Turunan dan Antiturunan PENDAHULUAN

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 3 implisit, akan tetapi ada fungsi implisit yang tidak dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Fungsi pada contoh 9 di atas adalah fungsi implisit yang tidak dapat dinyatakan dalam fungsi eksplisit. Pengembangan dan analisis lebih lanjut, pembaca dapat membuat beberapa contoh fungsi dan mengelompokkan fungsi-fungsi tersebut dalam bentuk eksplisit atau implisit. Selain itu pembaca dapat membuat contoh lain fungsi implisit yang dapat diubah menjadi fungsi eksplisit atau fungsi implisit yang tidak dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Pada prinsipnya dalam fungsi eksplisit x f y  , x disebut peubah bebas independent, sedangkan y disebut peubah tak bebas dependent. Bentuk ,  y x f jika dapat diubah dalam bentuk ekplisit x , dan y secara berturut juga dinamakan peubah bebas dan tak bebas. Akan tetapi jika tidak dapat diubah dalam bentuk ekplisit, maka tidak ada peubah bebas dan tak bebas dalam fungsi tersebut.

1.2 Turunan dan Antiturunan

Andaikan x f y  adalah fungsi eksplisit yang kontinu dan terdefinisi pada interval tertentu, turunan derevative fungsi x f y  dinotasikan x f y  Notasi lain yang digunakan untuk menyatakan turunan fungsi x f y  adalah x f D x atau dx dy atau dx x df . Turunan fungsi x f y  didefinisikan sebagai x x f x x f dx dy x        lim asalkan limitnya ada. Berdasarkan bentuk di definisi turunan di atas, Misal t x x    maka diperoleh x t x    Karena  x maka x t  Sehingga definisi di atas dapat dinyatakan dalam bentuk x t x f t f dx dy x t     lim asalkan bentuk di atas mempunyai limit Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 4 Contoh Soal 1. Tentukan turunan dari fungsi a. 1   x y Jawab x x f x x f dx dy x        lim x x x x x          1 1 lim 1 1 1 1 1 1 lim                     x x x x x x x x x x x       1 1 1 1 lim               x x x x x x x x   1 1 lim           x x x x x x 1 1 1 lim         x x x x 1 1 1     x x 1 2 1   x b. x y   3 2 Jawab x x f x x f dx dy x        lim x x x x x          3 2 3 2 lim Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 5    x x x x x x x x              3 3 3 2 3 2 lim   3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 2 3 2 lim x x x x x x x x x x x x x x                            x x x x x x x x x x x                   3 3 3 2 3 3 2 2 6 2 6 lim      x x x x x x x x x                  3 3 3 2 3 3 3 2 lim Turunan suatu fungsi sangat diperlukan dalam mempelajari persamaan diferensial. Berikut ini diberikan beberapa rumus dasar tentang turunan fungsi. Jika v u, dan w adalah fungsi-fungsi dalam x yang masing-masing dapat diturunkan dan c sebarang bilangan real maka: 1.  c dx d 2. 1  x dx d 3. 1   n n nx x dx d 4. dx du nu u dx d n n 1   5. dx dv dx du v u dx d    6. dx dv dx du v u dx d    7. dx dw dx dv dx du w v u dx d      8. dx dw dx dv dx du w v u dx d      9. dx du c cu dx d  Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 6 10. dx dv u dx du v dx du v dx dv u uv dx d     11. dx dw vw dx dv uw dx dw uv uvw dx d    12. 2 v dx dv u dx du v v u dx d         Selain rumus umum turunan fungsi tersebut di atas, terdapat beberapa aturan turunan suatu fungsi, antara lain: 1. x x dx d cos sin  2. x x dx d sin cos   3. x x dx d 2 sec tan  4. x x dx d 2 csc cot   5. x x x dx d tan sec sec  6. x x x dx d cot csc csc   7. 2 1 1 arcsin x x dx d   8. 2 1 1 arccos x x dx d    9. 2 1 1 arctan x x dx d   10. 2 1 1 cot x x arc dx d    11. 1 1 sec 2   x x x arc dx d Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 7 12. 1 1 csc 2    x x x arc dx d 13. x x dx d cosh sinh  14. x x dx d sinh cosh  15. x h x dx d 2 sec tanh  16. x h x dx d 2 csc coth   17. x hx hx dx d tanh sec sec   18. 2 1 1 1 sinh x x dx d    19. 1 , 1 1 cosh 2 1     x x x dx d 20. 1 , 1 1 tanh 2 2 1     x x x dx d 21. 1 , 1 1 coth 2 2 1     x x x dx d 22. 