Studi terhadap Perencanaan Premi Optimal dengan Reinstatements pada Perusahaan Reasuransi.
STUDI TERHADAP PERENCANAAN PREMI OPTIMAL
DENGAN REINSTATEMENTS PADA PERUSAHAAN
REASURANSI
HERLAN BUDIAWAN
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2013
ABSTRAK
HERLAN BUDIAWAN. Studi terhadap Perencanaan Premi Optimal dengan Reinstatements pada
Perusahaan Reasuransi. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan RETNO BUDIARTI.
Reasuransi merupakan pertanggungan mengenai seluruh atau sebagian risiko perusahaan
asuransi. Perusahaan asuransi membayar sejumlah premi yang telah disepakati kepada perusahaan
reasuransi (reinsurer). Selanjutnya, premi-premi tersebut akan menjadi pendapatan bagi
perusahaan reasuransi. Perencanaan premi sangat diperlukan perusahaan reasuransi dalam
menghadapi risiko-risiko atas klaim yang diajukan. Perencanaan premi dalam karya ilmiah ini
adalah perencanaan premi pada kontrak reasuransi dengan reinstatement. Premi ini tidak
dibayarkan pada awal kontrak, tetapi dibayarkan ketika kerugian reinsurer melebihi batas
maksimum kemampuannya. Untuk ilustrasi secara umum, diasumsikan bahwa kerugian reasuransi
mengikuti sebaran eksponensial terpotong.
Kontrak reasuransi meminimumkan nilai harapan dari kuadrat selisih antara total pemasukan
premi dan kerugian perusahaan reasuransi, sehingga perencanaan premi yang digunakan optimal.
Minimisasi nilai harapan kuadrat terhadap semua perencanaan premi tersebut dapat dilihat sebagai
masalah kredibilitas. Matriks koragam dari peubah acak penjelas pada perencanaan premi dengan
reinstatement memiliki invers sehingga perencanaan premi optimal tersebut memiliki solusi unik.
Perencanaan premi optimal bersifat tak bias dan tak negatif.
Kata kunci: reasuransi, reinstatement, sebaran eksponensial terpotong
ABSTRACT
HERLAN BUDIAWAN. Studying on Optimal Premium Plans with Reinstatements of
Reinsurance. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and RETNO BUDIARTI.
Reinsurance is an underwrite all or a portion of the insurance risk. Insurer paid a number of
premiums to reinsurer and that premiums would be income for reinsurer. Premium plan is very
important for reinsurer facing risks of submitted claims. Premium plan in this paper is premium
plan of reinsurance with reinstatement. This premium is not paid in the beginning of the contract,
but it is paid when the loss of the reinsurer exceed maximum bound capacity of reinsurer. For
illustration purpose, it is assumed that the reinsurer’s loss is satisfied a truncated exponential
distribution.
Reinsurance contract minimizes the expectation of square the difference between the total
premium income and the loss of the reinsurance, therefore it is said to be optimal. Minimizing the
expectation of square all over premium plans can be viewed as a credibility problems. Covariance
matrix of the explanatory random variables of premium plan with reinstatement is invertible, so
that the premium plan has a unique solution. Optimal premium plan are unbiased and nonnegative.
Keywords: reinsurance, reinstatement, truncated exponentials distribution
STUDI TERHADAP PERENCANAAN PREMI OPTIMAL
DENGAN REINSTATEMENTS PADA PERUSAHAAN
REASURANSI
HERLAN BUDIAWAN
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2013
Judul Skripsi
Nama
NIM
: Studi
terhadap
Perencanaan Premi
Optimal
Reinstatements pada Perusahaan Reasuransi.
Rerlan Budiawan
: G54080028
dengan
Menyetujui
Pembimbing I, .
Dr. Ir. I Gusti Putu Pumaba, DBA.
NIP: 19651218199002 1 001
Ir. Re 0 Budiarti, MS.
NIP: 19610729 1989032001
Mengetahui:
MS.
Tanggal Lulus:
2B MAY 201
Judul Skripsi
Nama
NIM
: Studi terhadap Perencanaan Premi Optimal
Reinstatements pada Perusahaan Reasuransi.
: Herlan Budiawan
: G54080028
dengan
Menyetujui
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA.
NIP: 19651218 199002 1 001
Ir. Retno Budiarti, MS.
NIP: 19610729 198903 2 001
Mengetahui:
Ketua Departemen,
Dr. Berlian Setiawaty, MS.
NIP: 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus:
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah swt atas berkat, rahmat dan kasih sayang-Nya
sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Berbagai kendala dialami oleh penulis
sehingga banyak sekali pihak yang membantu dan berkontribusi dalam pembuatan karya ilmiah
ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. keluarga tercinta: Ayah dan Ibu. Ayah sebagai pemberi motivasi dan Ibu sebagai sumber
inspirasi, kakakku Eni Rustini beserta suami Hary Widjayanto, Ida Farida beserta suami
Anwar Musadad, Rina Haerani beserta suami Sigit, dan Deden Komara beserta istri Lia
Nuraeni (terima kasih atas doa, dukungan, kesabaran dan kasih sayangnya), adikku Yanti
Wulandari (terima kasih atas doa, semangat, motivasi dan dukungannya). Keponakanku
Irvan, Andre, Fauzi, Indria, Fadhil dan Fakhri (terimakasih atas doa dan keceriannya).
2. Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan
waktu dan pikiran dalam membimbing, memberi motivasi, semangat dan doa,
3. Ir. Retno Budiarti, MS. selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan ilmu,
motivasi, kritik dan saran, serta doanya,
4. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu, saran
dan doanya,
5. semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan,
6. staf Departemen Matematika: Ibu Susi, Bapak Yono, Mas Hery, Ibu Ade, Alm. Bapak
Bono, Bapak Deni, IbuYanti atas semangat dan doanya,
7. Dewi, Hendra dan Rochmat yang telah meluangkan waktu untuk menjadi pembahas pada
seminar karya ilmiah saya,
8. teman-teman satu bimbingan: Heru, Aisyah, Prama, Fenny, dan Irma,
9. sahabatku Hardono, Arbi, Khafizd, Izzudin, James, Ari, Haryanto, Ridwan, Irwan, Beni,
Fuka, Nova, Achie, Fenny, Mega (terima kasih atas kebersamaannya),
10. teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 45 (terima kasih atas doa, dukungan
semangatnya serta kebersamaannya),
11. kakak-kakak Matematika angkatan 43 dan 44 yang menjadi cermin untuk menjadi pribadi
yang lebih baik,
12. adik-adik Matematika angkatan 46 dan 47 yang terus mendukung agar berkembang,
13. Gumatika Brilian, Gumakusi dan HIMAT yang menunjukkan hal-hal baru,
14. semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya bidang
matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.
Bogor, Mei 2013
Herlan Budiawan
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Cianjur Jawa Barat, pada tanggal 12 Desember 1989 dari Bapak Koko
dan Ibu Kokom. Penulis merupakan putra ke-5 dari enam bersaudara.
Pada tahun 2002 penulis lulus dari SD Negeri Girimukti, tahun 2005 penulis lulus dari SMP
Negeri 1 Cipanas, tahun 2008 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Sukaresmi. Penulis diterima
sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor (IPB) pada tahun 2008 melalui jalur Undangan Seleksi
Masuk IPB (USMI), Tingkat Persiapan Bersama. Pada tahun 2009, penulis memilih mayor
Matematika pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Kalkulus II (S1) pada
tahun akademik 2010-2011. Tahun 2008-2010 penulis mendapatkan beasiswa PPA (Peningkatan
Prestasi Akademik) IPB dan Beasiswa BUMN (Badan Usaha Milik Negara) pada tahun 20112012.
Penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan di kampus, seperti organisasi himpunan profesi
Departemen Matematika yang dikenal dengan GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika)
sebagai Staf Divisi Pengembangan Sumber Daya Manusia (PSDM) tahun 2010-2011 dan sebagai
sekretaris organisasi mahasiswa daerah Cianjur yang dikenal dengan HIMAT (Himpunan
Mahasiswa Tjiandjoer). Penulis pernah menjadi sekretaris Masa Perkenalan Departemen untuk
angkatan 2010 atau angkatan 47.
Penulis pernah mendapatkan penghargaan, yaitu juara 1 bulu tangkis G-5 League tahun 2010,
2011, 2012 dan juara II bulu tangkis KEJURDA UNPAD tahun 2012.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................................................ ix
I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ..................................................................................................................
1.2 Tujuan ................................................................................................................................
1
1
II LANDASAN TEORI
2.1 Kontrak Reasuransi Tak Proporsional ...............................................................................
2.2 Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang ..............................................................................
2.3 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran......................................................................................
2.4 Nilai Harapan dan Ragam ..................................................................................................
2.5 Matriks...............................................................................................................................
1
2
2
3
3
III PEMBAHASAN
3.1 Kontrak Reasuransi dengan Reinstatements ......................................................................
3.2 Perencanaan Premi Optimal ..............................................................................................
3.3 Eksistensi dan Keunikan dari Perencanaan Premi Optimal ...............................................
3.4 Sifat dari Perencanaan Premi Optimal ...............................................................................
3.5 Contoh Sebaran Eksponensial Terpotong (Truncated Exponentials Distribution) ............
4
5
5
7
9
IV SIMPULAN ............................................................................................................................. 12
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................. 13
LAMPIRAN ........................................................................................................................... 14
viii
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Bukti Lema 1 ........................................................................................................................ 15
2 Bukti Persamaan 3.23 ........................................................................................................... 18
ix
1
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pada dasarnya kehidupan manusia tidak
lepas dari risiko, bahaya atau kerugian
material yang datang di luar perhitungannya.
Seseorang atau badan usaha yang selalu
menghadapi risiko akan berusaha untuk
mengurangi atau menghindari risiko tersebut
dengan berbagai cara. Salah satu cara yang
ditempuh seseorang atau badan usaha untuk
memperkecil risiko yang mereka hadapi
adalah dengan berasuransi. Di sisi lain,
perusahaan asuransi atau pihak penanggung
yang bidang usahanya justru menjual jasa
asuransi untuk mengambil alih sebagian atau
seluruh risiko yang dihadapi oleh tertanggung,
juga akan selalu menghadapi risiko
kemungkinan adanya tuntutan ganti kerugian
dan/atau santunan dari tertanggung yang wajib
mereka bayar sesuai dengan persyaratan dan
ketentuan polis yang berlaku. Dengan
demikian,
pihak
penanggung
juga
memerlukan kebijakan mengelola risiko
tanggung gugat yang mungkin akan terjadi
setiap saat akibat perjanjian-perjanjian
asuransi dengan pihak tertanggung. Langkah
yang harus ditempuh oleh para penanggung
untuk memperkecil risiko tanggung gugat
adalah dengan mempertanggungkan kembali
kepentingan atas kelebihan tanggung gugat
yang tidak mungkin mereka tanggung sendiri.
Kegiatan pertanggungan ulang terhadap risiko
yang dihadapi oleh perusahaan asuransi
seperti ini dikenal dengan reasuransi.
Reasuransi atau pertanggungan ulang pada
kenyataannya mempunyai peranan yang
sangat penting dalam industri asuransi. Peran
dan fungsi reasuransi tidak hanya memberikan
proteksi asuransi, tetapi juga dapat menaikkan
kapasitas akseptasi perusahaan asuransi atas
risiko-risiko
yang
melampaui
batas
kemampuannya karena kelebihan tanggung
gugat yang tidak bisa mereka tanggung sendiri
akan dijamin oleh penanggung ulang.
Reasuransi mempunyai dua tipe kontrak
atau perjanjian reasuransi, yaitu kontrak
proporsional (proportional treaties) dan
kontrak tak proporsional (non proportional
treaties). Kedua kontrak tersebut mempunyai
perbedaan mendasar terutama dalam hal
penetapan premi.
Pada karya ilmiah ini dibahas perencanaan
premi optimal dengan reinstatement untuk
kontrak tak proporsional pada perusahaan
reasuransi. Di dalam kontrak ini, premi
reinstatement, yaitu jumlah yang harus
dibayarkan ketika kerugian perusahaan
reasuransi melebihi batas maksimum yang
akan
dibayarkan
kepada
tertanggung
didefinisikan sebagai peubah acak. Rujukan
utama karya ilmiah ini adalah tulisan Hess dan
Schmidt (2004) yang berjudul “Optimal
Premium Plans for Reinsurance with
Reinstatements”.
1.2 Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah
sebagai berikut:
1. Mempelajari eksistensi perencanaan premi
yang meminimumkan nilai harapan dari
kuadrat selisih antara total pemasukan
premi dan kerugian suatu perusahaan
reasuransi.
2. Menunjukkan bahwa perencanaan premi
optimal ada, unik, dan memenuhi prinsip
premi bersih.
3. Mempelajari sifat-sifat perencanaan premi
optimal.
II LANDASAN TEORI
Dalam bab ini akan dibahas beberapa
landasan teori yang berkaitan dengan bahasan
karya ilmiah ini.
2.1 Kontrak Reasuransi Tak Proporsional
Sebagaimana telah disebut di pendahuluan,
salah satu kategori kontrak reasuransi adalah
kontrak reasuransi tak proporsional. Kontrak
reasuransi tak proporsional mempunyai cara
kerja berbeda dengan kontrak reasuransi
proporsional. Kontrak reasuransi proporsional
menetapkan pembagian sesi premi secara
berimbang dan beban risiko yang ditanggung
penanggung pertama (pemberi sesi) dan
penanggung ulang adalah sama, sedangkan
dalam kontrak reasuransi tak proporsional,
tidak berlaku cara kerja seperti itu. Penetapan
premi dalam kontrak reasuransi tak
proporsional tidak hanya tergantung pada
jumlah limit tanggung gugat yang menjadi
tanggungan penanggung ulang, tetapi juga
didasarkan pada tingkat rasio klaim/kerugian.
Risiko-risiko yang dijamin oleh kontrak
2
reasuransi tak proporsional tidak hanya
terbatas pada risiko biasa, tetapi juga meliputi
kejadian-kejadian yang dapat menimbulkan
kerugian besar.
Adapun yang dimaksud dengan kontrak
reasuransi tak proporsional adalah suatu
perjanjian reasuransi yang menetapkan bahwa
para penanggung ulang dengan menerima
sejumlah premi yang telah disepakati bersedia
membayar kepada penanggung pertama
seluruh kerugian yang melampaui limit retensi
(underlying net retention) sampai pada batas
jumlah atau persentase tertentu akibat
peristiwa-peristiwa tertentu yang telah
disepakati.
