Truncated Stop Loss Sebagai Solusi Perjanjian Reasuransi yang Optimal dalam Model Satu Periode
TRUNCATED STOP LOSS SEBAGAI SOLUSI PERJANJIAN
REASURANSI YANG OPTIMAL DALAM MODEL SATU PERIODE
SAIFUR ROHIM
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
(2)
ABSTRAK
SAIFUR ROHIM. Truncated Stop Loss Sebagai Solusi Perjanjian Reasuransi yang Optimal dalam Model Satu Periode. Di bawah bimbingan I GUSTI PUTU PURNABA dan RETNO BUDIARTI.
Reasuransi merupakan salah satu cara untuk mengontrol risiko bagi perusahaan asuransi. Sama halnya dengan asuransi, reasuransi juga mengharuskan pihak tertanggung untuk membayarkan premi kepada penanggung. Kontrak reasuransi yang diamati adalah kontrak reasuransi satu periode. Selanjutnya akan dibentuk aturan kontrak reasuransi optimal dengan meminimumkan peluang kebangkrutan perusahaan asuransi dari premi tetap reasuransi. Untuk itu diperlukan pembentukan kontrak reasuransi yang optimal bagi perusahaan asuransi.
Premi reasuransi dihitung menggunakan beberapa prinsip premi yaitu prinsip ekonomi, prinsip umum utilitas nol, prinsip Esscher, dan prinsip nilai harapan-ragam. Berbagai prinsip ini memberikan kendala yang berbeda dalam masalah pengoptimuman. Stop Loss merupakan suatu kontrak reasuransi yang memberikan jaminan kepada perusahaan asuransi atas kerugian yang melebihi jumlah tertentu. Hasilnya adalah Truncated Stop Loss dapat menjadi solusi bagi setiap kendala premi untuk membentuk kontrak reasuransi yang optimal.
(3)
ABSTRACT
SAIFUR ROHIM. Truncated Stop Loss as a Optimal Solution of Reinsurance Agreement in One-Period Model. Under supervision of I GUSTI PUTU PURNABA and RETNO BUDIARTI.
Reinsurance is one of risk management efforts of an insurance company, which is called the cedent. Similar with insurance, reinsurance constitutes the cedent to pay the premium. We consider one-period reinsurance model and derive a rule which minimizes the ruin probability of the cedent for a fixed reinsurance premium. Therefore, it is needed to construct an optimal reinsurance agreement for the cedent.
The premium is calculated according to four different principles, i.e. economic, generalized zero-utility, Esscher, and mean-variance principles. Stop loss is a reinsurance contract which protect the insurance company for losses that exceed a certain amount. The result of this research shows that a truncated stop loss is an optimal agreement in the class of all reinsurance contracts with various premiums calculated using above mentioned principles.
(4)
TRUNCATED STOP LOSS SEBAGAI SOLUSI PERJANJIAN
REASURANSI YANG OPTIMAL DALAM MODEL SATU PERIODE
SAIFUR ROHIM
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
(5)
Judul Skripsi :
Truncated Stop Loss
Sebagai Solusi Perjanjian Reasuransi yang
Optimal dalam Model Satu Periode
Nama
: Saifur Rohim
NIM
: G54070089
Menyetujui,
Pembimbing I
Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA.
NIP. 19651218 199002 1 001
Pembimbing II
Ir. Retno Budiarti, MS.
NIP. 19610729 198903 2 001
Mengetahui,
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, M.S.
NIP. 19650505 198903 2 004
(6)
PRAKATA
Segala puji hanya milik Allah SWT atas segala nikmat yang telah dikaruniakan-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul Truncated Stop Loss Sebagai Solusi Perjanjian Reasuransi yang Optimal Dalam Model Satu Periode. Sholawat dan salam semoga senantiasa tercurahkan kepada nabi besar Muhammad SAW.
Ucapan terima kasih dan penghargaan sebesar-besarya diberikan kepada:
1 Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. dan Ir. Retno Budiarti, MS. selaku pembimbing pertama dan kedua yang telah dengan sabar dan penuh perhatian memberikan bimbingan kepada penulis dalam menyusun karya ilmiah ini,
2 Donny Citra Lesmana, S.Si., M.Fin.Math. selaku pembimbing akademik, Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku dosen penguji, dan seluruh dosen Departemen Matematika FMIPA IPB,
3 Ayah dan Ibu tercinta yang senantiasa mendoakan dengan penuh kasih sayang,
4 Kementrian Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa kepada penulis di PerguruanTinggi (PT),
5 Fatkhur Rohman, Rahayu dan Istiqomah selaku adik penulis, serta seluruh keluarga besar di Sukaraja yang selalu memberikan motivasi dan doa,
6 keluarga besar CSS MoRA IPB 44 Iwan, Hery, Cirzin, Qomar, Bidin, Tachu, Asep, Adi,
Lukman, Olih, Yaman, Muna, Iip, Ahyar, Eko, Na’im, Nurus, Iyam, Siti, Linda, Miftah, Petri,
Umi, Kholis, Atin, Elfa Ana, dan Eneng yang selalu memberikan motivasi dan doa,
7 saudara-saudara di Wisma Dampo Awang: Endro, Mustofa, Irwanto, Yayan, mas Dodik, mas Diki, mas Deni, dan Hendri yang senantiasa menghibur dan memberikan motivasi,
8 teman-teman Matematika 44 Ruhiyat, Anis, Nurul, Pepi, Fajar, Sri, Sari, Melon, Imam, Ima, Dora, Ayung, Rahma, Rofi, Ayum, Wahyu, Indin, Nurus, Deva, Endro, Ipul, Lukman, Yuli, Ririh, Yuyun, Istiti, Denda, Lugina, Yanti, Ali, Aswin, Aze, Eka, Fani, Kodok, Dela, Tyas, Pandi, Dian, Wenti, Nurul, Solih, Naim, Nadiroh, Dhika, Ikhsan, Aqil, Lilis, Abe, Diana, Yogi, Tendi, Tita, Lingga, Mariyam, Cita, Arina, Lina, Masay, dan Siska yang telah membantu penulis baik secara langsung maupun tidak langsung dalam menyelesaikan karya tulis ini, 9 seluruh staf Departemen Matematika Bapak Yono, Ibu Susi, Mas Heri, Mas Deni, Bapak Bono,
dan Ibu Ade yang telah membantu penulis dalam administrasi dan sebagainya,
10 teman-teman kelas B 10 TPB IPB 2007 dan teman-teman Asrama TPB IPB 2007-2008 yang telah memberikan inspirasi penulis dalam menyelesaikan karya ilmiah ini,
Penulis menyadari pada karya tulis ini masih terdapat kekurangan. Oleh karena itu penulis mengharapkan saran dan kritik dari semua pihak. Semoga karya tulis ini bermanfaat.
Bogor, Februari 2012
(7)
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kabupaten Ogan Komering Ulu (OKU) Timur pada tanggal 23 April 1989, anak pertama dari tiga bersaudara. Penulis merupakan putra dari Kasno (Alm) dan Junainah. Penulis menghabiskan masa sekolah TK dan SMA di OKU Timur. Lulus dari TK Nurul Huda Sukaraja dilanjutkan di Madrasah Ibtidaiyyah Nurul Huda, kemudian dilanjutkan di Madrasah Tsanawiyah (MTs) Nurul Huda. Setelah lulus dari MTs, pendidikan dilanjutkan di Madrasah Aliyah (MA) Nurul Huda Sukaraja. Penulis lulus dari MA pada tahun 2007, kemudian melanjutkan pendidikan tingkat tinggi di Departemen Matematika FMIPA IPB melalui jalur BUD pada tahun yang sama.
Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah aktif di Community of Santri Scholars of Ministry of Religious Affairs (CSS MoRA) IPB - Divisi pengembangan minat dan bakat pada tahun kepengurusan 2008-2009. Penulis juga pernah aktif di Bimbingan Belajar CSS MoRA IPB.
(8)
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR LAMPIRAN ... viii
I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Tujuan ... 1
II LANDASAN TEORI ... 1
2.1 Definisi-definisi ... 1
III PEMBAHASAN ... 4
3.1 Meminimumkan Peluang Kebangkrutan (Ruin Probability) ... 4
3.1.1 Prinsip Ekonomi ... 4
3.1.2 Prinsip Umum Utilitas Nol ... 7
3.1.3 Prinsip Esscher ... 9
3.1.4 Prinsip Mean-Variance ... 9
IV SIMPULAN ... 10
DAFTAR PUSTAKA ... 10
(9)
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Fungsi Sebaran Kumulatif Sebaran Pareto ... 12
2 Pembuktian Teorema 1 ... 13
3 Nilai Harapan Fungsi Kompensasi Reasuransi � ... 14
4 Pembuktian Teorema 2 ... 15
5 Pembuktian Teorema 3 ... 16
(10)
I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Berbicara tentang pertanggungan ulang (reasuransi) tidak ubahnya berbicara tentang manajemen risiko. Sebagaimana telah diketahui bersama, seseorang ataupun badan usaha yang selalu menghadapi risiko akan berusaha memperkecil segala risiko dengan berbagai macam cara. Salah satu cara yang ditempuh adalah dengan membeli polis-polis asuransi.
Di sisi lain, perusahaan asuransi juga akan selalu menghadapi risiko kemungkinan tuntutan ganti rugi (kompensasi) kepada tertanggung. Dengan demikian, perusahaan asuransi juga memerlukan kebijakan mengelola tanggung gugat yang mungkin akan terjadi setiap saat.
Menjawab permasalahan di atas, reasuransi dapat memberikan solusi dalam
rangka memperkecil kemungkinan kerugian dari perusahaan asuransi.
Karya ilmiah ini mengkaji perencanaan perjanjian reasuransi yang optimal dengan
truncated stop loss, yaitu dengan meminimumkan peluang kebangkrutan (ruin probability) perusahaan asuransi. Karya ilmiah ini juga merupakan rekonstruksi dari tulisan Marek Kaluszka (2005) yang berjudul Truncated Stop Loss as Optimal Reinsurance Agreement in One-Period Models.
