2 2
2 2
2 2
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo
15 71.
real a
c a
c a
u u
a u
du u
a u
, .
arcsin
2 2
2 2
2
72.
real
c a
c u
u a
a a
u a
u du
, .
ln 1
2 2
2 2
73.
real c
c u
u u
u du
. 1
1 1
1 ln
1
74.
real c
c u
u du
u u
. arctan
2 2
1
75.
real c
c u
u u
du
. 1
ln 2
1 76.
real
c c
u a
a u
u a
du .
2 2
2 2
3 2
2
77.
real c
a c
a u
a u
a u
a u
du u
a
, .
arcsin 8
3 2
5 8
4 2
2 2
2 2
3 2
2
78.
du e
u n
u u
du e
u
u n
u n
u n
1
79.
real c
c u
du ue
u u
. 1
80.
real c
c u
u u
du u
. ln
ln
81. real
c c
n u
u n
u du
u u
n n
n
. 1
ln 1
ln
2 1
1
82. real
c c
bu b
bu a
b a
e du
bu e
au au
. cos
sin sin
2 2
83. real
c c
bu b
bu a
b a
e du
bu e
au au
. sin
cos cos
2 2
84. real
c c
u u
u du
u
. 1
arcsin arcsin
2
85.
real c
c u
u u
du u
. 1
ln 2
1 arctan
arctan
2
86.
real c
c u
u u
arc u
du u
arc
. 1
ln sec
sec
2
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo
16 87.
real c
c u
u u
u du
u u
. 1
4 arcsin
1 2
4 1
arcsin
2 2
88.
real c
c u
u u
du u
u
. 2
arctan 1
2 1
arctan
2
89. real
c c
u u
arc u
du u
arc u
. 1
2 1
sec 2
sec
2 2
90.
1 ,
1 1
1 arcsin
1 arcsin
2 1
1
n jika
c du
u u
n u
n u
du u
u
n n
91.
1 ,
1 1
1 arctan
1 arctan
2 1
1
n jika
c du
u u
n u
n u
du u
u
n n
n
92.
1 ,
1 1
1 sec
1 sec
2 1
1
n jika
c du
u u
n u
arc n
u du
u arc
u
n n
n
93.
real c
c u
du u
. cosh
sinh
94.
real c
c u
du u
. sinh
cosh
95.
real c
c u
du u
. cosh
ln tanh
96.
real c
c u
du u
. sinh
ln coth
97.
real c
c u
du u
. sinh
arctan cosh
1
98. real
c c
u du
u
. 2
tanh ln
sinh 1
99.
real c
c u
u du
u
. 2
4 sinh
sinh
2
100.
real c
c u
u du
u
. 2
4 sinh
cosh
2
101.
real c
c u
u du
u
. tanh
tanh
2
102.
real c
u u
du u
. coth
coth
2
103.
real c
c u
du u
. tanh
cosh 1
2
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo
17 104.
real c
c u
du u
. coth
sinh 1
2
105.
real c
c hu
du u
hu
. sec
tanh sec
106.
real c
c hu
du u
hu
. csc
coth csc
107. real
c c
b au
a b
a u
du b
au u
. ln
2
108. real
c c
b au
b b
au a
du b
au u
. ln
1
2 2
109.
2 ,
1 ,
1 2
2 1
n jika
c n
b n
b au
a b
au du
b au
u
n n
110.
1 2
2 3
2 2
2 1
1 2
2 1
2 2
2 2
2
n jika
u a
du n
n u
a n
u a
du u
a du
n n
n
111.
2 1
1 2
2 1
2
1 2
2 2
2 2
2 2
n jika
u a
n na
n u
a u
du u
a
n n
n
112.
1 2
2 3
2 2
2 1
1 2
2 1
2 2
2 2
2
n jika
a u
du n
n a
u n
u a
du a
u du
n n
n
113.
