5
1.2. Persamaan Pengertian Persamaan
Persamaan adalah hubungan antar kuantitas yang dihubungkan dengan tanda sama dengan.
Contoh:
a. 5
3
2
x
x b.
5 3
2
3
2
x x
c. 1
3 log
2
x x
d. x
x x
1
3
2
e. x
x x
2 sin
cos sin
2
Selesaian Persamaan
a x disebut selesaian akar dari dari
x
f , jika
a
f .
Contoh:
a. 1
x
merupakan selesaian persamaan 4
3
2
x
x , sebab
4 1
. 3
1
2
b.
x
merupakan selesaian persamaan 2
3 2
3
2
x x
, sebab 2
3 2
. 3
2
c. 2
x
merupakan selesaian persamaan 1
3 log
2
x x
, sebab 1
2 .
3 2
log
2
1.2.1. Persamaan Polinomoal
Bentuk umum polinomial adalah: ...
1 2
2 1
1
a x
a x
a x
a x
a
n n
n n
, dengan n bilangan bulat non negatif. Jika
n
a , maka polinomial dikatakan
berderajad n. A. Persamaan Linear
Bentuk umum persamaan linear dengan satu variabel adalah:
b
ax ,
a
1.1 Jika semesta pembicaraanya adalah R, selesaian persamaan 1.1 dapat
diperoleh dengan menambahkan lawan b, yaitu –b, pada kedua ruasnya kemudian
6 kedua ruas pada hasilnya dikalikan dengan kebalikan a, yaitu
a 1 . Proses
penyelesaian tersebut dapat ditulis sebagai :
b
ax b
b b
ax
b
lawan dari b
b b
b ax
sifat asosiatif + dan 0 adalah identitas +
b ax
b
lawan dari b
b ax
0 identitas penjumlahan
1 1
b a
ax a
a 1 kebalikan dari a
a b
x a
a
.
1 sifat asosiatif perkalian
a b
x
. 1
a 1 kebalikan dari a
a b
x
1 identitas perkalian
Contoh: Carilah selesaian dari persamaan:
a. 9
6 3
x b.
x x
4
9 3
Penyelesaian: a.
9 6
3
x
6 9
6 6
3
x
15 3
x 15
. 3
1 3
. 3
1
x
b. x
x
4 9
3 x
x x
x
4 9
3 4
9 3
x
x sifat komutatif penjumlahan
9 4
9 9
4
x
5
x
7 5
4
x
5 .
4 1
4 .
4 1
x
4 5
x
Latihan 1.2.1. A: 1. Tentukan akar persamaan linear:
a. 9
3 5
1
x
b. 6
1 4
1 2
1 3
1 2
a a
c. 2
3 3
2 2
3
x
x
d. 2
3 1
3 2
1 2
x
2. Diketahui sebuah balok mempunyai alas berbentuk persegi. Jika panjang seluruh rusuk balok adalah 44 cm dan tinggi balok adalah 3 cm, maka
tentukan sisi alas balok. 3. Seorang anak membeli 4 buah buku dan 5 buah pensil. Anak tersebut
membayar dengan uang Rp50 000,00 dan mendapat kembalian Rp22 500,00 Tentukan harga perbuah buku, jika harga perbuah pensil adalah Rp1 500,00.
4. Tegangan p pada suatu tegangan material berbentuk silinder tebal dapat dihitung dengan rumus
p f
p f
d D
2 2
. Hitung tegangannya, jika D= 10, d = 5, dan f = 900.
5. Seorang laboran mempunyai 50 liter alkohol berkadar 60 . Tentukan campuran alkohol yang harus dilakukan oleh laboran tersebut, jika ia akan
membuat 10 liter alkohol berkadar 42 . B. Persamaan Kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah: ,
2
a c
bx ax
. Sifat di bawah ini digunakan untuk mendapatkan selesaian dari persamaan
kuadrat. atau
b a
ab .
8
Contoh: Tentukan akar persamaan:
a. 2
1
x x
b. 1
2
x x
Penyelesaian: a.
2 1
x
x 1
x
atau 2
x
1
x atau
2
x b.
1 2
x
x 2
x
atau 1
x
2
x atau
1
x
Ada tiga cara penyelesaian yang dapat digunakan untuk mendapatkan selesaian persamaan kuadrat, yaitu dengan pemfaktoran, melengkapkan kuadrat,
dan rumus abc. Contoh :
1. Carilah akar persamaan kuadrat 5
4
2
x
x .
Penyelesaian : Cara pemfaktoran :
5 4
2
x
x 1
5
x x
5
x atau
1
x 5
x
atau 1
x
Cara melengkapkan kuadrat :
5 4
2
x
x 5
4
2
x x
2 2
2
2 5
2 4
x x
9 2
2
x 9
2
x
3 2
x
5 3
2
x atau
1 3
2
x
9
Dengan Rumus abc: Rumus abc yang digunakan mencari akar dari persamaan kuadrat
2
c
bx ax
adalah:
a ac
b a
b x
a ac
b a
b x
a ac
a b
a b
x a
c a
b a
b x
a b
x a
c x
a b
x a
c x
a b
x c
bx ax
2 4
2 4
4 2
4 4
4 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
a ac
b b
x 2
4
2 12
.