1.2. Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah mengkaji truncated stop loss sebagai salah satu bentuk reasuransi yang optimal dalam model satu periode.
II LANDASAN TEORI
2.1. Definisi-definisiRuang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi 1 (Percobaan Acak)
Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan yang semacam ini disebut percobaan acak.
(Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian)
Himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan acak disebut ruang contoh,
dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A
adalah himpunan bagian dari Ω.
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Definisi 3 (Medan-σ)
Medan-σ adalah suatu himpunan ℱ yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian
ruang contoh Ω, yang memenuhi kondisi
berikut : 1. ∅ ∈ ℱ,
2. Jika � ∈ ℱ maka � ∈ ℱ,
3. Jika �1,�2,… ∈ ℱ maka ∞=1� ∈ ℱ. (Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Definisi 4 (Ukuran Peluang)
Misalkan ℱ adalah medan-σ dari ruang
contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu
fungsi � ∶ ℱ →[0, 1] pada (Ω, ℱ) yang memenuhi :
1. � ∅ = 0, � Ω = 1 ,
2. Jika �1,�2,… ∈ ℱ adalah himpunan yang saling lepas yaitu � ∩ � =∅
untuk setiap pasangan ≠ , maka
� �∞
=1 = ∞=1�(�).
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 5 (Peubah Acak)
Misalkan ℱ adalah medan-σ dari ruang
contoh Ω. Suatu peubah acak � adalah suatu fungsi � ∶ Ω → � dengan sifat { ∈ Ω ∶
�( ) }∈ ℱ untuk setiap ∈ �. (Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Definisi 6 (Peubah Acak Diskret )
Suatu peubah acak � dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari �.
(Grimmet dan Stirzaker, 1992) Catatan :
Suatu himpunan bilangan � disebut terhitung jika � terdiri atas bilangan terhingga atau anggota � dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.
(11)
Definisi 7 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak � dikatakan kontinu jika ada fungsi �( ) sehingga fungsi sebaran
� =�(� ) dapat dinyatakan sebagai
� = −∞ � ,
∈ � , dengan ∶ � →[0,∞] adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi disebut fungsi kepekatan peluang dari �.
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Definisi 8 (Fungsi Sebaran)
Misalkan � adalah peubah acak dengan ruang �. Misalkan kejadian �= (−∞, ]⊂
�, maka peluang dari kejadian � adalah
�� � =� � = � .
Fungsi � disebut fungsi sebaran dari peubah acak �. (Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 9 (Fungsi Sebaran Kumulatif)
Jika ( ) adalah akumulasi dari semua nilai peluang {� } maka ( ) disebut dengan fungsi sebaran kumulatif yang dinotasikan dengan :
Jika X adalah peubah acak diskret maka � = �(�= ) Jika X adalah peubah acak kontinu maka
� = �( )
−∞ .
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Fungsi Kerapatan Peluang
Definisi 10 (Fungsi Kerapatan Peluang)
Misalkan (Ω,ℱ,�) adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret � adalah fungsi � ∶ � →[0,1] yang diberikan oleh :
�� =� � = .
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Nilai Harapan, Ragam, dan Standar Deviasi
Definisi 11 (Nilai Harapan)
1. Jika � adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang �� , maka nilai harapan dari �, dinotasikan dengan [�], adalah
� = �� ,
asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. 2. Misalkan � adalah peubah acak kontinu
dengan fungsi kepekatan peluang �( ). Nilai harapan dari � adalah
� = �( )
∞ −∞
,
asalkan integral di atas konvergen mutlak.
(Ghahramani, 2005)
Teorema
Beberapa sifat dari nilai harapan
1. Jika k suatu konstanta, maka = . 2. Jika 1, 2 suatu konstanta dan �1,�2
adalah peubah acak, maka :
1�1+ 2�2 = 1 �1 + 2 �2 , Secara umum, jika 1, 2,… adalah konstanta dan �1,�2,… � adalah peubah acak, maka
1�1+ 2�2+⋯+ �
= 1 �1 + 2 �2 +⋯+ � .
Definisi 12 (Ragam)
Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan � , maka ragam dari X yang dinotasikan dengan (�) didefinisikan sebagai
� = [ � − (�) 2]
= [�2−2� � + (�)2]
= �2 −2( �)2+ ( �)2 = �2 −( �)2.
(Ghahramani, 2005)
Definisi 13 (Standar Deviasi)
Jika X adalah peubah acak, �� disebut dengan standar deviasi dari X yang didefinisikan sebagai
�� = (�)
= [ � − (�) 2]. (Ghahramani, 2005)
Definisi 14 ( Sebaran Pareto)
Jika X adalah peubah acak kontinu, X
dikatakan menyebar pareto jika untuk suatu parameter 0 dengan 0> 0 adalah kemungkinan minimum nilai Xdan α adalah
parameter yang positif, maka fungsi kepekatan peluang X adalah
; , 0 =
0 0+ +1
dengan 0 dan > 0 sehingga sebaran kumulatifnya
= 1− 0
0+
.
(Dickson, 2006)
Teorema Fubini
Jika fungsi f kontinu dan terbatas pada segiempat ℛ= , ,
}, maka
, �= ,
(12)
= , .
(Stewart, 1999)
Definisi 15 (Sifat Darboux)
Sifat Darboux setara dengan Teorema Nilai Antara yang menyatakan bahwa:
Andaikan bahwa f kontinu pada selang tertutup [a, b] dan N adalah sebuah bilangan di antara dan . Maka terdapat sebuah bilangan c pada (a,b) sedemikian sehingga = .
(Stewart, 1999)
Asuransi dan Reasuransi Definisi 16 (Asuransi)
Asuransi adalah perjanjian antara dua pihak atau lebih dimana pihak tertanggung mengikat diri kepada penanggung, dengan membayar premi-premi asuransi untuk memberi penggantian kepada tertanggung karena kerugian, kerusakan atau kehilangan keuntungan yang diharapkan atau tanggung jawab hukum kepada pihak ketiga yang mungkin akan diderita tertanggung karena suatu peristiwa yang tidak pasti.
Pihak-pihak yang terlibat dalam suatu proses asuransi, yaitu:
1. Tertanggung, yaitu pihak yang mempunyai risiko atas harta benda yang dipertanggungkan.
2. Perantara asuransi, yaitu pihak yang memberikan jasa perantara dalam hal penutupan asuransi.
3. Penanggung, yaitu pihak yang memberikan jaminan atas objek yang dipertanggungkan.
Terdapat beberapa fungsi dan peran asuransi, antara lain:
1. Transfer risiko, yaitu dengan membayar premi yang relatif kecil seseorang atau perusahaan dapat memindahkan ketidakpastian hidup dan harta bendanya (risiko) ke perusahaan asuransi.
2. Memberikan jaminan perlindungan dari risiko-risiko kerugian yang diderita suatu pihak.
3. Sebagai dasar pihak bank untuk memberikan kredit, karena bank memerlukan jaminan perlindungan atas agunan yang diberikan oleh peminjam uang.
(Marianto, 1997)
Definisi 17 (Reasuransi)
Reasuransi adalah suatu perjanjian atau cara dimana perusahaan asuransi (ceding company) menyerahkan seluruh atau sebagian dari pertanggungan yang ditutupnya kepada penanggung lain yang dikenal dengan penanggung ulang.
Pihak-pihak yang terlibat dalam suatu proses reasuransi, yaitu:
1. Tertanggung ulang, yaitu badan hukum/perusahaan yang memberikan pertanggungan atas risiko yang dimiliki oleh seorang tertanggung, atas imbalan jasa.
2. Perantara reasuransi, yaitu pihak-pihak yang bertindak untuk dan atas nama penanggung dalam hal mencarikan proteksi asuransi.
3. Penanggung ulang, yaitu pihak-pihak yang memberikan pertanggungan ulang kepada pihak yang mengalihkan risiko kepadanya, atas dasar pembayaran jasa. Terdapat beberapa fungsi dan peran reasuransi, antara lain:
1. Menaikkan kapasitas akseptasi perusahaan asuransi.
2. Sebagai alat penyebaran risiko. 3. Menciptakan stabilitas keuangan. (Marianto, 1997)
Stop Loss dan Truncated Stop Loss Definisi 18 (Stop Loss)
Stop loss adalah suatu kontrak reasuransi non proporsional yang memberi jaminan kepada pemberi sesi atas kerugian yang melebihi jumlah kerugian yang diperjanjikan untuk jenis kelas bisnis tertentu.
(Marianto, 1997) Misalkan X adalah peubah acak tak negatif dengan fungsi kompensasi R(X), maka stop loss dari X adalah
� � = (� − )+ , > 0, dimana
+= � > 0 =
0 ; jika 0, ; jika > 0.
sehingga
� � = (� − )+=
0 ; jika � ,
� − ; jika �> . Definisi 19 (Truncated Stop Loss)
Misalkan X adalah peubah acak tak negatif dengan fungsi kompensasi R(X), maka
truncated stop loss dari X adalah
� � = � − + � �<
=
0 ; �
� − ; <�< 0 ; �
(13)
III PEMBAHASAN
3.1. Meminimumkan Peluang
Kebangkrutan (Ruin Probability)
Kebijakan suatu perusahaan asuransi dalam memilih kontrak reasuransi sangatlah penting, salah satu pendekatan rasional untuk memilih kontrak reasuransi adalah dengan meminimumkan peluang kebangkrutan.
