bab 2 persamaan diferensial 1 1
BAB II
PERSAMAAN TINGKAT SATU DERAJAT SATU
Standar Kompetensi
Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami cara-cara menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat satu dan dapat mengaplikasikannya dalam menentukan selesaian khusus masalah nilai awal dengan syarat awal.
Kompetensi Dasar
1. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial variable terpisah dan selesaian khusus masalah nilai awal.
2. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial yang dapat direduksi ke persamaan variable terpisah dan selesaian khusus masalah nilai awal.
3. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial homogen dan selesaian khusus masalah nilai awal.
4. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tidak homogen dan selesaian khusus masalah nilai awal.
5. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial eksak dan selesaian khusus masalah nilai awal.
6. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tidak eksak dan selesaian khusus masalah nilai awal.
7. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial berbentuk yf(xy)dxxg(xy)dy0 dan selesaian khusus masalah nilai awal. 8. Mahasiswa dapat menentukan trayektori orthogonal dan trayektori isogonal
suatu persamaan keluarga kurva.
Persamaan tingkat tingkat satu derajat satu yang dijelaskan pada bab II buku ini membahas: (1) persamasaan diferensial variable terpisah, (2) persamaan
(2)
diferensial yang dapat direduksi ke persamaan diferensial variabel terpisah. (3) persamaan diferensial homogen, (4) persamaan diferensial tidak homogen, (5) persamaan diferensial ekskak, (6) persamaan diferensial tidak eksak, (7) persamaan diferensial bentuk umum yf(xy)dxxg(xy)dy0, dan (8) trayektori.
Sebagaimana telah dijelaskan pada bab I, persamaan diferensial tingkat satu derajat satu adalah persamaan diferensial yang didalamnya memuat turunan tertinggi yaitu turunan tingkat satu yang dilambangkan dengan
dx dy
. Secara umum persamaan diferensial tingkat satu derajat satu ditulis dalam bentuk:
0
)
,
(
)
,
(
x
y
dx
N
x
y
dy
M
Bentuk di atas dapat disederhanakan menjadi: dy
y x N dx y x
M( , ) ( , )
) , (
) , (
y x N
y x M dx
dy
) , (x y F dx dy
... bentuk eksplisit
0 ) , ,
(
dx dy y x
F ... bentuk implisit
Bentuk umum yang disebutkan di atas mengakibatkan jenis persamaan diferensial tingkat satu derajat satu terdiri atas beberapa jenis. Untuk lebih memudahkan dalam menentukan primitif atau selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat satu, dilakukan pengelompokan menjadi beberapa jenis.
1) Persamaan diferensial variabel terpisah.
2) Persamaan yang dapat direduksi ke persamaan diferensial variabel terpisah. 3) Persamaan diferensial homogen.
(3)
5) Persamaan diferensial eksak. 6) Persamaan diferensial tidak eksak.
7) Persamaan diferensial yang berbentuk yf(xy)dxxg(xy)dy0
Persamaan-persamaan diferensial tersebut di atas masing-masing mempunyai karakteristik dan ciri-ciri yang berbeda-beda. Prinsip utama dalam menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat satu adalah mengelompokkan masing-masing koefisien diferensial dengan diferensial yang sejenis atau sedapat mungkin menjadikan sejenis masing-masing koefisien diferensialnya. Khusus untuk persamaan diferensial yang tidak dapat dipisahkan variabelnya, maka cara lain (tabel, teorema) akan sangat membantu.
Berikut ini disajikan cara menentukan selesaian persamaan diferensial tingkat satu derajat satu.
2.1 Persamaan Diferensial Variabel Terpisah
Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu yang mempunyai bentuk umum M(x,y)dxN(x,y)dy 0 dapat dikategorikan sebagai persamaan diferensial variable terpisah (separable), jika M(x,y) f(x)dan
) ( ) ,
(x y g y
N . Atau dengan kata lain M(x,y)adalah fungsi x saja dan )
, (x y
N adalah fungsi ysaja. Sehingga bentuk umumnya 0
) , ( )
,
(x y dxN x y dy
M ditulis dalam bentuk f(x)dxg(y)dy0 Perhatikan contoh berikut ini.
1. (x3x2)dx2ydy0
3 2
2 0dx dy y x x
2 ( 3 2) (3 2 ) x x x
x dx dy
y
y x x dx dy
2 3 2
(4)
2 0 dx dy x y y2
dx dy x
x y dx dy 2
3. y' y 12x2
y dy dx x
2
2 1
4. xdxsin ydy0
5. 2 2
1
2y x
dx dy
2 1 2 2 0 y dy dx x
Karena tanda diferensial persamaan di atas dx dan dy berpasangan dengan variable yang sejenis yaitu x berpasangan dengan dx dan y berpasangan dengan dy , sehingga untuk menentukan selesaian umum persamaan tersebut cukup dengan mengintegralkan masing masing bagian.
Perhatikan beberapa contoh berikut ini.
1. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial xdx2dy0 Jawab
Dengan mengintegralkan masing-masing bagian, diperoleh:
xdx
2dy cc
c
y
c
x
2
1
2
2
2
1
2 1 2
2 2 1
c c c y
x
c
y
x
(5)
4
2
x
c
y
Persamaan
4
2
x
c
y
disebut primitif atau persamaan keluarga kurva atau selesaian umum persamaan diferensial xdx2dy 0.2. Tentukan selesaian persamaan diferenesial
0
3
x
dy
y
dx
Jawab
Persamaan di atas dapat diubah menjadi
xdx
3
ydy
0
Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh:
xdx
3 dyy 0c y
x
2 2
2 3 2 1
c y x
2 2
3
c y
x
2 2
2 3 2 1
c y x
2 2
3
3
2
c x
y
Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah
3
2
c x
y
3. Tentukan selesaian umum persamaan diferensialxdx2ydy0 Jawab
(6)
xdx
2y dyc c y x 2 2
2 1
c y x
2 2
2
2
2
x c
y
Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah
2
2
x c
y
4. Tentukan selesaian umum persamaan: 0
) 1 (
sinxdx y dy dengan y() = 1 Jawab
Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh:
sinxdx
(1y)dyc c y yx
2
2 cos
2
Karena y() = 1 maka diperoleh c
2
) 1 ( ) 1 ( 2 2 cos
2
Diperoleh c = 3, sehingga selesaian khusus persamaan diferensial 0
) 1 (
sinxdx y dy adalah 2cosx2yy2 3
5. Tentukan selesaian umum persamaan 0
) 4 ( ) 2 1
( y dx x dy Jawab
Persamaan (12y)dx(4x)dy0dapat diubah menjadi 0
2 1
4 y dy x dx
(7)
c y dy x
dx
4
1 2c y
x
ln1 2
2 1 4
ln
x y
c
ln4 ln 1 2
x y
c ln4 ln 1 2 c
y x
ln(4 ) 1 2 c y x
(4 ) 1 2
24 2 1
x c y
4
12 2
x c y
22
4 2
4 x
x c
y
Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah
22
4 2
4 x
x c
y
Latihan soal
Tentukan selesaian persamaan diferensial di bawah ini. 1. y2dxxdy0
2. cosydx(1ex)dy0 3. dx(1x2)coty dy0
4. x
dx dy
sec 1 3
1
5. (1x2)y'2
(8)
7. xdyydx0 dengan y(1)1 8. (1x)dx2y2dy0 dengan y(0)1 9. ' 3(1 ) (0)3
y dengan y
x
y
10. x y
dx
dy 2
cos 2
dengan
4 ) 0 ( y
11. '2 3 2 (1)0 y dengan e
x
y y
12. ' 3(1 ) (0)3
y dengan y
x y
13. y'2x3dengan y(1)1 14. x3y2 dengan y(1)0
dx dy
15. ' 22 dengan y(0)0 y
y
Catatan
Yang perlu diingat bahwa persamaan diferensial dengan variable terpisah memiliki ciri spesifik yaitu koefisien diferensial berupa variable sejenis berkumpul dengan diferensialnya, dengan kata lain dapat dinyatakan dalam bentuk sederhana f(x)dxg(y)dy0
2.2 Persamaan yang Direduksi ke Persamaan Variabel Terpisah
Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu dapat dikategorikan sebagai persamaan diferensial yang dapat direduksi menjadi persamaan diferensial variable terpisah jika bentuk umum M(x,y)dxN(x,y)dy0 dapat dinyatakan dalam bentuk:
0 ) ( ) ( )
( )
( 1 2 2
1 x g y dx f x g y dy
f
0 ) (
) ( )
( ) (
1 2 2
1
dy
y g
y g dx x f
x f
0 ) ( )
(
(9)
Selanjutnya bentuk
) ( ) (
1
1 2 x g y
f disebut faktor integrasi. Selesaian umum persamaan diferensial yang dapat direduksi menjadi persamaan variable terpisah dapat ditentukan dengan cara mengintegralkan masing-masing bagian setelah variable yang sejenis dikelompokkan dengan diferensialnya.
Perhatikan beberapa contoh berikut ini.
1. Tentukan selesaian persamaan diferensial2(y3)dxxydy0 Jawab
Persamaan di atas direduksi menjadi 0
) 3 ( 2
y ydy x
dx
c y
ydy x
dx
) 3 ( 2
dy c
y x
dx
3 3 1
2
dy c
y dy x
dx
3 3 1
2
c y
y
x 2ln 3ln 3
y c y
x
2 3
) 3 ( ln ln
y c y
x
2 3
) 3 ( ln
y c e y
x
2 3
) 3 (
y ce y
x
2 3
) 3 (
Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah y
ce y
x2( 3)3
2. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial )
3 (
4
y x
y dx
dy
(10)
Jawab
Persamaan di atas dapat direduksi menjadi: dx
y dy y
x( 3) 4
0 4 3
x dx dy y y
0 4 3
1
x dx dy y
Dengan mengintegralkan masing-masing bagian persamaan diperoleh
dx c
x dy y dy y
4 3
3 1
dx c
x dy y
dy 3 4
1
c x y
y
3ln 4ln x y
c
y 3ln 4ln
4 3
ln
ln y x
c
y
3 4
lnx y c
y
c y e y x 4 3
y ce y x 4 3
Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah
y ce y x4 3
3. Tentukan selesaian persamaan diferensial 0 ) 1 ( )
1 )( 1
(
y x dxdengan y xydy
Jawab
Persamaan di atas setelah direduksi, diperoleh: 0
1 1
dy
y y dx x
x
0 1
1 1 1
1
dx
y dx
(11)
Dengan mengintegralkan masing-masing bagian, diperoleh 0
1 1 1 1
1
dyy dx
x
0 1 1
dyy dy dx x
dx
c y
y x
x
ln ln 1
y x c y
x ln ( 1)
y x c e y
x ( 1)
Karena y(1)0 maka 1(01)ec10. Diperleh c1sehingga diperoleh selesaian khusus persamaan 1
) 1
( xy e y
x
Sebagai latihan bagi pembaca, tentukan selesaian persamaan diferensial dan selesaian khusus masalah nilai awal berikut ini:
1. dx(1x2)coty dy0 2. cosydx(1ex)sin ydy0 3. (1 2) 0
dy x xydx
4. x2(y4)dx y(x2 1)dy0 5. 13
xy dx dy x
7. y1 y'ecosxsin x 8.
y y dx
dy x
3 1 2
9. 2
2
1 sec '
x y y
10. y' y(2sinx)
11. 8x2e3 dengan y(1)0 dx
dy y
12. (0) 1
1 2
2 4 3 2
dengan y y
x x dx dy
(12)
13.
1 y2 tanx,dengan y(0) 3 dxdy
14.
