bab 1 pendahuluan persamaan diferensial

(1)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₁ BAB I

PENDAHULUAN

Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami turunan, antiturunan fungsi dan dapat mengaplikasikannya untuk menentukan selesaian umum atau selesaian khusus persamaan diferensial yang diberikan.

Kompetensi Dasar

1. Mahasiswa dapat menentukan turunan fungsi ekpslisit dengan menggunakan sifat-sifat turunan fungsi.

2. Mahasiswa dapat menentukan turunan fungsi implisit dengan menggunakan kaidah diferensial dan sifat-sifatnya.

3. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan/integral suatu fungsi 4. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial

5. Mahasiswa dapat menentukan persamaan diferensial suatu primitif atau persamaan keluarga suatu fumgsi ekspilisit atau implicit.

6. Mahasiswa dapat menentukan selesaian khusus persamaan diferensial yang diberi syarat awal.

Bab Pendahuluan membahas lima hal pokok, yaitu: (1) fungsi, (2) turunan dan antiturunan, (3) persamaan diferensial, (4) primitif suatu persamaan diferensial, (5) masalah nilai awal dan syarat batas.

1.1 Fungsi

Pengetahuan awal dan konsep dasar dalam matematika yang perlu dipahami untuk mempelajari persamaan diferensial adalah fungsi dan turunan fungsi. Berdasarkan tata cara penulisannya, fungsi dapat ditulis dalam bentuk eksplisit dan implisit. Fungsi eksplisit adalah suatu fungsi yang antara peubah bebas dan peubah tak bebas dapat dibedakan dengan jelas. Secara umum fungsi

(2)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₂ eksplisit ditulis berbentuk y f(x), sedangkan fungsi implisit adalah suatu fungsi yang antara peubah bebas dengan peubah tak bebas tidak dapat dibedakan secara jelas. Secara umum fungsi implisit ditulis berbentuk f(x,y)0.

Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi yang dinyatakan dalam bentuk eksplisit dan implisit.

1. y x2 5x4 2.

3 2

1 3 1

  

x x y

3. ycos(x5) 4.

  

     

 

  

2 2

x x x

e e e

e y

5. 

     

 3

1 arcsin

x x y

6. ln1 ln 1

1 1

ln    

 

 x x

x x y

7. y x x x

8. x2  y2 25 9. x2yxy2 20 10. x2  y2 2xy10 11. ycos(xy2)3x2 4 12. sin(xy)y0

Contoh 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi ekplisit dan fungsi tersebut dapat diubah menjadi fungsi implisit. Bagaimana bentuk implisitnya ditinggalkan dalam penjelasan ini sebagai latihan bagi pembaca. Sedangkan contoh 8, 9, 10, 11 dan 12 adalah fungsi implisit. Berbeda dengan fungsi eksplisit yang secara langsung dapat diubah menjadi fungsi impilisit, Fungsi implisit tidak semuanya dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Sehingga dapat disimpulkan bahwa setiap fungsi eksplisit dapat diubah menjadi bentuk fungsi

(3)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₃ implisit, akan tetapi ada fungsi implisit yang tidak dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Fungsi pada contoh 9 di atas adalah fungsi implisit yang tidak dapat dinyatakan dalam fungsi eksplisit.

Pengembangan dan analisis lebih lanjut, pembaca dapat membuat beberapa contoh fungsi dan mengelompokkan fungsi-fungsi tersebut dalam bentuk eksplisit atau implisit. Selain itu pembaca dapat membuat contoh lain fungsi implisit yang dapat diubah menjadi fungsi eksplisit atau fungsi implisit yang tidak dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Pada prinsipnya dalam fungsi eksplisit y f(x), x disebut peubah bebas (independent), sedangkan y disebut peubah tak bebas (dependent). Bentuk f(x,y)0 jika dapat diubah dalam bentuk ekplisitx , dan y secara berturut juga dinamakan peubah bebas dan tak bebas. Akan tetapi jika tidak dapat diubah dalam bentuk ekplisit, maka tidak ada peubah bebas dan tak bebas dalam fungsi tersebut.

1.2 Turunan dan Antiturunan

Andaikan y  f( x) adalah fungsi eksplisit yang kontinu dan terdefinisi pada interval tertentu, turunan (derevative) fungsi y f( x)_dinotasikan

) ( ' ' f x

y  Notasi lain yang digunakan untuk menyatakan turunan fungsi )

( x

y _adalahD_xf(x) atau

dx dy

atau

dx x df( )

. Turunan fungsi y f( x) didefinisikan sebagai

x x f x x f dx

x 

  

_lim_ ( ) ( )

0 asalkan limitnya ada. Berdasarkan bentuk di definisi turunan di atas, Misal xxt maka diperoleh x tx

Karena x0 maka tx

Sehingga definisi di atas dapat dinyatakan dalam bentuk

x t

x f t f dx

t 



lim_ ( ) ( )

(4)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₄ Contoh Soal

1. Tentukan turunan dari fungsi a. y  x1

Jawab

x x f x x f dx

x 

  

_lim_ ( ) ( )

x x x

x 

    

_lim_ ( ) 1 1

1 1

) (

1 1

) (

1 1

) (

lim

0    

     

  

 

_ _

x x



  



( ) 1 1



1 1

) (

lim

0    

    

_ _

x x



( ) 1 1



lim

0    



_ _

x x

1 1

) (

1 lim

0    

_ _

x x

1 1

   

x x

1 2

 

x y

 

3 2 Jawab

x x f x x f dx

x 

  

_lim_ ( ) ( )

x x

x 

    

_ _ 3

2 )

( 3

lim 0

(5)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₅







x x x x x x x x          

_ _ 3 ( ) 3

) ( 3 2 3 2 lim 0





2 3 2 3 ( )

) ( 3 2 3 2 ) 3 )( ( 3 ) ( 3 2 3 2 lim

0 _x _x _x

x x x x x x x x x x

x    

                _ _



x x x



x x x



x x x

x        

     _ _ ( 3 3 3 2 ) 3 )( ( 3 ) 2 2 6 ( ) 2 6 ( lim 0







x x x x x



x x x



x          

 _ _ ( 3 3 3 2 ) 3 )( ( 3 ( 3 2 lim 0

Turunan suatu fungsi sangat diperlukan dalam mempelajari persamaan diferensial. Berikut ini diberikan beberapa rumus dasar tentang turunan fungsi.