Dalam meminimumkan peluang kebangkrutan suatu perusahaan asuransi dapat dilakukan dengan menentukan premi reasuransi yang optimal. Premi reasuransi sendiri dapat ditentukan dengan beberapa prinsip, antara lain:
1. Prinsip ekonomi,
2. Prinsip umum utilitas nol, 3. Prinsip Esscher,
4. Prinsip mean-variance.
3.1.1. Prinsip Ekonomi
Penghitungan premi dengan prinsip ekonomi akan kita dapatkan melalui persamaan
�= (��)
dengan �=�(�) adalah fungsi tak negatif sedemikian sehingga � � = 1. Fungsi � disebut juga fungsi kerapatan harga. Misalkan
0∶kekayaan awal perusahaan asuransi,
� ∶premi reasuransi,
� ∶premi asuransi,
� ∶fungsi kompensasi reasuransi,
� ∶besar klaim pada asuransi,
maka kekayaan perusahaan asuransi yaitu w
sebesar = 0+� − � 0.
Selanjutnya premi yang akan meminimumkan peluang kebangkrutan perusahaan asuransi dapat ditentukan dari
minℙ(� − �> )
dengan kendala
�� =� , � , (3.1) dimana : = (�), = (�), sehingga memberikan batasan 0 �. Solusi dari permasalahan di atas diberikan oleh Teorema 1 berikut.
Teorema 1
�∗=�∗(�) didefinisikan oleh
�∗ =
− ; − dan
− − � < 1
; selainnya,
merupakan solusi dari masalah (3.1) dengan
c>0 sehingga �∗� =�.
Bukti: (Lihat Lampiran 2) Contoh Kasus Prinsip Ekonomi:
Misalkan premi reasuransi ditentukan berdasarkan prinsip nilai harapan dengan konstanta pengaman (safety loading) > 0, sehingga �= (1 + ) � dan perusahaan asuransi ingin meminimumkan peluang kebangkrutannya.
Maka solusi dari
minℙ � − �>
dengan kendala
�=� , 0 � �,
dengan 0 <� < �<∞, � = �
(1+ ), sehingga � < (� − )+ adalah truncated
stop loss � ∗(�) = � − +�(�< ∗), dimana ∗ adalah bilangan real sehingga
�(�) =� .
Penyelesaian Contoh Kasus Prinsip Ekonomi
minℙ(� − �> )
dengan kendala � � =� = �
(1+ ), 0 � �,
Akan dibuktikan bahwa truncated stop loss � ∗(�) = � − +�(�< ∗), dimana ∗ adalah bilangan real sehingga �(�) =� .
Bukti:
Misalkan X adalah peubah acak dan F adalah fungsi sebaran kumulatif dari X yang kontinu pada [ ,∞) dan jika 0 <�< min{ 0+�, (1 + ) (� − )+}, maka keberadaan b mengikuti sifat Darboux.
� ( ) = − +�( < ),
= − + ; < < ,
(14)
� = − ( )
= ( )
−
( )
i ii
Persamaan (i) dapat terselesaikan dengan menggunakan teknik integral parsial dengan memisalkan
= , = ; = ( ), = ( ). Sehingga
� = | − ( ) − ( )| = − − ( ) − + ( )
= − − ( ) . (3.2)
Misalkan = � dengan <∞, maka
= �
= − − ( )
i. untuk batas bawah w :
= − − ( )
= 0 −0 = 0
ii. untuk batas atas ∞ :
∞ = ∞ − ∞ − ∞ ( )
> 0
sehingga kontinu saat . Misalkan ada suatu kasus dimana X mempunyai anggota 0> , dan ternyata tidak kontinu di 0. Akibatnya tidak ada b yang membuat �= (1 +
) � untuk suatu P sehingga premi reasuransi harus dirubah.
Misalkan, Xmenyebar pareto dengan parameter 2 dan α sehingga fungsi sebaran kumulatif X
dinotasikan dengan:
= 1−
2
+ 2 �( 0)
dengan > 0, akan ditentukan b yang membuat � =� . Dari persamaan (3.2) didapatkan
� = − − ( )
= − 1−
2
+ 2 − 1−
2
+ 2
= − − ( − )
2
+ 2 − | +
2
+
= − − ( − )
2
+ 2 − − +
2
+ −
2
+ =
2
+ −
2
+ −
( − ) 2
(15)
= ( − )
2
+ ( + )−
( − ) 2
+ 2
= ( − )
2 2
+ 2( + ) . Karena � =� , maka
( − )2 2
+ 2( + )=�
⇔ ( − )2
( + )2 =
� ( + ) 2 ⇔ − + = � ( + ) 2
⇔ − = � ( +2 ) + � ( +2 )
⇔ − � +2 =
� +
2 +
⇔ 1− � +2 = � +2 +
⇔ =
� ( +2 ) +
1− � +2
=
� ( +2 ) +
1− � +2
×
1 + � +2 1 + � +2
=
� ( + )
2 + + ( + ) �
+
2
1−� ( +2 )
=
� ( + )
2 −1 + 1 + + ( + ) �
+
2 −1 + 1
1− � ( +2 )−1 + 1
=
� ( + )
2 −
( + )
( + )+ 1 + + ( + ) �
+
2 −
( + )
( + )+ 1
1− � ( +2 )−
( + )
( + )+ 1
=
�2−
1
( + ) ( + ) + 1 + + ( + )
�
2−
1
( + ) ( + ) + 1
1− �2− 1
( + ) ( + ) + 1
.
Misalkan �= �2− 1
( + ) , maka
∗= � + + 1 + + + � + + 1
(16)
= � + + ( + ) + ( + ) �( + ) + 1
−�( + )
=( + )
( + )
�+ 1 + �( + ) + 1
−�
= �+ 1 + �( + ) + 1
−�
Sehingga solusinya menjadi
� ∗ � = � − +� �< �+ 1 + � + + 1
−� . ∎
Selanjutnya akan ditentukan peluang kebangkrutan dari ℙ(� − � ∗> ) dengan menggunakan persamaan =�(� ).
ℙ � − � ∗ > = 1− ℙ(� − � ∗ )
= 1− � − � ∗ ( )
∗
0
= 1− ( )
∗
0
= 1− ∗ − (0) = 1− 1−
2
+ ∗ 2 − 1− 2
+ 0 2
= 1− 1−
2
+ ∗ 2
= 1− 1−
2
+ �+ 1 + � −� + + 1
2
= 1− 1−
2
1 + � + + 1
−�
2
ℙ � − � ∗ > = ( �)
2
1 + � + + 1 2
. ∎
3.1.2. Prinsip Umum Utilitas Nol
Misalkan perusahaan asuransi mendapatkan fungsi kompensasi R dengan membayar premi P yang membuat
�,� = 0. → ( ,�) adalah fungsi naik dan kontinu yang mendefinisikan prinsip premi sebagai berikut :
1. Mean-value principle:
�= −1( (�)), dengan u merupakan fungsi kontinu dan naik.
2. Prinsip utilitas nol:
� − � = (0), dengan fungsi
utilitas u, u’>0.
Selanjutnya premi reasuransi yang akan meminimumkan peluang kebangkrutan perusahaan asuransi dapat diperoleh dari
minℙ(� − �> )
dengan kendala
�,� = 0, 0 � �, (3.3) dengan w adalah kekayaan awal dari perusahaan asuransi.
Solusi dari permasalahan di atas diberikan oleh Teorema 2 berikut.
(17)
Teorema 2
Jika 0,� < 0 < � − +,� <∞, maka solusi dari permasalahan (3.3) merupakan truncated stop loss dengan
� ∗(�) = � − +�(�< ∗), dimana ∗ adalah bilangan real sehingga � ∗,� = 0.
Bukti: (Lihat Lampiran 4)
Contoh Kasus Prinsip Utilitas Nol:
Misalkan premi reasuransi ditentukan berdasarkan prinsip umum utilitas nol dengan fungsi utilitas, u, dimana u’ >0.
� − � − + < 0 , dengan P>0. Berdasarkan Teorema 2, dapat ditunjukkan bahwa truncated stop loss � ∗(�) =
� − +�(�< ∗), dengan ∗ bilangan real sehingga � − � ∗ = (0) adalah solusi yang optimal.
Penyelesaian Contoh Kasus Prinsip Utilitas Nol minℙ(� − �> )
dengan kendala � −(� − )+ < (0), �> 0, dengan fungsi utilitas u, u’>0.
Akan dibuktikan bahwa truncated stop loss � ∗(�) = � − +�(�< ∗), dengan ∗ bilangan real sehingga � − � ∗ = (0) adalah solusi yang optimal.
Bukti:
Diketahui fungsi u adalah fungsi utilitas yang merupakan fungsi naik dan kontinu sedemikian sehingga � − � − + < 0 < � −0 <∞ , dengan c>0 maka
min
�∈ℛℙ(� − �> ) = min�∈ℛ � − � > + (� − � ) − � − �( ) = min
�∈ℛ � − � > + (� − � ( )− � − �( ) .
Misalkan = � − � ( ) dan
� ( ) = − +�( < ),
= − + ; < < ,
0 ; selainnya,
dengan <∞, maka
= � − � ( )
= � − − + i. untuk batas bawah w :
= � − − +
= � −0 = � > 0
ii. untuk batas atas ∞ :
∞ = � − ∞ − +
= � − ∞ = � − ∞ < 0
sehingga kontinu saat . Oleh karena itu ada ∗ sehingga = 0 .
min
�∈ℛℙ(� − �> ) = min�∈ℛ � − � > + (� − � ) − � − �( ) min
� ∗ � − � ∗( ) > + (� − � ∗ ) − � − � ∗( )
= � − � ∗ > + � − � ∗ ( )− � − � ∗( ) =ℙ � − � ∗> . ∎
(18)
3.1.3. Prinsip Esscher
Metode penentuan premi dengan prinsip Esscher memberikan persamaan
� = �
� �
dengan a>0. Premi P yang didapat dari prinsip Esscher disebut dengan premi Esscher yang dinotasikan sebagai:
�= � .
Selanjutnya premi reasuransi yang akan meminimumkan peluang kebangkrutan perusahaan asuransi dapat diperoleh dari
minℙ(� − �> )
dengan kendala
�= (�), 0 � �, (3.4) Solusi dari permasalahan di atas diberikan oleh Teorema 3 berikut.