4 ) 0 ( cos
2 2
x ydengan y dx
dy
15. ysinxdengan y()3 dx
dy
2.3 Persamaan Diferensial Homogen
Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu yang berbentuk 0
) , ( )
,
(x y dxN x y dy
M disebut persamaan diferensial homogen jika )
, (x y
M dan N(x,y) fungsi homogen berderajat sama. Definisi:
1. F(x,y)disebut fungsi homogen jika
y x G y x
F( , ) atau
x y H y x F( , )
2. Fungsi F(x,y) disebut fungsi homogen berderajat-n jika memenuhi syarat )
, ( )
,
(tx ty t F x y
F n
Contoh: 1.
x y
x y x F
) ,
( adalah fungsi homogen, karena
x y H x
y x x x y
x x y
x F
1 1 )
, (
2. F(x,y) x y adalah fungsi homogen, karena
x y y
x
F( , )1 atau ( , ) 1
y x y x F
(13)
3. F(x,y)1xy, bukan fungsi komogen karena tidak dapat dinyatakan dalam
bentuk
x y H atau y x
G
4. 2 2
2 3 ) ,
(x y x xy y
F fungsi homogen karena dapat dinyatakan dalam
x y H atau y x G
5. F(x,y) ysinx, bukan fungsi homogen. 6. F(x,y) y 1x2 bukan fungsi homogen.
7. F(x,y) x y, fungsi homogen berderajat 1, karena: F(tx,ty)(tx)(ty)
F(tx,ty)t(x y) F(tx,ty)tF(x,y)
8. 2 2
2 3 ) ,
(x y x xy y
F fungsi homogeny berderajat 0 9.
y x
x y
x F
2 ) ,
( , fungsi homogen berderajat 0, karena
) ( ) (
) ( 2 ) , (
ty tx
tx y
x F
) (
) 2 ( ) , (
y x t
x t y x F
) (
) 2 ( )
,
( 0
y x
x t y x F
F(x,y)t0F(x,y)
10. Dengan cara yang sama, F(x,y) x3 2x2y3xy2 adalah fungsi homogen berderajat 3 dan G(x,y)x x2 y2 adalah fungsi homogen berderajat 2. 11. F(x,y)sin(x y)bukan fungsi homogen, karena F(tx,ty)tnF(x,y)
(14)
Jika M(x,y)dxN(x,y)dy0 adalah persamaan diferensial homogen, maka selesaian umumnya dapat ditentukan dengan cara menyatakan
) , (x y
M dalam bentuk
y x M atau x y
M demikian pula N(x,y)dapat
dinyatakan dalam bentuk
y x N atau x y
N . Dengan kata lain M(x,y)dan )
, (x y
N dibagi dengan koefisien diferensial dx dan dy yang berpangkat tertinggi.
Setelah dilakukan pembagian pada M(x,y)dan N(x,y), selanjutnya gunakan transformasi
y x
u atau xuy. Atau dapat menggunakan transformasi
x y
v atau yvx. Jika yang digunakan transformasi yu x maka diperoleh dx yduudy. Sebaliknya jika yang digunakan transformasi
. vdx xdv dy maka y
xv
.
Akhirnya dx atau dx tetapi bukan keduanya disubstitusikan dalam persamaan diferensial semula
0 ) , ( )
,
(x y dxN x y dy
M sehingga diperoleh persamaan baru 0
dy y x N dx y x
M atau 0
dy
x y N dx x y M
Dengan memilih transformasi dy xdvvdx maka 0
) , ( )
,
(x y dxN x y dy M
0
xdv vdx
x y N dx x y M
xdv vdx
v N dx v
M
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0 M v vN v dx xN v dv
0) ( ) (
) (
v vN v M
dv v N x
dx
(15)
0 ) , ( )
,
(x y dxN x y dy M
0 )
(
dy
y x N udy ydu y x M
0 ) ( ) )(
(
M u ydu udy N u dy
( ) ( )
0)
(
yM u du uM u N u dy
0) ( ) (
) (
u N u uM
du u M y
dy
Bentuk terakhir persamaan yang diperoleh adalah persamaan diferensial yang dapat direduksi ke persamaan variabel terpisah. Setelah variabel yang sejenis berkumpul dengan diferensialnya dan dengan mengintgralkan masing-masing bagian akan didapat selesaian umum persamaan diferensial homogen yang diberikan.
Contoh
1. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial 0
)
(y2 x2 dxxydy Jawab
Persamaan di atas adalah persamaan diferensial homogen, karena )
, ( )
,
(x y danN x y
M adalah persamaan homogen yang berderajat dua. Selanjutnya persamaan dibagi x2 diperoleh persamaan
c dy x y dx x
y
2 1
2
Gunakan transformasi atau y ux x
y
u , dan dyudxxdu,lalu subtitusikan ke persamaan semula
0 )
1
( 2
u dx vdy
0 ) (
) 1
( 2
u dx u udx xdu
2 2 1
( )0 u u dx u xdu0 ) ( ) 1 2
( 2
(16)
0 1 2 2
u udu x
dx
Gunakan integral untuk masing-masing bagian, sehingga: c
u udu x
dx
1 2 2
c u
udu x
dx
1 2
4 4 1
2
c u
x
ln2 1
4 1
ln 2
c u
x
4ln ln2 2 1
c u
x
ln 4 ln2 2 1
c u
x
ln 4(2 2 1
c x
x y
x
2
2 4 4 2
c x y
x 2 2 4
2
Sehingga selesaian umum persamaan diferensial ( ) 0
2
2
xydy dx
x y adalah x y x c
4 2 2
2
2. Tentukan selesaian persamaan diferensial 0
)
( 2 2
dy x dx y
xy dengan y(2)1 Jawab
Persamaan di atas di bagi dengan x 2 0
2 2
dx dy x
y x y
Transformasi atau y sxsehinggady sdx xds x
y
s
Dengan mensubstitusikan ke persamaan asal diperoleh 0
) (
)
(17)
0
2
s dx xds
2
s ds x dx
= 0
c
s ds x
dx
2
c s x
ln 1 , karena x y
s maka c
y x x ln
Karena y(2)1maka c2ln2, sehingga selesaian khusus persamaan di atas adalah ln 2ln2
y x x
3. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial homogen berikut 0
3 )
(x3 y3 dx xy2dy Jawab
Persamaan dibagi dengan x 3
Diperoleh 1 3 2 0
2 3
3
dy
x y dx x y
Misal y Ax
x y
A dan didapat dy AdxxdA
Selanjutnya substitusikan dy dalam persamaan semula didapat persamaan baru (1 3) 3 2( )0
xdA Adx A dx A
0 ) 3 ( ) 2 1
( 3 2
A dx x A dA 0
) 2 1 (
3
3 2
x dx dA A A
0 )
2 1 (
3
3 2
x dx A
dA A
0 )
2 1 (
6
3 2 2
1
x dx A
dA A
(18)
c x A
ln1 2 ln
2
1 3
c x
A
ln1 2 3 2ln
c x x
y
ln1 2 3 2ln
3
c x x
y x
2
3 3 3
. 2
ln
c x
y x
3 2 3
Berdasarkan uraian di atas, selesaian umum persamaan 0
3 )
(x3 y3 dx xy2dy adalah c x
y x
3 3
2
4. Tentukan selesaian umum persamaan 1 ) 1 ( 0
3 ) 2 3
( y dengan y dx
dy y x
Persamaan di atas adalah persamaan diferensial homogen, karena M(x,y) dan N(x,y) adalah fungsi homogen berderajat sama yaitu satu.