Jika u,vdan w adalah fungsi-fungsi dalam x yang masing-masing dapat diturunkan dan c sebarang bilangan real maka:

1. (c)0

dx d

2. (x)1

dx d

3. (xn)nxn1 dx d 4. dx du nu u dx

d n n 1

) (   5. dx dv dx du v u dx d    ) ( 6. dx dv dx du v u dx d    ) ( 7. dx dw dx dv dx du w v u dx d      ) ( 8. dx dw dx dv dx du w v u dx d      ) ( 9. dx du c cu dx d  ) (

(6)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₆ 10.

dx dv u dx du v dx du v dx dv u uv dx

 

) (

11.

dx dw vw dx dv uw dx dw uv uvw dx

 



) (

12. ₂

v dx dv u dx du v v u dx

d 

      

Selain rumus umum turunan fungsi tersebut di atas, terdapat beberapa aturan turunan suatu fungsi, antara lain:

1. x x

dx d

cos ) (sin 

2. x x

dx d

sin )

(cos 

3. x x

d 2

sec )

(tan 

4. x x

d 2

csc )

(cot 

5. x x x

dx d

tan sec )

(sec 

6. x x x

dx d

cot csc )

(csc  7.

2 1

1 )

(arcsin

x x

dx d

 

2 1

1 )

(arccos

x x

dx d

  

9. ₂

1 1 ) (arctan

x x

dx d

 

10. ₂

1 1 )

cot (

x x

arc dx

  

11.

1 1 )

sec (

2 

 x x x arc dx

(7)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₇ 12.

1 1 )

csc (

2 

 

x x x arc dx

13. x x

dx d

cosh )

(sinh 

14. x x

dx d

sinh ) (cosh 

15. x h x

d 2

sec ) (tanh 

16. x h x

d 2

csc )

(coth 

17. hx hx x

dx d

tanh sec

) (sec  18.

2 1

1 1 )

(sinh

x x

dx d

 



19. , 1

1 1 )

(cosh

2 1

  

 _x

x x dx

20. , 1

1 1 )

(tanh 1 ₂ 2 

 

 _x

x x

dx d

21. , 1

1 1 )

(coth 1 ₂ 2 

 

 _x

x x

dx d

22. ,0 1

1 1 )

(sec

1  

  

 _x

x x x h dx

23. , 0

1 1 )

(csc

2 1

 

 

 _x

x x x x h dx

24. ex ex dx



) (

25.

x x dx

d 1

) (ln 

26. a

x x dx

d a

ln 1 ) log

( 

Rumus-rumus di atas berlaku untuk fungsi eksplisit, sedangkan fungsi implisit dapat ditentukan turunannya dengan menggunakan kaidah diferensial,

(8)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₈ yaitu dengan cara mendiferensialkan masing-masing variabel fungsi tersebut. Setelah diperoleh diferensial masing-masing bagian, selanjutnya variabel yang sejenis dikelompokkan dan akhirnya dengan menggunakan operasi aljabar diperoleh turunan fungsi yang diberikan.

Perhatikan beberapa contoh berikut: 1. Tentukan

dx dy

dari 2  2 40 y

x Jawab

Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel fungsi diperoleh )

0 ( ) 4 ( ) ( )

(x2 d y2 d d

d   

0 0 2

2   

 xdx ydy

0 2

2  

 xdx ydy

dy y dx

x 



y x dx dy

  

2 4 y

x dx

   

2. Tentukan

dx dy

dari x2yxy2 20 Jawab

Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel fungsi diperoleh )

0 ( ) 2 ( ) ( )

(x2y d xy2 d d

d   

0 0 ) 2

( ) 2

( 2    2  

 x dy xydx xydy y dx

0 )

2 ( ) 2

(  2  2  

 xy y dx x xy dy

0 ) 2 ( )

(  2  2  

(9)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₉ xy

x y xy dx

2 2

   

3. Tentukan

dx dy

dari y  x x x

Jawab

Untuk menentukan

dx dy

dari fungsi di atas, maka bentuk fungsinya diubah terlebih dahulu menjadi bentuk implisit, dan diperoleh:

x x x y

0 7 8

 

 y x

Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel diperoleh )

0 ( ) ( )

(y8 d x7 d

d  

0 7

8 7  6 

 y dy x dx

dx x dy y7 6

8 



Sehingga ₇

6 8 7 y x dx dy



Latihan soal Tentukan

dx dy

fungsi-fungsi berikut ini. 1.

2 1

4 x x y

 

2. 2xy3y2 2 xy 30 3.

x y

sin 2 1



(10)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₁₀ 5.

2 1

x y

  

6. _y_sec(₁_x₎32

7. cos(xy)2x3y2 0 8. yxx2 3y10 9. ycos(xy)2x3y2 0

10. 4

sin x

y 

Selain turunan fungsi sebagaimana dijelaskan di atas, hal lain yang mendasar untuk memahami dan mendalami persamaan diferensial adalah tentang antiturunan. Istilah lain untuk antiturunan adalah integral.

Misal y f(x) menyatakan turunan suatu fungsi, antiturunan dari )

(x f

y dinotasikan dengan A_xf(x). Bentuk lain notasi antiturunan fungsi secara sederhana dilambangkan dengan



f(x)dx. Misal antiturunan y f(x) adalah F(x)c, secara singkat dapat ditulis dengan menggunakan lambang

, ,

) ( )

(



f x dxF x c creal dan f(x)disebut integran.

Jika y f(x) suatu fungsi yang mempunyai antiturunan maka fungsi tersebut dikatakan terintegralkan (integrable).

Berikut ini diberikan beberapa rumus dasar antiturunan suatu fungsi.

1. c c real

n u du u

n  



 



1 1

dan n bilangan rasional dengan n1 Akibatnya

untuk n = -1 berlaku







 



du  u c u

du u du

un 1 1 ln

 

( ) '( )

 

( ) , 1 1

  

 



c jikan

n x u dx x u x u

n n

3. dx f x c c real

x f

  



ln ( ) ,

) (

) ( '

(11)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₁₁ 4.



eudueu c,creal

5. c c real

u a du a

u   



u dvuv



vdu



sinudu cosuc.creal



cosudusinuc.creal



sec2u dutanuc.creal

10.



csc2uducotuc.creal

11.



secutanudu secuc.creal

12.



cscucotudu cscuc.creal

13.



tanudulnsecu clncosu c.creal

14.



cotu dulnsinu clnsinu c.creal

15.



secu dulnsecutanu c.creal

16.



cscudulncscucotu c.creal

17.