(Marianto 1997)
Definisi 6 (Ukuran Peluang)
Misalkan ℱ adalah medan- dari ruang
contoh Ω. Ukuran peluang � pada (Ω, ℱ )
adalah suatu fungsi �: ℱ → [0,1]
yang
memenuhi:
1. �(Ø) = 0, �(Ω) = 1,
2. Jika 1 , 2 , … ∈ ℱ adalah himpunan yang
saling lepas, yaitu
i ∩ j = ∅ untuk
setiap pasangan ≠ , maka
2.2 Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
Definisi 7 (Peubah Acak)
Misalkan Ω adalah ruang contoh dari suatu
percobaan acak. Fungsi
terdefinisi pada Ω
yang memetakan setiap unsur � ∈ Ω ke satu
dan hanya satu bilangan real
� =
disebut peubah acak.
Ruang dari
adalah himpunan bagian
bilangan real � = { : = � , � ∈ Ω}.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Percobaan acak adalah percobaan yang
dapat dilakukan berulang-ulang dalam kondisi
yang sama. Semua kemungkinan hasil yang
akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada
percobaan berikutnya tidak dapat diduga
dengan tepat.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 2 (Ruang Contoh)
Ruang contoh adalah himpunan semua
hasil yang mungkin dari suatu percobaan
acak, dan dinotasikan dengan Ω.
(Grimmet & Stirzaker 1992)
Definisi 3 (Kejadian)
Kejadian adalah suatu himpunan bagian
dari ruang contoh Ω.
(Grimmet & Stirzaker 1992)
Definisi 4 (Kejadian Saling Lepas)
Kejadian dan disebut saling lepas jika
irisan dari keduanya adalah himpunan kosong
(∅).
(Grimmet & Stirzaker 1992)
Definisi 5 (Medan- )
Medan- adalah suatu himpunan ℱ yang
anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari
ruang contoh Ω yang memenuhi kondisi
berikut:
1. Ø ∈ ℱ,
2. Jika ∈ ℱ maka
∈ ℱ,
3. Jika 1 , 2 , … ∈ ℱ maka
∞
=1
∈ ℱ.
(Grimmet & Stirzaker 1992)
�
∞
=
∞
=1
=1
�
.
(Grimmet & Stirzaker 1992)
2.3 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Definisi 8 (Fungsi Sebaran)
Misalkan
adalah peubah acak dengan
ruang �. Misalkan kejadian = (−∞, ] ∈
�, maka peluang dari kejadian adalah
Fungsi
acak .
�
=
.
disebut fungsi sebaran dari peubah
(Hogg et al. 2005)
Definisi 9 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak
dikatakan diskret jika
nilainya berada hanya pada himpunan bagian
yang terhitung dari ℝ.
(Grimmet & Stirzaker 1992)
Catatan:
Suatu himpunan bilangan disebut terhitung
jika
terdiri atas bilangan terhingga atau
anggota
dapat dikorespondensikan 1-1
dengan bilangan bulat positif.
Definisi 10 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak
dikatakan kontinu jika
fungsi sebarannya dapat diekspresikan sebagai
=
,
−∞
3
untuk suatu fungsi : ℝ → 0, ∞ yang dapat
diintegralkan. Selanjutnya, fungsi
=
disebut fungsi kepekatan peluang (probability
density function) bagi .
(Hogg et al. 2005)
Definisi 11 (Fungsi Massa Peluang)
Fungsi massa peluang dari peubah acak
diskret
adalah fungsi : ℝ → 0, 1 yang
diberikan oleh
=�
=
.
(Grimmet & Stirzaker 1992)
Definisi 12 (Peubah Acak Eksponensial)
Suatu peubah acak disebut peubah acak
eksponensial dengan parameter �, � > 0, jika
nilainya terletak pada [0, ∞) dan mempunyai
fungsi kepekatan peluang
=�
−�
,
0.
| =
�
=
|
.
(Hogg et al. 2005)
−
=
2
2
−
2
.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 16 (Koragam)
Misalkan dan adalah dua peubah acak
dengan
= �1 dan
= �2 , maka
koragam peubah acak dan adalah
,
=
=
− �2
− �1
− �1 �2 .
(Hogg et al. 2005)
Definisi 13 (Nilai Harapan)
1. Jika adalah peubah acak diskret dengan
fungsi massa peluang
, maka nilai
harapan
, dinotasikan dengan
adalah
,
asalkan jumlah di atas konvergen mutlak.
2. Jika adalah peubah acak kontinu dengan
fungsi kepekatan peluang , maka nilai
harapan
dinotasikan dengan
adalah
=
|
Definisi 15 (Ragam)
Ragam dari peubah acak
adalah nilai
harapan dari kuadrat selisih antara
dengan
nilai harapannya. Secara matematis dapat
dinyatakan sebagai
2.4 Nilai Harapan dan Ragam
∞
=
−∞
(Grimmet & Stirzaker 1992)
=
∞
2.5 Matriks
Definisi 17 (Transpos dari Suatu Matriks)
Transpos dari suatu matriks
berukuran
× adalah matriks
berukuran ×
yang didefinisikan oleh
= , untuk
= 1,2, … , dan = 1,2, … , . Transpos dari
matriks dinotasikan dengan .
(Leon 2001
Definisi 18 (Matriks Simetris)
Suatu matriks
berukuran
simetris jika
= .
×
disebut
(Leon 2001)
,
−∞
asalkan integral di atas konvergen mutlak.
Jika integral di atas divergen, maka nilai
harapan dari tidak ada.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 14 (Nilai Harapan Bersyarat)
Misalkan
dan
adalah peubah acak
kontinu dan
adalah fungsi kepekatan
|
peluang bersyarat dari
dengan syarat
= , maka nilai harapan dari
dengan syarat = adalah
Definisi 19 (Matriks Idempotent)
Suatu matriks
berukuran × disebut
matriks idempotent jika 2 = .
(Leon 2001)
Definisi 20 (Invers Matriks)
Suatu matriks
berukuran
×
dikatakan tak singular (nonsingular) atau
dapat dibalik (invertible) jika terdapat matriks
sehingga
=
= �. Matriks
disebut
sebagai
invers
perkalian
(multiplicative inverse) dari .
(Leon 2001)
4
III PEMBAHASAN
3.1 Kontrak Reasuransi dengan
Reinstatements
Kontrak reasuransi tak proporsional
merupakan suatu perjanjian reasuransi yang
menetapkan bahwa para penanggung ulang
(reinsurer) dengan menerima sejumlah premi
yang telah disepakati bersedia membayar
kepada penanggung pertama seluruh kerugian
yang melampaui limit retensi (underlying net
retention) sampai pada batas jumlah atau
persentase tertentu akibat peristiwa-peristiwa
tertentu yang telah disepakati.
Misalkan bilangan real � ∈ 0, ∞ adalah
konstanta yang menyatakan batas atas
liabilitas total dari reinsurer dan peubah acak
: Ω → ℝ dengan � 0
� = 1 adalah
peubah acak yang menyatakan kerugian total
dari reinsurer.
Kerugian Asuransi
Kerugian total ∗ yang ditanggung oleh
sebuah
perusahaan
asuransi
dapat
dipresentasikan sebagai
∗
=
�∗
=1
∗
∗
bebas terhadap � ∗ .
