Perencanaan Premi Optimal Untuk Perusahaan Reasuransi Dengan Reinstatement

PERENCANAAN PREMI OPTIMAL UNTUK PERUSAHAAN
REASURANSI DENGAN REINSTATEMENT

INDAH ROSLIYANA
G54103035

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2007

2

ABSTRACT
INDAH ROSLIYANA. Optimal Premium Plan for Reinsurance with Reinstatements. Supervised
by I G PUTU PURNABA and I WAYAN MANGKU.
Reinsurance is a company which agrees to indemnify an insurance company against all or a
portion of the primary insurance risk underwritten by the ceding company under one or more
insurance contracts. Essentially, the reinsurance mechanism is equal to an insurance mechanism.
All principals and procedures that hold in insurance process also hold for reinsurance. One of them

is premium plan.
This study discuss premium plan in a reinsurance contract using reinstatement premium.
Reinsurance contract with reinstatement can be formulated in many ways. In this contract, the
reinstatement premium is defined as a random variable. The reinstatement premium used is a
constant that is not influenced by loss. This premium is not paid in the beginning of the contract,
but it is paid when the loss of the reinsurance company is greater than a maximum bound paid to
insured. It is expected that the company will not obtain a loss in taking risk.
Reinsurance contract minimizing expected squared difference between the loss and the total
premium income of the reinsurance, therefore it is said to be optimal. The problem of minimizing
the expected squared over all premium plans can be viewed as a credibility problem. Covariance
matrix of the explanatory random variables of premium plan with reinstatement has inverse, so
that the premium plan has a unique solution. The premiums of the optimal premium plan are
unbiased and nonnegative.

3

ABSTRAK
INDAH ROSLIYANA. Perencanaan Premi Optimal untuk Perusahaan Reasuransi dengan
Reinstatement. Dibimbing oleh I G PUTU PURNABA dan I WAYAN MANGKU.
Perusahaan reasuransi adalah suatu perusahaan yang di dalamnya terdapat perjanjian antara

beberapa perusahaan asuransi mengenai pengalihan sebagian risiko, untuk menghindarkan risiko
yang terlalu besar. Secara prinsip, mekanisme reasuransi sama dengan mekanisme asuransi. Semua
prinsip dan prosedur yang berlaku pada proses asuransi juga berlaku untuk reasuransi. Salah
satunya adalah mengenai perencanaan premi.
Tulisan ini membahas tentang perencanaan premi dalam suatu kontrak resuransi yang
menggunakan premi reinstatement. Kontrak reasuransi dengan reinstatement dapat diformulasikan
dalam banyak cara. Dalam kontrak ini, premi reinstatement didefinisikan sebagai peubah acak dan
premi reinstatement yang digunakan adalah konstanta sehingga besarnya tidak dipengaruhi oleh
jumlah kerugian. Premi ini tidak dibayarkan pada awal kontrak, melainkan ketika kerugian
perusahaan reasuransi lebih besar daripada batas maksimum yang akan dibayarkan kepada
tertanggung. Sehingga diharapkan perusahaan tidak akan mengalami kerugian dalam menanggung
risiko.
Kontrak reasuransi dengan reinstatement meminimumkan nilai harapan dari kuadrat selisih
antara kerugian dan total pemasukan premi. Sehingga perencanaan premi yang digunakan optimal.
Minimisasi dari nilai harapan kuadrat tersebut terhadap semua perencanaan premi dapat dilihat
sebagai masalah kredibilitas. Matriks koragam dari peubah acak penjelas pada perencanaan premi
dengan reinstatement memiliki invers sehingga perencanaan premi optimal tersebut memiliki
solusi dan unik. Premi pada perencanaan premi optimal bersifat tak bias dan tak negatif.

4


PERENCANAAN PREMI OPTIMAL UNTUK PERUSAHAAN
REASURANSI DENGAN REINSTATEMENT

Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor

Oleh :
INDAH ROSLIYANA
G54103035

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2007

5


Judul

:

Nama
NRP

:
:

Perencanaan Premi Optimal untuk Perusahaan Reasuransi dengan
Reinstatement
Indah Rosliyana
G54103035

Menyetujui :

Pembimbing I,


Pembimbing II,

Dr. Ir. I G Putu Purnaba, DEA.
NIP 131878945

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.
NIP 131663020

Mengetahui :

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor

Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S.
NIP 131473999

Tanggal Lulus :

6


KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis haturkan kehadirat Allah SWT atas segala nikmat dan karunia yang
sangat besar sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul Perencanaan Premi
Optimal untuk Perusahaan Reasuransi dengan Reinstatement.
Tanpa bantuan dan dukungan dari berbagai pihak mungkin penulis tidak dapat menyelesaikan
tugas akhir ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih
kepada :
1. Bpk. Dr. Ir. I G Putu Purnaba, DEA. selaku Pembimbing I atas waktu, bimbingan, saran serta
masukan yang telah diberikan hingga penulisan karya ilmiah ini selesai.
2. Bpk. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku pembimbing II atas bimbingan dan masukan yang
telah diberikan dalam penyelesaian karya ilmiah ini.
3. Bpk. Drs. Effendi Syahril. Grad. Dipl. Sc. selaku dosen penguji atas saran dan masukan yang
telah Bapak berikan.
4. Kedua orangtuaku dan adikku tersayang.
5. Keluarga keduaku Bpk. H. Amroni dan Ibu Hj. Amroni atas semua bimbingan dan nasihat
yang telah diberikan kepada penulis. Untuk nenekku tercinta dan untuk semua kakak-kakakku.
6. Dosen-dosen di Departemen Matematika, terima kasih atas ilmu yang telah Bapak dan Ibu
berikan, serta staff Departemen Matematika : Pak Deny, Pak Yono, Pak Bono, Bu Ade, Bu
Susi, Bu Marisi, terima kasih atas bantuan selama di Departemen Matematika.
7. Teman-teman Matematika angkatan 40 : Marisa (untuk 4 tahun persahabatan kita), Mika

(teman seperjuanganku dalam suka dan duka), Vina (sahabat yang selalu membuatku ceria),
Amie (tetap semangat), Achie, Ifni dan Tiwi (untuk bantuannya dalam persiapan seminar),
Septi, Metha, Bedu, Rama, Mufti, Azis, Yudi, Dimas, Sawa, Elis, Nchie, Ulfa, Sriti, Marlin,
Yuda, Uli, Walidah, Dwi, Demi, Gatha (atas semangatnya), Mita (untuk segala bantuan yang
telah diberikan), Herni, Nisa, Prima, Aam, Lili, Manto, Mukafi, Ari, Jayu, Rusli, Berri, Anton,
Ali, Abay, Fe, Yusuf, Putra (tetap semangat). Kalian telah membuat hari-hariku penuh warna.
8. Kakak-kakak kelasku Math’39, Math’38, Math’37, Math’36 dan seterusnya. Serta adik-adik
kelasku Math’41 dan Math’42.
9. Seluruh keluarga besar Wisma Blobo, terima kasih atas semua bantuan yang telah diberikan.
10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu-persatu. Terima kasih atas segalanya.
Harapan penulis adalah semoga karya ilmiah ini akan memberikan manfaat bagi para
pembacanya.