 

     

 a c a c real

u u

a du

, . arcsin

18.



 

     

 

 a c a c real

u a

a u

du u

a du

, . arctan

1 2 2 2

19.



 

  

 u a c a c real

a u a u a

, . ln

2 1 2

20.



 

  

 u a c a c real

a u a a u

, . ln

2 1 2

21.



    

a u u u c a c real

u du

, .

ln 2 2

2 2

22.



    

a u u a c a c real

u du

, .

ln 2 2

2 2

(12)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₁₂

23.



 

     

 

 c a c real

a u a

a u u du u

a arcsin . ,

2 2

2 2 2 2

24.



 

     

 a c a c real

u arc a a u u

, . sec

1 2 2

25.



u a du u u a a lnu u a c.a,creal 2

2 2 2

26.



u a du u u a  a lnu u a c.a,creal 2

2 2 2

27.



udu  u u c.creal

4 2 sin 2 sin2

28.



u du u  u c.creal 4

2 sin 2 cos2

29.



tan2udu utanuc.creal

30.



cot2udu ucotuc.creal

31.



u du (2sin u)cosuc.creal 3

sin3 2

32.



u du  (2cos u)sinuc.creal 3

cos3 2

33.



u du  tan ulncosu c.creal 2

tan3 2

34.



u du  cot ulnsinu c.creal 2

cot3 2

35.



u du   u u lncscucotu c.creal 2

1 cot csc 2 1 csc3

36. c jika a b a b c real

b a

u b a b

a u b a du

au   

 

 



, . , ,

) ( 2

) sin( )

( 2

) sin( cos

cos 2 2

37. _, 2 2

) ( 2

) sin( )

( 2

) sin( sin

sin c jikaa b

b a

u b a b

a u b a du

au  

  

 



38. 2 2

, ) ( 2

) cos( )

( 2

) cos( cos

sin c jikaa b

b a

u b a b

a u b a du

au  

 

 



(13)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₁₃

39.





 _



 u du

n n n

u u du

u n

n 2

cos 1 sin

cos

40.





 _

 

 u du

n n n

u u du

u n

n 2

sin 1 cos

sin

41. tan tan , 1

1 1

tan 1  2 







 _u  _u _du _jika_n

n du

u n n

42. cot cot , 1

1 1

cot 1  2 







 _u  _u _du _jika_n

n du

u n n

43. sec , 1

1 2 tan

sec 1 1

sec 2 2 

   





  _u_du _jika _n

n n u u n

u n n

44. csc , 1

1 2 cot

csc 1 1

csc 2 2 

   







  _u _du _jika_n

n n u u n

u n n

45. u udu n m

m n

n m

u u

du u

u n m

m n

n 

  







_sin _cos sin  cos  1 _sin 2 _cos _,

1 1

46.



usinudusinuucosuc.creal

47.



ucosu ducosuusinuc.creal

48.



unsinuduuncosun



un1cosu du

49.



un cosu duunsinun



un1sinudu

50.



ud u  sin uc.creal

2 1 ) (sin

sin 2

51.



ud u  cos uc.creal

2 1 ) (cos

cos 2

52.



ud u  tan uc.creal

2 1 ) (tan

tan 2

53.



u d u  cot uc.creal

2 1 ) (cot

cot 2

54.



ud u  sec uc.creal

2 1 ) (sec

sec 2

55.



u d u  csc uc.creal

2 1 ) (csc

(14)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₁₄ 56.



u a du u u a  a lnu u a c.a,creal

2 2 2 2 2 2 2 2 2

57.



      c a creal

u a u a a a u du u a u , . ln 2 2 2 2 2 2

58.



    

a du u u a c a c real

u du

, .

ln 2 2

59.



 

       

 _c _a _c _real

a u arc a a u du u a u , . sec 2 2 2 2

60.



u a _u du_u



a _u



a _u _a lnu_ a _u _c. a,c_real

8 2 8 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2

61.



   

 a u c a c real

a u a u u du , . 2 2 2 2 2 2

62.



      

 u a u c a c real

a u a u du a u u , . ln 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

63.



 du  u a  u u a c a creal u

a u

, .

ln 2 2

2 2 2 2 2 64.







    

 a u a c a c real

u a u du , . 2 2 2 2 / 3 2 2

65.



   

u a u c a c real

a du u , . 2 2 2 2

66.





u a



du u u  a u a  a lnu u a c,a,creal

8 3 ) 5 2 ( 8 2 2 4 2 2 2 2 2 / 3 2 2

67.



 

       

 a c a c real

u u a u a a u a du u , . arcsin 2 2 2 2 2 2 2

68.



      c a creal

u u a a a u a du u u a , . ln 2 2 2 2 2 2

69.







 

        

 c a c real

a u a u a a u u du u a

u arcsin . ,

8 2 8 4 2 2 2 2 2 2 2

70.



   

 a u c a c real

u a u a u du , . 2 2 2 2 2 2

(15)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₁₅

71.



 

       

 _c _a _c_a _real

a u u a u du u a u , . arcsin 2 2 2 2 2

72.



    

 u c a c real

u a a a u a u du , . ln

1 2 2

2 2

73. c c real

u u u u du        



. 1 1 1 1 ln 1

74. du u u c c real

u u     



2 2arctan .

) 1 (

75.

 

u c c real

u u du     



2ln1 .

) 1 (

76.



 

   real c c u a a u u a du . ) ( 2 2 2 2 3 2 2

77.





_c _a_c _real

a u a u a u a u du u

a  

         



arcsin . ,

8 3 2 5 8 ) ( 4 2 2 2 2 2 3 2 2

78.



uneu du unuu n



un1eudu

79.



ueu du (u1)u c.creal

80.



lnudu ulnuuc.creal

81. c c real

n u u n u du u u n n

n  

   



  . ) 1 ( ln 1 ln ₂ 1 1

82. a bu b bu c c real

b a e du bu e au

au   

 



sin ₂ ₂ ( sin cos ) .