0 3 ) 2 3
( y
dx dy y x
0 ) 2 3 (
3
ydx x y dy
0 3 2
3
dy dx
y x
Dengan transformasi xuydandxudyydu 0
) (
3 ) 2 3
(
u dy udy ydu
0 3
) 3 2 3
(
u u dy ydu
0 3 2
du
y dy
(19)
du c
y dy
3 2
c u y 2ln 3
u c
y 3
ln 2
u c e y 2
x y e
c y2 3
Karena y(1)1 maka
1 1 . 3 2
1 e
c
didapat c3 sehingga selesaiannya
dinamakan selesaian khusus (integral khusus) yaitu 3
3 2 x
y e y
Latihan soal
1. Selidiki apakah fungsi berikut homogen, jika homomogen tentukan derajatnya.
a. f(x,y) x2y
b. y
x e y x f( , ) c.
xy y x y x f
3 ) , (
2 2
d. f(x,y)sin(x y)cos2(xy)
e. 2 2
3 )
,
(x y xy y x
f
f.
2 2
) , (
y x
x y
x f
g. f(x,y) x ycosx h.
2 2
2 ) , (
y x
xy y
x f
i.
y x y x f
2
) , (
(20)
j.
y
x y y y x x y x f
cos sin
) , ( k.
y y y
x y x f
3 9 5 3 )
,
(
2. Tentukan selesaian persamaan diferensial homogen berikut ini. a.
xy y x dx dy
3
2 2
b. y
dx dy y
x ) 3
3
(
c. 2 ( 2 ) y(4x y) dx
dy x y
x
d. xdy ydx x2 y2dy0 e.
x y x
y dx dy
tan
f. (2x5y)dx(4xy)dy 0, dengan y(2)1 g. (xy)dxxdy0, dengan y(0)0
h.
) 3
(
' 2 2
y x
xy y
dengan y(2)1
i.
y x
y x y
2 2
' dengan y(1)3 j. 2 2 , (0)0
dengan y t
x xt dt
dx
3. y2dx(x2 y2)dy0dengan y(2)1
4. Tunjukkan bahwa persamaan diferensial M(x,y)dxN(x,y)dy0adalah persamaan diferensial homogen berderajat satu jika dan hanya jika
) , ( )
,
(x y danN x y
M fungsi homogen berderajat-1. 5. Tentukan semua selesaian dari persamaan
(21)
y 4x2 y2, untuk x0 dx
dy x
6. Tentukan semua selesaian dari persamaan
16 0
2 2
untuk x
x
y y x dx
dy
2.3 Persamaan M(x,y)dan N(x,y)Linear, tetapi Tidak Homogen
Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu, disebut persamaan diferensial linear tidak homogen jika M(x,y) dan N(x,y)dalam
0 ) , ( )
,
(x y dxN x y dy
M adalah fungsi linear. Sehingga bentuk umum semula dapat diubah menjadi (axbyc)dx(pxqyr)dy0
Contoh:
1. (x y2)dx(2x2y4)dy0 2. (x y1)dx(2x2y3)dy0 3. (3y7x7)dx(7y3x3)dy 0 4. (3x2y1)dx(3x2y1)dy 0
Berdasarkan contoh di atas, maka persamaan diferensial tidak homogen dengan M(x,y) dan N(x,y) fungsi linear dapat dikelompokkan menjadi 3 jenis yaitu:
a) Bentuk r c q b p a
, (parameter), sehingga diperoleh ap,bq,cr
Contoh
(xy2)dx(2x2y4)dy 0 b) Bentuk
r c tetapi q
b p a
, Sehingga ap,bq
(22)
Contoh
(xy1)dx(2x2y3)dy0 (3x2y1)dx(3x2y4)dy0 c) Bentuk selain a) dan b) di atas. (3y7x7)dx(7y3x3)dy 0 (3x2y7)dx(3y2y)dy0
Karena bentuknya berbeda-beda, maka selesaian umum persamaan diferensial linear tidak homogen harus menyesuaikan dengan bentuknya.
a. Bentuk r c q b p a
Karena r c q b p a
maka diperoleh r
c q b p
a , , Sehingga persamaan semula 0
) (
)
(axbyc dx pxqyr dy
0 ) (
)
(
px qy r dx px qy r dy
0 ) (
)
(
px qy r dx px qy r dy
0
dx dy
dx
dycx yc (persamaan linear)
Contoh
1. Tentukan selesaian persamaan diferensial 0
) 8 2 2 ( ) 4
(x y dx x y dy Jawab
Karena
2 1
r c q b p a
maka diperoleh c
r b q a
p 2 , 2 , 2 Sehingga persamaan semula 0
) 8 2 2 ( ) 4
(23)
0 ) 4 (
2 ) 4
(
x y dx x y dy
0 2
1
dx dy
dx dy c
2 1
c y x
2 1
c y
x2 adalah primitif yang diminta
2. Tentukan selesaian persamaan 0 ) 3 (
) 6 3 3
( x y dx x y dy Jawab
Karena 3 r c q b p a
maka diperoleh r
c q b a
a3 , 3 , 3 Sehingga persamaan semula 0
) 3 (
) 6 3 3
( x y dx x y dy 0 ) 3 (
) 2 (
3
x y dx x y dy
0
3
dx dy
3dx dy c
c y x
3
Primitif persamaan di atas adalah 3x yc
b. Bentuk
r c tetapi q
b p a
, .