Teorema 3
Misalkan 0 <� −1 dan 0 <
� − +− � exp � − + <∞. Maka solusi dari masalah (3.4) merupakan
truncated stop los � ∗(�) = � − + �(�< ∗), dimana ∗ adalah bilangan real sehingga �= (� ∗).
Bukti: (Lihat Lampiran 5) 3.1.4. Prinsip Mean-Variance
Misalkan perusahaan asuransi ingin meminimumkan peluang kebangkrutan untuk premi reasuransi, P. Misalkan juga perusahaan asuransi mengontrol keuntungan yang diharapkan dan bersedia membayar premi tidak lebih dari �0. Berdasarkan prinsip mean-variance, maka akan timbul permasalahan sebagai berikut
minℙ(� − �> )
dengan kendala � ∈ ℛ( ) (3.5)
dimana ℛ = �;�=� � , 0 � �, � �0, �, � , dan → (�, )
merupakan prinsip premi. Prinsip premi yang dimaksud mencakup:
1. Prinsip standard deviation:
�= �+ �; =� − ,
2. Prinsip variance:
�= �+ 2�; =� − 2,
3. Prinsip mixed:
�= �+ �+ 2�;
=� − − 2.
dimana , > 0,
�: standar deviasi dari peubah acak R, 2�: ragam dari peubah acak R. Asumsikan ( ) menjadi solusi untuk
− ( ) = saat > .
Teorema 4
Misalkan 0 < < (� − )+. Maka
truncated stop loss � ∗(�) = � − + �(�< ∗) adalah solusi dari masalah (3.5) sehingga � (�0, � ).
Bukti: (Lihat Lampiran 6)
Contoh Kasus Prinsip Mean-Variance:
Misalkan premi reasuransi ditentukan berdasarkan prinsip standar deviasi, dan perusahaan asuransi ingin meminimumkan peluang kebangkrutannya. Buktikan bahwa solusi dari
minℙ � − �>
dengan kendala
0 � �, �+ � �0, � ,
adalah truncated stop loss � ∗(�) =
� − +�(�< ∗), dimana ∗ sehingga
�= dan �+ � �0.
Penyelesaian Contoh Kasus Prinsip Mean-Variance minℙ(� − �> )
dengan kendala � ∈ ℛ( ) dimana ℛ = �;�=� � , 0 � �, �+ � �0, � .
Akan dibuktikan jika 0 < < (� − )+. Maka truncated stop loss � ∗ � = � − +�(�<
∗) adalah solusi yang optimal sehingga �= dan �+ � �
0.
Bukti:
Berdasarkan teorema 4, misalkan ℛ = �;�=� � , 0 � �, �= =�0− � dan � � = � − +�(�< ( ))
= � − + ; <�< ,
0 ; selainnya,
(19)
min
�∈ℛ( )ℙ(� − � > ) 0min �∈ℛmin [1 � − �> + (� − �)] min
0 �∈ℛmin[1 � − �> + (� − )]
= min
0 ℙ(� − � > )
= min
0 �( − � > )
= min
0 �( − − )
( )
( ) = min
0 �
( ) = min
0 �( ( )) ( )
( ) = min
0 ℙ � . Misalkan ( ) merupakan solusi dari �=
⇔ � = − = dimana > , maka
= min
0 ℙ(� ( ))
=ℙ � =ℙ � − � . ∎
IV SIMPULAN
Reasuransi merupakan proses pengalihan risiko dari beberapa perusahaan asuransi untuk menghindari kebangkrutan. Perencanaan perjanjian reasuransi yang optimal sangat diperlukan untuk meminimumkan peluang kebangkrutan. Salah satu caranya adalah dengan menentukan premi reasuransi yang optimal.
Prinsip premi yang digunakan dalam tulisan ini adalah prinsip ekonomi, prinsip
umum utilitas nol, prinsip esscher, dan prinsip mean-variance. Keempat prinsip tersebut memberikan kendala yang berbeda dalam meminimumkan peluang kebangkrutan.
Telah dibuktikan truncated stop loss
dapat menjadi solusi untuk menentukan kontrak reasuransi yang optimal dalam model satu periode.
DAFTAR PUSTAKA
Dickson DCM. 2006. Insurance Risk and Ruin. Cambridge University Press. Cambridge. United Kingdom. Ghahramani S. 2005. Fundamentals of
Probability with Stochastics Proceses. Ed. Ke-3. Prentice Hall, Inc. New Jersey.
Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992.
Probability and Random Processes.
Ed. Ke-2. Clarendon Press. Oxford. New York.
Hogg RV, Craig AT. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. Ke-5. Prentice-Hall. Inc. New Jersey.
Kaluszka M. 2005. Truncated Stop Loss as Optimal Reinsurance Agreement in One-Period Models. Astin Bulletin
35(2). 337-349.
Marianto AJ. 1997. Reasuransi. Ghalia Indonesia. Jakarta.
Stewart J. 1999. Calculus. Jilid Ke-1. Ed. Ke-4. Alih bahasa Drs. I Nyoman susila, M.Sc. dan Hendra Gunawan, Ph.D. Erlangga. Jakarta.
Stewart J. 1999. Calculus. Jilid Ke-2. Ed. Ke-4. Alih bahasa Drs. I Nyoman susila, M.Sc. dan Hendra Gunawan, Ph.D. Erlangga. Jakarta.
(20)
(21)
Lampiran 1
Fungsi Sebaran Kumulatif Sebaran Pareto
Jika X menyebar pareto dengan parameter α dan 0> 0 dengan fungsi kepekatan peluang X adalah:
; , 0 = 0
0+ +1 , 0. Maka fungsi sebaran kumulatifnya adalah:
= 1− 0
0+
. Bukti:
= ( )
0
= 0
0+ +1 0
= 0 0+ −( +1) 0
= 0 −1 0+ − |0
= 0
1
0 −
1
0+
= 1− 0
0+
(22)
Lampiran 2
Pembuktian Teorema 1
minℙ(� − �> )
dengan kendala �� =� , � , (3.1) dimana : = 0+� − � 0, = (�), = (�), 0 �.
Akan dibuktikan bahwa
�∗=�∗( ) = − ; − dan − − � < 1
; selainnya,
merupakan solusi dari masalah (3.1) dengan c>0 sehingga �∗� =�.
Bukti:
Misalkan ℛ= {�; �� =�, � } dengan c>0 maka
min
�∈ℛℙ(� − � > ) = min�∈ℛ � − � > + � � − �� = min
�∈ℛ � − � > + � � − �
min
( ) � − > + � − �
= � − �∗ > + �∗ � − � =ℙ � − �∗> . ∎
(23)
Lampiran 3
Nilai Harapan Fungsi Kompensasi Reasuransi ( � )
Diketahui peubah acak X mempunyai fungsi sebaran kumulatif F dan � (�) = � − + �(�< ), karena F adalah fungsi yang kontinu akan dibuktikan bahwa � → (�− )+.
Bukti:
Dari persamaan (3.2) didapatkan
� = − − ( )
dengan t<x. akan ditentukan (� − )+
(� − )+= −
= ( )
−
( )
i ii
Persamaan (i) dapat terselesaikan dengan menggunakan teknik integral parsial dengan memisalkan
= , = ; = ( ), = ( ). Sehingga
(� − )+= | − ( ) − ( )|
= − − ( ) − + ( )
= − − ( )
(24)
Lampiran 4
Pembuktian Teorema 2
minℙ(� − �> )
dengan kendala �,� = 0, 0 � �, (3.3) dengan w adalah kekayaan awal dari perusahaan asuransi.
Akan dibuktikan jika 0,� < 0 < � − +,� <∞,
maka solusi dari permasalahan (3.3) merupakan truncated stop loss dengan � ∗(�) =
� − +�(�< ∗), dimana ∗ adalah bilangan real sehingga � ∗,� = 0.
Bukti:
Diketahui 0,� < 0 < � − +,� <∞
fungsi � → (�,�) merupakan fungsi naik dan kontinu sehingga
0,� � ,� � − +,� <∞
lim→ �,� = lim→ �,� = � ,� , dengan c>0 maka
min
�∈ℛℙ(� − �> ) = min�∈ℛ � − � > + (� ,�) − �,� = min
�∈ℛ � − � > + � ,� ( )
Misalkan = � ( ),� dan
� ( ) = − +�( < ),
= − + ; < < ,
0 ; selainnya,
dengan <∞, maka
= � ( ),�
= − +,� iii.untuk batas bawah w :
= − +,�
= 0,� = 0,� < 0
iv. untuk batas atas ∞ :
∞ = ∞ − +,�
= ∞,� = ∞,� > 0
sehingga kontinu saat . Oleh karena itu ada ∗ sehingga = 0.
min
�∈ℛℙ(� − � > ) = min�∈ℛ � − � > + (� ,�) min
�∗ � − � ∗( ) > + (� ∗ ,�)
= � − � ∗ > + � ∗ ,� ( ) =ℙ � − �∗> . ∎
(25)
Lampiran 5
Pembuktian Teorema 3
minℙ(� − �> )
dengan kendala �= (�), 0 � �, (3.4) dimana � = (� �)
( �).