83. a bu b bu c c real

b a e du bu e au

au   

 



cos ₂ ₂ ( cos sin ) .

84.



arcsinudu uarcsinu 1u2 c.creal

85.



uduu u ln1u c.creal

2 1 arctan

arctan 2

(16)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₁₆ 87.



u udu u  uu 1u c.creal

4 arcsin ) 1 2 ( 4 1

arcsin 2 2

88.



u u du u  uu c.creal

2 arctan ) 1 ( 2 1

arctan 2

89.



u arc udu u arc u u 1c.creal 2

1 sec 2

sec 2

90.



 

 

   , 1

1 1 1 arcsin

1 arcsin

2 1 1

n jika c du u u n

u n

u du u u

n n

91.



 

 

   , 1

1 1 1 arctan

1 arctan

2 1 1

n jika c du u u n

u n

u du u u

n n

92.



 

 

   , 1

1 1 1 sec 1

sec

2 1 1

n jika c du u u n

u arc n

u du u arc u

n n

93.



sinhudu coshuc.creal

94.



coshudu sinhuc.creal

95.



tanhudu lncoshu c.creal

96.



cothu dulnsinhu c.creal

97. du u c c real

u   



arctansinh .

cosh 1

98. du u c c real

u   

    



2 tanh ln sinh

99.



udu  u u c.creal

2 4 sinh sinh2

100.



u du u uc.creal

2 4 sinh

cosh2

101.



tanh2udu utanhuc.creal

102.



coth2uduucothuc.real

103. du u c c real

u   



tanh .

cosh 1

(17)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₁₇

104. du u c c real

u   



coth .

sinh 1

105.



sechutanhu dusechuc.creal

106.



cschucothudu cschuc.creal

107. au b c c real

a b a u du b au u      



ln .

)

( 2

108. c c real

b au b b au a du b au u             



 ln .

1 )

( 2 2

109.



  

         

  , 1, 2

1 2 ) ( ) ( 2 1 n jika c n b n b au a b au du b au u n n

110.





          

  ₂ ₂ ₍ ₎  1

3 2 ) )( 2 2 ( 1 )

( 2 2 2 2 2 1 2 2 1 jikan

u a du n n u a n u a du u a du n n n

111.



  

       2 1 ) ( 1 2 2 1 2 ) ( )

( 2 2 1

2 2

2 _a _u _jika_n

n na n u a u du u a n n n

112.





          

  ₂ ₂ ₍ ₎  1

3 2 ) )( 2 2 ( 1 )

( 2 2 2 2 2 1 u2 a2 1 jikan

du n n a u n u a du a u du n n n

113.



 

       2 1 ) ( 1 2 2 1 2 ) ( )

( 2 2 1

2 2 2 2 2 n jika a u n na n a u u du a u n n n

114.



 



u e du

a m e u a du e

un au 1 n au n 1 au

115.



  au b aub c a b creal a

du b au

u (3 2 )( ) . , ,

2 ₂3

116.



u au b nb u au b



c c real

n a du b au

un n   n   

  



₍ ₎



 _. ) 3 2 (

2 3/2 1

117.



    

bdu a au b au b c a b c real

au u , , . ) 2 ( 3 2 2

(18)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₁₈

118.





du c c real

b au u nb b au u n a du b au

un _n n

       



 . ) 1 2 ( 2 1

119. c c real

b b au b b au b b au u du        



1 ln .

120.



 

       

  ₍₂ ₂₎  , 1

) 3 2 ( ) 1

( 1 1 c jikan

b au u du b n a n u n b b au b au u du n n n

121. c c real

a a u n a u au a u du u

au  

          



2 arcsin .

2 2

2 2 2

122. c c real

a a u u au du           



arcsin .

2 2

123.











  



  _u  _au _u _du

n a n n u au u du u au u n n

n 1 2

2 / 3 2 1 2 2 2 1 2 2 ) 2 ( 2

124.



         du u au u n a n u au n u du u au du

un n n

2 1 2 1 2 2 ) 1 2 ( 2 2

125. c c real

a a u a u au du u u au             



2 2 2 arcsin .

126.



_

       du u u au a n n au n u au du u u au n n n 1 2 2 3 2 2 2 ) 3 2 ( 3 ) 2 3 ( ) 2 ( 2

127.



      

 1 2

2 2 2 ) 1 2 ( 1 ) 2 1 ( 2

2 u au u

du a n n u n a u au u au u du n n n

128.







au u



c c real

n na du u

au  n  

  



₍₂ ₎  _.

2 2 1

2 2 129.

















  _ _     2 / 3 2 2 2 2 2 4 2 2 ) 2 ( 3 2 ) 2 (

2 au u

du a n n u au n a u u au du n

130. c c real

u u du u u                    



. 2 2 3 2 tan 2 2 3 2 tan ln 2 4 1 sin 1 sin 2 2 2

131. du u u c c real

u u u      



cos ln1 cos .

cos 1

cos sin

(19)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₁₉ 132.



sin u du2sin u 2 ucos uc.creal

133. c c real

u u u du                    



. 3 2 2 tan 3 2 2 tan ln 3 3 1 sin 2 1

134. c c real

u u du           



. 3 1 2 tan 2 arctan 3 3 2 sin 2

135. c c real

u u u du                  



. 3 2 tan 1 2 tan 3 ln 4 1 sin 5 3

136. cc real

u u du           



. 5 3 2 tan arctan 2 1 sin 3 5

137. c c real

u u u u du                  



. 2 tan 1 2 tan ln cos sin 1

138. u c c real

u du       _       



. 2 arctan 3 3 2 cos 2

139. c c real

u u du             _  



. 3 4 2 tan 5 arctan 3 2 sin 4 5

140. u c c real

u du        



. 2 tan 3 3 arctan 3 3 2 cos 2

141. u c c real

u du          



. 2 tan 5 arctan 5 5 2 2 3

(20)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₂₀

142. c c real

u u du u u u     



. cos cos 1 ln ) cos 1 ( cos sin 2 2

143. du u u c c real

u u u            



. 3 1 tan 2 arctan 3 2 tan 1 ln tan 1 sec ) tan 2 ( 2 2 2

144. u u c c real

u du       _                    



. 2 sec 2 tan 2 2 sin 1

145. c c real

u u u du     



. 3 sin 3 3 cos 1 3 cos 1

146. du u c c real

u u          



. 2 2 2 sin arctan 8 2 8 2 sin 2 cos 2

147. du





c c real

u u    



arcsin 2tan .

