64
gerak dan hukum pertama dan kedua Termodinamika. Jadi seperti yang bisa diperkirakan, teknik-teknik gabungan tersebut sangat berdaya guna dan dapat
diterapkan pada berbagai macam kondisi mekanika fluida yang memerlukan penilaian keteknikan.
I. KEKEKALAN MASSA-PERSAMAAN KONTINUITAS
1. Penurunan Persamaan Kontinuitas
Sebuah sistem didefinisikan sebagai kumpulan dari isi yang tidak berubah, maka prinsip kekelan massa untuk sebuah sistem dinyatakan secara sederhana sebagai
Laju perubahan terhadap waktu dari massa sistem = 0 atau
= 0 …………………………………. 4-1
di mana massa sistem, M
sys
, lebih umum dinyatakan sebagai M
sys = sys
……………………………… 4-2
dan pengintegralan meliputi seluruh volume sistem. Dengan kata-kata, persamaan 4-2 menyatakan bahwa massa sistem sama dengan jumlah dari seluruh perkalian
kecepatan – unsur volume dari isi sistemnya.
Untuk sebuah sistem dan sebuah volume atur tetap dan tidak berdeformasi yang berimpit pada suatu saat yang sama, seperti yang diilustrasikan pada Gambar
4.1, teorema transport Reynolds dengan B = massa dan b = 1 memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa
sys
=
cv +
cs ……………………
4-.3 Atau
= +
Laju perubahan terhadap waktu
dari massa sistem yang berimpit
Laju perubahan terhadap waktu
dari massa dari kandungan volume
atur yang berimpit
Laju aliran netto dari massa melalui
permukaan atur
65
Gambar 4.1: Sistem dan volume atur pada waktu yang berbeda. a Sistem dan volume atur pada t
– . b Sistem dan volume atur pada waktu t, kondisi yang berimpit c Sistem dan volume atur pada t +
.
Pada persamaan 4-3, dinyatakan bahwa laju perubahan terhadap waktu dari massa sistem adalah jumlah dari dua kuantitas volume atur, yaitu laju perubahan terhadap
waktu dari massa kandungan volume atur
cv
dan laju netto massa aliran melalui permukaan atur
cs
Apabila sebuah aliran tunak, maka seluruh sifat medan yaitu sifat dari suatu titik tertentu, termasuk kerapatan tetap konstan terhadap waktu, dan laju perubahan
terhadap waktu dari massa kandungan volume atur adalah nol. Artinya,
cv
= 0 Integral,
,
dalam integral laju aliran massa menyatakan perkalian dari
komponen kecepatan V, yangtegak lurus terhadap suatu bagian kecil permukaan atur
dan bidang diferensial dA. Jadi, , adalah laju aliran volmue melalui dA dan
. adalah laju aliran massa melalui dA. Lebih lanjut lagi, tanda dari perkalian
titik, adalah “+” untuk aliran keluar dari volume atur dan “-“ untuk aliran ke
dalam volume atur karena n di anggap positif apabila menunjuk keluar dari volume atur. Jika seluruh kualitas diferensial .
,
dijumlahkan pada seluruh permukaan atur, seperti yang ditunjukkan oleh integral
cs
maka hasilnya adalah laju aliran massa netto melalui permukaan atur, atau
66
cs
= m
keluar
- m
ke dalam
……………….. 4-4 di mana
adalah laju aliran massa slugs atau kgs. Jika integral pada persamaan 4-4 adalah positif, aliran netto mengarah keluar dari volume atur, jika integral
negatif, aliran netto mengarah ke dalam volume atur. Pernyataan volume atur untuk kekekalan massa, yang biasanya disebut persamaan
kontinuitas, untuk volume atur yang tetap dan tidak berdeformasi diperoleh dengan mengkombinasikan persamaan 4-1, 4-2, dan 4-3 yang menghasilkan
cv
+
cs
= 0 …………………. 4-5
Dengan kata-kata, persamaan 4-5 menyatakan bahwa untuk menjaga kekekalan massa, laju perubahan terhadap waktu dari massa kandungan volume atur ditambah
dengan laju netto aliran massa melalui permukaan atur harus sama dengan nol. Sesungguhnya, hasil yang sama mungkin dapat diperoleh secara lebih langsung
dengan menyamakan laju aliran massa ke dalam dan keluar volume atur dengan penumpukan atau pengurangan massa di dalam volume atur. Namun demikian, fakta
bahwa teorema transport Reynolds berlaku dalam kasus sederhana yang mudah dimengerti ini kembali menambah keyakinan kita. Keyakinan ini akan sangat
membantu kita dalam mengembangkan pernyataan volume atur untuk prinsip-prinsip penting lainnya.