=
Kerugian Reasuransi
Perusahaan asuransi menentukan tingkat
retensi tertinggi untuk setiap kelas risiko dari
masing-masing pertanggungannya. Penetapan
retensi pada kenyataannya tidak hanya penting
bagi pemberi sesi, tetapi juga penting bagi
para penanggung ulang dalam menentukan
limit tertinggi yang dapat ditanggungnya
berdasarkan kontrak reasuransi. Penentuan
�∗
∗
=1
+
−
,
(3.2)
dengan adalah batas maksimum klaim yang
akan dibayarkan perusahaan asuransi terhadap
pihak tertanggung dan
adalah batas
maksimum yang dapat dibayarkan oleh
perusahaan reasuransi terhadap klaim yang
diajukan.
Peubah acak dari model bersama untuk
kerugian tertanggung tidak dapat diamati oleh
perusahaan reasuransi, tetapi model koleksi
∗
� ∗,
dapat ditransformasikan ke
∈� ∗
�,
dalam model kolektif
∈�
(Hess
2003). Oleh karena itu, kerugian total
reinsurer dapat dipresentasikan sebagai
(3.1)
= total klaim/kerugian total
perusahaan asuransi,
� ∗ = banyaknya
klaim
yang
diajukan oleh tertanggung,
∗
= besarnya
klaim
dari
tertanggung ke- , dengan
= 1,2, … , � ∗ .
Model ini sering disebut juga model
∗
kolektif untuk kerugian total
. Secara
umum model ini merepresentasikan klaim
secara menyeluruh pada periode tertentu.
Peubah acak � ∗ menyatakan banyaknya klaim
dan peubah acak ∗ menyatakan besarnya
klaim ke- ,
= 1,2, … , � ∗ . Diasumsikan
∗
adalah bebas stokastik identik dan
∈� ∗
dengan
limit tertinggi ini erat sekali kaitannya dengan
kerugian perusahaan terutama dalam hal
minimisasi tingkat kerugian.
Kerugian reinsurer dalam kontrak
reasuransi dengan prioritas
∈ 0, ∞ dan
nilai ∈ 0, ∞ adalah
=
�
−
=1
(3.3)
,
dengan
= kerugian reinsurer,
= besarnya klaim ke- yang melebihi
prioritas,
� = banyaknya klaim yang melebihi
prioritas.
Jika kontrak reasuransi merupakan
prioritas total
∈ 0, ∞
dan batas
maksimum total � ∈ 0, ∞ , maka kerugian
reinsurer adalah
−
=
dengan
−
+
=
+
,�
− ,
0,
(3.4)
jika
jika
−
−
0
< 0.
Peubah acak memenuhi � 0
� = 1.
Kemudian diasumsikan kontrak reasuransi
pada
dengan
∈ ℕ0 reinstatements di
dalam rentang 0, � dibagi ke dalam + 1
bagian 0, , ,2 , … ,
,� dengan
=
�
.
+1
(3.5)
5
Premi awal 0 ∈ ℝ dibayarkan pada awal
kontrak, yaitu pada rentang 0, , dan premi
reinstatement
∈ ℝ dibayarkan ketika
kerugian
melebihi
dengan
∈ {1,2,
… , }.
⊆ℝ
Barisan terhingga =
∈ 0,1,…,
menjadi perencanaan premi untuk kontrak
reasuransi dengan n-reinstatements.
Peluang premi reinstatements yang
dibayarkan adalah
� =
� 0
<
�
,
+1
� ∈ 0,1 , ∀ ∈ 0,1, … ,
=0
=0
∈ 1, … , n ,
,
(3.6)
dan memenuhi
� = 1.
(3.7)
Jika sekurang-kurangnya terdapat
-klaim
yang melebihi prioritas dan jika klaim kemelebihi prioritas seperti
−1
−
=1
,
−
<
=1
,
,
(3.8)
harus dibayar.
maka premi reinstatement
3.2 Perencanaan Premi Optimal
Asumsikan Π adalah kumpulan dari semua
perencanaan premi untuk kontrak reasuransi
dengan n-reinstatements. Untuk rencana
∈ Π, total premi
premi
=
∈ 0,1,…,
reinstatement didefinisikan sebagai peubah
acak dan dapat dipresentasikan sebagai
�
=
0
�
+
=1
(3.9)
<
dengan
�
1,
=
0,
<
jika
jika
<
.
(3.10)
Premi awal, dinotasikan dengan
0
merupakan premi yang dibayarkan pada awal
kontrak, dan premi reinstatement, dinotasikan
dengan
merupakan premi yang dibayarkan
ketika kerugian
melebihi
dengan
∈ {1,2, … , }.
Nilai harapan dari kuadrat selisih antara
kerugian dan total pemasukan premi suatu
perusahaan reasuransi didefinisikan sebagai
�
−
2
.
(3.11)
Rencana
premi
dikatakan tak bias jika
�
=
=
∈ 0,1,…,
,
∈Π
(3.12)
tak negatif jika
0, ∀ ∈ 0,1, … , , dan
optimal jika mengakibatkan
�
− 2
minimum.
Pada pembahasan selanjutnya, akan
ditunjukkan bahwa terdapat perencanaan
∗
premi unik
= ∗ ∈ 1,2,…, ∈ Π yang
meminimumkan
�
− 2 , bersifat tak
bias dan tak negatif.
3.3 Eksistensi dan Keunikan dari
Perencanaan Premi Optimal
Meminimumkan
�
− 2 terhadap
semua perencanaan premi ∈ Π dapat dilihat
sebagai masalah kredibilitas. Masalah
kredibilitas sangat penting bagi suatu
perusahaan reasuransi karena hal ini akan
memengaruhi
seberapa
besar
tingkat
kepercayaan tertanggung terhadap perusahaan
tersebut. Kredibilitas ini sangat erat kaitannya
dengan kemampuan suatu perusahaan
reasuransi dalam menanggung kerugiankerugian yang dialami oleh pihak tertanggung.
Telah
diketahui
bahwa
masalah
kredibilitas mempunyai solusi unik. Jika
matriks koragam � dari vektor acak dibentuk
oleh peubah acak penjelas yang mempunyai
representasi unik sebagai penjumlahan linear
dari peubah acak penjelas, dan jika invers dari
matriks koragam � diketahui, maka formula
eksplisit dapat diberikan untuk koefisien pada
solusinya.
Didefinisikan:
� <
�=
(3.13)
� <
dengan � = �
�=
dan
�=�
=
2
=�
,
,
� ,
�, ,
.
Selanjutnya untuk memperlihatkan bahwa
perencanaan premi optimal mempunyai solusi
yang unik, akan ditunjukkan � mempunyai
invers dan akan ditentukan invers dari �.
Didefinisikan matriks
=
∈�
:,
untuk ∈ 1,2, … , dengan
:,
=
1,
0,
jika ,
selainnya.
3.14
6
Sehingga diperoleh matriks
1
=
1 0 0
0 0 0
0 0 0
⋱
0 0 0
3
1 1 1
1 1 1
1 1 1
=
⋱
0 0 0
1 1
1 1
0 0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0 ,… ,
1 1
1 1
1 1
1
1
1
1 1
1
0
0
0 ,
=1
2
=
=
0
Selanjutnya,
sebagai
=
sebagai berikut.
matriks
�
=1
.
=
=2
=3
=2
�
=2
�
=3
�
⋱
⋱
0
.
1
0
=3
�
=3
�
�
�
�
�
�
�
⋱
�
.
=
=
� ,
0,
jika = 1
(3.16)
selainnya.
�=
�
−1 + �
�
+�
+�
+�
+�
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0 .