Bogor, Mei 2007

Indah Rosliyana

7

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 27 April 1985 sebagai anak pertama dari dua
bersaudara dari pasangan Bapak Tahrim dan Ibu Maryana.
Tahun 2003 penulis lulus dari SMUN 38 Jakarta dan pada tahun yang sama diterima sebagai
mahasiswa Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut
Pertanian Bogor melalui jalur USMI.
Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis aktif di dalam kegiatan Badan Eksekutif
Mahasiswa FMIPA dan kepengurusan Gugus Mahasiswa Matematika IPB selama periode 20032004 sebagai Staff Departemen Sosial Masyarakat dan Wira Usaha, kemudian periode 2004-2005
sebagai Kepala Departemen Kewirausahaan dan periode 2005-2006 sebagai Anggota Departemen
PSDM.

DAFTAR ISI
Halaman
PENDAHULUAN
Latar Belakang..........................................................................................................................
Tujuan .......................................................................................................................................

1
1

LANDASAN TEORI

Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang .....................................................................................
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ............................................................................................
Fungsi Kerapatan Peluang........................................................................................................
Nilai Harapan............................................................................................................................
Ragam dan Kovarian ................................................................................................................
Matriks ......................................................................................................................................
Asuransi dan Reasuransi ..........................................................................................................

1
2
2
2
2
3
3

PEMBAHASAN
Kontrak Reasuransi dengan Reinstatement ............................................................................ 4
Eksistensi dan Keunikan dari Perencanaan Premi Optimal..................................................... 5
Sifat dari Perencanaan Premi Optimal .................................................................................... 8

Contoh ...................................................................................................................................... 10
SIMPULAN.................................................................................................................................... 12
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................... 13
LAMPIRAN ................................................................................................................................... 14

vii

viii

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Saat ini, sudah menjadi suatu fakta bahwa
perusahaan asuransi mempunyai modal yang
terbatas. Dengan modal yang terbatas itu,
sebuah perusahaan asuransi tidak leluasa
untuk melakukan akseptasi terhadap risikorisiko yang diterimanya. Hal ini disebabkan
oleh adanya peraturan perundangan yang
berisi bahwa perusahaan asuransi hanya
diperkenankan mempunyai retensi sendiri
sebesar 10% dari modal yang dimiliki.

Menjawab
permasalahan
di
atas,
reasuransi hadir untuk memberikan solusi atas
kapasitas akseptasi terbatas yang dimiliki
perusahaan asuransi. Reasuransi juga berperan
sebagai proteksi otomatis pada perusahaan
asuransi.
Secara prinsip, mekanisme reasuransi
adalah sama dengan mekanisme asuransi.
Semua prinsip dan prosedur yang berlaku
pada asuransi juga berlaku untuk reasuransi.
Salah satunya adalah mengenai perencanaan
premi.
Karya ilmiah ini mengkaji perencanaan
premi optimal untuk kontrak reasuransi

dengan reinstatement. Di dalam kontrak ini,
premi reinstatement, yaitu jumlah yang harus
dibayarkan ketika kerugian perusahaan
reasuransi melebihi jumlah batas tertentu yang
telah ditentukan, adalah konstanta.
Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi
dari tulisan Hess and Schmidt (2004) yang
berjudul Optimal Premium Plan for
Reinsurance with Reinstatements.
Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah :
1.
Mempelajari eksistensi sebuah
perencanaan premi yang
meminimumkan nilai harapan dari
kuadrat selisih antara kerugian dan total
pemasukan premi suatu perusahaan
reasuransi.
2.
Menunjukkan bahwa perencanaan
premi optimal ada, unik dan memenuhi
prinsip premi bersih serta dapat
dihitung dari momen pertama dan
kedua fungsi kerugian reinsurer.
3.
Mempelajari sifat perencanaan premi
optimal.

LANDASAN TEORI
Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan
pengulangan yang dilakukan dalam kondisi
yang sama. Semua kemungkinan hasil yang
akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada
percobaan berikutnya tidak dapat diduga
dengan tepat. Percobaan yang semacam ini
disebut percobaan acak.
(Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian)
Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari
suatu percobaan acak disebut ruang contoh,
dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A
adalah himpunan bagian dari Ω.
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Definisi 3 (Medan- σ )
Medan- σ adalah suatu himpunan F yang
anggotanya terdiri atas himpunan bagian
ruang contoh Ω, yang memenuhi kondisi
berikut :

1. ∅ ∈ F ,
2. Jika A1 , A2 ,... ∈ F maka



Ai ∈ F ,

i =1

3. Jika A ∈ F maka Ac ∈ F .
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 4 (Ukuran Peluang)
Misalkan F adalah medan- σ dari ruang
contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi
P : F → [0,1] pada ( Ω, F ) yang memenuhi :
1. P ( ∅ ) = 0, P ( Ω ) = 1 ,
2. Jika A1 , A2 ,... ∈ F adalah himpunan yang
saling lepas yaitu Ai ∩ Aj = ∅ untuk
setiap

pasangan

i≠ j,

maka



P ⎜ Ai ⎟ = ∑ P ( Ai ) .
⎝ i =1 ⎠ i =1
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)




2

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran

Nilai Harapan

Definisi 5 (Peubah Acak)
Misalkan F adalah medan- σ dari ruang
contoh Ω. Suatu peubah acak X adalah suatu
fungsi X : Ω → R dengan sifat
{ω ∈ Ω : X (ω ) ≤ x} ∈ F untuk setiap x ∈ R .

Definisi 10 (Nilai Harapan)
1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan
fungsi kerapatan peluang px ( x ) , maka
nilai harapan dari X, dinotasikan dengan
E [ X ] , adalah

E [ X ] = ∑ xpx ( x ) ,

(Grimmet dan Stirzaker, 1992)

x

Definisi 6 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya
hanya pada himpunan bagian yang terhitung
dari R.
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Catatan :
Suatu himpunan bilangan C disebut terhitung
jika C terdiri atas bilangan terhingga atau
anggota C dapat dikorespondensikan 1-1
dengan bilangan bulat positif.
Definisi 7 (Fungsi Sebaran)
Misalkan X adalah peubah acak dengan ruang
A . Misalkan kejadian A = ( −∞, x ] ⊂ A ,
maka peluang dari kejadian
px ( A) = P ( X ≤ x ) = Fx ( x ) .

A

adalah

Fungsi Fx disebut fungsi sebaran dari peubah
acak X.
(Hogg and Craig, 1995)
Definisi 8 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak X dikatakan kontinu jika ada
fungsi f X ( x ) sehingga fungsi sebaran

FX ( x ) = P ( X ≤ x ) dapat dinyatakan sebagai

2.

asalkan jumlah di atas konvergen
mutlak.
Misalkan X adalah peubah acak kontinu
dengan fungsi kepekatan peluang f x ( x ) .
Nilai harapan dari X adalah
E[X ] =



∫ xf ( x)dx ,

−∞

asalkan integral di atas konvergen mutlak.
(Hogg dan Craig, 1995)
Teorema 1
Beberapa sifat dari nilai harapan
1. Jika k suatu konstanta,
E [k ] = k .
2.

maka

Jika k suatu konstanta dan V1 , V2
adalah peubah acak, maka:
E [ k1V1 + k2V2 ] = k1 E [V1 ] + k2 E [V2 ] .
Secara umum, jika k1 , k2 ,..., kn adalah
konstanta dan V1 , V2 ,..., Vn adalah
peubah acak, maka
E [ k1V1 + k2V2 + ... + knVn ]

= k1 E [V1 ] + k2 E [V2 ] + ... + kn E [Vn ] .
Bukti: lihat Hogg dan Craig (1995).



