3
2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Fungsi Kernel
Fungsi kernel dapat diartikan sebagai hasil kali dalam baku dari objek data pada ruang fitur. Misalkan
x
adalah fungsi yang memetakan objek data dari ruang asal ke ruang fitur, maka fungsi kernel dapat dituliskan sebagai
, ,
.
i j
i j
T i
j
x x x
x x
x
Dua sifat yang harus dipenuhi oleh fungsi kernel ialah: 1.
Simetrik
, ,
, ,
x z x
z z
x z x
2. Memenuhi ketaksamaan Cauchy-Schwarz
2 2
2 2
, ,
, ,
, ,
x z x
z x
z x
x z
z x x
z z
Fungsi-fungsi kernel umumnya dibagi menjadi dua kelompok Nielsen Canty 2008. Pertama, fungsi kernel stasioner yang hanya bergantung pada hasil
kali dalam antarobjek di ruang asal. Sebagai contoh, fungsi-fungsi kernel yang tergolong fungsi kernel stasioner ialah
1. kernel linear :
,
T i
j i
j
x x x x
2. kernel pangkat :
,
p T
i j
i j
x x x x
3. kernel polinomial :
,
p T
i j
i j
h
x x x x
Kedua, fungsi kernel homogen atau Radial Basic Function RBF yang hanya bergantung pada jarak Euclid antarobjek pada ruang asal. Sebagai contoh, fungsi-
fungsi kernel yang tergolong RBF ialah
1. kernel multikuadratik :
1 2 2
2
,
i j
i j
h
x x x
x
2. kernel invers multikuadratik :
1 2 2
2
,
i j
i j
h
x x x
x
3. kernel Gauss :
2 2
, exp
2
i j
i j
h
x x x
x
dengan h adalah parameter yang harus dipilih. Pemilihan parameter ini sangat
menentukan hasil pemetaan dari ruang asal ke ruang fitur. Oleh karena itu, pemilihan parameter
h menentukan pula hasil pereduksian peubah dengan menggunakan AKU Kernel.
2
3
4
4 Salah satu fungsi yang sering digunakan dalam AKU Kernel adalah fungsi
kernel Gauss. Banyak metode telah digunakan untuk memilih parameter h pada
fungsi kernel Gauss ini. Sebagai contoh misalkan diberikan data dengan p peubah dan n observasi maka Rathi et al. 2006 menggunakan
2 2
1
min ;
1, 2, ,
p i
j i
j i
c h
j p
p
x x
dengan c adalah parameter kontrol. Widjaja et al. 2012 memilih nilai parameter h pada interval
2 2
2
ˆ ˆ
100 100
h
; dengan
2 2
1
ˆ
p i
i
n s
p
di mana
2 i
s adalah varians data peubah ke-i, kemudian memilih nilai pada interval 6 yang memaksimumkan perbedaan antara nilai eigen pertama dengan
jumlah nilai eigen lainnya. Yang terbaru, Alam Fukumizu 2014 menggunakan metode Leave One Out Cross Validation untuk memilih parameter
h yang
meminimumkan jarak Euclid antara objek x dengan pre-image
ˆ.
x Wang 2014a
menggunakan
1 n
NN i
i
c h
d n
dengan
NN i
d
adalah jarak Euclid terdekat dari objek data
i
x ke objek data
terdekatnya. Metode-metode tersebut memiliki objektivitas yang berbeda-beda sesuai
masalah pada penelitiannya masing-masing. Karena itu, nilai h yang diberikan
pun berbeda-beda, meskipun terkadang digunakan untuk objektivitas yang sama.
2.2 Analisis Komponen Utama Kernel
Misalkan diberikan matriks data
1 2
, ,
, ,
T n
p n
X
x x x
dengan
i
x adalah
vektor objek data yang berdimensi . p Diberikan pula fungsi
x sebagai fungsi
yang digunakan untuk memetakan vektor objek data ke ruang fitur yang berdimensi ,
F
p sehingga diperoleh matriks data pada ruang fitur sebagai berikut
1 2
, ,
, .
F
T n
p n
Φ x
x x
Vektor rataan pada ruang fitur ialah
1
1 .
n i
i
n
x
Dengan demikian, vektor objek data yang terkoreksi terhadap nilai tengahnya pada ruang fitur ialah
.
i i
x x
Matriks kovarians pada ruang fitur untuk data yang telah terkoreksi terhadap nilai tengah kemudian didefinisikan sebagai
1
1 1
n T
i i
i
n
C x
x
8 9
10
11 5
6
7
Kategori