2 1 tan 4 1 sec 2 2

148. du u c c real

u u        



. 3 4 sin arctan 12 1 4 sin 9 8 sin 2 2

149.



au au



c c real

a u au du      



1 cot csc .

sec 1

150. c c real

a u a du a u a u              _           



tan .

2 1 tan

sec2 2

1.3 Persamaan Diferensial (PD)

Mencermati kembali definisi turunan fungsi yang telah dijelaskan pada pembahasan sebelumnya, jika y  f(x)_{maka turunan fungsi dalam bentuk}

). ( ' x f dx dy

 _{Hasil turunan fungsi yang diketahui tersebut merupakan suatu}

persamaan yang memuat turunan (derevative). Contoh

1) Jika fungsi dinyatakan dalam bentuk y  f(x)_{maka turunannya memuat} tanda .

dx dy

(21)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₂₁ Misal ysin22xdiperoleh x x

dx dy

2 cos 2 sin 4



Atau

. 0 )

2 cos 2 sin 4

( x x dxdy

2) Jika fungsi dinyatakan dalam bentuk f(x,y)0 maka dihasilkan turunan fungsi yang dapat dinyatakan dalam bentuk diferensial, yaitu dy dan dx. Misal ycos xy 0 diperoleh d(y)d(cos xy)0 atau





2 2

sin _

  

  

 

xy ydx xy

xdy xy dy

Berdasarkan contoh 1 dan 2 di atas, tampak bahwa turunan fungsi membentuk persamaan yang memuat turunan (derevative) atau diferensial.

Perhatikan beberapa persamaan-persamaan di bawah ini. 1. 2xdx3dy0

2. x

dx dy

2 3



3. xy x

dx dy

2 



4. ₂ 2 0

 

 y

dx dy dx

y d

5. ₂ 4 0

2 3 3

 

 y

dx y d dx

y d

 

y '' 2 (y')3 3y x2

7. y ''

 

y' 3  y'

8. 0

    

y z x z x z

9. x y

y z x

     

 2

2 2 2 2

10. z

y z y x z

x 

  

(22)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₂₂ Setiap persamaan 1-10 pada contoh di atas, memuat tanda turunan yaitu

y z x z dx dy

 

 _,

, dan memuat tanda diferensial dy atau dx. Sehingga persamaan yang memuat turunan atau diferensial dinamakan persamaan diferensial.

Definisi

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang di dalamnya terdapat paling sedikit satu turunan atau diferensial dari suatu FUNGSI YANG BELUM DIKETAHUI.

Jika dalam suatu persamaan diferensial, turunan yang muncul adalah turunan biasa, misalnya

dx dy

maka persamaannya dinamakan persamaan diferensial biasa, sebaliknya jika turunan yang muncul adalah turunan parsial, misalnya

x z   _dan

y z



 _{, maka persamaannya dinamakan persamaan diferensial}

parsial. Persamaan pada contoh 1-7 di atas dinamakan persamaan diferensial biasa, sedangkan persamaan pada contoh 8-10 di atas dinamakan persamaan diferensial parsial.

Selain jenis persamaan diferensial biasa dan parsial, dalam persamaan diferensial dikenal pula istilah tingkat (order) dan derajat (degree). Tingkat suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan tersebut, sedangkan derajat persamaan diferensial ditentukan oleh pangkat dari turunan tertinggi dalam persamaan diferensial yang diberikan. Perhatikan beberapa contoh persamaan dibawah ini.

1. 2xdx3dy0 adalah persamaan diferensial tingkat satu derajat satu, karena turunan tertinggi dalam persamaan adalah turunan tingkat satu dan derajat satu.

Dengan cara yang sama dapat ditentukan tingkat dan derajat fungsi dibawah ini.

2. x

dx dy

2 3

(23)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₂₃

3. xy x

dx dy

2 

 , persamaan tingkat satu derajat satu (1-1)

4. ₂ 2 0

 

 y

dx dy dx

y d

, persamaan tingkat dua derajat satu (2-1) 5. ₃

3 dx y d

2 2 dx y d

- 4

dx dy

+ 4y = 0, persamaan tingkat 3 derajat 1 (3-1) 6. (y")2 (y')33y x2, persamaan tingkat dua derajat dua (2-2) 7. y ''(y')3 y', persamaan tingkat dua derajat satu (2-1)

8. 0

    

y z x z x z

, persamaan tingkat satu derajat satu (1-1)

9. x y

y z x

     

 2

2 2 2 2

, persamaan tingkat dua derajat satu (2-1)

10. z

y z y x z

x 

 

 , persamaan tingkat satu derajat satu (1-1)

1.4 Primitif suatu Persamaan Diferensial

Sebagaimana telah disebutkan dalam definisi persamaan diferensial, bahwa suatu persamaan diferensial memuat turunan dari suatu fungsi yang belum diketahui. Dengan demikian jika diketahui suatu persamaan diferensial maka dapat ditentukan fungsi yang belum diketahui tersebut. Untuk menentukan fungsi yang belum diketahui suatu persamaan diferensial terdapat beberapa cara, tergantung jenis persamaan, tingkat, dan derajatnya.

Sebelum dirincikan secara mendetail tentang cara menentukan fungsi yang belum diketahui suatu persamaan diferensial, maka yang perlu diperhatikan adalah koefisien dari masing-masing diferensial apakah sudah sejenis.

Perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini. 1. Tentukan primitif persamaan diferensial

x dx

dy  2 Jawab

(24)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₂₄ 0

) 2

(   

 x dx dy



 





 (2 x)dx dy 0

R c c y x

x   

 ,

2 1

2 2

R c c y x

x   

4 2 2 ,

Berdasarkan uraian di atas, maka fungsi yang belum diketahui dari persamaan diferensial x

dx dy



2 , adalah 4xx2 2yc

Selanjutnya 4xx2 2yc dinamakan selesaian umum. Selesaian umum persamaan diferensial juga disebut sebagai persamaan keluarga kurva.