Akan dibuktikan jika 0 <� −1 dan 0 < � −
+− � exp � − + <∞. Maka solusi dari masalah (3.4) merupakan truncated stop loss � ∗(�) = � − +�(�< ∗), dimana
∗ adalah bilangan real sehingga �= (� ∗). Bukti:
�= (�)⇔�= (� �)
( �)
⇔ � � =� ( �)
⇔� � =� ( �)
⇔(� − �) � = 0
⇔ [ � − � �] = 0
dengan c>0, maka
min
� ℙ(� − �> ) = min� � − � > + � − � � − [ � − � �]
= min
� � − � > + � − �
�
Misalkan = [ � ( )− � � ( )] dan
� ( ) = − +�( < ),
= − + ; < < ,
0 ; selainnya,
dengan <∞, maka
= [ � − � � ( )]
= − +− � exp − +
= − +− � exp − + i. untuk batas bawah w :
= − +− � exp − +
= −� exp0 = −� < 0
ii. untuk batas atas ∞ :
∞ = ∞ − +− � exp ∞ − +
= ∞ exp ∞ =∞ > 0
sehingga kontinu saat . Oleh karena itu ada ∗ sehingga = 0.
min
� ℙ(� − � > ) = min� � − � > + � − �
� min
�∗ � − � ∗( ) > + � ∗ − �
� ∗ = � − � ∗ > + � ∗ − � � ∗ =ℙ � − � ∗ > . ∎
(26)
Lampiran 6
Pembuktian Teorema 4
minℙ(� − �> ) dengan kendala � ∈ ℛ( ) (3.5)
dimana ℛ = �;�=� � , 0 � �, � �0, � , � . Akan dibuktikan jika 0 < < (� − )+. Maka truncated stop loss
� ∗(�) = � − +�(�< ∗)
= � − + ; <�< ∗,
0 ; selainnya,
adalah solusi dari masalah (3.5) sehingga � (�0, � ).
Bukti:
Misalkan ℛ = �;�=� � , 0 � �, �= = �0, � dan � = � − +�(�<
( )), sehingga � ∈ ℛ dengan c>0 maka
min
�∈ℛ( )ℙ(� − �> ) 0min �∈ℛmin [� � − �> + (� − )]
min
0 �∈ℛmin[� � − �> + (� − )]
= min
0 ℙ(� − � > )
= min
0 �( − � > )
= min
0 � − −
( ) = min
0 �
( ) = min
0 �
( ) = min
0 ℙ(� ( )). Misalkan ( ) merupakan solusi dari �=
⇔ � = − = dimana > , maka
(27)
TRUNCATED STOP LOSS SEBAGAI SOLUSI PERJANJIAN
REASURANSI YANG OPTIMAL DALAM MODEL SATU PERIODE
SAIFUR ROHIM
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
(28)
ABSTRAK
SAIFUR ROHIM. Truncated Stop Loss Sebagai Solusi Perjanjian Reasuransi yang Optimal dalam Model Satu Periode. Di bawah bimbingan I GUSTI PUTU PURNABA dan RETNO BUDIARTI.
Reasuransi merupakan salah satu cara untuk mengontrol risiko bagi perusahaan asuransi. Sama halnya dengan asuransi, reasuransi juga mengharuskan pihak tertanggung untuk membayarkan premi kepada penanggung. Kontrak reasuransi yang diamati adalah kontrak reasuransi satu periode. Selanjutnya akan dibentuk aturan kontrak reasuransi optimal dengan meminimumkan peluang kebangkrutan perusahaan asuransi dari premi tetap reasuransi. Untuk itu diperlukan pembentukan kontrak reasuransi yang optimal bagi perusahaan asuransi.
Premi reasuransi dihitung menggunakan beberapa prinsip premi yaitu prinsip ekonomi, prinsip umum utilitas nol, prinsip Esscher, dan prinsip nilai harapan-ragam. Berbagai prinsip ini memberikan kendala yang berbeda dalam masalah pengoptimuman. Stop Loss merupakan suatu kontrak reasuransi yang memberikan jaminan kepada perusahaan asuransi atas kerugian yang melebihi jumlah tertentu. Hasilnya adalah Truncated Stop Loss dapat menjadi solusi bagi setiap kendala premi untuk membentuk kontrak reasuransi yang optimal.
(29)
ABSTRACT
SAIFUR ROHIM. Truncated Stop Loss as a Optimal Solution of Reinsurance Agreement in One-Period Model. Under supervision of I GUSTI PUTU PURNABA and RETNO BUDIARTI.
Reinsurance is one of risk management efforts of an insurance company, which is called the cedent. Similar with insurance, reinsurance constitutes the cedent to pay the premium. We consider one-period reinsurance model and derive a rule which minimizes the ruin probability of the cedent for a fixed reinsurance premium. Therefore, it is needed to construct an optimal reinsurance agreement for the cedent.
The premium is calculated according to four different principles, i.e. economic, generalized zero-utility, Esscher, and mean-variance principles. Stop loss is a reinsurance contract which protect the insurance company for losses that exceed a certain amount. The result of this research shows that a truncated stop loss is an optimal agreement in the class of all reinsurance contracts with various premiums calculated using above mentioned principles.
(30)
I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Berbicara tentang pertanggungan ulang (reasuransi) tidak ubahnya berbicara tentang manajemen risiko. Sebagaimana telah diketahui bersama, seseorang ataupun badan usaha yang selalu menghadapi risiko akan berusaha memperkecil segala risiko dengan berbagai macam cara. Salah satu cara yang ditempuh adalah dengan membeli polis-polis asuransi.
Di sisi lain, perusahaan asuransi juga akan selalu menghadapi risiko kemungkinan tuntutan ganti rugi (kompensasi) kepada tertanggung. Dengan demikian, perusahaan asuransi juga memerlukan kebijakan mengelola tanggung gugat yang mungkin akan terjadi setiap saat.
Menjawab permasalahan di atas, reasuransi dapat memberikan solusi dalam
rangka memperkecil kemungkinan kerugian dari perusahaan asuransi.
Karya ilmiah ini mengkaji perencanaan perjanjian reasuransi yang optimal dengan
truncated stop loss, yaitu dengan meminimumkan peluang kebangkrutan (ruin probability) perusahaan asuransi. Karya ilmiah ini juga merupakan rekonstruksi dari tulisan Marek Kaluszka (2005) yang berjudul Truncated Stop Loss as Optimal Reinsurance Agreement in One-Period Models.
1.2. Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah mengkaji truncated stop loss sebagai salah satu bentuk reasuransi yang optimal dalam model satu periode.
II LANDASAN TEORI
2.1. Definisi-definisiRuang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi 1 (Percobaan Acak)
Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan yang semacam ini disebut percobaan acak.
(Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian)
Himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan acak disebut ruang contoh,
dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A
adalah himpunan bagian dari Ω.
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Definisi 3 (Medan-σ)
Medan-σ adalah suatu himpunan ℱ yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian
ruang contoh Ω, yang memenuhi kondisi
berikut : 1. ∅ ∈ ℱ,
2. Jika � ∈ ℱ maka � ∈ ℱ,
3. Jika �1,�2,… ∈ ℱ maka ∞=1� ∈ ℱ. (Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Definisi 4 (Ukuran Peluang)
Misalkan ℱ adalah medan-σ dari ruang
contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu
fungsi � ∶ ℱ →[0, 1] pada (Ω, ℱ) yang memenuhi :
1. � ∅ = 0, � Ω = 1 ,
2. Jika �1,�2,… ∈ ℱ adalah himpunan yang saling lepas yaitu � ∩ � =∅
untuk setiap pasangan ≠ , maka
� �∞
=1 = ∞=1�(�).
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 5 (Peubah Acak)
Misalkan ℱ adalah medan-σ dari ruang
contoh Ω. Suatu peubah acak � adalah suatu fungsi � ∶ Ω → � dengan sifat { ∈ Ω ∶
�( ) }∈ ℱ untuk setiap ∈ �. (Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Definisi 6 (Peubah Acak Diskret )
Suatu peubah acak � dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari �.
(Grimmet dan Stirzaker, 1992) Catatan :
Suatu himpunan bilangan � disebut terhitung jika � terdiri atas bilangan terhingga atau anggota � dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.
(31)
I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Berbicara tentang pertanggungan ulang (reasuransi) tidak ubahnya berbicara tentang manajemen risiko. Sebagaimana telah diketahui bersama, seseorang ataupun badan usaha yang selalu menghadapi risiko akan berusaha memperkecil segala risiko dengan berbagai macam cara. Salah satu cara yang ditempuh adalah dengan membeli polis-polis asuransi.
Di sisi lain, perusahaan asuransi juga akan selalu menghadapi risiko kemungkinan tuntutan ganti rugi (kompensasi) kepada tertanggung. Dengan demikian, perusahaan asuransi juga memerlukan kebijakan mengelola tanggung gugat yang mungkin akan terjadi setiap saat.
Menjawab permasalahan di atas, reasuransi dapat memberikan solusi dalam
rangka memperkecil kemungkinan kerugian dari perusahaan asuransi.
Karya ilmiah ini mengkaji perencanaan perjanjian reasuransi yang optimal dengan
truncated stop loss, yaitu dengan meminimumkan peluang kebangkrutan (ruin probability) perusahaan asuransi. Karya ilmiah ini juga merupakan rekonstruksi dari tulisan Marek Kaluszka (2005) yang berjudul Truncated Stop Loss as Optimal Reinsurance Agreement in One-Period Models.
1.2. Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah mengkaji truncated stop loss sebagai salah satu bentuk reasuransi yang optimal dalam model satu periode.
II LANDASAN TEORI
2.1. Definisi-definisiRuang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi 1 (Percobaan Acak)
Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan yang semacam ini disebut percobaan acak.
(Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian)
Himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan acak disebut ruang contoh,
dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A
adalah himpunan bagian dari Ω.
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Definisi 3 (Medan-σ)
Medan-σ adalah suatu himpunan ℱ yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian
ruang contoh Ω, yang memenuhi kondisi
berikut : 1. ∅ ∈ ℱ,
2. Jika � ∈ ℱ maka � ∈ ℱ,
3. Jika �1,�2,… ∈ ℱ maka ∞=1� ∈ ℱ. (Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Definisi 4 (Ukuran Peluang)
Misalkan ℱ adalah medan-σ dari ruang
contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu
fungsi � ∶ ℱ →[0, 1] pada (Ω, ℱ) yang memenuhi :
1. � ∅ = 0, � Ω = 1 ,
2. Jika �1,�2,… ∈ ℱ adalah himpunan yang saling lepas yaitu � ∩ � =∅
untuk setiap pasangan ≠ , maka
� �∞
=1 = ∞=1�(�).