FX ( x ) = ∫ f X ( u ) du ,

yang terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi
kepekatan peluang dari X.
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)

Definisi 11 (Nilai Harapan Bersyarat)
Φ ( x) = E (Y | X = x) .
Maka
Misalkan
Φ ( x) disebut nilai harapan bersyarat dari Y
jika diketahui X , dan dituliskan E (Y | X ) .
(Hogg dan Craig, 1995)

Fungsi Kerapatan Peluang

Ragam dan Kovarian

Definisi 9 (Fungsi Kerapatan Peluang)
Misalkan ( Ω, F , P ) adalah ruang peluang.

Definisi 12 (Ragam)
Ragam dari peubah acak X adalah nilai
harapan dari kuadrat selisih antara X dengan
nilai harapannya. Secara matematis dapat
dinyatakan sebagai
2
Var ( X ) = E ⎡( X − E[ X ]) ⎤



−∞

x ∈ R , dengan f : R → [0, ∞] adalah fungsi

Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak
diskret X adalah fungsi p : R → [ 0,1] yang
diberikan oleh :
px ( x ) = P ( X = x ) .
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)

= E ⎡⎣ X 2 ⎤⎦ − ( E [ X ]) .
2

(Hogg dan Craig, 1995)

PERENCANAAN PREMI OPTIMAL UNTUK PERUSAHAAN
REASURANSI DENGAN REINSTATEMENT

INDAH ROSLIYANA
G54103035

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2007

2

ABSTRACT
INDAH ROSLIYANA. Optimal Premium Plan for Reinsurance with Reinstatements. Supervised
by I G PUTU PURNABA and I WAYAN MANGKU.
Reinsurance is a company which agrees to indemnify an insurance company against all or a
portion of the primary insurance risk underwritten by the ceding company under one or more
insurance contracts. Essentially, the reinsurance mechanism is equal to an insurance mechanism.
All principals and procedures that hold in insurance process also hold for reinsurance. One of them
is premium plan.
This study discuss premium plan in a reinsurance contract using reinstatement premium.
Reinsurance contract with reinstatement can be formulated in many ways. In this contract, the
reinstatement premium is defined as a random variable. The reinstatement premium used is a
constant that is not influenced by loss. This premium is not paid in the beginning of the contract,
but it is paid when the loss of the reinsurance company is greater than a maximum bound paid to
insured. It is expected that the company will not obtain a loss in taking risk.
Reinsurance contract minimizing expected squared difference between the loss and the total
premium income of the reinsurance, therefore it is said to be optimal. The problem of minimizing
the expected squared over all premium plans can be viewed as a credibility problem. Covariance
matrix of the explanatory random variables of premium plan with reinstatement has inverse, so
that the premium plan has a unique solution. The premiums of the optimal premium plan are
unbiased and nonnegative.

3

ABSTRAK
INDAH ROSLIYANA. Perencanaan Premi Optimal untuk Perusahaan Reasuransi dengan
Reinstatement. Dibimbing oleh I G PUTU PURNABA dan I WAYAN MANGKU.
Perusahaan reasuransi adalah suatu perusahaan yang di dalamnya terdapat perjanjian antara
beberapa perusahaan asuransi mengenai pengalihan sebagian risiko, untuk menghindarkan risiko
yang terlalu besar. Secara prinsip, mekanisme reasuransi sama dengan mekanisme asuransi. Semua
prinsip dan prosedur yang berlaku pada proses asuransi juga berlaku untuk reasuransi. Salah
satunya adalah mengenai perencanaan premi.
Tulisan ini membahas tentang perencanaan premi dalam suatu kontrak resuransi yang
menggunakan premi reinstatement. Kontrak reasuransi dengan reinstatement dapat diformulasikan
dalam banyak cara. Dalam kontrak ini, premi reinstatement didefinisikan sebagai peubah acak dan
premi reinstatement yang digunakan adalah konstanta sehingga besarnya tidak dipengaruhi oleh
jumlah kerugian. Premi ini tidak dibayarkan pada awal kontrak, melainkan ketika kerugian
perusahaan reasuransi lebih besar daripada batas maksimum yang akan dibayarkan kepada
tertanggung. Sehingga diharapkan perusahaan tidak akan mengalami kerugian dalam menanggung
risiko.
Kontrak reasuransi dengan reinstatement meminimumkan nilai harapan dari kuadrat selisih
antara kerugian dan total pemasukan premi. Sehingga perencanaan premi yang digunakan optimal.
Minimisasi dari nilai harapan kuadrat tersebut terhadap semua perencanaan premi dapat dilihat
sebagai masalah kredibilitas. Matriks koragam dari peubah acak penjelas pada perencanaan premi
dengan reinstatement memiliki invers sehingga perencanaan premi optimal tersebut memiliki
solusi dan unik. Premi pada perencanaan premi optimal bersifat tak bias dan tak negatif.

4

PERENCANAAN PREMI OPTIMAL UNTUK PERUSAHAAN
REASURANSI DENGAN REINSTATEMENT

Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor

Oleh :
INDAH ROSLIYANA
G54103035

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2007

5

Judul

:

Nama
NRP

:
:

Perencanaan Premi Optimal untuk Perusahaan Reasuransi dengan
Reinstatement
Indah Rosliyana
G54103035

Menyetujui :

Pembimbing I,

Pembimbing II,

Dr. Ir. I G Putu Purnaba, DEA.
NIP 131878945

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.
NIP 131663020

Mengetahui :

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor

Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S.
NIP 131473999

Tanggal Lulus :

6

KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis haturkan kehadirat Allah SWT atas segala nikmat dan karunia yang
sangat besar sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul Perencanaan Premi
Optimal untuk Perusahaan Reasuransi dengan Reinstatement.
Tanpa bantuan dan dukungan dari berbagai pihak mungkin penulis tidak dapat menyelesaikan
tugas akhir ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih
kepada :
1. Bpk. Dr. Ir. I G Putu Purnaba, DEA. selaku Pembimbing I atas waktu, bimbingan, saran serta
masukan yang telah diberikan hingga penulisan karya ilmiah ini selesai.
2. Bpk. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku pembimbing II atas bimbingan dan masukan yang
telah diberikan dalam penyelesaian karya ilmiah ini.
3. Bpk. Drs. Effendi Syahril. Grad. Dipl. Sc. selaku dosen penguji atas saran dan masukan yang
telah Bapak berikan.
4. Kedua orangtuaku dan adikku tersayang.
5. Keluarga keduaku Bpk. H. Amroni dan Ibu Hj. Amroni atas semua bimbingan dan nasihat
yang telah diberikan kepada penulis. Untuk nenekku tercinta dan untuk semua kakak-kakakku.
6. Dosen-dosen di Departemen Matematika, terima kasih atas ilmu yang telah Bapak dan Ibu
berikan, serta staff Departemen Matematika : Pak Deny, Pak Yono, Pak Bono, Bu Ade, Bu
Susi, Bu Marisi, terima kasih atas bantuan selama di Departemen Matematika.
7. Teman-teman Matematika angkatan 40 : Marisa (untuk 4 tahun persahabatan kita), Mika
(teman seperjuanganku dalam suka dan duka), Vina (sahabat yang selalu membuatku ceria),
Amie (tetap semangat), Achie, Ifni dan Tiwi (untuk bantuannya dalam persiapan seminar),
Septi, Metha, Bedu, Rama, Mufti, Azis, Yudi, Dimas, Sawa, Elis, Nchie, Ulfa, Sriti, Marlin,
Yuda, Uli, Walidah, Dwi, Demi, Gatha (atas semangatnya), Mita (untuk segala bantuan yang
telah diberikan), Herni, Nisa, Prima, Aam, Lili, Manto, Mukafi, Ari, Jayu, Rusli, Berri, Anton,
Ali, Abay, Fe, Yusuf, Putra (tetap semangat). Kalian telah membuat hari-hariku penuh warna.
8. Kakak-kakak kelasku Math’39, Math’38, Math’37, Math’36 dan seterusnya. Serta adik-adik
kelasku Math’41 dan Math’42.
9. Seluruh keluarga besar Wisma Blobo, terima kasih atas semua bantuan yang telah diberikan.
10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu-persatu. Terima kasih atas segalanya.
Harapan penulis adalah semoga karya ilmiah ini akan memberikan manfaat bagi para
pembacanya.