−
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
(3.18)
(3.19)
1.
⋱
0
0
0
=
1.
0
=
=1
�
−1
.
(3.20)
Bukti (Lema 2)
Untuk
∈ 1,2, … ,
didefinisikan matriks
∈�
dengan
1, jika
=
+1 =
(3.21)
: , = −1, jika <
0, selainnya.
Untuk ∀ , ∈ 1,2, … , didefinisikan
, jika =
�, selainnya.
Bukti: Disajikan pada Lampiran 2.
(3.17)
(3.22)
Oleh karena itu, berdasarkan persamaan
(3.20) dan persamaan (3.22) diperoleh
−
=1
=
=1
�
=1
� �
−1
�
−1
=
=1
=
0
0
Selanjutnya hubungan antara �, , dan �
akan ditunjukkan dalam Lema sebagai berikut.
Lema 1
Matriks � memenuhi � = − ��� .
Bukti: Disajikan pada Lampiran 1.
1
0
0
, , + 1, + 1
, + 1 , + 1,
adalah invertible dan memenuhi
=
Sehingga diperoleh matriks � sebagai berikut.
�1 + �2 +
�2 + �3 +
�3 + �4 +
�4 + �5 +
0
untuk
=
�
Kemudian didefinisikan matriks � ∈ �
dengan
,
=
Lema 2
Matriks
sebagai berikut.
=3
�
1, jika , ∈
= −1, jika , ∈
0, selainnya.
Kemudian diperoleh
1
1
1
(3.15)
�
:,
didefinisikan
Sehingga diperoleh matriks
�
0
0
0 ,
∈�
Didefinisikan matriks
∈ 0,1, … , dengan
=
+
+
1 −1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
0
0
0
+
0
0
0
0
0
0
0 0
1 −1
1 −1
1 −1
0 0
0 0 0
0
+
⋱
⋱
+
0
0
0
0
+
0
0
0
0
+
0
0
�
0
0
0
0
1 −1 0
1 −1 0
0 0 0
0 0 0
0 0
0
0
0
+
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0 0
⋱
⋱
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
7
1
0
0
0
=
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
⋱
0
= �.
=0
�
−1
1
=0
= �−�
∎
adalah simetris dan
+
Secara khusus, premi awal
∗
0
0
∗
∗
�
−
=
= � − �� � −1
= � −1 .
∗
� −1
�
� �
persamaan
memenuhi
∗
∗
1, … ,
memenuhi
(3.27)
Perencanaan premi ∗ adalah tak bias.
Bukti dapat dilihat di Hess & Schmidt [2001].
∈ 0,1, … , , + 1 , didefinisikan
Untuk
,�
0,
=
−1
∈ 1, … , ,
∈ 0, + 1
(3.28)
, jika
jika
<
1
=
dan
−1
. (3.25)
(3.26)
dan premi reinstatement
∗
1
(3.24)
Teorema 1 memperlihatkan eksistensi dan
keunikan dari perencanaan premi optimal
yang sama baiknya dengan formula eksplisit
untuk premi awal dan premi reinstatement
dari rencana premi ini. Akan ditunjukkan
bahwa perencanaan premi optimal adalah tak
negatif.
�
�
2
=�+
3.4 Sifat dari Perencanaan Premi Optimal
Menggunakan Lema 2 dan
� = 1 − � �, diperoleh
�
2
3.23
Bukti (Lema 3)
Ambil � =
dan
idempotent.
Dari Lema 1 diperoleh
�� − = �
�−�
�
.
� = − ���
= −
= −
= −
= −
= −�
= �−� .
� −1
dan
Lema 3
Matriks � adalah invertible dan memenuhi
�− =
∗
�
+
=1
−
�
−1
= �−�
� −1 +
−
+
= � − � � −1
−1
+�
= �−� �
= � − � � −1 � + �
= � −1 � − � −1 � + � − �
= � −1 � − � + � − �
= � −1 � − 1 − � � + � − �
= � −1 � � + � − �
=�+ �−�
= �.
.
(3.29)
Pada bagian ini, akan diperoleh sebuah
formula pelengkap untuk perencanaan premi
optimal.
Teorema 2
Perencanaan premi optimal
memenuhi
∎
∗
=
Lema ini menunjukkan bahwa perencanaan
premi optimal mempunyai solusi yang unik.
Teorema 1
Terdapat suatu perencanaan premi optimal
∗
= ∗ ∈ 0,1,…, ∈ Π yang meminimumkan
dan premi total dari
�
− 2
perencanaan premi ∗ yang memenuhi
−
�
�−
+1
1
�
−
∗
,
−1
�
jika
−
−1
, jika
=
−
� =
+1
� ,
0,
� −
jika
jika
∈ 0,1,…,
=0
∈ 1, … ,
.
(3.30)
Bukti (Teorema 2)
∀ ∈ 0,1, … , , kita mempunyai
dengan
∗
=
−
+1
�
+1
∈ 1, … , ,
∈ 0, + 1 ,
(3.31)
8
dan � merupakan unit ke- dari vector � .
=�−
Didefinisikan
∗
∗
1
=
.
∗
(3.32)
Berdasarkan persamaan (3.23) dan (3.27),
diperoleh
∗
= � −1
=
=0
=
=0
�
�
−1
−1
−
=
=0
−
=1
=
=1
∗
+1
�
+1
�
−
=
−
�
+1
�
+1
�
−
� −
−
−
+1
−
=0
�
�
−
−
� .
−1
�
+1
−1
=1
−1
�
−
−1
Persamaan
terbukti untuk ∈ 1,2, … ,
Selanjutnya, kita mempunyai
�=
=1
=
�
� .
+1
�
∗
= � − �� � −1
= � − �� ∗
=�−
=�−
=�−
=�−
=�−
=1
=1
=1
=1
=1
�
=1
−
�
�
�
Persamaan
�
.∎
(3.33)
−
−
�
−
�
−
�
+1
+1
−
+1
0 −
−
�0
+1
+
1
�0
� 1
+1 +
�0
−
−1
�
1
−1
�
−
−1
1
�0
−
−1
.
0
=1
1
�0
∗
1
�0
∎
= 0.
terbukti untuk
Teorema ini memberikan representasi lain
dari premi pada perencanaan premi optimal
dan menunjukkan bahwa perencanaan premi
optimal adalah tak negatif.
Teorema 3
Perencanaan premi optimal
memenuhi
∗
|
|
=
−
|0
<
−1
∗
,
+1
<
∗
=
jika
0
jika
,
∈ 0,1,…,
=0
∈ 1, … ,
.
(3.34)
Secara khusus, perencanaan premi optimal
adalah tak negatif.
Bukti (Teorema 3)
Untuk ∀ ∈ 1, … , , kita mempunyai
|
<
�
1
=
�
=
1
�
−1
=
=
=
�
�
1
1
�
�
−1
<
+1
−
�
+1
.
<
� −1 <
−1 <
�
−1
1
=�+
�
=
−
−1
−1
+1
+1
+�
=�+
=
<
�
1
�
|
+1
�
<
=
=
=
�
=�−
�
+ 1 − �0
1
+1
Dengan menggunakan persamaan (3.26),
diperoleh
0
=�−
−
1
−1
�
−1
+�
−1
−
−1
−
−
−
+1
+1
+�
<
= +1
�
+ ��
<
= −1
.