Pernyataan yang sering digunakan untuk laju aliran massa, melalui sebuah bagian
dari permukaan atur dengan luas A adalah =
=
……………………………. 4-6 di mana adalah kerapatan fluida, Q adalah laju aliran volume ft
3
s atau m
3
s, dan V adalah komponen kecepatan fluida yang tegak lurus bidang A. Karena
=
A
Penetapan dari persamaan 4-6 menyangkut penggunaan nilai perwakilan atau rata- rata dari kerapatan fluida,
,
dan kecepatan fluida, V. Untuk aliran tak mampu- mampat,
,
terdistribusi secara seragam di seluruh bidang A. Untuk aliran mampu- mampat kita biasanya mengasumsikan suatu kerapatan fluida yang terdistribusi
secara seragam pada bagian aliran dan hanya memperbolehkan kerapatan berubah dari bagian ke bagian. Kecepatan fluida yang tepat digunakan pada persamaan 4-6
67
adalah nilai rata-rata dari komponen kecepatan yang normal terhadap bagian bidang yang terlibat. Nilai rata-rata ini, V, didefinisikan sebagai
=
…………………………… 4-7
Jika kecepatan dianggap terdistribusi secara seragam aliran satu dimensi di seluruh bagian bidang, A, maka
=
………………………….. 4-8 tanda notasi garis diatas tidak diperlukan seperti dalam contoh 5.1. apabila
alirannya tidak terdistribusi secara seragam di seluruh penampang bidang aliran, notasi garis di atas mengingatkan kita mengenai digunakannya suatu kecepatan rata-
rata . 2.
VOLUME ATUR TETAP, TIDAK BERDEFORMASI
Pada banyak penerapan mekanika fluida, suatu volume atur yang tepat untuk digunakan adalah yang tetap dan tidak berdeformasi. Berikut ini ditampilkan
beberapa contoh soal yang melibatkan persamaan kontinuitas untuk volume atur yang tetap dan tidak berdeformasi.
CONTOH 4.1
Air laut mengalir secara tunak melalui sebuah nossel berbentuk kerucut sederhana pada ujung sebuah selang pemadam kebakaran seperti yang diilustrasikan
pada gambar C4.1. Jika kecepatan keluar nossel tersebut harus sekurang-kurangnya 20 ms, tentukan kapasitas pemompaan minimum yang dibutuhkan, dalam m
3
s.