Bogor, Mei 2007

Indah Rosliyana

7

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 27 April 1985 sebagai anak pertama dari dua
bersaudara dari pasangan Bapak Tahrim dan Ibu Maryana.
Tahun 2003 penulis lulus dari SMUN 38 Jakarta dan pada tahun yang sama diterima sebagai
mahasiswa Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut
Pertanian Bogor melalui jalur USMI.
Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis aktif di dalam kegiatan Badan Eksekutif
Mahasiswa FMIPA dan kepengurusan Gugus Mahasiswa Matematika IPB selama periode 20032004 sebagai Staff Departemen Sosial Masyarakat dan Wira Usaha, kemudian periode 2004-2005
sebagai Kepala Departemen Kewirausahaan dan periode 2005-2006 sebagai Anggota Departemen
PSDM.

DAFTAR ISI
Halaman
PENDAHULUAN
Latar Belakang..........................................................................................................................
Tujuan .......................................................................................................................................

1
1

LANDASAN TEORI
Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang .....................................................................................
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ............................................................................................
Fungsi Kerapatan Peluang........................................................................................................
Nilai Harapan............................................................................................................................
Ragam dan Kovarian ................................................................................................................
Matriks ......................................................................................................................................
Asuransi dan Reasuransi ..........................................................................................................

1
2
2
2
2
3
3

PEMBAHASAN
Kontrak Reasuransi dengan Reinstatement ............................................................................ 4
Eksistensi dan Keunikan dari Perencanaan Premi Optimal..................................................... 5
Sifat dari Perencanaan Premi Optimal .................................................................................... 8
Contoh ...................................................................................................................................... 10
SIMPULAN.................................................................................................................................... 12
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................... 13
LAMPIRAN ................................................................................................................................... 14

vii

viii

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Saat ini, sudah menjadi suatu fakta bahwa
perusahaan asuransi mempunyai modal yang
terbatas. Dengan modal yang terbatas itu,
sebuah perusahaan asuransi tidak leluasa
untuk melakukan akseptasi terhadap risikorisiko yang diterimanya. Hal ini disebabkan
oleh adanya peraturan perundangan yang
berisi bahwa perusahaan asuransi hanya
diperkenankan mempunyai retensi sendiri
sebesar 10% dari modal yang dimiliki.
Menjawab
permasalahan
di
atas,
reasuransi hadir untuk memberikan solusi atas
kapasitas akseptasi terbatas yang dimiliki
perusahaan asuransi. Reasuransi juga berperan
sebagai proteksi otomatis pada perusahaan
asuransi.
Secara prinsip, mekanisme reasuransi
adalah sama dengan mekanisme asuransi.
Semua prinsip dan prosedur yang berlaku
pada asuransi juga berlaku untuk reasuransi.
Salah satunya adalah mengenai perencanaan
premi.
Karya ilmiah ini mengkaji perencanaan
premi optimal untuk kontrak reasuransi

dengan reinstatement. Di dalam kontrak ini,
premi reinstatement, yaitu jumlah yang harus
dibayarkan ketika kerugian perusahaan
reasuransi melebihi jumlah batas tertentu yang
telah ditentukan, adalah konstanta.
Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi
dari tulisan Hess and Schmidt (2004) yang
berjudul Optimal Premium Plan for
Reinsurance with Reinstatements.
Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah :
1.
Mempelajari eksistensi sebuah
perencanaan premi yang
meminimumkan nilai harapan dari
kuadrat selisih antara kerugian dan total
pemasukan premi suatu perusahaan
reasuransi.
2.
Menunjukkan bahwa perencanaan
premi optimal ada, unik dan memenuhi
prinsip premi bersih serta dapat
dihitung dari momen pertama dan
kedua fungsi kerugian reinsurer.
3.
Mempelajari sifat perencanaan premi
optimal.

LANDASAN TEORI
Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan
pengulangan yang dilakukan dalam kondisi
yang sama. Semua kemungkinan hasil yang
akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada
percobaan berikutnya tidak dapat diduga
dengan tepat. Percobaan yang semacam ini
disebut percobaan acak.
(Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian)
Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari
suatu percobaan acak disebut ruang contoh,
dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A
adalah himpunan bagian dari Ω.
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Definisi 3 (Medan- σ )
Medan- σ adalah suatu himpunan F yang
anggotanya terdiri atas himpunan bagian
ruang contoh Ω, yang memenuhi kondisi
berikut :

1. ∅ ∈ F ,
2. Jika A1 , A2 ,... ∈ F maka



Ai ∈ F ,

i =1

3. Jika A ∈ F maka Ac ∈ F .
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 4 (Ukuran Peluang)
Misalkan F adalah medan- σ dari ruang
contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi
P : F → [0,1] pada ( Ω, F ) yang memenuhi :
1. P ( ∅ ) = 0, P ( Ω ) = 1 ,
2. Jika A1 , A2 ,... ∈ F adalah himpunan yang
saling lepas yaitu Ai ∩ Aj = ∅ untuk
setiap

pasangan

i≠ j,

maka



P ⎜ Ai ⎟ = ∑ P ( Ai ) .
⎝ i =1 ⎠ i =1
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)




2

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran

Nilai Harapan

Definisi 5 (Peubah Acak)
Misalkan F adalah medan- σ dari ruang
contoh Ω. Suatu peubah acak X adalah suatu
fungsi X : Ω → R dengan sifat
{ω ∈ Ω : X (ω ) ≤ x} ∈ F untuk setiap x ∈ R .

Definisi 10 (Nilai Harapan)
1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan
fungsi kerapatan peluang px ( x ) , maka
nilai harapan dari X, dinotasikan dengan
E [ X ] , adalah

E [ X ] = ∑ xpx ( x ) ,

(Grimmet dan Stirzaker, 1992)

x

Definisi 6 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya
hanya pada himpunan bagian yang terhitung
dari R.
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)
Catatan :
Suatu himpunan bilangan C disebut terhitung
jika C terdiri atas bilangan terhingga atau
anggota C dapat dikorespondensikan 1-1
dengan bilangan bulat positif.
Definisi 7 (Fungsi Sebaran)
Misalkan X adalah peubah acak dengan ruang
A . Misalkan kejadian A = ( −∞, x ] ⊂ A ,
maka peluang dari kejadian
px ( A) = P ( X ≤ x ) = Fx ( x ) .

A

adalah

Fungsi Fx disebut fungsi sebaran dari peubah
acak X.
(Hogg and Craig, 1995)
Definisi 8 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak X dikatakan kontinu jika ada
fungsi f X ( x ) sehingga fungsi sebaran

FX ( x ) = P ( X ≤ x ) dapat dinyatakan sebagai

2.

asalkan jumlah di atas konvergen
mutlak.
Misalkan X adalah peubah acak kontinu
dengan fungsi kepekatan peluang f x ( x ) .
Nilai harapan dari X adalah
E[X ] =



∫ xf ( x)dx ,

−∞

asalkan integral di atas konvergen mutlak.
(Hogg dan Craig, 1995)
Teorema 1
Beberapa sifat dari nilai harapan
1. Jika k suatu konstanta,
E [k ] = k .
2.

maka

Jika k suatu konstanta dan V1 , V2
adalah peubah acak, maka:
E [ k1V1 + k2V2 ] = k1 E [V1 ] + k2 E [V2 ] .
Secara umum, jika k1 , k2 ,..., kn adalah
konstanta dan V1 , V2 ,..., Vn adalah
peubah acak, maka
E [ k1V1 + k2V2 + ... + knVn ]

= k1 E [V1 ] + k2 E [V2 ] + ... + kn E [Vn ] .
Bukti: lihat Hogg dan Craig (1995).