Persamaan bentuk q b p a
dapat diselesaikan dengan cara menggunakan transformasi axbyuatau pxqyv. Berdasarkan transformasi tersebut, dengan mendiferensialkan masing-masing variabel, sehingga diperoleh:
) ( ) ( )
(ax d by d u
d
du bdy adx
(24)
bdy du adx
a bdy du dx
atau
du bdy adx
adx du bdy
b adx du dy
Dengan cara yang sama jika yang digunakan transformasi pxqyv, diperoleh bentuk
q pdx dv
dy atau
p pdx dv dx
Pilih dx atau dy akan tetapi tidak keduanya, dan substitusikan ke persamaan diferensial semula.
0 ) (
)
(axbyc dx pxqyr dy 0
1 )
(
u c dx u r dy
0 1
)
(
u r dy
a bdy du c u
Atau
0 1
)
(
b adx du r u dx
c u
Persamaan di atas adalah persamaan yang dapat direduksi ke persamaan diferensial dengan variable terpisah (separable).
Contoh:
1. Tentukan selesaian persamaan diferensial 0
) 3 2 2 ( ) 1
(xy dx x y dy dengan y(0)0 Jawab
Dari persamaan (x y1)dx(2x2y3)dy0, diperoleh 2
, 2 , 2 , 1 , 1 ,
1
b c p q danr
a , sehingga diperoleh =
2 1
(25)
Selanjutnya gunakan transformasi v
y x atau u y
x 2 2
Jika transformasi yang digunakan xy u maka diperoleh 0
) 3 2 ( ) 1
(u dx u dy .
Selanjutnya bentuk transformasi x yu didiferensialkan du
dy
dx dan diperoleh dxdudyatau dydudx. Cara I
0 ) 3 2 ( ) 1
(u dx u dy .
0 ) 3 2 ( ) )(
1
(
u du dy u dy
0 ) 1 3 2 ( ) 1
(
u du u u dy
0 ) 2 ( ) 1
(
u du u dy direduksi menjadi PD Separable, diperoleh: 0
2 1
du
u u dy
du c
u u dy
2 1
du c
u du dy
2 1 1
c u
u
y
ln 2
c y
x y x
y
( ) ln 2
2 ln
2
x y c x y
c u
u y c y
x
2 ln 2
2
) 2
(
e x yc x y
Karena y(0) = 0, maka selesaian khusus persamaan 0
) 3 2 2 ( ) 1
(xy dx x y dy adalah ( 2 ln2) 2 y x e x y
Cara II
0 ) )(
3 2 ( ) 1
(u dx u dudx 0 ) 3 2 ( ) 3 2 1
(
(26)
0 ) 3 2 ( ) 2
(
u dx u du
0 ) 3 2 ( ) 2
(
u dx u du
0 2
3 2
du
u u dx
du c
u u dx
2 3 2
du c
u du dx
2 1 1
c u
u
x
ln 2
c y
x y x
x
( ) ln 2
y c y
x
ln 2
y c e y
x ( 2)
Karena y(0)0 maka didapat cln2sehingga selesaian khusus persamaan diferensial di atas adalah (x y2)eln2y
2. Tentukan selesaian persamaan 0 ) 1 2 3 ( ) 1 2 3
( x y dx x y dy Jawab
Transformasikan 3x2yu sehingga3dx2dydudan diperoleh: 2
3 3
2 du dx
dy atau dy du
dx
akibatnya persamaan (3x2y1)dx(3x2y1)dy0 dapat dinyatakan dalam bentuk (u1)dx(u1)dy0
Pilih dx atau dy, lalu substitusikan ke dalam persamaan dan diperoleh 0
) 1 ( 3
2 )
1
(
du dy u dy
u
dy u dy du
u 1)( 2 ) 3( 1)
(
0 ) 3 3 2 2 ( ) 1
(
(27)
0 1
5 1
du dy
u u
du dy c
u u
1 5
1
du dy c
u du
1 5
5 25
6 5
1
c y u
u
ln5 1
25 6 5
c y y
x y
x
ln5(3 2 ) 1
25 6 5
2 3
Bentuk yang ketiga adalah selesaian bentuk selain persamaan 1 dan 2. Dalam menentukan selesaiannya gunakan transformasi
v r qy px dan u c by
ax ) ( )
(
Selanjutnya diferensial kan kedua bentuk transformasi di atas sehingga diperoleh
) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
(ax d by d c d u dand px d qy d r d v
d
dv qdy pdx dan du bdy
adx
Eleminasikan dx dan dy pada hasil differesial yang diperoleh secara berurutan yaitu:
dv qdy pdx
du bdy adx
selanjutnya kalikan persamaan pertama dengan p dan kalikan persamaan kedua dengan a, maka diperoleh:
pdu pbdy apdx
adv aqdy apdx
adv pdu dy aq
pb ) (
aq bp
adv pdu dy
(28)
bp aq
bdv qdu dx
Substisusikan dx dan dy dalam persamaan semula, yaitu: 0
) (
)
(axbyc dx pxqyr dy 0
aq bp
adv pdu v bp aq
bdv qdu
u
Persamaan di atas menjadi persamaan baru dengan tanda diferensial du dan dv, dan termasuk dalam persamaan diferensial homogen. Primitifnya dapat ditentukan dengan menggunakan metode persamaan diferensial homogen.
Contoh
1. Tentukan selesaian umum persamaan 0 ) 3 3 7 ( ) 7 7 3
( y x dx y x dy Jawab
Transformasikan
3 3 7 7
7
3
y x danv y x
u
Dengan mendiferensialkan masing-masing bagian, diperoleh: dx
dy dv dan dx dy
du3 7 7 3
Elimasikan dx dan dy berurutan, diperoleh:
dv dx dy
du dx dy
3 7
7 3
atau
dv dx dy
du dx dy
7 21 49
3 21 9
didapat
dv du dy 3 7
40
40 3 7dv du dy
(29)
40 7 3dv du dx
Substitusikan dydandxkepersaman semula, sehingga diperoleh 0 ) 3 3 7 ( ) 7 7 3
( y x dx y x dy 0 40 3 7 40 7 3
dv du
v du dv u 0 ) 3 7 ( 40 ) 7 3 (
40
u dv du v dv du (persamaan diferensial homogen) 0 ) 3 7 ( ) 7 3 (
u v dv u v du
Bagi persamaan dengan v, diperoleh 0
3 7 7
3
du
v u dv v
u
Transformasikan atauu vt v
u
t sehingga du vdttdv
Persamaan di atas adalah persamaan diferensial yang dapat direduksi ke persamaan variable terpisah.