�
�
−
�
−
+ ��
+�
−1
<
=
�
9
dan
Sehingga diperoleh
∗
=
<
+1
−
|
−1 <
− +1
− �+
= �+
�
− +1
−
−1
=
−
,
�
� −1
untuk ∈ 1,2, … , .
− +1 � +1 ,
=
− +1 � −
(seperti ditunjukkan dalam bukti Teorema 2),
diperoleh
|
−1
�
−
−1
∎
Dengan argumen serupa, dihasilkan
|0
=
� 0
1
=
�
=
=
1
�
�0
� 0<
�
=0
1
��0 −
�0
=�−
1
�0
−
�
�
−
1
<
+�
=1
�
1
, untuk
∎
= 0.
Premi dari perencanaan premi optimal
selanjutnya mengikuti Teorema 2. Sebagai
tambahan, kita mempunyai
|
<
+1
−1 <
dan
|0
|
∀ ∈ 1,2, … ,
,
untuk
0.
1 � 2
=
2
1 �
=
2
1
�
=
2
1
= (
− +1 � − ( − +1 )� +1 )� .
2
− +1 � +1
− +1 � −
1
− +1 � − � +1 � . ((
=
2
− +1 )(� − � +1 ))
1
− +1 2 � − � +1 � � − � +1
=
2
1
=
− +1 2 � − � +1 � � − � +1
2
1
− +1 2 (��� � − ��� � +1
=
2
−��+� � + ��+� � +1 )
1
=
− +1 2 1 + 1
2
=
− +1 2 .
Berdasarkan persamaan (3.23) dan (3.25),
diperoleh
�
∗
=
−
2
+
=
2
+
2
� −1
�
Sehingga secara tidak langsung premi optimal
adalah tak negatif.
=
Teorema 4
Nilai harapan dari kuadrat galat penduga
premi total pada perencanaan premi optimal
memenuhi persamaan
∗
�
−
2
2
=
+
=0
�
−1
−
+1
2
(3.35)
dan variannya memenuhi persamaan
�
�
∗
=
=0
�
Bukti (Teorema 4)
Untuk ∀ ∈ 1,2, … ,
2
=2
−1
−
+1
2
. (3.36)
, didefinisikan
(3.37)
2
�
+
=0
=0
�
�
−1
−1
−
3.5 Contoh
Sebaran
Terpotong (Truncated
Distribution)
+1
2
∎
.
Eksponensial
Exponentials
Untuk ilustrasi secara umum, diasumsikan
kerugian reasuransi memenuhi sebaran
eksponensial terpotong.
Anggap peubah acak dengan
0,
�
=
0
�
−�
,
jika
0
jika
> 0,
untuk parameter � ∈ 0, ∞ , yang berarti
bahwa
menyebar eksponensial dengan
parameter �.
10
�
Didefinisikan
,�
jika
jika
=
,
=
�,
=�
�
> �.
Besarnya premi bersih untuk
=
�
=
� +
−�
�
0
1
−
�
−�
=−
−��
= −�
−��
+�
−�
1
−
�
+�
1 −�� 1
+
=−
�
�
1
−��
.
= 1−
�
adalah
−��
−��
− 0−
1
�
Besarnya peluang premi reinstatement yang
dibayarkan adalah
� 0
�
=
0
=�
−�
0
1 −�
|0
�
−�
=−
|0
= − −� − − 0
= 1 − −� .
<
+1
�
=
�
�
−�
−�
+
−�
−
+
∞
�
�
0
−�
= − −�
1
= 1−
�
<
+1
−�
1
�
−�
1
1 −�
− 0−
�
�
1 −�
1
−
+
�
�
−
−�
−�
−
.
+1
−�
�
+1
−�
+
−�
−
+1
−�
1
�
−�
− −
|0
−�
|
−�
+1
1
�
+1
−
+1
−�
−
1
�
−�
−�
−
1 −�
1 −� +1
+
−
�
�
1 −�
− −� +1 +
=
�
−� +1
− +1
.
1 −� +1
=� −
|
�
= − −� | +1
= − −� +1 − − �
= −� − −� +1 .
�
= −
=
−�
<
=−
= −
−�
=�
�
=−
=−
+1
=
0
=−
+1
�
−�
�
=
=
=� −
�
�0
�
−�
−�
�
=
−�
��
Besarnya premi yang harus dibayarkan adalah
−��
+�
+�
∞
1 −� �
1 −� ∞
=� −
|
+� −
|�
�
�
−� �
−� �
=−
| + −
|
= − �� − − −�
+ − ∞− −
= −� .
>�
|�
0
−�
<
�
=−
�
�
−�
−�
+
�
+�
−�
−�
+1
−�
−��
+�
−��
+1
11
−�
=−
= −�
=
1
−
�
1
=
�
−
−��
−�
1
�
−
1
�
−�
−��
−��
+�
1
+
�
−�
|� + �
−�
−
−��
+
=
.
Oleh karena itu, diperoleh
=
=
|
=
�0
� 0
1
1−
�
−�
1−
<
�
�
1
=
−�
−
�
+
−
+1
�
<
−�
−�
−�
−
+1
+1
−
−�
−
−
−�
−�
−�
<
−�
−
−�
+1
−�
+1
+1
−
−�
+1
+1
−�
+1
+1
−�
−�
�
−��
−
+
−�
−�
1
= −
+
�
�
−�
.
Sehingga besarnya premi dari perencanaan
premi optimal ∗ = ∗ ∈ 0,1,…, memenuhi
−�
3. Untuk =
∗
=
|
−
|
+
1−
�
<
<
−�
1
−
+
=
�
�
=
+1
1
− −�
1−
�
−�
1
= −
+
� 1 − −�
=
−�
+
+1
−� +1
−
− −�
−�
−�
−�
�
�
<
<
2. Untuk ∈ 1,2, … , − 1
∗
=
|
<
+1
−
|0
−�
−�
1
1
= −
+
−
+
� 1 − −�
� 1 − −�
= .
−�
1
−
.
� 1 − −�
1
=
−�
�
�
1. Untuk = 0
∗
=
|0
−�
1
= −
.
� 1 − −�
|0
=
�
1
−��
−�
<
=
−�
− −
1
−
�
−�
|
−��
−�
−
−�
−�
�
+1
−�
1
−
−
+
� 1 − −�
.
Sehingga
dapat
disimpulkan
bahwa
perencanaan premi optimal memenuhi
∗
−�
1
−
,
� 1 − −�
,
=
.
dan
∗
0
1−
<
−�
−�
<
−
−�
∗
.
�
jika
=0
jika
∈ 1,2, … , − 1
, jika
=
12
IV SIMPULAN
Reasuransi merupakan perjanjian antara
beberapa perusahaan asuransi mengenai
pengalihan sebagian atau seluruh risiko untuk
menghindari kebangkrutan akibat risiko
katastropik, yaitu risiko yang dapat
mengakibatkan kerugian yang sangat besar.
Perencanaan premi
sangat
diperlukan
perusahaan reasuransi dalam menghadapi
risiko-risiko atas klaim yang diajukan. Salah
satu upaya yang dapat dilakukan perusahaan
reasuransi untuk mengoptimalkan premi yang
akan
dibayarkan
adalah
dengan
memberlakukan kontrak reasuransi dengan
reinstatement. Total premi yang dibayarkan
merupakan penjumlahan antara 0 (premi
yang dibayarkan pada awal kontrak) dan
(premi reinstatement) yang dibayarkan ketika
kerugian perusahaan melebihi batas atas
liabilitas reinsurer.