2. Tentukan primitif persamaan 0 ) (

)

(xyx dx xyy dy 

Jawab

Persamaan di atas diubah menjadi 0 ) 1 ( )

(    

 x y dx y x dy

0 1

1   



 dy

y y dx x





  

 dy c

y y dx

x x

1 1



 



_  _ _ 

 

 

 

 dy

y dx

x 1

1 1 1

1 =











_

 

 dy

y dy dx

x dx

1 1 1

1 1

1 = c

c y

y x

x     

 ln 1 ln 1

c x

y y

x     

( ) ln 1 ln 1

c x

y y

x 

   

1 1 ln ) (

(25)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₂₅ )

( 1

1 x y

ce x

y _ _

      

 

Berdasarkan uraian di atas, maka selesaian umum persamaan diferensial 0

) (

)

(xyx dx xyy dy  adalah )

( 1

1 x y

ce x

y _ _

      

 atau

) ( ) 1 ( ) 1

(y c x exy

3. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial y

xy y

y  

 ) '

1 ( Jawab

Persamaan di atas diubah menjadi )

1 ( ' ) 1

(   

 y y y x

dx x y dy

y) ( 1)

(   

0 1

) 1

( 

     

 dy

y y dx



 









 ( 1) 1dy dy 0

y dx x

0 ln

1 2    

 x x y y

y x x

y   

 2

2 1 ln

c e

y  s x y 

 2 2 22 

Berdasarkan uraian di atas, maka selesaian umum persamaan diferensial yang diberikan adalah

c e

y2  2s22xy 

Hal lain yang sering muncul dalam persamanaan diferensial adalah menentukan persamaan diferensial suatu primitif. Jika hal ini yang terjadi maka kita harus melihat angka penting dalam suatu primitif. Primitif selalu memuat

(26)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₂₆ konstanta sebarang sebanyak n . Konstanta tersebut dikatakan penting (esensial) dan sangat menentukan bentuk persamaan diferensialnya.

Contoh

1. x2  y2 c adalah primitif dengan satu angka penting

2. x x

e c e c

y 3

1 

 adalah primitif dengan dua angka penting 3. y AsinaxBcosbxadalah primitif dengan dua angka penting

4. 2 2 2

)

(xc y r adalah primitif dengan dua angka penting.

Jika ditentukan primitif maka untuk menentukan persamaan diferensialnya mengikuti langkah-langkah sebagai berikut:

1. Tentukan banyaknya konstanta sebarang atau angka penting primitif yang diketahui.

2. Misal angka pentingnya sebanyak n , maka turunkan primitif tersebut sampai turunan ken. Hasil akhirnya adalah persamaan yang diminta jika dalam persamaan tersebut tidak terdapat konstanta sebarang yang lain. Jika fungsinya dinyatakan dalam bentuk implisit, maka dapat digunakan kaidah diferensial pada masing-masing variabelnya.

3. Pada langkah kedua, jika masih terdapat konstanta sebarang, eliminir semua konstanta sebarang tersebut. Jika banyaknya konstanta sebarang n, maka untuk mengeliminirnya diperlukan (n1) persamaan dan diperoleh setelah primitif diturunkan sampai turunan ken.

4. Banyaknya konstanta sebarang menunjukkan order tertinggi turunan dalam persamaan diferensial yang dicari.

5. Yang perlu diingat bahwa dalam primitif selalu terdapat konstanta sebarang yang disebut angka penting, sedangkan dalam persamaan diferensial tidak terdapat konstanta sebarang.

Perhatikan beberapa contoh berikut:

(27)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₂₇ Jawab

Primitif mempunyai 1 angka penting, sehingga )

( ) 2 ( )

(x2 d y2 d c

d  



0 4

2  

 dx ydy

y x dx dy

  

Persamaan diferensial dari primitif x2 2y2 c_adalah

y x dx dy

 

2. Tentukan persamaan diferensial dari primitif y AcosaxBsinax

Jawab

Primitif di atas mempunyai 2 angka penting, maka

ax Ba ax Aa dx

cos sin 

  

ax Ba

ax Aa

dx y d

sin

cos 2

2 2

 

 

a2(AcosaxBsinax) a2y

Sehingga persamaan diferensial dari primitif y  AcosaxBsinax adalah 0

2 2 2



a y

dx y d

3. _{Tentukan persamaan diferensial dari primitif} 2 2 c cx

y  Jawab

Primitif di atas mempunyai 2 angka penting, sehingga 0

2 ' 

 y cx

c y''2



2 '

y c 

(28)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₂₈ selanjutnya

2 '

c substitusikan ke persamaan ycx2 c2

Didapat

2 2

2 " 2

            

 y x y

4. Tentukan persamaan diferensial dari primitif Jawab

x x

e c e c

y 2 ₂

1 



Primitif mempunyai 2 angka penting, sehingga x

x e c e c

y'2 ₁ 2  ₂



x x

e c e c

y 2

2 1 4 '' 



Karena sampai pada turunan kedua masih terdapat konstanta c, maka dengan cara substitusi diperoleh persamaan y''3y'2y0

5. Tentukan persamaan diferensial dari keluarga lingkaran dengan jari-jari r satuan yang tetap dan berpusat pada sumbu x.

Jawab

Persamaan keluarga lingkaran dengan jari-jari r satuan yang tetap dan berpusat pada sumbu x adalah (xc)2 y2 r2

Dengan menurunkan fungsi terhadap variabel x, didapat 0

2 ) (

2   



dx dy y c x

Selanjutnya persamaan di atas diturunkan lagi terhadap variabel x sehingga diperoleh persamaan baru



2( 1)



2 0

  

    

dx dy y dx

d x

dx d

0 2

2 ₂

   

 _

 

dx dy dx

y d

Persamaan dibagi 2 diperoleh persamaan 0

1 2

   

dx dy dx

y d

(29)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₂₉ diminta.

6. Tentukan persamaan diferensial keluarga kurva parabola yang fokusnya di titik asal dan sumbu simetrinya sepanjang sumbu x.

Jawab

Persamaan bola yang diminta adalah y2 4c(cx) Dengan menurukan masing-masing peubah, diperoleh

0 4 ' 2yy  c

c yy'2



2 '

yy c 

Substitusikan ke persamaan semula

   



 _

      

 y yy yy x

2 ' 2

' 4

0 ) ' ( ' 2

2 2   

 y yy yy x

0 ) ' ( ' 2

22   

 yy yy x

1.5 Masalah Nilai awal dan Syarat Batas

Setiap persamaan diferensial yang diberikan akan menimbulkan pertanyaan, apakah persamaan diferesial tersebut mempunyai selesaian?. Jika mempunyai selesaian umum apakah selesaian tersebut tunggal?. Untuk menjawab pertanyaan tersebut perlu dijelaskan terlebih dahulu tentang pengertian masalah nilai awal.