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 5 (Peubah Acak)
Misalkan ℱ adalah medan-σ dari ruang
contoh Ω. Suatu peubah acak � adalah suatu fungsi � ∶ Ω → � dengan sifat { ∈ Ω ∶
�( ) }∈ ℱ untuk setiap ∈ �. (Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Definisi 6 (Peubah Acak Diskret )
Suatu peubah acak � dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari �.
(Grimmet dan Stirzaker, 1992) Catatan :
Suatu himpunan bilangan � disebut terhitung jika � terdiri atas bilangan terhingga atau anggota � dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.
(32)
Definisi 7 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak � dikatakan kontinu jika ada fungsi �( ) sehingga fungsi sebaran
� =�(� ) dapat dinyatakan sebagai
� = −∞ � ,
∈ � , dengan ∶ � →[0,∞] adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi disebut fungsi kepekatan peluang dari �.
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Definisi 8 (Fungsi Sebaran)
Misalkan � adalah peubah acak dengan ruang �. Misalkan kejadian �= (−∞, ]⊂
�, maka peluang dari kejadian � adalah
�� � =� � = � .
Fungsi � disebut fungsi sebaran dari peubah acak �. (Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 9 (Fungsi Sebaran Kumulatif)
Jika ( ) adalah akumulasi dari semua nilai peluang {� } maka ( ) disebut dengan fungsi sebaran kumulatif yang dinotasikan dengan :
Jika X adalah peubah acak diskret maka � = �(�= ) Jika X adalah peubah acak kontinu maka
� = �( )
−∞ .
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Fungsi Kerapatan Peluang
Definisi 10 (Fungsi Kerapatan Peluang)
Misalkan (Ω,ℱ,�) adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret � adalah fungsi � ∶ � →[0,1] yang diberikan oleh :
�� =� � = .
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Nilai Harapan, Ragam, dan Standar Deviasi
Definisi 11 (Nilai Harapan)
1. Jika � adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang �� , maka nilai harapan dari �, dinotasikan dengan [�], adalah
� = �� ,
asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. 2. Misalkan � adalah peubah acak kontinu
dengan fungsi kepekatan peluang �( ). Nilai harapan dari � adalah
� = �( )
∞ −∞
,
asalkan integral di atas konvergen mutlak.
(Ghahramani, 2005)
Teorema
Beberapa sifat dari nilai harapan
1. Jika k suatu konstanta, maka = . 2. Jika 1, 2 suatu konstanta dan �1,�2
adalah peubah acak, maka :
1�1+ 2�2 = 1 �1 + 2 �2 , Secara umum, jika 1, 2,… adalah konstanta dan �1,�2,… � adalah peubah acak, maka
1�1+ 2�2+⋯+ �
= 1 �1 + 2 �2 +⋯+ � .
Definisi 12 (Ragam)
Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan � , maka ragam dari X yang dinotasikan dengan (�) didefinisikan sebagai
� = [ � − (�) 2]
= [�2−2� � + (�)2]
= �2 −2( �)2+ ( �)2 = �2 −( �)2.
(Ghahramani, 2005)
Definisi 13 (Standar Deviasi)
Jika X adalah peubah acak, �� disebut dengan standar deviasi dari X yang didefinisikan sebagai
�� = (�)
= [ � − (�) 2]. (Ghahramani, 2005)
Definisi 14 ( Sebaran Pareto)
Jika X adalah peubah acak kontinu, X
dikatakan menyebar pareto jika untuk suatu parameter 0 dengan 0> 0 adalah kemungkinan minimum nilai Xdan α adalah
parameter yang positif, maka fungsi kepekatan peluang X adalah
; , 0 =
0 0+ +1
dengan 0 dan > 0 sehingga sebaran kumulatifnya
= 1− 0
0+
.
(Dickson, 2006)
Teorema Fubini
Jika fungsi f kontinu dan terbatas pada segiempat ℛ= , ,
}, maka
, �= ,
(33)
= , .
(Stewart, 1999)
Definisi 15 (Sifat Darboux)
Sifat Darboux setara dengan Teorema Nilai Antara yang menyatakan bahwa:
Andaikan bahwa f kontinu pada selang tertutup [a, b] dan N adalah sebuah bilangan di antara dan . Maka terdapat sebuah bilangan c pada (a,b) sedemikian sehingga = .
(Stewart, 1999)
Asuransi dan Reasuransi Definisi 16 (Asuransi)
Asuransi adalah perjanjian antara dua pihak atau lebih dimana pihak tertanggung mengikat diri kepada penanggung, dengan membayar premi-premi asuransi untuk memberi penggantian kepada tertanggung karena kerugian, kerusakan atau kehilangan keuntungan yang diharapkan atau tanggung jawab hukum kepada pihak ketiga yang mungkin akan diderita tertanggung karena suatu peristiwa yang tidak pasti.
Pihak-pihak yang terlibat dalam suatu proses asuransi, yaitu:
1. Tertanggung, yaitu pihak yang mempunyai risiko atas harta benda yang dipertanggungkan.
2. Perantara asuransi, yaitu pihak yang memberikan jasa perantara dalam hal penutupan asuransi.
3. Penanggung, yaitu pihak yang memberikan jaminan atas objek yang dipertanggungkan.
Terdapat beberapa fungsi dan peran asuransi, antara lain:
1. Transfer risiko, yaitu dengan membayar premi yang relatif kecil seseorang atau perusahaan dapat memindahkan ketidakpastian hidup dan harta bendanya (risiko) ke perusahaan asuransi.
2. Memberikan jaminan perlindungan dari risiko-risiko kerugian yang diderita suatu pihak.
3. Sebagai dasar pihak bank untuk memberikan kredit, karena bank memerlukan jaminan perlindungan atas agunan yang diberikan oleh peminjam uang.
(Marianto, 1997)
Definisi 17 (Reasuransi)
Reasuransi adalah suatu perjanjian atau cara dimana perusahaan asuransi (ceding company) menyerahkan seluruh atau sebagian dari pertanggungan yang ditutupnya kepada penanggung lain yang dikenal dengan penanggung ulang.
Pihak-pihak yang terlibat dalam suatu proses reasuransi, yaitu:
1. Tertanggung ulang, yaitu badan hukum/perusahaan yang memberikan pertanggungan atas risiko yang dimiliki oleh seorang tertanggung, atas imbalan jasa.
2. Perantara reasuransi, yaitu pihak-pihak yang bertindak untuk dan atas nama penanggung dalam hal mencarikan proteksi asuransi.
3. Penanggung ulang, yaitu pihak-pihak yang memberikan pertanggungan ulang kepada pihak yang mengalihkan risiko kepadanya, atas dasar pembayaran jasa. Terdapat beberapa fungsi dan peran reasuransi, antara lain:
1. Menaikkan kapasitas akseptasi perusahaan asuransi.
2. Sebagai alat penyebaran risiko. 3. Menciptakan stabilitas keuangan. (Marianto, 1997)
Stop Loss dan Truncated Stop Loss Definisi 18 (Stop Loss)
Stop loss adalah suatu kontrak reasuransi non proporsional yang memberi jaminan kepada pemberi sesi atas kerugian yang melebihi jumlah kerugian yang diperjanjikan untuk jenis kelas bisnis tertentu.
(Marianto, 1997) Misalkan X adalah peubah acak tak negatif dengan fungsi kompensasi R(X), maka stop loss dari X adalah
� � = (� − )+ , > 0, dimana
+= � > 0 =
0 ; jika 0, ; jika > 0.
sehingga
� � = (� − )+=
0 ; jika � ,
� − ; jika �> . Definisi 19 (Truncated Stop Loss)
Misalkan X adalah peubah acak tak negatif dengan fungsi kompensasi R(X), maka
truncated stop loss dari X adalah
� � = � − + � �<
=
0 ; �
� − ; <�< 0 ; �
(34)
III PEMBAHASAN
3.1. Meminimumkan Peluang
Kebangkrutan (Ruin Probability)
Kebijakan suatu perusahaan asuransi dalam memilih kontrak reasuransi sangatlah penting, salah satu pendekatan rasional untuk memilih kontrak reasuransi adalah dengan meminimumkan peluang kebangkrutan.
Dalam meminimumkan peluang kebangkrutan suatu perusahaan asuransi dapat dilakukan dengan menentukan premi reasuransi yang optimal. Premi reasuransi sendiri dapat ditentukan dengan beberapa prinsip, antara lain:
1. Prinsip ekonomi,
2. Prinsip umum utilitas nol, 3. Prinsip Esscher,
4. Prinsip mean-variance.
3.1.1. Prinsip Ekonomi
Penghitungan premi dengan prinsip ekonomi akan kita dapatkan melalui persamaan
�= (��)
dengan �=�(�) adalah fungsi tak negatif sedemikian sehingga � � = 1. Fungsi � disebut juga fungsi kerapatan harga. Misalkan
0∶kekayaan awal perusahaan asuransi,
� ∶premi reasuransi,
� ∶premi asuransi,
� ∶fungsi kompensasi reasuransi,
� ∶besar klaim pada asuransi,
maka kekayaan perusahaan asuransi yaitu w
sebesar = 0+� − � 0.
Selanjutnya premi yang akan meminimumkan peluang kebangkrutan perusahaan asuransi dapat ditentukan dari
minℙ(� − �> )
dengan kendala
�� =� , � , (3.1) dimana : = (�), = (�), sehingga memberikan batasan 0 �. Solusi dari permasalahan di atas diberikan oleh Teorema 1 berikut.
Teorema 1
�∗=�∗(�) didefinisikan oleh
�∗ =
− ; − dan
− − � < 1
; selainnya,
merupakan solusi dari masalah (3.1) dengan
c>0 sehingga �∗� =�.
Bukti: (Lihat Lampiran 2) Contoh Kasus Prinsip Ekonomi:
Misalkan premi reasuransi ditentukan berdasarkan prinsip nilai harapan dengan konstanta pengaman (safety loading) > 0, sehingga �= (1 + ) � dan perusahaan asuransi ingin meminimumkan peluang kebangkrutannya.
