Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo
20 142.
real c
c u
u du
u u
u
. cos
cos 1
ln cos
1 cos
sin
2 2
143. real
c c
u u
du u
u u
. 3
1 tan
2 arctan
3 2
tan 1
ln tan
1 sec
tan 2
2 2
2
144.
real c
c u
u u
du
. 2
sec 2
tan 2
2 sin
1
145.
real c
c u
u u
du
. 3
sin 3
3 cos
1 3
cos 1
146.
real c
c u
du u
u
. 2
2 2
sin arctan
8 2
8 2
sin 2
cos
2
147.
real c
c u
du u
u
. tan
2 arcsin
2 1
tan 4
1 sec
2 2
148.
real c
c u
du u
u
. 3
4 sin
arctan 12
1 4
sin 9
8 sin
2 2
149.
real c
c au
au a
u au
du
. csc
cot 1
sec 1
150. real
c c
a u
a du
a u
a u
. tan
2 1
tan sec
2 2
1.3 Persamaan Diferensial PD
Mencermati kembali definisi turunan fungsi yang telah dijelaskan pada pembahasan sebelumnya, jika
x f
y
maka turunan fungsi dalam bentuk
. x
f dx
dy
Hasil turunan fungsi yang diketahui tersebut merupakan suatu persamaan yang memuat turunan derevative.
Contoh 1
Jika fungsi dinyatakan dalam bentuk
x f
y
maka turunannya memuat tanda
. dx
dy
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo
21 Misal
x y
2 sin
2
diperoleh
x x
dx dy
2 cos
2 sin
4
Atau
. 2
cos 2
sin 4
dy
dx x
x
2 Jika fungsi dinyatakan dalam bentuk
,
y x
f
maka dihasilkan turunan fungsi yang dapat dinyatakan dalam bentuk diferensial, yaitu
dy dan
dx
. Misal
cos
xy
y
diperoleh
cos
xy
d y
d
atau
. 2
2 sin
xy
ydx xy
xdy xy
dy
Berdasarkan contoh 1 dan 2 di atas, tampak bahwa turunan fungsi membentuk persamaan yang memuat turunan derevative atau diferensial.
Perhatikan beberapa persamaan-persamaan di bawah ini. 1.
3 2
dy
dx x
2.
x dx
dy 2
3
3.
x xy
dx dy
4 2
4. 2
2 2
y
dx dy
dx y
d
5. 4
2 2
3 3
y
dx y
d dx
y d
6.
2 3
2
3 x
y y
y
7.
3
y y
y
8.
y z
x z
x z
9. y
x y
z x
z
2 2
2 2
2
10. z
y z
y x
z x
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo
22 Setiap persamaan 1-10 pada contoh di atas, memuat tanda turunan yaitu
y z
x z
dx dy
, ,
dan memuat tanda diferensial dy atau
. dx
Sehingga persamaan yang memuat turunan atau diferensial dinamakan persamaan diferensial.
Definisi
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang di dalamnya terdapat paling
sedikit satu turunan atau diferensial dari suatu FUNGSI YANG BELUM DIKETAHUI.
Jika dalam suatu persamaan diferensial, turunan yang muncul adalah turunan biasa, misalnya
dx dy
maka persamaannya dinamakan persamaan
diferensial biasa, sebaliknya jika turunan yang muncul adalah turunan parsial, misalnya
x z
dan y
z
, maka persamaannya dinamakan persamaan diferensial
parsial. Persamaan pada contoh 1-7 di atas dinamakan persamaan diferensial biasa, sedangkan persamaan pada contoh 8-10 di atas dinamakan persamaan
diferensial parsial. Selain jenis persamaan diferensial biasa dan parsial, dalam persamaan
diferensial dikenal pula istilah tingkat order dan derajat degree. Tingkat suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang muncul
dalam persamaan tersebut, sedangkan derajat persamaan diferensial ditentukan oleh pangkat dari turunan tertinggi dalam persamaan diferensial yang diberikan.
Perhatikan beberapa contoh persamaan dibawah ini. 1.
3 2
dy
xdx
adalah persamaan diferensial tingkat satu derajat satu, karena turunan tertinggi dalam persamaan adalah turunan tingkat satu dan
derajat satu. Dengan cara yang sama dapat ditentukan tingkat dan derajat fungsi dibawah
ini. 2.
x dx
dy 2
3
, persamaan tingkat satu derajat satu 1-1
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo
23 3.
x xy
dx dy
4 2
, persamaan tingkat satu derajat satu 1-1 4.
2
2 2
y
dx dy
dx y
d , persamaan tingkat dua derajat satu 2-1
5.
3 3
dx y
d
2 2
dx y
d - 4
dx dy
+ 4y = 0, persamaan tingkat 3 derajat 1 3-1 6.
2 3
2
3 x
y y
y
, persamaan tingkat dua derajat dua 2-2 7.
3
y y
y
, persamaan tingkat dua derajat satu 2-1 8.
y
z x
z x
z , persamaan tingkat satu derajat satu 1-1
9. y
x y
z x
z
2 2
2 2
2
, persamaan tingkat dua derajat satu 2-1
10. z
y z
y x
z x
, persamaan tingkat satu derajat satu 1-1
1.4 Primitif suatu Persamaan Diferensial