2 1
1 2
2 1
2
1 2
2 2
2 2
2 2
n jika
a u
n na
n a
u u
du a
u
n n
n
114.
du e
u a
m e
u a
du e
u
au n
au n
au n
1
1
115.
real c
b a
c b
au b
au a
du b
au u
, ,
. 2
3 15
2
2 3
2
116.
real c
c b
au u
nb b
au u
n a
du b
au u
n n
n
. 3
2 2
1 2
3
117.
real c
b a
c b
au b
au a
du b
au u
, ,
. 2
3 2
2
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo
18 118.
real c
c du
b au
u nb
b au
u n
a du
b au
u
n n
n
. 1
2 2
1
119.
real c
c b
b au
b b
au b
b au
u du
. ln
1
120.
1 ,
2 2
3 2
1
1 1
n jika
c b
au u
du b
n a
n u
n b
b au
b au
u du
n n
n
121. real
c c
a a
u n
a u
au a
u du
u au
. arcsin
2 2
2
2 2
2
122. real
c c
a a
u u
au du
. arcsin
2
2
123.
du u
au u
n a
n n
u au
u du
u au
u
n n
n 2
1 2
3 2
1 2
2 2
1 2
2 2
2 124.
du u
au u
n a
n u
au n
u du
u au
du u
n n
n 2
1 2
1 2
2 1
2 2
2
125.
real c
c a
a u
a u
au du
u u
au
. arcsin
2 2
2 2
126.
du u
u au
a n
n au
n u
au du
u u
au
n n
n 1
2 2
3 2
2
2 3
2 3
2 3
2 2
127.
2
1 2
2
2 1
2 1
2 1
2 2
u au
u du
a n
n u
n a
u au
u au
u du
n n
n
128.
real c
c u
au n
na du
u au
n
. 2
1 2
1 2
2 2
129.
2
3 2
2 2
2 2
4 2
2 2
3 2
2 2
u au
du a
n n
u au
n a
u u
au du
n
130.
real c
c u
u du
u u
. 2
2 3
2 tan
2 2
3 2
tan ln
2 4
1 sin
1 sin
2 2
2
131.
real c
c u
u du
u u
u
. cos
1 ln
cos cos
1 cos
sin
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo
19 132.
real c
c u
u u
du u
. cos
2 sin
2 sin
133.
real c
c u
u u
du
. 3
2 2
tan 3
2 2
tan ln
3 3
1 sin
2 1
134.
real c
c u
u du
. 3
1 2
tan 2
arctan 3
3 2
sin 2
135.
real c
c u
u u
du
. 3
2 tan
1 2
tan 3
ln 4
1 sin
5 3
136.
real c
c u
u du
. 5
3 2
tan arctan
2 1
sin 3
5
137.
real c
c u
u u
u du
. 2
tan 1
2 tan
ln cos
sin 1
138. real
c c
u u
du
. 2
arctan 3
3 2
cos 2
139.
real c
c u
u du
. 3
4 2
tan 5
arctan 3
2 sin
4 5
140.
real c
c u
u du
. 2
tan 3
3 arctan
3 3
2 cos
2
141.
real c
c u
u du
. 2
tan 5
arctan 5
5 2
2 3
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo
20 142.
real c
c u
u du
u u
u
. cos
cos 1
ln cos
1 cos
sin
2 2
143. real
c c
u u
du u
u u
. 3
1 tan
2 arctan
3 2
tan 1
ln tan
1 sec
tan 2
2 2
2
144.
real c
c u
u u
du
. 2
sec 2
tan 2
2 sin
1
145.
real c
c u
u u
du
. 3
sin 3
3 cos
1 3
cos 1
146.
real c
c u
du u
u
. 2
2 2
sin arctan
8 2
8 2
sin 2
cos
2
147.
real c
c u
du u
u
. tan
2 arcsin
2 1
tan 4
1 sec
2 2
148.
real c
c u
du u
u
. 3
4 sin
arctan 12
1 4
sin 9
8 sin
2 2
149.
real c
c au
au a
u au
du
. csc
cot 1
sec 1
150. real
c c
a u
a du
a u
a u
. tan
2 1
tan sec
2 2
1.3 Persamaan Diferensial PD