Maka solusi dari
minℙ � − �>
dengan kendala
�=� , 0 � �,
dengan 0 <� < �<∞, � = �
(1+ ), sehingga � < (� − )+ adalah truncated
stop loss � ∗(�) = � − +�(�< ∗), dimana ∗ adalah bilangan real sehingga
�(�) =� .
Penyelesaian Contoh Kasus Prinsip Ekonomi
minℙ(� − �> )
dengan kendala � � =� = �
(1+ ), 0 � �,
Akan dibuktikan bahwa truncated stop loss � ∗(�) = � − +�(�< ∗), dimana ∗ adalah bilangan real sehingga �(�) =� .
Bukti:
Misalkan X adalah peubah acak dan F adalah fungsi sebaran kumulatif dari X yang kontinu pada [ ,∞) dan jika 0 <�< min{ 0+�, (1 + ) (� − )+}, maka keberadaan b mengikuti sifat Darboux.
� ( ) = − +�( < ),
= − + ; < < ,
(35)
� = − ( )
= ( )
−
( )
i ii
Persamaan (i) dapat terselesaikan dengan menggunakan teknik integral parsial dengan memisalkan
= , = ; = ( ), = ( ). Sehingga
� = | − ( ) − ( )| = − − ( ) − + ( )
= − − ( ) . (3.2)
Misalkan = � dengan <∞, maka
= �
= − − ( )
i. untuk batas bawah w :
= − − ( )
= 0 −0 = 0
ii. untuk batas atas ∞ :
∞ = ∞ − ∞ − ∞ ( )
> 0
sehingga kontinu saat . Misalkan ada suatu kasus dimana X mempunyai anggota 0> , dan ternyata tidak kontinu di 0. Akibatnya tidak ada b yang membuat �= (1 +
) � untuk suatu P sehingga premi reasuransi harus dirubah.
Misalkan, Xmenyebar pareto dengan parameter 2 dan α sehingga fungsi sebaran kumulatif X
dinotasikan dengan:
= 1−
2
+ 2 �( 0)
dengan > 0, akan ditentukan b yang membuat � =� . Dari persamaan (3.2) didapatkan
� = − − ( )
= − 1−
2
+ 2 − 1−
2
+ 2
= − − ( − )
2
+ 2 − | +
2
+
= − − ( − )
2
+ 2 − − +
2
+ −
2
+ =
2
+ −
2
+ −
( − ) 2
(36)
= ( − )
2
+ ( + )−
( − ) 2
+ 2
= ( − )
2 2
+ 2( + ) . Karena � =� , maka
( − )2 2
+ 2( + )=�
⇔ ( − )2
( + )2 =
� ( + ) 2 ⇔ − + = � ( + ) 2
⇔ − = � ( +2 ) + � ( +2 )
⇔ − � +2 =
� +
2 +
⇔ 1− � +2 = � +2 +
⇔ =
� ( +2 ) +
1− � +2
=
� ( +2 ) +
1− � +2
×
1 + � +2 1 + � +2
=
� ( + )
2 + + ( + ) �
+
2
1−� ( +2 )
=
� ( + )
2 −1 + 1 + + ( + ) �
+
2 −1 + 1
1− � ( +2 )−1 + 1
=
� ( + )
2 −
( + )
( + )+ 1 + + ( + ) �
+
2 −
( + )
( + )+ 1
1− � ( +2 )−
( + )
( + )+ 1
=
�2−
1
( + ) ( + ) + 1 + + ( + )
�
2−
1
( + ) ( + ) + 1
1− �2− 1
( + ) ( + ) + 1
.
Misalkan �= �2− 1
( + ) , maka
∗= � + + 1 + + + � + + 1
(37)
= � + + ( + ) + ( + ) �( + ) + 1
−�( + )
=( + )
( + )
�+ 1 + �( + ) + 1
−�
= �+ 1 + �( + ) + 1
−�
Sehingga solusinya menjadi
� ∗ � = � − +� �< �+ 1 + � + + 1
−� . ∎
Selanjutnya akan ditentukan peluang kebangkrutan dari ℙ(� − � ∗> ) dengan menggunakan persamaan =�(� ).
ℙ � − � ∗ > = 1− ℙ(� − � ∗ )
= 1− � − � ∗ ( )
∗
0
= 1− ( )
∗
0
= 1− ∗ − (0) = 1− 1−
2
+ ∗ 2 − 1− 2
+ 0 2
= 1− 1−
2
+ ∗ 2
= 1− 1−
2
+ �+ 1 + � −� + + 1
2
= 1− 1−
2
1 + � + + 1
−�
2
ℙ � − � ∗ > = ( �)
2
1 + � + + 1 2
. ∎
3.1.2. Prinsip Umum Utilitas Nol
Misalkan perusahaan asuransi mendapatkan fungsi kompensasi R dengan membayar premi P yang membuat
�,� = 0. → ( ,�) adalah fungsi naik dan kontinu yang mendefinisikan prinsip premi sebagai berikut :
1. Mean-value principle:
�= −1( (�)), dengan u merupakan fungsi kontinu dan naik.
2. Prinsip utilitas nol:
� − � = (0), dengan fungsi
utilitas u, u’>0.
Selanjutnya premi reasuransi yang akan meminimumkan peluang kebangkrutan perusahaan asuransi dapat diperoleh dari
minℙ(� − �> )
dengan kendala
�,� = 0, 0 � �, (3.3) dengan w adalah kekayaan awal dari perusahaan asuransi.
Solusi dari permasalahan di atas diberikan oleh Teorema 2 berikut.
(38)
Teorema 2
Jika 0,� < 0 < � − +,� <∞, maka solusi dari permasalahan (3.3) merupakan truncated stop loss dengan
� ∗(�) = � − +�(�< ∗), dimana ∗ adalah bilangan real sehingga � ∗,� = 0.
Bukti: (Lihat Lampiran 4)
Contoh Kasus Prinsip Utilitas Nol:
Misalkan premi reasuransi ditentukan berdasarkan prinsip umum utilitas nol dengan fungsi utilitas, u, dimana u’ >0.
� − � − + < 0 , dengan P>0. Berdasarkan Teorema 2, dapat ditunjukkan bahwa truncated stop loss � ∗(�) =
� − +�(�< ∗), dengan ∗ bilangan real sehingga � − � ∗ = (0) adalah solusi yang optimal.
Penyelesaian Contoh Kasus Prinsip Utilitas Nol minℙ(� − �> )
dengan kendala � −(� − )+ < (0), �> 0, dengan fungsi utilitas u, u’>0.
Akan dibuktikan bahwa truncated stop loss � ∗(�) = � − +�(�< ∗), dengan ∗ bilangan real sehingga � − � ∗ = (0) adalah solusi yang optimal.
Bukti:
Diketahui fungsi u adalah fungsi utilitas yang merupakan fungsi naik dan kontinu sedemikian sehingga � − � − + < 0 < � −0 <∞ , dengan c>0 maka
min
�∈ℛℙ(� − �> ) = min�∈ℛ � − � > + (� − � ) − � − �( ) = min
�∈ℛ � − � > + (� − � ( )− � − �( ) .
Misalkan = � − � ( ) dan
� ( ) = − +�( < ),
= − + ; < < ,
0 ; selainnya,
dengan <∞, maka
= � − � ( )
= � − − + i. untuk batas bawah w :
= � − − +
= � −0 = � > 0
ii. untuk batas atas ∞ :
∞ = � − ∞ − +
= � − ∞ = � − ∞ < 0
sehingga kontinu saat . Oleh karena itu ada ∗ sehingga = 0 .
min
�∈ℛℙ(� − �> ) = min�∈ℛ � − � > + (� − � ) − � − �( ) min
� ∗ � − � ∗( ) > + (� − � ∗ ) − � − � ∗( )
= � − � ∗ > + � − � ∗ ( )− � − � ∗( ) =ℙ � − � ∗> . ∎
(39)
3.1.3. Prinsip Esscher
Metode penentuan premi dengan prinsip Esscher memberikan persamaan
� = �
� �
dengan a>0. Premi P yang didapat dari prinsip Esscher disebut dengan premi Esscher yang dinotasikan sebagai:
�= � .
Selanjutnya premi reasuransi yang akan meminimumkan peluang kebangkrutan perusahaan asuransi dapat diperoleh dari
minℙ(� − �> )
dengan kendala
�= (�), 0 � �, (3.4) Solusi dari permasalahan di atas diberikan oleh Teorema 3 berikut.
Teorema 3
Misalkan 0 <� −1 dan 0 <
� − +− � exp � − + <∞. Maka solusi dari masalah (3.4) merupakan
truncated stop los � ∗(�) = � − + �(�< ∗), dimana ∗ adalah bilangan real sehingga �= (� ∗).
Bukti: (Lihat Lampiran 5) 3.1.4. Prinsip Mean-Variance
Misalkan perusahaan asuransi ingin meminimumkan peluang kebangkrutan untuk premi reasuransi, P. Misalkan juga perusahaan asuransi mengontrol keuntungan yang diharapkan dan bersedia membayar premi tidak lebih dari �0. Berdasarkan prinsip mean-variance, maka akan timbul permasalahan sebagai berikut
minℙ(� − �> )
dengan kendala � ∈ ℛ( ) (3.5)
dimana ℛ = �;�=� � , 0 � �, � �0, �, � , dan → (�, )
merupakan prinsip premi. Prinsip premi yang dimaksud mencakup:
1. Prinsip standard deviation:
�= �+ �; =� − ,
2. Prinsip variance:
�= �+ 2�; =� − 2,
3. Prinsip mixed:
�= �+ �+ 2�;
=� − − 2.
dimana , > 0,
�: standar deviasi dari peubah acak R, 2�: ragam dari peubah acak R. Asumsikan ( ) menjadi solusi untuk
− ( ) = saat > .
Teorema 4
Misalkan 0 < < (� − )+. Maka
truncated stop loss � ∗(�) = � − + �(�< ∗) adalah solusi dari masalah (3.5) sehingga � (�0, � ).