FX ( x ) = ∫ f X ( u ) du ,

yang terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi
kepekatan peluang dari X.
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)

Definisi 11 (Nilai Harapan Bersyarat)
Φ ( x) = E (Y | X = x) .
Maka
Misalkan
Φ ( x) disebut nilai harapan bersyarat dari Y
jika diketahui X , dan dituliskan E (Y | X ) .
(Hogg dan Craig, 1995)

Fungsi Kerapatan Peluang

Ragam dan Kovarian

Definisi 9 (Fungsi Kerapatan Peluang)
Misalkan ( Ω, F , P ) adalah ruang peluang.

Definisi 12 (Ragam)
Ragam dari peubah acak X adalah nilai
harapan dari kuadrat selisih antara X dengan
nilai harapannya. Secara matematis dapat
dinyatakan sebagai
2
Var ( X ) = E ⎡( X − E[ X ]) ⎤



−∞

x ∈ R , dengan f : R → [0, ∞] adalah fungsi

Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak
diskret X adalah fungsi p : R → [ 0,1] yang
diberikan oleh :
px ( x ) = P ( X = x ) .
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)

= E ⎡⎣ X 2 ⎤⎦ − ( E [ X ]) .
2

(Hogg dan Craig, 1995)

3

Definisi 13 (Kovarian)
Misalkan X dan Y adalah dua peubah acak
dengan E ( X ) = µ1 dan E (Y ) = µ2 , maka
Cov( X , Y ) = E ⎡⎣( X − µ1 )(Y − µ 2 ) ⎤⎦
= E ( XY ) − µ1 µ2 ,
disebut kovarian peubah acak X dan Y .
(Hogg dan Craig, 1995)

Matriks
Definisi 14 (Invers Matriks)
Suatu matriks A berukuran n × n dikatakan
taksingular (nonsingular) atau dapat dibalik
(invertible) jika terdapat matriks B sehingga
AB = BA = I . Matriks B disebut sebagai
invers perkalian (multiplicative inverse) dari
A.
(Leon, 2001)
Definisi 15 (Transpos dari Suatu Matriks)
Tranpos dari suatu matriks A berukuran
m × n adalah matriks B berukuran n × m
yang didefinisikan oleh :

b ji = aij
untuk j = 1,..., n dan i = 1,..., m . Transpos
T
dari A dinotasikan dengan A .
(Leon, 2001)
Definisi 16 (Matriks Simetris)
Suatu matriks A berukuran n × n disebut

simetris jika A = A .
T

(Leon, 2001)
Asuransi dan Reasuransi
Definisi 17 (Asuransi)
Asuransi
atau
pertanggungan
adalah
perjanjian antara dua pihak atau lebih dimana
pihak tertanggung mengikat diri kepada
penanggung, dengan membayar premi-premi
asuransi untuk memberi penggantian kepada
tertanggung karena kerugian, kerusakan atau
kehilangan keuntungan yang diharapkan atau
tanggung jawab hukum kepada pihak ketiga
yang mungkin akan diderita tertanggung
karena suatu peristiwa yang tidak pasti.
Pihak-pihak yang terlibat dalam suatu proses
asuransi, yaitu:
1.
Tertanggung, yaitu pihak yang
mempunyai risiko atas harta benda
dipertanggungkan.
2.
Perantara asuransi, yaitu pihak yang
memberikan jasa perantara dalam hal
penutupan asuransi. Perantara ini bisa
berupa agen asuransi yang bertindak

untuk dan atas nama perusahaan asuransi,
atau bisa berupa broker asuransi yang
bertindak untuk dan atas nama
tertanggung.
3.
Penanggung, yaitu pihak yang
memberikan jaminan atas objek yang
dipertanggungkan.
Terdapat beberapa fungsi dan peran asuransi,
antara lain:
1. Transfer risiko, yaitu dengan membayar
premi yang relatif kecil seseorang atau
perusahaan
dapat
memindahkan
ketidakpastian atas hidup dan harta
bendanya (risiko) ke perusahaan asuransi.
2. Memberikan jaminan perlindungan dari
risiko-risiko kerugian yang diderita suatu
pihak.
3. Meningkatkan efisiensi, karena tidak
perlu
secara
khusus
mengadakan
pengamanan dan pengawasan untuk
memberikan perlindungan yang memakan
banyak tenaga, waktu dan biaya.
4. Dasar bagi pihak bank untuk memberikan
kredit, karena bank memerlukan jaminan
perlindungan atas agunan yang diberikan
oleh peminjam uang.
(Noekman, 2004)
Definisi 18 (Reasuransi)
Perjanjian antara beberapa perusahaan
asuransi mengenai pengalihan sebagian risiko,
untuk menghindarkan risiko yang terlalu
besar.
Pihak-pihak yang terlibat dalam suatu proses
reasuransi, yaitu:
1. Tertanggung
ulang,
yaitu
badan
hukum/perusahaan yang memberikan
pertanggungan atas risiko yang dimiliki
oleh seorang tertanggung, atas imbalan
jasa.
2. Perantara reasuransi, yaitu pihak-pihak
yang bertindak untuk dan atas nama
penanggung dalam hal mencarikan
proteksi asuransi. Pihak perantara
reasuransi ini tidak mempunyai tanggung
jawab hukum atas risiko yang
dilimpahkan oleh tertanggung kepada
penanggung, maupun atas risiko yang
dilimpahkan oleh penanggung kepada
penanggung ulang.
3. Penanggung ulang, yaitu pihak-pihak
yang memberikan pertanggungan ulang
kepada pihak yang mengalihkan risiko
kepadanya, atas dasar pembayaran jasa.
Terdapat beberapa fungsi dan peran
reasuransi, antara lain:
1. Memperbesar kapasitas akseptasi.
2. Menciptakan stabilitas keuangan.

4

3.
4.

Menimbulkan rasa aman.
Memberikan perlindungan atas risiko
katastropik (risiko yang terjadi di luar
perkiraan dan menimbulkan kerugian
yang sangat besar).

5.
6.

Melakukan penyebaran risiko.
Memenuhi peraturan perundangan.
(Noekman, 2004)

PEMBAHASAN
Kontrak reasuransi dengan reinstatement
Misalkan bilangan real H ∈ ( 0, ∞ ) dan
S :Ω → R
dengan
S adalah peubah acak

peubah
acak
P ⎡⎣{0 ≤ S ≤ H }⎤⎦ = 1 .

yang menyatakan kerugian total dari reinsurer
dan H adalah konstanta yang menyatakan
batas atas liabilitas dari reinsurer.
Kerugian Reasuransi
Asumsikan bahwa kerugian total X ' yang
ditanggung oleh sebuah perusahaan asuransi
dapat direpresentasikan sebagai berikut :
N'

X ' = ∑ Yj '

(1)

j =1

dimana: X ' = total klaim
N ' = banyaknya
orang
mengajukan klaim
Yj ' = besarnya
klaim
tertanggung ke- j ,
j = 1,..., N ' .