1 , 1 1 sec 2 1       x x x x h dx d 23. , 1 1 csc 2 1      x x x x x h dx d 24. x x e e dx d  25. x x dx d 1 ln  26. a x x dx d a ln 1 log  Rumus-rumus di atas berlaku untuk fungsi eksplisit, sedangkan fungsi implisit dapat ditentukan turunannya dengan menggunakan kaidah diferensial, Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 8 yaitu dengan cara mendiferensialkan masing-masing variabel fungsi tersebut. Setelah diperoleh diferensial masing-masing bagian, selanjutnya variabel yang sejenis dikelompokkan dan akhirnya dengan menggunakan operasi aljabar diperoleh turunan fungsi yang diberikan. Perhatikan beberapa contoh berikut: 1. Tentukan dx dy dari 4 2 2    y x Jawab Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel fungsi diperoleh 4 2 2 d d y d x d    2 2     dy y dx x 2 2    dy y dx x dy y dx x    y x dx dy    2 4 y x dx dy     2. Tentukan dx dy dari 2 2 2    xy y x Jawab Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel fungsi diperoleh 2 2 2 d d xy d y x d    2 2 2 2       dx y dy xy dx xy dy x 2 2 2 2      dy xy x dx y xy 2 2 2 2       dy xy x dx y xy Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 9 xy x y xy dx dy 2 2 2 2      3. Tentukan dx dy dari x x x y  Jawab Untuk menentukan dx dy dari fungsi di atas, maka bentuk fungsinya diubah terlebih dahulu menjadi bentuk implisit, dan diperoleh: x x x y  7 8    x y Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel diperoleh 7 8 d x d y d   7 8 6 7    dx x dy y dx x dy y 6 7 7 8   Sehingga 7 6 8 7 y x dx dy  Latihan soal Tentukan dx dy fungsi-fungsi berikut ini. 1. 2 1 4 x x y   2. 3 2 3 2 2     xy y xy 3. x y sin 2 1   4. 1 2 cos 2    x y Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 10 5. 2 1 2 1 x y    6. 2 3 1 sec x y   7. 3 2 cos 2    y x xy 8. 1 3 2     y x yx 9. 3 2 cos 2    y x xy y 10. 4 1 sin x y   Selain turunan fungsi sebagaimana dijelaskan di atas, hal lain yang mendasar untuk memahami dan mendalami persamaan diferensial adalah tentang antiturunan. Istilah lain untuk antiturunan adalah integral. Misal x f y  menyatakan turunan suatu fungsi, antiturunan dari x f y  dinotasikan dengan x f A x . Bentuk lain notasi antiturunan fungsi secara sederhana dilambangkan dengan  dx x f . Misal antiturunan x f y  adalah c x F  , secara singkat dapat ditulis dengan menggunakan lambang , ,     real c c x F dx x f dan x f disebut integran. Jika x f y  suatu fungsi yang mempunyai antiturunan maka fungsi tersebut dikatakan terintegralkan integrable. Berikut ini diberikan beberapa rumus dasar antiturunan suatu fungsi. 1. real c c n u du u n n       . 1 1 dan n bilangan rasional dengan 1   n Akibatnya untuk n = -1 berlaku         c u du u du u du u n ln 1 1 2.     1 , 1       n jika c n x u dx x u x u n n 3. real c c x f dx x f x f     , ln Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 11 4. real c c e du e u u     , 5. real c c u a du a u u     , ln 6.     du v uv dv u 7. real c c u du u      . cos sin 8. real c c u du u     . sin cos 9. real c c u du u     . tan sec 2 10. real c c u du u      . cot csc 2 11. real c c u du u u     . sec tan sec 12. real c c u du u u      . csc cot csc 13. real c c u c u du u        . cos ln sec ln tan 14. real c c u c u du u       . sin ln sin ln cot 15. real c c u u du u      . tan sec ln sec 16. real c c u u du u      . cot csc ln csc 17.            real c a c a u u a du , . arcsin 2 2 18.               real c a c a u a a u du u a du , . arctan 1 2 2 2 2 19.        real c a c a u a u a u a du , . ln 2 1 2 2 20.        real c a c a u a u a a u du , . ln 2 1 2 2 21.        real c a c u u u a u du , . ln 2 2 2 2 22.        real c a c a u u a u du , . ln 2 2 2 2 Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 12 23.              real c a c a u a a u u du u a , . arcsin 2 2 2 2 2 2 2 24.            real c a c a u arc a a u u du , . sec 1 2 2 25.          real c a c a u u a a u u du a u , . ln 2 2 2 2 2 2 2 2 2 26. real c a c a u u a a u u du a u          , . ln 2 2 2 2 2 2 2 2 2 27. real c c u u du u      . 4 2 sin 2 sin 2 28. real c c u u du u      . 4 2 sin 2 cos 2 29. real c c u u du u       . tan tan 2 30. real c c u u du u       . cot cot 2 31. real c c u u du u       . cos sin 2 3 1 sin 2 3 32. real c c u u du u      . sin cos 2 3 1 cos 2 3 33. real c c u u du u      . cos ln tan 2 1 tan 2 3 34. real c c u u du u       . sin ln cot 2 1 cot 2 3 35. real c c u u u u du u        . cot csc ln 2 1 cot csc 2 1 csc 3 36. real c b a b a jika c b a u b a b a u b a du bu au           , , . , 2 sin 2 sin cos cos 2 2 37. 