Bukti: (Lihat Lampiran 6)
Contoh Kasus Prinsip Mean-Variance:
Misalkan premi reasuransi ditentukan berdasarkan prinsip standar deviasi, dan perusahaan asuransi ingin meminimumkan peluang kebangkrutannya. Buktikan bahwa solusi dari
minℙ � − �>
dengan kendala
0 � �, �+ � �0, � ,
adalah truncated stop loss � ∗(�) =
� − +�(�< ∗), dimana ∗ sehingga
�= dan �+ � �0.
Penyelesaian Contoh Kasus Prinsip Mean-Variance minℙ(� − �> )
dengan kendala � ∈ ℛ( ) dimana ℛ = �;�=� � , 0 � �, �+ � �0, � .
Akan dibuktikan jika 0 < < (� − )+. Maka truncated stop loss � ∗ � = � − +�(�<
∗) adalah solusi yang optimal sehingga �= dan �+ � �
0.
Bukti:
Berdasarkan teorema 4, misalkan ℛ = �;�=� � , 0 � �, �= =�0− � dan � � = � − +�(�< ( ))
= � − + ; <�< ,
0 ; selainnya,
(40)
min
�∈ℛ( )ℙ(� − � > ) 0min �∈ℛmin [1 � − �> + (� − �)] min
0 �∈ℛmin[1 � − �> + (� − )]
= min
0 ℙ(� − � > )
= min
0 �( − � > )
= min
0 �( − − )
( )
( ) = min
0 �
( ) = min
0 �( ( )) ( )
( ) = min
0 ℙ � . Misalkan ( ) merupakan solusi dari �=
⇔ � = − = dimana > , maka
= min
0 ℙ(� ( ))
=ℙ � =ℙ � − � . ∎
IV SIMPULAN
Reasuransi merupakan proses pengalihan risiko dari beberapa perusahaan asuransi untuk menghindari kebangkrutan. Perencanaan perjanjian reasuransi yang optimal sangat diperlukan untuk meminimumkan peluang kebangkrutan. Salah satu caranya adalah dengan menentukan premi reasuransi yang optimal.
Prinsip premi yang digunakan dalam tulisan ini adalah prinsip ekonomi, prinsip
umum utilitas nol, prinsip esscher, dan prinsip mean-variance. Keempat prinsip tersebut memberikan kendala yang berbeda dalam meminimumkan peluang kebangkrutan.
Telah dibuktikan truncated stop loss
dapat menjadi solusi untuk menentukan kontrak reasuransi yang optimal dalam model satu periode.
DAFTAR PUSTAKA
Dickson DCM. 2006. Insurance Risk and Ruin. Cambridge University Press. Cambridge. United Kingdom. Ghahramani S. 2005. Fundamentals of
Probability with Stochastics Proceses. Ed. Ke-3. Prentice Hall, Inc. New Jersey.
Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992.
Probability and Random Processes.
Ed. Ke-2. Clarendon Press. Oxford. New York.
Hogg RV, Craig AT. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. Ke-5. Prentice-Hall. Inc. New Jersey.
Kaluszka M. 2005. Truncated Stop Loss as Optimal Reinsurance Agreement in One-Period Models. Astin Bulletin
35(2). 337-349.
Marianto AJ. 1997. Reasuransi. Ghalia Indonesia. Jakarta.
Stewart J. 1999. Calculus. Jilid Ke-1. Ed. Ke-4. Alih bahasa Drs. I Nyoman susila, M.Sc. dan Hendra Gunawan, Ph.D. Erlangga. Jakarta.
Stewart J. 1999. Calculus. Jilid Ke-2. Ed. Ke-4. Alih bahasa Drs. I Nyoman susila, M.Sc. dan Hendra Gunawan, Ph.D. Erlangga. Jakarta.
(1)
Fungsi Sebaran Kumulatif Sebaran Pareto
Jika X menyebar pareto dengan parameter α dan 0> 0 dengan fungsi kepekatan peluang X
adalah: ; , 0 =
0
0+ +1 , 0.
Maka fungsi sebaran kumulatifnya adalah:
= 1− 0
0+
. Bukti:
= ( )
0
= 0
0+ +1 0
= 0 0+ −( +1) 0
= 0 −1 0+ − |0 = 0
1
0 −
1
0+
= 1− 0
0+
(2)
Pembuktian Teorema 1
minℙ(� − �> )
dengan kendala �� =� , � , (3.1) dimana : = 0+� − � 0, = (�), = (�), 0 �.
Akan dibuktikan bahwa
�∗=�∗( ) = − ; − dan − − � < 1 ; selainnya,
merupakan solusi dari masalah (3.1) dengan c>0 sehingga �∗� =�.
Bukti:
Misalkan ℛ= {�; �� =�, � } dengan c>0 maka min
�∈ℛℙ(� − � > ) = min�∈ℛ � − � > + � � − �� = min
�∈ℛ � − � > + � � − � min
( ) � − > + � − �
= � − �∗ > + �∗ � − � =ℙ � − �∗> . ∎
(3)
Nilai Harapan Fungsi Kompensasi Reasuransi ( � )
Diketahui peubah acak X mempunyai fungsi sebaran kumulatif F dan � (�) = � −
+ �(�< ), karena F adalah fungsi yang kontinu akan dibuktikan bahwa � → (�− )+. Bukti:
Dari persamaan (3.2) didapatkan
� = − − ( ) dengan t<x. akan ditentukan (� − )+
(� − )+= −
= ( )
−
( )
i ii
Persamaan (i) dapat terselesaikan dengan menggunakan teknik integral parsial dengan memisalkan = , = ; = ( ), = ( ). Sehingga
(� − )+= | − ( ) − ( )|
= − − ( ) − + ( )
= − − ( ) Karena → maka ( ) → ( ) , sehingga � → (� − )+. ∎
(4)
Pembuktian Teorema 2
minℙ(� − �> )
dengan kendala �,� = 0, 0 � �, (3.3) dengan w adalah kekayaan awal dari perusahaan asuransi.
Akan dibuktikan jika 0,� < 0 < � − +,� <∞,
maka solusi dari permasalahan (3.3) merupakan truncated stop loss dengan � ∗(�) =
� − +�(�< ∗), dimana ∗ adalah bilangan real sehingga � ∗,� = 0.
Bukti:
Diketahui 0,� < 0 < � − +,� <∞
fungsi � → (�,�) merupakan fungsi naik dan kontinu sehingga 0,� � ,� � − +,� <∞
lim→ �,� = lim→ �,� = � ,� , dengan c>0 maka min
�∈ℛℙ(� − �> ) = min�∈ℛ � − � > + (� ,�) − �,� = min
�∈ℛ � − � > + � ,� ( ) Misalkan = � ( ),� dan
� ( ) = − +�( < ),
= − + ; < < ,
0 ; selainnya, dengan <∞, maka
= � ( ),�
= − +,�
iii. untuk batas bawah w :
= − +,�
= 0,� = 0,� < 0 iv. untuk batas atas ∞ :
∞ = ∞ − +,�
= ∞,� = ∞,� > 0 sehingga kontinu saat . Oleh karena itu ada ∗ sehingga = 0.
min
�∈ℛℙ(� − � > ) = min�∈ℛ � − � > + (� ,�) min
�∗ � − � ∗( ) > + (� ∗ ,�) = � − � ∗ > + � ∗ ,� ( ) =ℙ � − �∗> . ∎
(5)
Pembuktian Teorema 3
minℙ(� − �> )
dengan kendala �= (�), 0 � �, (3.4) dimana � = (� �)
( �).
Akan dibuktikan jika 0 <� −1 dan 0 < � −
+− � exp � − + <∞. Maka
solusi dari masalah (3.4) merupakan truncated stop loss � ∗(�) = � − +�(�< ∗), dimana ∗ adalah bilangan real sehingga �= (� ∗).
Bukti:
�= (�) ⇔�= (� �)
( �)
⇔ � � =� ( �) ⇔� � =� ( �) ⇔ (� − �) � = 0
⇔ [ � − � �] = 0 dengan c>0, maka min
� ℙ(� − �> ) = min� � − � > + � − � � − [ � − � �] = min
� � − � > + � − �
� Misalkan = [ � ( )− � � ( )] dan
� ( ) = − +�( < ),
= − + ; < < ,
0 ; selainnya, dengan <∞, maka
= [ � − � � ( )]
= − +− � exp − +
= − +− � exp − +
i. untuk batas bawah w :
= − +− � exp − +
= −� exp0 = −� < 0 ii. untuk batas atas ∞ :
∞ = ∞ − +− � exp ∞ − +
= ∞ exp ∞ =∞ > 0 sehingga kontinu saat . Oleh karena itu ada ∗ sehingga = 0.
min
� ℙ(� − � > ) = min� � − � > + � − �
� min
�∗ � − � ∗( ) > + � ∗ − �
� ∗ = � − � ∗ > + � ∗ − � � ∗ =ℙ � − � ∗ > . ∎
(6)
Pembuktian Teorema 4
minℙ(� − �> ) dengan kendala � ∈ ℛ( ) (3.5) dimana ℛ = �;�=� � , 0 � �, � �0, � , � .
Akan dibuktikan jika 0 < < (� − )+. Maka truncated stop loss
� ∗(�) = � − +�(�< ∗)
= � − + ; <�< ∗,
0 ; selainnya, adalah solusi dari masalah (3.5) sehingga � (�0, � ).
Bukti:
Misalkan ℛ = �;�=� � , 0 � �, �= = �0, � dan � = � − +�(�<
( )), sehingga � ∈ ℛ dengan c>0 maka min
�∈ℛ( )ℙ(� − �> ) 0min �∈ℛmin [� � − �> + (� − )]
min
0 �∈ℛmin[� � − �> + (� − )]
= min
0 ℙ(� − � > )
= min
0 �( − � > )
= min
0 � − −
( ) = min
0 �
( ) = min
0 �
( ) = min
0 ℙ(� ( )).
Misalkan ( ) merupakan solusi dari �=
⇔ � = − = dimana > , maka