( N ,{Yj} )
j∈Ν

yang dapat direpresentasikan sebagai :
N

X = ∑ min {Yj − d , h}

dari
dengan

( N ',{Yj '} )
j∈ N '

adalah model kolektif untuk kerugian total
X ' . Kerugian total reinsurer dalam kontrak
reasuransi dengan prioritas d ∈ ( 0, ∞ ) dan

dengan:
X = kerugian reinsurer
N =jumlah klaim yang melebihi prioritas
Yj =besarnya klaim ke- j yang melebihi
prioritas.
Jika kontrak reasuransi merupakan
D ∈ [ 0, ∞ )
prioritas total
dan batas
maksimum total H ∈ ( 0, ∞ ) , maka kerugian

S = min

j =1

{

+

}

(

) dapat

+

(4)

⎪⎧ X − D, jika ( X − D ) ≥ 0
=⎨
⎪⎩ 0, jika ( X − D ) < 0
Peubah
acak
S
memenuhi
P ⎡⎣{0 ≤ S ≤ H }⎤⎦ = 1 .
Kemudian diasumsikan kontrak reasuransi
pada S dengan n ∈ N 0 reinstatement di dalam

( X − D)

+

rentang [ 0, H ] dibagi ke dalam n + 1 bagian

[0, h] , ( h, 2h] ,..., ( nh, H ]

dengan

H
.
(5)
n +1
π 0 ∈ R dibayarkan pada awal
h=

(2)

dimana d adalah batas maksimum klaim yang
akan dibayarkan perusahaan asuransi terhadap
pihak tertanggung dan h adalah batas
maksimum yang dapat dibayarkan oleh
perusahaan reasuransi terhadap klaim yang
diajukan.
Peubah acak dari model bersama untuk
kerugian tertanggung tidak dapat diamati oleh
perusahaan
reasuransi,
tetapi
telah
ditunjukkan oleh Hess [2003] bahwa model
kolektif N ', {Yj '} j∈N

{( X − D ) , H }

dimana:

nilai h ∈ ( 0, ∞ ) , dapat dihitung dari:
X = ∑ min (Yj '− d ) , h

(3)

j =1

yang

bebas stokastik identik dan bebas terhadap

N'

yaitu seperti kerugian reinsurer

reinsurer menjadi:

Diasumsikan pula barisan {Yj '} j∈N ' adalah
N ' . Hal ini berarti pasangan

ditransformasikan ke dalam model kolektif

Premi awal

kontrak yaitu pada rentang [ 0, h] , dan premi
reinstatement

πk ∈ R

dibayarkan

ketika

kerugian S melebihi kh dengan k ∈ {1,..., n} .
Setiap barisan finite π = {π k }k∈{0,1,..., n} ⊆ R
menjadi perencanaan premi untuk kontrak
reasuransi dengan n-reinstatement.
Besarnya peluang premi reinstatement
dibayarkan sama dengan:

5




αk = ⎨

P ⎡⎣{0 ≤ S ≤ h}⎤⎦ , k = 0

⎪⎩ P ⎡⎣{kh < S ≤ ( k + 1) h}⎤⎦ , k ∈ {1,..., n}

α k ∈ [ 0,1] , ∀k ∈ {0,1,..., n}
n

∑α

k

dan

(6)
memenuhi

=1.

Eksistensi dan Keunikan dari Perencanaan
Premi Optimal
Untuk
semua
perencanaan
premi
premi
total
dapat
π = {π k }k∈{0,1,..., n} ,
direpresentasikan sebagai berikut:
n

δ (π ) = π 0 + ∑ π k χ{kh < S} .

(7)

k=0

k =1

Terlihat

Kerugian Reasuransi saat D=0
Pada kasus D = 0 , kerugian reinsurer
dapat ditulis sebagai:

⎧m

S = ∑ χ{N = m} min ⎨∑ min {Yj − d , h} , H ⎬ (8)
m=0
⎩ j =1

⎧1, jika N = m
dimana: χ{N = m} = ⎨
⎩0, jika N ≠ m
Jika sekurang-kurangnya terdapat m-klaim
yang melebihi prioritas dan jika klaim ke-m
melebihi prioritas seperti :
m −1

m

j =1

j =1

∑ min {Yj − d , h} ≤ kh < ∑ min {Yj − d , h}

(9)

maka premi reinstatement π k harus dibayar.
Misalnya Π adalah kumpulan dari semua
perencanaan premi untuk kontrak reasuransi
dengan n -reinstatement. Untuk rencana
premi π = {π k }k∈{0,1,..., n} ∈ Π , premi total
reinstatement didefinisikan sebagai peubah
acak
n

δ (π ) = π 0 + ∑ π k χ{kh < S} .

(10)

k =1

Nilai harapan dari kuadrat error penduga
dari π didefinisikan sebagai :
2
E ⎡( δ ( π ) − S ) ⎤ .
(11)


Rencana
premi
π = {π k }k∈{0,1,..., n} ∈ Π
dikatakan tak bias jika:
E ⎣⎡δ (π ) ⎦⎤ = E [ S ] ,

2
meminimumkan E ⎡(δ (π ) − S ) ⎤ , bersifat


tak bias dan tak negatif.

merupakan

mana:
⎧1, jika kh < S
(14)
⎩0, jika kh ≥ S
Dengan
demikian
meminimumkan
2


E (δ (π ) − S ) terhadap semua perencanaan


premi π ∈ Π dapat dilihat sebagai masalah
kredibilitas. Masalah kredibilitas sangat
penting bagi suatu perusahaan reasuransi,
karena hal ini akan mempengaruhi seberapa
besar tingkat kepercayaan tertanggung
terhadap perusahaan tersebut. Kredibilitas ini
sangat erat kaitannya dengan kemampuan
suatu
perusahaan
reasuransi
dalam
menanggung kerugian-kerugian yang dialami
oleh pihak tertanggung.
Telah
diketahui
bahwa
masalah
kredibilitas mempunyai solusi unik. Jika
matriks koragam X dari vektor acak dibentuk
oleh peubah acak penjelas yang memiliki
invers, maka solusinya memiliki representasi
unik sebagai penjumlahan fungsi linear dari
peubah acak penjelas, dan jika invers dari
matriks koragam X diketahui, maka formula
eksplisit dapat diberikan untuk koefisien pada
solusi.
Didefinisikan :

χ{kh < S} = ⎨

⎡ χ{h < S } ⎤


⎢ . ⎥
Χ=⎢ . ⎥


⎢ . ⎥
⎢χ

⎣⎢ {nh < S} ⎦⎥

tak negatif jika π k ≥ 0 , ∀k ∈ {0,1,..., n} , dan

k ∈{0,1,..., n}

δ (π )

penjumlahan linear dari χ{h < S} ,..., χ{hn < S} di

(12)

optimal
jika
mengakibatkan
π
2
E ⎡(δ (π ) − S ) ⎤ minimum.


Pada pembahasan selanjutnya, akan
ditunjukkan bahwa terdapat perencanaan
premi unik π ∗ = {π k ∗ }
∈ Π yang

bahwa

(13)

dengan
dan

(15)

µ = E [Χ]

µ = E [S ]
Σ = Var[X]
ρ = Cov[X,S ]

σ 2 = Var[ S ] .
Selanjutnya untuk memperlihatkan bahwa
perencanaan premi optimal memiliki solusi
yang unik, akan ditunjukkan Σ memiliki
invers dan akan ditentukan invers dari Σ .