0 ) )( 3 7 ( ) 7 3
( dt dv t vdttdv 0 ) 3 7 ( ) 3 7 7 3
( 2
t t t dv t dt
0 ) 7 7 ( ) 3 7 ( 2 dt t t v dv c dt t t v dv
27 7 3 7 0 1 1 ln 7 3 1 ln 2 1
ln 2
t t t v Dengan mensubstitusi 7 7 3 3 3 7 3 3 7 x y x y t dan x y
v diperoleh selesaian
umum persamaan (3y7x7)dx(7y3x3)dy0
2. Tentukan selesaian umum persamaan 0 ) 2 3 ( ) 1 2 3
( x y dx x y dy Jawab.
(30)
Transformasikan y x v dan y x
u 3 2 1 3 2 dy dx dv dan dy dx
du3 2 3 2
Selanjutnya dieliminasi dx dan dy berturut dan diperoleh: 4
du dv
dy dan
6 dv du dx
Substitusikan dy dan dx ke persamaan semula dan diperoleh 0 ) 2 3 ( ) 1 2 3
( x y dx x y dy 0 4
6
u du dv v dv du
0 ) ( 6 ) (
4
u du dv v dv du
0 ) 6 4 ( ) 6 4 (
u v du u v dv
0 6
4 6
4
dv u v du u v
Transformasikan v up u
v
p sehingga dvudp pdu Substitusikan kepersamaan di atas, diperoleh
0 ) 9 ) 6 4 ( ) 6 4
( p du p udp pdu
0 ) 6 4 ( ) 6 4 6 4
( 2
p p p du p udp
0 ) 6 10 4 ( ) 6 4 ( 2 p p dp p u du
dp c
p p p u du ) 2 )( 2 6 ( 6 4
dp c
p p p u ) 2 )( 2 6 ( 6 4 ln c p p y
x
ln 2
5 8 2 6 ln 5 18 1 2 3 ln c y x y x y x y x y
x
2 1 2 3 2 3 ln 5 8 2 1 2 3 2 3 6 ln 5 18 1 2 3 ln
(31)
2.4 Persamaan Diferensial Eksak (PDE)
Persamaan diferensial M(x,y)dxN(x,y)dy0 disebut persamaan diferensial eksak jika dan hanya jika memenuhi syarat:
x
y
x
N
y
y
x
M
(
,
)
(
,
)
Contoh1. (x y)dx(x y)dy0adalah persamaan diferensial eksak karena ( , ) ( , ) 1
y y x M y
x y x M
( , ) ( , ) 1 x
y x M y
x y x
N
sehingga
x y x N x
y x M
( , ) ( , )
2. (x ycosx)dxsinxdy0, adalah persamaan diferensial eksak karena
x
y y x M x
y x y x
M( , ) cos ( , ) cos
x
x y x N x y
x
N( , ) sin ( , ) cos
Sehingga
x y x N x
y x M
( , ) ( , )
3. y(x-2y) dx – x2 dy = 0, bukan persamaan diferensial eksak,
x y
y y x M y
x y y x
M( , ) ( 2 ) ( , ) 4
x
x y x M x
y x
N( , ) 2 ( , ) 2
sehingga
x y x N x
y x M
( , ) ( , )
Karena
y y x M
( , )
x y x N
( , )
maka persamaan di atas bukan persamaan diferensial eksak.
(32)
Dengan cara yang sama, persamaan dibawah ini adalah persamaan tidak eksak karena
y y x M
( , )
x y x N
( , )
. 1. ( 2 2) 0
xydy dx
y
x ...persamaan diferensial homogen
2. dx a2 x2dy 0 ... persamaan diferensial yang dapat direduksi ke persamaan diferensial variabel terpisah.
3. (x y1)dx(xy3)dy0………..persamaan diferensial tidak homogen
Persamaan diferensial eksak mempunyai selesaian umum F(x,y)c Menurut definisi diferensial total untuk F(x,y)c, diperoleh:
) ( ) ,
(x y d c
dF
0 ) , ( )
, (
dy
y y x F dx x
y x F
Berdasarkan bentuk 0 ) , ( )
,
(x y dxN x y dy
M dan ( , ) ( , ) 0
dy
y y x F dx x
y x F
maka diperoleh )
, ( ) , (
y x M x
y x F
dan ( , ) ( , )
y x N y
y x F
Berdasarkan kesamaan di atas, maka untuk menentukan selesaian persamaan diferensial eksak yang berbentuk F(x,y)cdapat dilakukan dengan dua cara.
Cara I
) , ( ) , (
y x M x
y x F
dan ( , ) ( , )
y x N y
y x F
(33)
M x y F x y M x y dx
x y x F ) , ( ) , ( ) , ( ) , (
= M(x,y)dx G(y) x
) , ( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( y x N y G dx y x M y y x N y y x F x
x y x N y G dx y x My ( , ) '( ) ( , )
xM x y dx
y y x N y
G'( ) ( , ) ( , )
M x y dx dy
y dx y x N y G x ) , ( ) , ( ) (
Substitusikan G(y) dalam
x y G dx y x M y xF( , ) ( , ) ( ) yang merupakan selesaian umum persamaan diferensial
Cara II ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( y x M x y x F dan y x N y y x F
Dari kesamaan di atas diperoleh
y x H dy y x N y x F dy y x N y xF( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )
) , ( ) ( ' ) , ( ) , ( ) , ( y x M x H dy y x N x y x M x y x F y
N x y dy
x y x M x
H'( ) ( , ) ( , )
N x y dy
y y x M x
(34)
Substitusikan H(x) ke persamaan semula
yx H y x N y x
F( , ) ( , ) ( ) Contoh
1. Tentukan selesaian persamaan diferensial eksak berikut ini: 0
) 5 4 3 ( ) 4 3 2
( x y dx x y dy Jawab
3 ) , ( 4
3 2 ) ,
(
y y x M y
x y x
M dan
3 ) , ( 5
4 3 ) ,
(
y y x M y
x y x N
berarti persamaan di atas adalah eksak.