Eksistensi dari suatu perencanaan premi
adalah meminimumkan nilai harapan dari
kuadrat selisih antara kerugian dan total
pemasukan premi suatu perusahaan reasuransi
sehingga perencanaan premi yang digunakan
optimal dan dapat dilihat sebagai masalah
kredibilitas. Masalah kredibilitas ini sangat
penting bagi perusahaan reasuransi karena
sangat erat kaitannya dengan kemampuan
perusahaan reasuransi dalam menanggung
kerugian-kerugian yang dialami tertanggung
sehingga akan memengaruhi seberapa besar
tingkat kepercayaan tertanggung terhadap
perusahaan tersebut.
Perencanaan premi optimal memenuhi
prinsip premi bersih dan mempunyai solusi
unik
karena
matriks
koragam
dari
perencanaan premi tersebut mempunyai
invers. Selain itu, perencanaan premi optimal
mempunyai beberapa sifat, yaitu tak bias dan
tak negatif. Perencanaan premi bersifat tak
bias ketika kerugian perusahaan reasuransi
sama dengan total pemasukan premi pihak
tertanggung.
13
DAFTAR PUSTAKA
Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability
and Random Processes. 2nd Ed. Oxford:
Clarendon Press.
Hess KT. 2003. Das kollektive modelle der
risikhotheorie in der schadenexzedenten
ruckvericherung. Allg. Statist. Archiv
87:309-320.
reinstatements. Astin Bulletin 34(2):299313.
Hogg RV, Craig AT, McKean JW. 2005.
Introduction to Mathematical Statistics.
6th Ed. New Jersey: Prentice Hall.
Hess KT, Schmidt KD. 2001. Credibility
modelle in tarifierung und reservierung.
Allg. Statist. Archiv 85:225-246.
Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan
Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A,
penerjemah; Hardani HW, editor. Jakarta:
Erlangga. Terjemahan dari: Linear
Algebra with Applications. 5th Ed.
Hess KT, Schmidt KD. 2004. Optimal
premium plans for reinsurance with
Marianto AJ. 1997. Reasuransi. Jakarta:
Ghalia Indonesia.
14
LAMPIRAN
15
Lampiran 1
Bukti Lema 1
Matriks � memenuhi � = − ��� .
Berdasarkan persamaan (3.13),
�=�
�
��� −
=
�
�
�
.
=
Jadi, akan dibuktikan bahwa
memenuhi � = − ��� .
���
dan ��� =
Bukti:
Berdasarkan persamaan (3.13), ∀ ∈ 1, … ,
� =�
� =�
<
<
�
�
�
sehingga matriks �
dan ∈ 1, … , , kita mempunyai
,
.
Sehingga
�� =�
=�
=�
< ∩
<
<
Oleh karena itu,
��
= �
=�
<
=
=
1.
���
�=
��� =
=
� <
�2 <
�3 <
�
<
� <
�2 <
�3 <
�
∩
<
∩
<
< ∩
<
<
�2
�2
�3
�
�2
<
� <
�2 <
�3 <
<
∩
� <
�2 <
�3 <
�
�
<
� <
�2 <
�3 <
�
=
� .
<
<
<
<
�
<
�3
� <
�2 <
�3 <
∩2 <
∩2 <
∩2 <
�
< ∩2 <
�3
�3
�3
�
<
<
<
<
�
<
⋱
�
�
�
�
<
∩3 <
∩3 <
∩3 <
< ∩3 <
<
<
<
<
⋱
� <
�2 <
�3 <
�
∩
<
∩
<
∩
<
< ∩
<
16
Sehingga
=1
��� =
=2
=3
= .
Terbukti
2.
�
�
�=
�
=2
�
=2
�
=3
�
�
=3
�
=3
�
=3
�
�
�
�
�
�
�
⋱
�
�
��� = .
�
∎
.
� <
�2 <
�3 <
�
<
=1
� =
=2
=3
�
�
�
�
dan
�
�
=
=1
�
=2
�
=3
�
�
.
Sehingga
=1
�
�
�
=
=2
=3
�
�
�
�
=1
�
=2
�
=3
�
�
17
=1
=2
=
=3
�
=1
�
=1
�
�
=1
=1
�
=1
�
=2
�
=3
�
�
=2
�
=2
�
�
=2
=2
�
=1
�
=2
�
=3
�
�
=3
�
=3
�
�
=3
=3
�
�
�
�
�
�
⋱
�
=1
=2
=3
�
�
�
� �
Sedangkan
=1
��� =
=2
=3
�
0
0
0
�
0
0
0
�
0
�
=1
=2
=
=3
�
=
Terbukti
�
�
0
0
�
0
=1
�
=1
�
=1
=1
�
�
�
�
�
�
=2
�
=3
�
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⋱
�
0
0
⋱
0
=1
=2
=3
�
�
�
�
=2
=2
=2
=2
�
�
�
�
=1
=2
=3
�
�
�
�
=3
=3
=3
=3
�
�
�
�
�
�
�
= ��� .
Jadi, berdasarkan (1) dan (2) terbukti bahwa matriks � memenuhi � =
dan ��� =
�
�
⋱
=1
=2
=3
�
�
�
� �
.
�
�
0
0
�
�
=1
.
− ��� dengan
=
∎
���
18
Lampiran 2
Bukti persamaan .
Berdasarkan persamaan 3.14 , 3.18 , dan (3.21), didefinisikan matriks
turut sebagai berikut.
∈�
untuk
∈�
untuk
∈�
untuk
dengan
∈ 1,2, … ,
dengan
∈ 0,1, … ,
:,
1,
0,
, dan
berturut-
jika ,
selainnya,
.
:,
.
dengan
∈ 1,2, … ,
=
,
:,
.
1, jika , ∈
= −1, jika , ∈
0, selainnya,
1,
= −1,
0,
, , + 1, + 1
, + 1 , + 1,
jika
=
jika < + 1 =
selainnya,
Oleh karena itu, diperoleh
1 1
1 2
1 3
1
2 1
=
=
=
=
=
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0 0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
⋱
⋱
⋱
⋱
⋱
0
0
0
0
1 −1
−1 1
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
−1
0
0
−1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 −1
−1 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
1 −1
−1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
0 0
⋱
⋱
⋱
0
0
0
0
1
0
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
0
=
1
⋱
=
0
0
0
0
0
=
0
0
0
0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
0 0
⋱
⋱
⋱
0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=�
=�
=�
0
0
0
0
0
=�
19
2 2
2 3
=
=
=
2
3 1
3 2
3 3
=
=
=
=
3
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0 0
0 0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0 0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0 0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0 0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0 0
=
−1
−1
=
0
0
0
0
1
1
1
0
0 0
1 1
1 1
1 1
⋱
⋱
⋱
⋱
⋱
⋱
1
1
1
1 1
0 0
1
0
1 1
1 1
1 1
1
1
1
1 1
1 1
⋱
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
1 −1
−1 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
1 −1
−1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
1 −1
−1 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
1 0
1 0
1 0
⋱
0 0
1 −1
−1 1
0 0
0 0
1 −1
−1 1
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⋱
0 0
0 0
0 0
0
0
0 0
0 0
1 1
1 1
1 1
0
0
0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0
1 0
0 0
1 1
1 1
0
0
0
0
0 0
0 0
⋱
⋱
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⋱
⋱
0
0
0
0
⋱
=
=
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
=
0
=
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1 −1
−1 1
0 0
1 −1
1 −1
1 −1
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
⋱
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
0
0
0
0
⋱
0
⋱
⋱
=�
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
=�
0
0
0
0
0
=�
0
0
0
0
0
⋱
0
=�
0
0
0
0
0
=
0
0
0
0
0
⋱
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
=
0 0
0 1
0
0
0
1
1
0
0
0 0
0
0 0
0 0
0 0
⋱
=
1
⋱
0
0
0
0
=
0
=�
0
0
0
0
0
⋱
=�
0
0
0
0
0
=�
20
−1
−1
=
1 1
1 1
1 1
1
0
1
1
1
1
=
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0 0
1
1
1
1
1
1
1
⋱
1
1
1
1
1 1
⋱
1
0
0
0
0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0 0
0 0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0 0
0
0
0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
0
0
0 0
⋱
0
0
0
0
0
0
0
=
−1
1
1
−1
=
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
1
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
1 −1
1 −1
1 −1
0
0
0
0
0
⋱
⋱
1
1
1
1
1 −1
0 0
=
=
�−
�
1
Uraian tersebut di atas dapat ditulis sebagai berikut.