Setiap selesaian persamaan diferensial terdapat persoalan-persoalan yang dapat dicantumkan apabila diketahui n nilai-nilai

). ( ),... ( '' ), ( ' ),

(x_o y x_o y x_o y(n 1) x_o

y 

(30)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₃₀ Persamaan diferensial x

dx dy

 mempunyai selesaian y x2 c,creal Karena crealmaka:

1. y x2 3 memenuhi selesaian persamaan x dx dy



3 1 2 

 x

y memenuhi selesaian persamaan x dx dy



3. y x2 100_{juga memenuhi selesaian} x dx dy

 , dan seterusnya.

Bentuk y x2 cdinamakan selesaian umum persamaan diferensial x

dx dy

 sedangkan yx2 3,

3 1 2 

 x

y dan y x2 100 dinamakan selesaian khusus (particular solution). Nilai c sebagai konstanta real dapat ditentukan, jika dalam persamaan diferensial yang diketahui diberikan syarat awalnya. Persamaaan diferensial yang mempunyai syarat awal dinamakan masalah nilai awal (initial value problems).

Definisi

Masalah nilai awal adalah persamaan diferensial tingkat n bersama dengan n syarat awal pada suatu nilai yang dimungkinkan mempunyai nilai pada variabel bebas yang sama.

Bentuk lain dari definisi di atas dapat dinyatakan dengan pernyataan sebagai berikut:

Masalah nilai awal suatu persamaan diferensial tingkat-n yang ditulis dalam bentuk f(x,y,y',y '',y' '',...,y(n))0 yaitu menentukan selesaian persamaan diferensial pada interval I dan memenuhi n syarat awal di xoI subset dari

bilangan real.

(31)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₃₁ 0

) ,..., '' ' , '' , ' , ,

( (n) 

y y

y y y x

f dengan

n o n n o n o

o o

o y y x y y x y y x y y x y

y( ) , '( ) , ''( ) ,...,  ( ) _1, ( ) )

1 ( 2 1

Atau

         

  



n o n

o o o

y x y

y x y dengan

y y y y x f

) (

... ...

) ( '

) (

0 ) ,... " , ' , , (

) (

dimana y_o,y₁,y₂,y₃,...,y_n_₁ adalah kontanta

Berdasarkan definisi di atas, selesaian umum persamaan diferensial memuat konstanta c , sedangkan pada persamaan diferensial dengan n syarat awal konstanta c tersebut diganti dengan bilangan real _{(R yang memenuhi}) syarat awal.

Perhatikan contoh berikut ini.

1. Tentukan selesaian masalah nilai awal

    



 

, 1 ) 0 ( '

y dengan

y x

Jawab

c e y dx e y e

y' x  



x   x  (selesaian umum) Karena y(0)1 maka 1e0 cdan didapat c2

Sehingga selesaian khusus masalah nilai awal di atas adalah 2

 

 x

e y

      

  

1 ) 1 (

y dengan

x dx dy

(32)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₃₂ Jawab

  x dx dy

maka y



x dx x2 xc

2 1 ) 1 (

Karena y(1)1maka  (1) 1c

2 1

1 2 dan diperoleh

2 1

  c

sehingga selesaian khusus masalah nilai awal di atas adalah 2

1 2

 

 x x

y atau x2 2x2y10

  y dx dy

x dengan y(1)1 Jawab

  y dx dy x

0 )

(   



x dx y dy











 0

) 1

( x

dx y

c x y  

 

 ln1 ln

c x y 



ln(1 )

c x

y 



(1 )

Karena y(1)1 maka (11)1catau c 0 Sehingga selesaian khususnya adalah (1 y)x0

1.6 Latihan soal-soal

1. Tentukan y dari ' yuv jika diketahui

a. 2 1 3

1 2

x x

v dan x x

u  





b. usin2 xdanv1cosx c. u 1sin2 x danv xcosx

(33)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₃₃ d.

x x v

dan x u

3 1 ln

  

e. 2 3

1 1

  

 danv x

x u

2. Misal f(x)dan g(x)fungsi-fungsi yang terintegralkan dan kreal

Buktikan bahwa:



kf(x)dxk



f(x)dx



(f(x)g(x))dx



f(x)dx



g(x)dx



(f(x)g(x))dx



f(x)dx



g(x)dx

3. Klasifikasikan tingkat dan derajat persamaan diferensial di bawah ini a) dy(xycosx)dx0

b) y' ''xy''2y(y')2 xy0

c) 3

) ' (

'x  xyy  y

d) 0

3 2 2 2 3 3

         

 _vw

dv w d dv

w d

e) 4

2 2

1 

      

dx dy dx

y d

f) y'y sinx

g) ₂ 2

x dx dy e dx

d  xy 

h) x

dx y d dx

y d



 2

2 4

4 3

i) y x

dx dy x dx

y d

3 1 3

2 2

         

j) sin(y")ey' 1

k) y x

dx dy dx

y d

x) tan cos

(sin ₂ 2

 

(34)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₃₄

l) xy x

dx dy x dx

y d dx

y d

tan )

(sin 4 ₂

2 3

  



4. Tentukan antiturunan dari a) f(x)sinxcosx

b) f(x)e2xcosx

c) f x 4 x

sin 2 ) ( 

d) f(x)secxtanx

e) f x 2 x 4 x cos sin ) ( 

f) 1 2

3 )

(x x x

f  

g) f(x)2xlnx

h) f(x) x 1x

i) f(x) x2sin x j) f(x)2exx2

5. Tentukan persamaan diferensial dari primitif yang diketahui banyaknya angka penting berikut ini:

a) y Asinx

b) ysin(xA) c) y Aex B d) x2yxy2y2 c e) (yc)2 cx

f) 2x2 y2 c

g) Pada setiap titik (x,y) koefisien arah garis singgungnya sama dengan kuadrat absis titik tersebut.

h) Pada setiap titik, panjang sub tangen sama dengan jumlah koordinat titik itu.