2 2 , 2 sin 2 sin sin sin b a jika c b a u b a b a u b a du bu au          38. 2 2 , 2 cos 2 cos cos sin b a jika c b a u b a b a u b a du bu au           Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 13 39.        du u n n n u u du u n n n 2 1 cos 1 sin cos cos 40.         du u n n n u u du u n n n 2 1 sin 1 cos sin sin 41. 1 , tan tan 1 1 tan 2 1         n jika du u u n du u n n n 42. 1 , cot cot 1 1 cot 2 1         n jika du u u n du u n n n 43. 1 , sec 1 2 tan sec 1 1 sec 2 2           n jika du u n n u u n du u n n n 44. 1 , csc 1 2 cot csc 1 1 csc 2 2            n jika du u n n u u n du u n n n , 45. m n du u u m n n m n u u du u u m n m n m n              , cos sin 1 cos sin cos sin 2 1 1 46. real c c u u u du u u      . cos sin sin 47. real c c u u u du u u      . sin cos cos 48.       du u u n u u du u u n n n cos cos sin 1 49.      du u u n u u du u u n n n sin sin cos 1 50. real c c u u d u     . sin 2 1 sin sin 2 51. real c c u u d u     . cos 2 1 cos cos 2 52. real c c u u d u     . tan 2 1 tan tan 2 53. real c c u u d u     . cot 2 1 cot cot 2 54. real c c u u d u     . sec 2 1 sec sec 2 55. real c c u u d u     . csc 2 1 csc csc 2 Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 14 56. real c a c a u u a a u u du a u          , . ln 2 2 2 2 2 2 2 2 2 57.          real c a c u a u a a a u du u a u , . ln 2 2 2 2 2 2 58.        real c a c a u u du a u du , . ln 2 2 2 2 59.              real c a c a u arc a a u du u a u , . sec 2 2 2 2 60.             real c a c u a u a u a u a u du u a u , . ln 8 2 8 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 61.        real c a c u a a u a u u du , . 2 2 2 2 2 2 62.          real c a c u a u a u a u du a u u , . ln 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 63.           real c a c a u u a u du u a u , . ln 2 2 2 2 2 2 2 64.          real c a c a u a u a u du , . 2 2 2 2 3 2 2 65.        real c a c u a u a du u , . 2 2 2 2 66.             real c a c a u u a a u a u u du a u , , ln 8 3 5 2 8 2 2 4 2 2 2 2 2 3 2 2 67.              real c a c a u u a u a a u a du u , . arcsin 2 2 2 2 2 2 2 68.          real c a c u u a a a u a du u u a , . ln 2 2 2 2 2 2 69.                 real c a c a u a u a a u u du u a u , . arcsin 8 2 8 4 2 2 2 2 2 2 2 70.        real c a c u a u a u a u du , . 2 2 2 2 2 2 Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 15 71.              real a c a c a u u a u du u a u , . arcsin 2 2 2 2 2 72.         real c a c u u a a a u a u du , . ln 1 2 2 2 2 73. real c c u u u u du          . 1 1 1 1 ln 1 74. real c c u u du u u       . arctan 2 2 1 75.   real c c u u u du       . 1 ln 2 1 76.       real c c u a a u u a du . 2 2 2 2 3 2 2 77.   real c a c a u a u a u a u du u a               , . arcsin 8 3 2 5 8 4 2 2 2 2 2 3 2 2 78.      du e u n u u du e u u n u n u n 1 79. real c c u du ue u u      . 1 80. real c c u u u du u      . ln ln 81. real c c n u u n u du u u n n n          . 1 ln 1 ln 2 1 1 82. real c c bu b bu a b a e du bu e au au       . cos sin sin 2 2 83. real c c bu b bu a b a e du bu e au au       . sin cos cos 2 2 84. real c c u u u du u       . 1 arcsin arcsin 2 85. real c c u u u du u       . 1 ln 2 1 arctan arctan 2 86. real c c u u u arc u du u arc        . 1 ln sec sec 2 Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 16 87. real c c u u u u du u u        . 1 4 arcsin 1 2 4 1 arcsin 2 2 88. real c c u u u du u u       . 2 arctan 1 2 1 arctan 2 89. real c c u u arc u du u arc u       . 1 2 1 sec 2 sec 2 2 90.             1 , 1 1 1 arcsin 1 arcsin 2 1 1 n jika c du u u n u n u du u u n n 91.             1 , 1 1 1 arctan 1 arctan 2 1 1 n jika c du u u n u n u du u u n n n 92.             1 , 1 1 1 sec 1 sec 2 1 1 n jika c du u u n u arc n u du u arc u n n n 93. real c c u du u     . cosh sinh 94. real c c u du u     . sinh cosh 95. real c c u du u     . cosh ln tanh 96. real c c u du u     . sinh ln coth 97. real c c u du u     . sinh arctan cosh 1 98. real c c u du u           . 