yang dikenal sebagai operator MAQ
S
, dengan
t
α
adalah independen dan berdistribusi normal dengan mean 0 dan varians
2 a
σ . Sebagai contoh dari model MAQ
S
akan dijelaskan model MA1
12
. Suatu proses X
t
dikatakan mengikuti model MA1
12
jika {X
t
} mengikuti model:
12 1
−
Θ −
=
t t
t
X
α α
2.31 Jelas bahwa X
t,
yaitu EX
t
= 0 dan untuk semua k
[ ]
k t
k t
t t
k t
t
E X
X E
− −
− −
−
Θ −
Θ −
=
12 1
12 1
α α
α α
2.32 Dalam hal ini EX
t
X
t-k
= 0 untuk k ≠ 12, yang berarti proses tidak mempunyai korelasi
diluar lag 12. Sebagai ringkasan, untuk suatu series yang mengikuti proses MA1
12
, maka 1
var
2 1
2
Θ +
= =
α
σ γ
t
X 2.33
2 1
12
α
σ γ
Θ −
=
2 1
1 12
1 Θ
+ Θ
− =
ρ
dan =
=
k k
ρ γ
untuk k ≠ 12
2.3.7 Analisis Model ARIMA
2.3.7.1 Plot Data
Langkah pertama yang baik untuk menganalisis data deret berkala adalah membuat plot data tersebut secara grafis. Hal ini bermanfaat untuk memplot berbagai data
moving average untuk menetapkan adanya trend penyimpangan nilai tengah dan adanya pengaruh musiman pada data deseasonalize the data.
2.3.7.2 Koefisien Autokorelasi
Kovariansi dan korelasi antara X
t
dan X
t+k
berturut-turut dapat dituliskan sebagai berikut.
Universitas Sumatera Utara
, ,
μ μ
γ
− −
= =
+ +
k t
t k
t t
k
X X
E X
X Cov
2.1 dan
var var
, γ
γ ρ
k k
t t
k t
t k
X X
X X
kov =
=
+ +
, 2.2
Dengan: X
t
= pengamatan
X
t+k
= sejumlah
k pengamatan setelahnya Dari suatu runtun waktu stasioner X
1
, X
2
, …, X
n
maka dapat diestimasi fungsi autokorelasi dengan menggunakan persamaan:
∑ ∑
= ∧
− =
+ ∧
∧
− −
− =
=
n t
t k
n t
k t
t k
k
X X
X X
X X
r
1 1
γ γ
ρ
2.3 Untuk proses Gaussian, rumus pendekatan kovariannya untuk k 0 dan k+j 0 Wei,
1990
∑
+ −
+ −
− −
+ +
+ +
+ −
− +
≅ 2
2 2
1 ˆ
, ˆ
2 i
j k
k k
i i
j k
j k
i i
k k
i j
k i
j i
i j
k
n kov
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ
2.4 Untuk n besar ,
∧ k
ρ mendekati distribusi normal dengan rata-rata
k
ρ dan varian:
∑
∞ −∞
= −
− +
+ −
+ ≅
i i
k k
i i
k k
i k
i i
k
n
2 2
2
2 4
1 ˆ
var ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
2.5 Untuk proses
=
k
ρ dengan k m, pendekatan terhadap persamaan di atas adalah
sebagai berikut:
∑
∞ −∞
=
+ +
+ +
≅
i m
i k
n
2 2
2 2
2 ...
2 2
1 1
ˆ var
ρ ρ
ρ ρ
2.6 Dalam kenyataannya
1
ρ
tidak diketahui maka digunakan
∧ k
ρ i = 1, 2,..,m. Standar error
∧ k
ρ untuk lag besar adalah:
Universitas Sumatera Utara
2 2
1
ˆ 2
... ˆ
2 1
1 ˆ
m k
n SE
ρ ρ
ρ +
+ +
= 2.7
dengan k = 0, 1, 2, …
2.3.7.3 Koefisien Autokorelasi Parsial
Misalkan terdapat model regresi dimana variabel dependen X
t+k
dari proses stasioner diregresikan pada k-lag variabel X
t+k-1
, X
t+k-2
,… dan X
t,
yaitu:
k t
t kk
k t
k k
t k
k t
e X
X X
X
+ −
+ −
+ +
+ +
+ +
=
φ φ
φ
...
2 2
1 1
2.8 dengan
1 k
φ
merupakan parameter regresi dan
k t
e
+
adalah suku sesatan normal yang tidak berkorelasi dengan X
t+k-j
untuk j 1 Wei, 1990. Dengan menggunakan aturan cramer
, untuk k = 1, 2, …, diperoleh
1 11
ρ φ
=
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
= 1
1 1
1 1
2 1
1 11
ρ ρ
ρ ρ
ρ φ
⎥ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎥ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
=
1 1
1 1
1
1 2
1 1
2 1
3 1
2 2
1 1
1
33
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ
φ
Universitas Sumatera Utara
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
=
− −
− −
− −
− −
− −
−
1 ...
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. ...
1 ...
1 1
... .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
... 1
... 1
1 3
2 1
2 3
1 1
1 2
2 1
1 3
2 1
3 1
1 1
2 2
1
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ
φ
k k
k k
k k
k k
k k
k
kk
Dengan
kk
φ
adalah autokorelasi parsial antara X
t
dan X
t+k
. Karena merupakan
fungsi dari k, himpunan
{ }
1 ,
; =
k
kk
φ
dinamakan fungsi autokorelasi parsial partial autocorrelation function, disingkat dengan PACF.
2.3.7.4 Stasioner dan Nonstasioner
Hal pertama yang harus diperhatikan adalah bahwa kebanyakan deret berkala bersifat nonstasioner. Stasioneritas berarti bahwa tidak terdapat pertumbuhan atau penurunan
pada data. Data secara kasarnya harus horizontal sepanjang sumbu waktu. Dengan kata lain, fluktuasi data berada disekitar pada suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak
tergantung pada waktu dan varians dari fluktuasi tersebut tetap konstan setiap waktu. Nilai-nilai autokorelasi dari data stasioner akan turun sampai nol sesudah time-lag
kedua atau ketiga, sedangkan untuk data yang tidak stasioner, nilai-nilai tersebut berbeda signifikan dari nol untuk beberapa periode waktu. Apabila disajikan secara
grafik, autokorelasi data yang tidak stasioner memperlihatkan suatu trend searah diagonal dari kanan ke kiri bersama dengan meningkatnya jumlah time-lag selisih
waktu. Karena model ARIMA membutuhkan terpenuhinya asumsi stasioneritas, maka ketidakstasioneran dari data perlu dihilangkan terlebih dahulu sebelum
melangkah lebih lanjut pada pengestimasian model deret berkala. Untuk
Universitas Sumatera Utara
menstasionerkan nilai mean yaitu dengan melakukan pembedaan deret data differrencing.
2.3.7.5 Operator Backward Shift Shift mundur