(35)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₃₅ 6. Tunjukkan bahwa bahwa persamaan diferensial

x y dx dy

 mempunyai selesaian umum y cx

7. Diberikan persamaaan diferensial y'2x

a) Tunjukkan bahwa y x2 cadalah selesaian umumnya. b) Pilih c , sedemikian sehingga selesaiannya melalui (1,4)

c) Pilih c , sedemikian sehingga selesaiannya adalah gradien dari persamaan 3

2 

 x

y .

d) Pilih c, sedemikian selesaiannya memenuhi syarat 2 1





y dx

8. Tentukan selesaian persamaan diferensial berikut dengan syarat awal yang diberikan.

a) lnx,y(1)2

dx dy

b)  ,y(0)0 y

x dx dy

c) ₂ cos , (0) 2, '(0) 1 2

 

 x y y

dx y d

d) ₃ 6 , (0) 1, '(0) 1, ''(0) 4 3

 

 

 x y y y

dx y d

e) ₂ , (0) 1, (1) 0 2

 

_e _y _y

dx y

d x

f) ₂ 2(3 2ln ), (1) ( ) 0 2

  



 x y y e

dx y d

(36)

(1)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₃₁ 0 ) ,..., '' ' , '' , ' , ,

( (n) 

y y y y y x f dengan n o n n o n o o o

o y y x y y x y y x y y x y

y( ) , '( ) , ''( ) ,...,  ( ) _1, ( )

) 1 ( 2 1 Atau               n o n o o o n y x y y x y y x y dengan y y y y x f ) ( ... ... ) ( ' ) ( 0 ) ,... " , ' , , ( ) ( 1 ) (

dimana y_o,y₁,y₂,y₃,...,y_n_₁ adalah kontanta

Perhatikan contoh berikut ini.

1. Tentukan selesaian masalah nilai awal

        , 1 ) 0 ( ' y dengan e y x Jawab c e y dx e y e

y' x  



x   x  (selesaian umum) Karena y(0)1 maka 1e0 cdan didapat c2

Sehingga selesaian khusus masalah nilai awal di atas adalah 2

   x

e y 2.           1 ) 1 ( 1 y dengan x dx dy

(2)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₃₂ Jawab

1   x dx dy

maka y



x dx x2 xc

2 1 ) 1 (

Karena y(1)1maka  (1) 1c

2 1

1 2 dan diperoleh

2 1  

sehingga selesaian khusus masalah nilai awal di atas adalah

2 1 2

1 2

 

 x x

y atau x2 2x2y10

1   y dx dy

x dengan y(1)1 Jawab

1   y dx dy x

0 )

(   



x dx y dy











 0

) 1

( x

dx y

c x y   



 ln1 ln

c x y   ln(1 )

c x

y 



(1 )

Karena y(1)1 maka (11)1catau c 0 Sehingga selesaian khususnya adalah (1 y)x0

1.6 Latihan soal-soal

1. Tentukan y dari ' yuv jika diketahui

a. 2 1 3

1 2

x x

v dan x x

u  





b. usin2 xdanv1cosx c. u 1sin2 x danv xcosx

(3)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₃₃ d. x x v dan x u 3 1 ln 1   

e. 2 3

1 1

  

 danv x

x u

2. Misal f(x)dan g(x)fungsi-fungsi yang terintegralkan dan kreal

Buktikan bahwa:



kf(x)dxk



f(x)dx



(f(x)g(x))dx



f(x)dx



g(x)dx



(f(x)g(x))dx



f(x)dx



g(x)dx

3. Klasifikasikan tingkat dan derajat persamaan diferensial di bawah ini a) dy(xycosx)dx0

b) y' ''xy''2y(y')2 xy0

c) 3

) ' (

'x  xyy  y d) 0 3 2 2 2 3 3            _vw dv w d dv w d e) 4 2 2 2 1         dx dy dx y d

f) y'y sinx

g) ₂ 2

2 x dx dy e dx y

d  xy 

h) x dx y d dx y d   2 2 4 4 3

i) y x

dx dy x dx y d 3 1 3 2 2 2          

j) sin(y")ey' 1

k) y x

dx dy dx

y d

x) tan cos

(sin ₂

 

(4)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₃₄

l) xy x

dx dy x dx

y d dx

y d

tan )

(sin 4 ₂

2 3

  



4. Tentukan antiturunan dari a) f(x)sinxcosx

b) f(x)e2xcosx

c) f x 4 x

sin 2 ) ( 

d) f(x)secxtanx

e) f x 2 x 4 x cos sin ) ( 

f) 1 2

3 )

(x x x

f  

g) f(x)2xlnx

h) f(x) x 1x

i) f(x) x2sin x j) f(x)2exx2

5. Tentukan persamaan diferensial dari primitif yang diketahui banyaknya angka penting berikut ini:

a) y Asinx

b) ysin(xA) c) y Aex B d) x2yxy2y2 c e) (yc)2 cx

f) 2x2 y2 c

g) Pada setiap titik (x,y) koefisien arah garis singgungnya sama dengan kuadrat absis titik tersebut.

h) Pada setiap titik, panjang sub tangen sama dengan jumlah koordinat titik itu.

(5)

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo ₃₅ 6. Tunjukkan bahwa bahwa persamaan diferensial

x y dx dy

 mempunyai selesaian umum y cx

7. Diberikan persamaaan diferensial y'2x

a) Tunjukkan bahwa y x2 cadalah selesaian umumnya. b) Pilih c , sedemikian sehingga selesaiannya melalui (1,4)

c) Pilih c , sedemikian sehingga selesaiannya adalah gradien dari persamaan 3

2   x

y .

d) Pilih c, sedemikian selesaiannya memenuhi syarat 2





y dx

8. Tentukan selesaian persamaan diferensial berikut dengan syarat awal yang diberikan.

a) lnx,y(1)2

dx dy

b)  ,y(0)0 y

x dx dy

c) ₂ cos , (0) 2, '(0) 1

 

 x y y

dx y d

d) ₃ 6 , (0) 1, '(0) 1, ''(0) 4

 

 

 x y y y

dx y d

e) ₂ , (0) 1, (1) 0

 

_e _y _y

dx y

d x

f) ₂ 2(3 2ln ), (1) ( ) 0

  



 x y y e

dx y d

(6)