Selesaian PD di atas adalah F(x,y)c. Untuk mendapatkan c
y x
F( , ) dapat digunakan kesamaan ) , ( ) , ( )
, ( ) , (
y x M x
y x F dan y x N y
y x F
. 5
4 3 ) , (
x y
y y x F
F(x,y) (3x 4y 5)dy 3xy2y2 5y f(x)
) , ( ) , (
y x M x
y x F
3 2 2 5 ( )
2 3 4
xy y y f x x y
x
4 3 2 ) ( '
3
y f x x y
4 2 ) (
'
f x x
c x x x
f ( ) 2 4
Sehingga primitif persamaan adalah F(x,y)3xy2y2 5yx2 4xc
(35)
Jawab
x y
y x M x
y x y x
M( , ) cos ( , ) cos
x x
y x N x y
x
N( , ) sin ( , ) cos
Berarti persamaan di atas adalah persamaan diferensial eksak. Sehingga selesaiannya dapat dinyatakan dalam bentuk F(x,y) = c. Untuk
mendapatkan F(x,y) = c digunakan kesamaan ) , ( ) , ( )
, ( ) , (
y x N y
y x F dan y x M x
y x F
x y x F x y x y x dx
x y x F
) cos (
) , ( cos
) , (
sin ( )
2 1 2
y G x y
x
x y
G x y x y x y
y x F
sin ) ( sin 2
1 sin
) ,
( 2
sin xG'(y)sinx G'(y)0
G(y)c Diperoleh selesaian umum persamaan
c x y x c x y x y x
F sin 2 sin 2
1 ) ,
( 2 2
Soal-soal
A. Selidiki apakah persamaan di bawah ini eksak atau tidak 1. (3x2y)dx(2x y)dy0
2. ( 2 3) (2 4) 0 dy xy dx
y
3. (6xy2y2 5)dx(3x2 4xy6)dy0
4. 2 1 2 0
2
dy
y x x dx y x
(36)
5. (cosxcosy y)y'tanxsinxsiny 6. (5xy4y2 1)dx(x2 2xy)dy0 7. xdxydy(x2 y2)dx
8. 2 1 2 ( 1) 0
) (
3 2
y x dy
y x dx y
x x
y
y
9. 2(x2 xy)dx(x2 y2)dy0 10. 12 12 4 3 1 0
dy y x dx y
x
B. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial eksak berikut ini: 1. 2 ( 2 3) 0
dy x
xydx
2. 1 1 0
dy
y xy dy x xy
3. 1 2 2 2 2 0
dy
y x
x dx
y x
y x
4. (y2 2x)dx2xydy0
5.
1ln
dy 0 y x dx xy6. (ycos(xy)sinx)dxxcos(xy)dy0 7. (2xycosy)dx(x2 xsiny2y)dy 0 8. (3x2lnxx2 y)dxxdy0dan y(1)5
9. 2 2 4xy 3sinxdan y(2)0 dx
dy x
(37)
10. 0 2 0
) cos
(
x dx xe dy dan y
yexy xy
2.6 Persamaan Diferensial Tidak Eksak (PDTE) 0
) , ( )
,
(x y dxN x y dy
M adalah persamaan diferensial tingkat satu derajat satu disebut persamaan diferensial tidak eksak jika dan hanya jika:
x
y
x
N
y
y
x
M
(
,
)
(
,
)
Persamaan diferenisal tidak eksak dapat diselesaikan dan ditentukan primitifnya dengan cara mencari faktor integral dari persamaan tersebut. Setelah ditentukan faktor integralnya, maka persamaan diferensial tidak eksak tersebut menjadi persamaan diferensial eksak. Faktor integral persamaan diferensial tidak eksak dinyatakan dengan (x,y). Setelah diketahui faktor integralnya , maka persamaan tidak eksak ditulis dalam bentuk:
( , ) ( , ) 0
) ,
(x y M x y dxN x y dy
0 ) , ( ) , ( )
, ( ) ,
(
x y M x y dx x y N x y dy
satu derajat satu
tingkat l
diferensia persamaan
dy y x N dx y x
M
( , ) ( , ) 0
Dengan
) , ( ) , ( ) , ( )
, ( ) , ( ) ,
(x y x y M x y danN x y x y N x y
M
Sehingga diperoleh persamaan yang merupakan persamaan diferensial tingkat satu berupa persamaan diferensial eksak yang memenuhi sifat
x y x N y
y x M
( , ) ( , )
dengan
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
x
y
x
y
M
x
y
dan
N
x
y
x
y
N
x
y
(38)
Persamaan baru tersebut dinamakan persamaan diferensial eksak, sehingga selesaiannya dapat ditentukan dengan menggunakan metode persamaan diferensial eksak.
Bagaimana menentukan faktor integral persamaan tidak eksak? Karena
(
x
,
y
)
M
(
x
,
y
)
dx
N
(
x
,
y
)
dy
0
persamaan eksak, maka:x
N
y
M
(
)
(
)
x N x N y
M y M
y M x N x N y
M
y M x N x
N y
M
1
dalam hal ini dapat kita tinjau dari beberapa kasus:
a. Misal (x,y)(x) yaitu fungsi bervariabel x saja, maka 0
y
dan
dx d x
, sehingga
1 .0
M dx d N x
N y
M
N x N y M dx
d
1
Jika N
x N y M
suatu fungsi dari x atau f(x), maka dari
N x N y M dx
d
1
(39)
dx x f d atau x f dx d
) ( )
( 1
d f(x)dx
ln f(x)dx
f xdx e ( )
adalah faktor integral yang dicari
b. Misal ( y)yaitu fungsi bervariabel y saja maka 0
x
dan
dy d y
=
dy d
, sehingga
y M x N x
N y
M
.
1
y M N x
N y
M
.0 .