68
Penyelesaian:
Kapasitas pemompaan yang dicari adalah laju aliran volume yang dialirkan oleh pompa pemadam kebakaran menuju selang dan nossel. Karena kita menginginkan
pengetahuan mengenai laju aliran debit pompa dan kita mempunyai informasi mengenai laju aliran keluar nossel, kita menghubungkan kedua laju aliran ini dengan
volume atur yang ditunjukkan dengan garis putus-putus pada Gambar C.4.1. Volume atur ini berisi, pada setiap saat, air laut yang berada di dalam selang dan nossel dari
keluaran pompa menuju bidang keluaran nossel. Persamaan 4-5. diterapkan pada isi volume atur ini untuk memberikan
cv
+
cs
= 0 1
Karena alirannya tunak maka laju perubahan terhadap waktu dari massa kandungan volume atur ini adalah nol. Dari persamaan 4-4, kita lihat bahwa integral
permukaan atur di dalam persamaan 1 melibatkan laju aliran massa pada keluaran pompa di bagian 1 dan pada sisi keluar nossel di bagian 2 atau
cs
=
2
–
1
= 0 Sehingga
2
=
1
2 karena laju aliran massa sama dengan perkalian dari kerapatan fluida,
,
dan laju aliran volume, Q, lihat persamaan 4-6 dari persamaan 2 kita memperoleh
2
Q
2
=
1
Q
1
3 Cairan yang mengalir dengan kecepatan rendah, seperti dalam contoh ini, dapat
dianggap tidak mampu-mampat. Oleh karena itu
1 = 2
dan persamaan 3 Q
1=
Q
2
4 Kapasitas pemompaan sama dengan laju aliran volume di sisi keluar nossel. Jika
untuk penyederhanaan distribusi kecepatan di bidang keluaran nossel, bagian 2, dianggap seragam satu dimensi, maka dari Persamaan 4, 4-6 dan 4-8
Q
1
= Q
2
= V
2
A
2
= V
2
= 20ms
2
= 0,0251 m
3
s ………… jawaban Contoh soal sebelumnya mengilustrasikan beberapa hasil penting dalam menerapkan
prinsip kekekalan massa pada kandungan sebuah volume atur yang tetap dan tak berdeformasi. Perkalian titik
dianggap “+” untuk aliran keluar dari volume atur
69
da n “-“ untuk aliran ke dalam volume atur. Jadi, laju aliran massa keluar dari volume
atur adalah “+’ dan laju aliran massa ke dalam adalah ”-“, apabila alirannya tunak, maka laju perubahan terhadap waktu dari massa kandungan volume atur
cv
adalah nol dan oleh karena itu laju aliran massa netto, m, melalui permukaan atur, juga nol.
keluar
-
ke dalam
= 0 …………………. 4-9
Jika aliran tunak tersebut juga tidak mampu-mampat, maka laju aliran volume netto, Q, melalui permukaan atur juga nol:
Q
keluar
- Q
ke dalam
= 0 …………………… 4-10
Suatu aliran siklis yang tak-tunak dapat dianggap aliran tunak berdasarkan waktu rata-rata. Apabila aliran tidak tunak, laju perubahan terhadap waktu sesaat dari
massa kandungan volume atur tidak selalu nol dan mungkin merupakan variabel yang penting. Apabila nilai
cv
adalah “+”, maka massa dari kandungan volume atur meningkat. Apabila nilainya “- “, maka massa dari kandungan volume atur berkurang.
Apabila aliran terdistribusi secara seragam di seluruh bukaan di permukaan atur aliran satu dimensi,
= di mana V adalah nilai seragam dari komponen kecepatan yang normal terhadap luas
penampang A. Apabila kecepatan terdistribusi tidak secara seragam pada bukaan permukaan atur,
m = …………………….. 4-11
di mana adalah nilai rata-rata dari komponen kecepatan normal terhadap luas penampang A, sebagaimana didefinisikan oleh persamaan 4-7
Untuk aliran tunak yang melibatkan hanya satu arus fluida tertentu yang mengalir melalui volume atur pada bagian 1 dan 2
=
1
A
1
V
1
=
2
A
2
V
2
………………………. 4-12 dan untuk aliran tak mampu-mampat
Q = A
1
V
1
=
2
A
2
V
2
…………………………… 4-13
70
Untuk aliran tunak yang melibatkan lebih dari satu arus fluida tertentu atau lebih dari satu jenis fluida yang tepat bahwa volume atur tetap yang tak berdeformasi luas
penerapannya dan banyak gunanya.
3. VOLUME ATUR BERGERAK, TAK BERDEFORMASI