Dengan demikian penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
5 4
2
x
x 5
dan ,
4 ,1
c
b a
a ac
b b
x 2
4
2 12
=
1 .
2 5
. 1
. 4
4 4
2
=
2 6
4 = 2 3
5 3
2
x atau
1 3
2
x
. Perhatikan kembali rumus abc di atas. Diskriminan persamaan kuadrat
2
c
bx ax
, dinotasikan dengan D, didefinisikan sebagai ac
b D
4 :
2
. Jenis akar persamaan kuadrat
2
c
bx ax
ditentukan oleh nilai D, yaitu
Jika D 0, maka akar persamaan kuadrat berupa bilangan real Jika D = 0, maka akar persamaan kuadrat berupa bilangan real dan sama
Jika D 0, maka akar persamaan kuadrat berupa bilangan khayal
10
Latihan 1.2.1. B: Dengan menggunakan pemfaktoran tentukan akar persamaan kuadrat di
bawah ini.
1. 4
2
x 2.
9
2
x 3.
1 4
2
x 4.
4
2
x x
5. 3
2
x x
6. 8
9
2
x
x 7.
14 9
2
x
x 8.
20 9
2
x
x 9.
10 17
6
2
x
x 10.
18 13
5
2
x
x 11.
22 9
10
2
x
x 12.
4 11
6
2
x
x Dengan melengkapkan kuadrat tentukan akar persamaan kuadrat di bawah
ini.
13. 7
8
2
x
x 14.
27 6
2
x
x 15.
12 4
2
x
x 16.
3 5
2
2
x
x 17.
8 11
3
2
x
x 18.
9 3
3 9
2 2
x
x x
x x
19. 7
12
x x
20.
2
1 2
7 2
1 x
x
21.
15 21
6
2
x
x 22.
30 21
3
2
x
x
Dengan menggunakan rumus abc tentukan akar persamaan kuadrat di bawah ini.
23. 7
9 2
2
x
x 24.
3 5
2
2
x x
25. 7
2
x x
26. 9
2
2
x 27.
1 3
1 6
4 1
3 9
2
x
x x
28. 2
1 2
1 1
x
x x
x
29. 1
2 3
2 7
3 5
x x
x x
Selesaikan masalah di bawah ini 30. Tentukan dua buah bilangan yang hasil bagi dan hasil kalinya berturut-turut
adalah 9
7 dan 1575 31. Diketahui jumlah sisi-sisi segitiga siku-siku adalah 35 cm, sedangkan panjang
sisi miringnya adalah 25 cm. Tentukan sisi segitiga yang lainnya.
11 32. Diketahui poligon dengan n sisi mempunyai
2 3
n
n diagonal. Tentukan
banyaknya sisi poligon yang mempunyai diagonal sebanyak 65. Adakah poligon yang mempunyai diagonal sebanyak 80 buah ?
33. Sebuah kawat yang mempunyai panjang 12 cm dipotong menjadi dua bagian. Setiap bagian dibuat persegi. Jika jumlah luas kedua persegi tersebut 5 cm
2
, maka tentukan ukuran masing-masing potongan tersebut.
34. Sejumlah beras jika dikurangi 50 kg dan harganya dikurangi Rp100,00 per kg, maka hasil penjualannya adalah Rp240 000,00. Tentukan banyaknya beras
semula dan harga beras semula, jika seluruh harga beras seharusnya berharga Rp325 000,00.
35. Jika Insan mengerjakan suatu pekerjaan selama tujuh hari, maka Dinda masih memerlukan dua puluh hari lagi untuk menyelesaikan sisanya. Jika diketahui
bahwa untuk mengerjakan pekerjaan tersebut seluruhnya, Dinda memerlukan sembilan hari lebih banyak dari pada Insan. Tentukan dalam berapa hari Insan
dapat menyelesaikan pekerjaan tersebut.
C. Persamaan Derajat Tinggi Sifat di bawah ini dapat digunakan untuk mendapatkan selesaian dari
persamaan polinomial derajad lebih dari dua. 1.
} 2
1 {
suatu untuk
, ...
2 1
,...,n ,
i a
a a
a
i n
. 2.
a
selesaian persamaan
x f
a f
3.
a f
x
g a
x x
f
4. Jika jumlah koefisien dari polinomial
x f
sama dengan 0, maka 1
x
merupakan faktor dari x
f .
5. Jika pada polinomial x
f , jumlah koefisien derajad gasal sama dengan
jumlah koefisien derajad genap, maka 1
x
merupakan faktor dari x
f .
Untuk menyelesaikan persamaan polinomial berderajad lebih dari dua dapat dilakukan dengan pemfaktoran seperti halnya pada persamaan kuadrat,
perbedaannya adalah kita harus terlebih dahulu mem prediksi salah satu dari akar polinomial terlebih dahulu.