6

Untuk k ∈ {1,..., n} , didefinisikan matriks
k

⎧1, jika i, j ≤ k
bk :i , j = ⎨
⎩0, selainnya

∈ R nxn sebagai berikut :

B k = ( bk :i , j ) ∈ R n× n

(16)

dengan :

⎛1

⎜0
B1 = ⎜ 0


⎜0


Dengan demikian akan diperoleh matriks
sebagai berikut:

0⎞
⎛1


0⎟
⎜1
0 ⎟ , B2 = ⎜ 0




⎜0
0 ⎟⎠


0 0
0 0
0 0
0 0

0⎞
⎛1


0⎟
⎜1
0 ⎟ ,…, Bn = ⎜1




⎜1
0 ⎟⎠


1 0
1 0
0 0
0 0

1⎞

1⎟
1⎟


1⎟⎠

1 1
1 1
1 1
1 1

n

dan didefinisikan

= ∑ α k Bk .

(17)

k =1

Dengan demikian akan didapatkan matriks A :

⎛α1 +α2 +α3 +

⎜α2 +α3 +α4 +
⎜α3 +α4 +α5 +

A=⎜α4 +α5 +α6 +


αn−1 +αn


αn


+αn α2 +α3 +α4 + +αn α3 +α4 +α5 + +αn α4 +α5 +α6 + +αn
+αn α2 +α3 +α4 + +αn α3 +α4 +α5 + +αn α4 +α5 +α6 + +αn
+αn α3 +α4 +α5 + +αn α3 +α4 +α5 + +αn α4 +α5 +α6 + +αn
+αn α4 +α5 +α6 + +αn α4 +α5 +α6 + +αn α4 +α5 +α6 + +αn

Kemudian akan
G ∈ R n×n oleh

αn−1 +αn
αn

αn−1 +αn
αn

didefinisikan

matriks

Untuk

+αn
+ αn
+ αn

0
0
0

0
0
0

0
0
0

0
0
0

+ αn

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0⎞

0⎟
0⎟

0⎟


0⎟
0 ⎟⎠

Selanjutnya hubungan antara Σ , A dan
G akan ditunjukkan dalam Lema sebagai
berikut:
Lema 1
Matriks Σ memenuhi : Σ =
Bukti: lihat Lampiran.

- GG'

(19)

n× n

αn ⎞
αn ⎟⎟
αn ⎟

αn ⎟



αn−1 +αn αn ⎟
αn αn ⎟⎠

k ∈ {0,1,..., n} ,

matriks Ck ∈ R

⎧ n
(18)
⎪∑ α , jika j = 1
gi , j = ⎨ k =i k
⎪0,
selainnya

Sehingga didapatkan matriks sebagai berikut:
⎛ α1 + α 2 + α 3 +

⎜α2 + α3 + α4 +
⎜α3 + α4 + α5 +

G = ⎜α4 + α5 + α6 +


α n −1 + α n


αn


αn−1 +αn
αn

αn−1 +αn
αn−1 +αn
αn−1 +αn
αn−1 +αn

didefinisikan

:

⎧1,
jika ( i, j ) ∈ {( k , k ) , ( k + 1, k + 1)}
⎪⎪
ck :i , j = ⎨−1, jika ( i, j ) ∈ {( k , k + 1) , ( k + 1, k )}

⎪⎩0, selainnya
(20)
Kemudian didapatkan C0 = 1
(21)

⎛1

⎜0
C0 = ⎜ 0


⎜0


0 0
0 0
0 0
0 0

0⎞

0⎟
0 ⎟ = B1


0 ⎟⎠

7

Bukti:
Untuk

Lema 2
Matriks A adalah invertible dan memenuhi :
n

-1

= ∑ α k −1Ck

k ∈ {1,..., n} ,

D k ∈ R n× n

matriks

didefinisikan:

(22)

k =1

jika i ≤ k = j
⎧1,

d k :i , j = ⎨ −1, jika i < k + 1 = j
⎪0, selainnya


⎛ 1 −1

⎜0 0
D1 = ⎜ 0 0


⎜0 0


1 −1 0
1 −1 0
0 −1 0

⎛0
0⎞


⎜0
0⎟
⎜0
0 ⎟ , D2 = ⎜

⎜0


⎜⎜
0 ⎟⎠
⎝0

0
0
0
0

Kemudian persamaan:
⎧D , jika k = l
B k Cl = ⎨ k
⎩ O, selainnya

0

0

0

0

0

0

(24)

0⎞
⎛0


0⎟
⎜0
⎜0

0
⎟ ,…, Dn = ⎜
0⎟

⎜0

⎜⎜
⎟⎟
0⎠
⎝0

0
0

0 1 −1⎞

0 1 −1⎟
0 1 −1⎟


0 1 −1⎟

0 0 −1⎟⎠

⎛ n


Σ ⎜ ∑α k −1Ck ⎟ = ( - G ) ⎜ α 0 −1
⎝ k =0



∀ k , l ∈ {1,..., n} .
Dengan demikian, berdasarkan persamaan
(17) akan diperoleh:
⎛ n
⎞⎛ n

AA -1 = ⎜ ∑ α k k ⎟ ⎜ ∑ α k −1Ck ⎟
⎝ k =1
⎠ ⎝ k =1


= ( -G)



1

n

+ ∑α k −1Ck ⎟
k =1


−1
0

= ( - G ) ( α 0 −1 A

1

1

+ A -1 )
+ I)

= ( - G ) (α 0 G + I )
-1

= α 0 -1G - α 0 -1G 2 + - G

= ∑ (α k α k −1 ) ( Bk Ck )
n

= α 0 -1 ( G - G 2 ) + ( - G )

k =1

= α 0 -1 ( G - (1 - α 0 ) G ) + ( - G )

n

= ∑ Dk

= α 0 -1 (α 0 G ) + ( - G )

k =1

= .

0
0
0

(23)



Lema 3
Matriks Σ adalah invertible dan memenuhi:
n

Σ-1 = ∑ α k −1Ck

(25)

k =0

Bukti:
Ambil G =
1 dan
1 adalah simetris dan
idempotent.
Dari Lema 1 didapatkan:
Σ = - GG'
= - ( 1 )( 1 ) '
= A - (AB1 )( 1' ')
= A - AB1 1
= 1
= -G
= ( - G) .

= G + ( - G)
= .

Lema
ini
menunjukkan
bahwa
perencanaan premi optimal memiliki solusi
yang unik.
Teorema 2
Terdapat
π ∗ = {π k ∗ }

k ∈{0,1,..., n}

2
E ⎡(δ (π ) − S ) ⎤ dan premi total dari


perencanaan premi π ∗ yang memenuhi:
(26)
δ (π ∗ ) = µ + ρ'Σ -1 ( Χ - µ )

dan
2
E ⎡ δ (π ∗ ) − S ⎤ = σ 2 + ρ'Σ -1ρ .
(27)
⎥⎦
⎣⎢
Secara khusus, premi awal π 0∗ memenuhi:

(



Dengan menggunakan Lema 2 dan persamaan
G 2 = (1 − α 0 ) G , diperoleh:

perencanaan
premi
∈ Π yang meminimumkan

)

π 0∗ = µ − µ'Σ -1ρ .

(28)

8

Dan
premi
memenuhi:

reinstatement

π 1∗ ,..., π n∗

⎛π ⎞


⎜ . ⎟
⎜ . ⎟ = Σ -1ρ .