2 tanh ln sinh 1 99. real c c u u du u      . 2 4 sinh sinh 2 100. real c c u u du u      . 2 4 sinh cosh 2 101. real c c u u du u      . tanh tanh 2 102. real c u u du u . coth coth 2     103. real c c u du u     . tanh cosh 1 2 Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 17 104. real c c u du u      . coth sinh 1 2 105. real c c hu du u hu     . sec tanh sec 106. real c c hu du u hu      . csc coth csc 107. real c c b au a b a u du b au u        . ln 2 108. real c c b au b b au a du b au u                . ln 1 2 2 109.                    2 , 1 , 1 2 2 1 n jika c n b n b au a b au du b au u n n 110.                  1 2 2 3 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 n jika u a du n n u a n u a du u a du n n n 111.             2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 n jika u a n na n u a u du u a n n n 112.                   1 2 2 3 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 n jika a u du n n a u n u a du a u du n n n 113.             2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 n jika a u n na n a u u du a u n n n 114.      du e u a m e u a du e u au n au n au n 1 1 115.        real c b a c b au b au a du b au u , , . 2 3 15 2 2 3 2 116.   real c c b au u nb b au u n a du b au u n n n            . 3 2 2 1 2 3 117.        real c b a c b au b au a du b au u , , . 2 3 2 2 Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 18 118.   real c c du b au u nb b au u n a du b au u n n n            . 1 2 2 1 119. real c c b b au b b au b b au u du          . ln 1 120.                1 , 2 2 3 2 1 1 1 n jika c b au u du b n a n u n b b au b au u du n n n 121. real c c a a u n a u au a u du u au                . arcsin 2 2 2 2 2 2 122. real c c a a u u au du             . arcsin 2 2 123.               du u au u n a n n u au u du u au u n n n 2 1 2 3 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 124.            du u au u n a n u au n u du u au du u n n n 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 125. real c c a a u a u au du u u au               . arcsin 2 2 2 2 126.            du u u au a n n au n u au du u u au n n n 1 2 2 3 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2 127.            2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 u au u du a n n u n a u au u au u du n n n 128.     real c c u au n na du u au n          . 2 1 2 1 2 2 2 129.                   2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2 3 2 2 2 u au du a n n u au n a u u au du n 130. real c c u u du u u                      . 2 2 3 2 tan 2 2 3 2 tan ln 2 4 1 sin 1 sin 2 2 2 131. real c c u u du u u u        . cos 1 ln cos cos 1 cos sin Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 19 132. real c c u u u du u      . cos 2 sin 2 sin 133. real c c u u u du                      . 3 2 2 tan 3 2 2 tan ln 3 3 1 sin 2 1 134. real c c u u du             . 3 1 2 tan 2 arctan 3 3 2 sin 2 135. real c c u u u du                    . 3 2 tan 1 2 tan 3 ln 4 1 sin 5 3 136. real c c u u du             . 5 3 2 tan arctan 2 1 sin 3 5 137. real c c u u u u du                    . 2 tan 1 2 tan ln cos sin 1 138. real c c u u du                . 2 arctan 3 3 2 cos 2 139. real c c u u du                 . 3 4 2 tan 5 arctan 3 2 sin 4 5 140. real c c u u du          . 2 tan 3 3 arctan 3 3 2 cos 2 141. real c c u u du            . 2 tan 5 arctan 5 5 2 2 3 Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 20 142. real c c u u du u u u       . cos cos 1 ln cos 1 cos sin 2 2 143. real c c u u du u u u              . 3 1 tan 2 arctan 3 2 tan 1 ln tan 1 sec tan 2 2 2 2 144. real c c u u u du                             . 2 sec 2 tan 2 2 sin 1 145. real c c u u u du       . 3 sin 3 3 cos 1 3 cos 1 146. real c c u du u u            . 2 2 2 sin arctan 8 2 8 2 sin 2 cos 2 147.   real c c u du u u      . tan 2 arcsin 2 1 tan 4 1 sec 2 2 148. real c c u du u u          . 3 4 sin arctan 12 1 4 sin 9 8 sin 2 2 149.   real c c au au a u au du        . csc cot 1 sec 1 150. real c c a u a du a u a u                           . tan 2 1 tan sec 2 2

1.3 Persamaan Diferensial PD