12
Contoh: carilah akar persamaan 6
4
2 3
x
x x
= 0
Penyelesaian:
Karena jumlah koefisien 6
4
2 3
x
x x
, yaitu 1 + 4 + 1 – 6, sama dengan 0, maka
1
x merupakan faktor dari
6 4
2 3
x
x x
. Untuk mendapatkan hasil pemfaktorannya dapat dilakukan dengan 3 cara, yaitu metode biasa, metode
koefisien, dan aturan Horner. Metode Biasa:
6 5
6 6
6 6
5 5
6 5
6 4
1
2
2 2
2 3
2 3
x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
Dari proses di atas diperoleh 6
4
2 3
x
x x
= 6
5 1
2
x
x x
= 3
2 1
x
x x
.
Metode Koefisien:
6 5
1
6 6
6 6
5 5
6 1
5 1
1 6
1 4
1 1
1
Dari proses di atas diperoleh 6
4
2 3
x
x x
= 6
5 1
2
x
x x
= 3
2 1
x
x x
.
Aturan Horner: 1 1 4 1 – 6 koefisien polinomial mulai derajad besar
1 5 6 + 1 5 6 0
x
13 Dari proses di atas diperoleh
6 4
2 3
x
x x
= 6
5 1
2
x
x x
= 3
2 1
x
x x
. Dengan demikian:
6 4
2 3
x
x x
= 0 3
2 1
x
x x
= 0 3
atau ,
2 ,
1
x
x x
1
x ,
2
x
, atau 3
x Jadi akar persamaan
6 4
2 3
x
x x
= 0 adalah 1
x
, 2
x , atau
3
x
.
Latihan 1.2.1. C: Carilah akar persamaan di bawah ini
1. 27
3
x 2.
64
3
x 3.
8 1
3
x 4.
8 10
2 3
x x
x 5.
16 8
7
2 3
x x
x 6.
12 8
7 2
2 3
4
x
x x
x 7.
24 14
13 2
2 3
4
x
x x
x
Untuk persamaan di bawah ini, tentukan nilai variabel yang tidak diketahui dan tentukan pula akar-akarnya.
8. 8
5
2 3
p x
x x
mempunyai akar kembar 9.
10 8
2 3
p px
x x
mempunyai akar -2 10.
12 7
2 3
px x
x mempunyai akar 2
11. 5
9 5
2 3
px px
x mempunyai sepasang akar berkebalikan
12. 10
4 21
2 3
4
p
px x
px x
mempunyai akar kembar dan dua akar lainnya berlawanan
13. 12
2 3
q px
x x
mempunyai akar membentuk barisan aritmetika
14
Selesaikan masalah di bawah ini 14. Sebuah kotak dibuat dari selembar seng berukuran 20 cm x 10 cm dengan cara
membuang sebuah persegi pada setiap pojoknya. Jika volume kotak yang diinginkan adalah 384 cm
3
, maka tentukan ukuran dari kotak tersebut. 15. Diketahui titik ekstrim fungsi f terletak pada absis
o
x x
dengan
o
x f
. Tentukan titik ekstrim fungsi f, jika diketahui
4 4
2 3
x x
x x
f .
16. Tentukan titik potong grafik fungsi 6
7
3
x
x x
f terhadap sumbu x
17. Tentukan titik potong kurva 1
3 2
2 3
y
y x
terhadap sumbu y. 18. Diketahui bahwa 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ … + n
2
= n n
n
1 2
1 6
. Carilah banyaknya suku pada deret 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ … + n
2
, jika jumlahnya 285. 19. Diketahui bahwa 2.3 + 4.6 + 6.9 + … + 2n3n = nn+12n+1. Carilah
banyaknya suku pada deret 2.3 + 4.6 + 6.9 + … + 2n3n, jika jumlahnya 2310
20. Diketahui sebuah kotak ABCD.EFGH mempunyai alas berbentuk jajar genjang dan sisi tegaknya tegak lurus dengan alas kotak. Sisi tegaknya tegak
lurus dengan alas kotak dengan tinggi kotak sama dengan x cm, AB = 9 – x
cm, BC = 2 + x, dan DAB = 6
. Tentukan luas permukaan kotak tersebut,
jika volume kotak adalah 70 cm
3
. 1.2.2. Persamaan Nilai Mutlak
Penyelesaian persamaan nilai mutlak dicari dengan menggunakan sifat: a
x a
x
.
Contoh: Carilah selesaian persamaan 2
2
x
Penyelesaian:
2 2
x
2
2
x
2
2
x
4
x atau
x
15
Latihan 1.2.2.: Tentukan akar persamaan di bawah ini.
1.
6 3
x
2. 5
7 3
x 3.
9 5
1 2
x
4. 2
4
2
x
x 5.
1 5
5
2
x
x 6.
2 1
3 6
x
x 7.
2 3
1
x x
8. 6
4 4
3
x x
9. 10
3 1
2
x
x 10.
3 1
2 1
2
x
x
1.3. Pertidaksamaan
Kategori