⎜ . ⎟
⎜π ∗ ⎟
⎝ n ⎠

1

(29)

Perencanaan premi π ∗ adalah tak bias.
Bukti lihat Hess and Schmidt [2001].

dimana e k adalah unit vektor ke-k dari R n .
⎛ π 1∗ ⎞


⎜ . ⎟
Didefinisikan: π* = ⎜ . ⎟ .
(34)


⎜ . ⎟
⎜π ∗ ⎟
⎝ n ⎠
Dengan menggunakan Teorema 2 dan Lema
3, diperoleh:
π* = Σ -1ρ
n

Sifat dari Perencanaan Premi Optimal
Teorema 2 memperlihatkan eksistensi dan
keunikan dari perencanaan premi optimal
yang sama baiknya dengan formula eksplisit
untuk premi awal dan premi reinstatement
dari rencana premi ini, akan ditunjukkan
bahwa perencanaan premi optimal adalah tak
negatif.
Untuk k ∈ {0,1,..., n, n + 1} , didefinisikan:
⎪⎧cov ⎣⎡ S , χ{kh < S} ⎦⎤ ,

ρk = ⎨

⎪⎩0,

jika k ∈ {1,..., n}
jika k ∈ {0, n + 1}

(30)
⎛ ρ1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ . ⎟
dan ρ = ⎜ . ⎟ .
(31)
⎜ ⎟
⎜ . ⎟
⎜ρ ⎟
⎝ n⎠
Pada bagian ini akan diperoleh sebuah
formula pelengkap untuk perencanaan premi
optimal.

Teorema 3
Perencanaan premi optimal π ∗ = {π k ∗ }

k ∈{0,1,..., n}

memenuhi:

ρ1

jika k = 0
⎪µ − α ,

0
π k∗ = ⎨
⎪ ρk − ρk +1 − ρk −1 − ρk , jika k ∈ {1,..., n}
⎪⎩ α k
α k −1
(32)
Bukti:
∀k ∈ {0,1,..., n} , kita memiliki :
Ck ρ = ( ρk − ρk +1 ) ck − ( ρ k − ρ k +1 ) ck +1
dengan

⎪⎧e ,
c k := ⎨ k
⎪⎩0,

jika
jika

k ∈ {1,..., n}

k ∈ {0, n + 1}

(33)

= ∑αk −1Ck ρ
k =0
n

(

= ∑αk −1 ( ρk − ρk +1 ) ck − ( ( ρk − ρk +1 ) ck +1 )
k =0

)

n
⎛ ρ − ρk +1 ρk −1 − ρk ⎞
= ∑⎜ k

⎟ek .
αk
αk −1 ⎠
k =1 ⎝
Persamaan π k * terbukti untuk k ∈ {1,..., n} .

Selanjutnya berdasarkan persamaan (41), kita
mempunyai :
n ⎛ n

µ = ∑ ⎜ ∑ α j ⎟e k .
(35)
k =1 ⎝ j = k

Dengan menggunakan Teorema 2 kembali,
diperoleh:
π 0* = µ − µ ' Σ -1ρ
= µ − µ ' π*
n ⎛ n
⎞⎛ ρ − ρ k +1 ρ k −1 − ρ k ⎞
= µ − ∑ ⎜ ∑ α j ⎟⎜ k


α k −1 ⎠
k =1 ⎝ j = k
⎠ ⎝ αk
j
n
⎛ ρ − ρ k +1 ρ k −1 − ρ k ⎞
= µ − ∑α j ∑ ⎜ k


αk
α k −1 ⎠
j =1
k =1 ⎝

n
⎛ ρ j − ρ j +1 ρ0 − ρ1 ⎞
= µ − ∑α j ⎜



α 0 ⎟⎠
j =1
⎝ αj
n
⎛ ρ j − ρ j +1 ρ1 ⎞
= µ − ∑α j ⎜
+ ⎟

α 0 ⎟⎠
j =1
⎝ αj
n
α j ρ1 ⎞

= µ − ∑ ⎜ ρ j − ρ j +1 +

α0 ⎠
j =1 ⎝

⎛ n
ρ ⎞
= µ − ρ1 + ⎜ ∑ α j 1 ⎟
α
0 ⎠
⎝ j =1

ρ ⎞
= µ − ⎜ ρ1 + (1 − α 0 ) 1 ⎟
α
0 ⎠


=µ−

ρ1
.
α0



Persamaan π 0∗ terbukti untuk k = 0 .
Teorema ini memberikan representasi lain
dari premi pada perencanaan premi optimal

9

dan menunjukkan bahwa perencanaan premi
optimal adalah tak negatif.

Teorema 4
Perencanaan

π = {π k ∗ }

k ∈{0,1,..., n}

premi
memenuhi:

optimal

E ⎡⎣ S | {kh < S ≤ ( k + 1) h}⎤⎦

=
=

αk

( E ⎡⎣S χ







{kh < S } ⎦ − E ⎣ S χ{( k +1) h < S} ⎦

1 ⎛⎛

n

⎞ ⎛

1

(( ρ

=µ+

k

)

=

⎞⎞

1

ρ k − ρ k +1
αk

( E ⎡⎣S χ



( E ⎡⎣ S χ







{0 < S} ⎦ − E ⎣ S χ{h < S} ⎦

)

n
⎞ ⎛
⎞⎞
1 ⎛⎛ n
⎜ ⎜ µ ∑ α j ⎟ − ⎜ ρ1 + µ ∑ α j ⎟ ⎟⎟

α k ⎝ ⎝ j =0 ⎠ ⎝
j =1
⎠⎠
1
=
( µα 0 − ρ1 )

=

α0

≥ E ⎡⎣ S | {( k − 1) h < S ≤ kh}⎤⎦

k ∈ {1,..., n} .

Kita

juga

untuk

semua

mempunyai

Teorema 5
Nilai harapan dari kuadrat error penduga dari
premi total pada perencanaan premi optimal
memenuhi persamaan :





{( k −1) h < S} ⎦ − E ⎣ S χ{kh < S} ⎦

)

n
n
⎞ ⎛
⎞⎞
1 ⎛⎛
⎜⎜ ⎜ ρ k −1 + µ ∑ α j ⎟ − ⎜ ρ k + µ ∑ α j ⎟ ⎟⎟
α k −1 ⎝ ⎝
j = k −1
j =k
⎠ ⎝
⎠⎠
1
=
( ( ρk −1 − ρk ) + µα k −1 )

=

α k −1

ρ k −1 − ρ k
.
α k −1
Sehingga didapatkan :
π k*

1

αk

E ⎡⎣ S | {0 ≤ S ≤ h}⎦⎤ ≥ 0 .
Sehingga secara tidak langsung perencanaan
premi optimal ini adalah tak negatif.

− ρ k +1 ) + µα k )

E ⎡ S χ{( k −1) h < S ≤ kh} ⎤


P ⎡⎣{( k − 1) h < S ≤ kh}⎤⎦

α k −1

=

E ⎡ S χ{0≤ S ≤ h} ⎤


P ⎡⎣{0 ≤ S ≤ h}⎤⎦

E ⎡⎣ S | {kh < S ≤ ( k + 1) h}⎤⎦ ≥ kh

n

dan
E ⎡⎣ S | {( k − 1) h < S ≤ kh}⎤⎦
=

=

ρ1
, untuk k = 0 .

α0
Selanjutnya, untuk premi dari perencanaan
premi optimal mengikuti Teorema 3. Sebagai
tambahan, kita mempunyai :

⎜ ⎜ ρ k + µ ∑ α j ⎟ − ⎜ ρ k +1 + µ ∑ α j ⎟ ⎟⎟
α k ⎜⎝ ⎝
j =k
j = k +1
⎠ ⎝
⎠⎠

αk