1
M x N y M dy
d
1
Jika
M x N y M
suatu fungsi dari y atau g( y), maka dari
M x N y M dy d
1
didapat 1 q(y)atau d g(y)
dy d
d
g(y)dy
ln
g(y)dy(1)
c
z dz z
dz z
dz x
dx
2
3
c z z z
x
1 ln
2 1
ln 2
Dengan mensubstitusikan xy = z diperoleh selesaian persamaan 2
2 2
2
1 2 ln
2x y y xy cx y
2. Sebagai latihan bagi pembaca, tentukan selesaikan persamaan di bawah ini dengan menggunakan cara seperti contoh 1 di atas.
Sebagai latihan, tentukan selesaian umum persamaan 1) ( 1) (1 2 2) 0
dy y x xy x dx xy y
2) ( 2) ( 2 ) 0
dy y x x dx xy y
3) (1xyx2y2)dx(x3yx2)dy0 dengan y(1) = 0 4) y(12xy)dxx(1xy)dy0 dengan y(0) = 0 5) y(1xy)dxx(xy3)dy0
2.8 Trayektori
Suatu kurva yang memotong setiap persamaan keluarga kurva atau dari sebaliknya dengan sudut tetap disebut trayektori dari persamaan diferensial yang diketahui. Jika besar sudut 90omaka disebut trayektori ortogonal, sedangkan jika besar sudut 90omaka disebut trayektori isogonal.
a. Trayektori Isogonal
Integral kurva dari persamaan 0 tan
' 1
tan ' ,
,
y y
y x
f adalah trayektori
(2)
b. Trayektori Ortogonal
Jika = 90º maka trayektorinya disebut trayektori ortogonal Integral kurva dari persamaan diferensial 0
' 1 ,
,
y y x
f adalah trayektori orthogonal dari persamaan f(x,y,y')0
Jika dinyatakan dalam koordinat polar, integral kurva dari persamaan diferensial , , 2 0
d dr r r
f adalah trayektori ortogonal dari integral kurva
0 ,
,
d dr r f
Jika suatu persamaan hendak ditentukan trayektorinya, maka beberapa langkah yang ditempuh adalah.
1. Tentukan persamaan diferensial dari persamaan keluarga kurva yang diketahui . Jika persamaan yang diketahui masih terdapat parameter maka parameter harus dieliminir terlebih dahulu.
2. Tentukan persamaan diferensial dari trayektorinya.
a. Bila trayektorinya ortogonal dilakukan penggantian dx dy
dengan
-dy dx
pada persamaan diferensial nya.
b. Bila trayektori isogonal dengan sudut tetap maka lakukan
penggantian dx dy
dengan
tan 1
tan
dx dy dx dy
pada persamaan diferensial nya.
c. Bila trayektori = 45º maka lakukan penggantian dx dy
dengan
dx dy dx dy
1
1
(3)
d. Bila trayektorinya dalam koordinat polar maka lakukan penggantian
d dr
dengan
d dr r2
.
3. Selesaikan persamaan diferensial baru tersebut dengan metode yang sesuai sehingga diperoleh persamaan trayektori yang diminta.
Contoh
1. Tentukan trayektori ortogonal persamaan keluarga kurva
real c dengan c
y
x22 2
Jawab
Persamaan diferensial dari persamaanx2 2y2 c adalah )
( ) 2 ( )
(x2 d y2 d c
d
0 4
2
xdx ydy
0 4
2
dx dy y x
Untuk mendapatkan trayektori ortogonal adalah mengganti dx dy
dengan -
dy dx
, sehingga
0 4
2
dx dy y x
0 4
2
dy dx y x
0 4
2
xdy ydx
0 4
2
x dx y
dy
c
x dx y
dy
4 2
c x
y
4
ln 4 ln 2
c x
y
2 4
ln
(4)
c x y
4
2
ln
4 2
cx
y
2. Sebagai latihan bagi pembaca, Tentukan trayektori ortogonal dari persamaan keluarga kurva
1) (x2 y2)2cx0 2) 2 3 2 0
cx x y
3) 2 2 0
c x y
4) (x2 y2)2 cxy
5) y2 x1cex
6) r ccos 7)
x c
x y
2
2
8) Tentukan trayektori isogonal dengan sudut tetap = 45º dari persamaan keluarga kurva
a. x2 y2 2c(x y) b. x2 y2 c2
2.9 Soal-soal
A. Dengan menggunakan metode yang sesuai, tentukan selesaian umum persamaan diferensial di bawah ini.
1.
y x y' 1 2. y'y2x1
(5)
4. 1 1 ' 2 2 y x y
5. 0
1 1 2
xy dx
x dx x xy y
6. (2 sin 2 cos ) ( 2cos ) 0
dy xy x M dx xy y x xy x
7. y'xy2 2xy
8. (y y2)dx(y2 x2 xy)dy0 9. y y x x y 2 2 '
10. (2xy1)dx(x3y2)dy0 B. Tentukan selesaian masalah nilai awal
1. y'(1y2)tanx
dengan y(0) 3
2. x y
dx dy 2 cos 2 dengan 4 ) 0 ( y
3. ( 2 3 2) 2 0
xydy dx
y
x dengan y(2)6
4. (2 3) ( 2 4 ) 0
dy y x dx
xy dengan y(1)2
5. 3 21 0
2
2
dy
xy y dx x
y
C. Tentukan M(x,y)dan A sedemikian sehingga persamaan berikut eksak. 1. (x3 xy2)dxM(x,y)dy0
2. 21 2 3 ( , ) 0 dy y x M dx y x y x
3. (x2 3xy)dx(Ax2 4y)dy0
4. 3 2 12 1 0
dy
x x dx x y x Ay
5. 12 12 3 1 0
dy y Ax dx y x
(6)
D. Tentukan faktor integrasi dan selesaian persamaan di bawan ini 1. xdy ydx(x2 y2)dx
2. (2y3x)dxxdy0 3. ( 2) 2 0
xydy dx
y
x
4. xdy ydx3x2(x2 y2)dx
5. ydxxdylnxdx0 6. (3x2 y2)dx2xydy0 7. (x y)dx(xy)dy 0 8. (x y)dxx2dy0