1 2
1 3
2 2
3 3
−1
1
=
=
=
1 1
−1
=
=
2 1
2 3
=
jika
= .
2
�−
3 1
�
3 2
3
Jadi, dapat disimpulkan bahwa
=
, jika =
�, selainnya
=�
=�
=�
=�
=�
=�
=�
=�
=�
=�
−1
−1 = �
≠
.
= � jika
≠ .
∎
DENGAN REINSTATEMENTS PADA PERUSAHAAN
REASURANSI
HERLAN BUDIAWAN
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2013
ABSTRAK
HERLAN BUDIAWAN. Studi terhadap Perencanaan Premi Optimal dengan Reinstatements pada
Perusahaan Reasuransi. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan RETNO BUDIARTI.
Reasuransi merupakan pertanggungan mengenai seluruh atau sebagian risiko perusahaan
asuransi. Perusahaan asuransi membayar sejumlah premi yang telah disepakati kepada perusahaan
reasuransi (reinsurer). Selanjutnya, premi-premi tersebut akan menjadi pendapatan bagi
perusahaan reasuransi. Perencanaan premi sangat diperlukan perusahaan reasuransi dalam
menghadapi risiko-risiko atas klaim yang diajukan. Perencanaan premi dalam karya ilmiah ini
adalah perencanaan premi pada kontrak reasuransi dengan reinstatement. Premi ini tidak
dibayarkan pada awal kontrak, tetapi dibayarkan ketika kerugian reinsurer melebihi batas
maksimum kemampuannya. Untuk ilustrasi secara umum, diasumsikan bahwa kerugian reasuransi
mengikuti sebaran eksponensial terpotong.
Kontrak reasuransi meminimumkan nilai harapan dari kuadrat selisih antara total pemasukan
premi dan kerugian perusahaan reasuransi, sehingga perencanaan premi yang digunakan optimal.
Minimisasi nilai harapan kuadrat terhadap semua perencanaan premi tersebut dapat dilihat sebagai
masalah kredibilitas. Matriks koragam dari peubah acak penjelas pada perencanaan premi dengan
reinstatement memiliki invers sehingga perencanaan premi optimal tersebut memiliki solusi unik.
Perencanaan premi optimal bersifat tak bias dan tak negatif.
Kata kunci: reasuransi, reinstatement, sebaran eksponensial terpotong
ABSTRACT
HERLAN BUDIAWAN. Studying on Optimal Premium Plans with Reinstatements of
Reinsurance. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and RETNO BUDIARTI.
Reinsurance is an underwrite all or a portion of the insurance risk. Insurer paid a number of
premiums to reinsurer and that premiums would be income for reinsurer. Premium plan is very
important for reinsurer facing risks of submitted claims. Premium plan in this paper is premium
plan of reinsurance with reinstatement. This premium is not paid in the beginning of the contract,
but it is paid when the loss of the reinsurer exceed maximum bound capacity of reinsurer. For
illustration purpose, it is assumed that the reinsurer’s loss is satisfied a truncated exponential
distribution.
Reinsurance contract minimizes the expectation of square the difference between the total
premium income and the loss of the reinsurance, therefore it is said to be optimal. Minimizing the
expectation of square all over premium plans can be viewed as a credibility problems. Covariance
matrix of the explanatory random variables of premium plan with reinstatement is invertible, so
that the premium plan has a unique solution. Optimal premium plan are unbiased and nonnegative.
Keywords: reinsurance, reinstatement, truncated exponentials distribution
STUDI TERHADAP PERENCANAAN PREMI OPTIMAL
DENGAN REINSTATEMENTS PADA PERUSAHAAN
REASURANSI
HERLAN BUDIAWAN
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2013
Judul Skripsi
Nama
NIM
: Studi
terhadap
Perencanaan Premi
Optimal
Reinstatements pada Perusahaan Reasuransi.
Rerlan Budiawan
: G54080028
dengan
Menyetujui
Pembimbing I, .
Dr. Ir. I Gusti Putu Pumaba, DBA.
NIP: 19651218199002 1 001
Ir. Re 0 Budiarti, MS.
NIP: 19610729 1989032001
Mengetahui:
MS.
Tanggal Lulus:
2B MAY 201
Judul Skripsi
Nama
NIM
: Studi terhadap Perencanaan Premi Optimal
Reinstatements pada Perusahaan Reasuransi.
: Herlan Budiawan
: G54080028
dengan
Menyetujui
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA.
NIP: 19651218 199002 1 001
Ir. Retno Budiarti, MS.
NIP: 19610729 198903 2 001
Mengetahui:
Ketua Departemen,
Dr. Berlian Setiawaty, MS.
NIP: 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus:
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah swt atas berkat, rahmat dan kasih sayang-Nya
sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Berbagai kendala dialami oleh penulis
sehingga banyak sekali pihak yang membantu dan berkontribusi dalam pembuatan karya ilmiah
ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. keluarga tercinta: Ayah dan Ibu. Ayah sebagai pemberi motivasi dan Ibu sebagai sumber
inspirasi, kakakku Eni Rustini beserta suami Hary Widjayanto, Ida Farida beserta suami
Anwar Musadad, Rina Haerani beserta suami Sigit, dan Deden Komara beserta istri Lia
Nuraeni (terima kasih atas doa, dukungan, kesabaran dan kasih sayangnya), adikku Yanti
Wulandari (terima kasih atas doa, semangat, motivasi dan dukungannya). Keponakanku
Irvan, Andre, Fauzi, Indria, Fadhil dan Fakhri (terimakasih atas doa dan keceriannya).
2. Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan
waktu dan pikiran dalam membimbing, memberi motivasi, semangat dan doa,
3. Ir. Retno Budiarti, MS. selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan ilmu,
motivasi, kritik dan saran, serta doanya,
4. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu, saran
dan doanya,
5. semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan,
6. staf Departemen Matematika: Ibu Susi, Bapak Yono, Mas Hery, Ibu Ade, Alm. Bapak
Bono, Bapak Deni, IbuYanti atas semangat dan doanya,
7. Dewi, Hendra dan Rochmat yang telah meluangkan waktu untuk menjadi pembahas pada
seminar karya ilmiah saya,
8. teman-teman satu bimbingan: Heru, Aisyah, Prama, Fenny, dan Irma,
9. sahabatku Hardono, Arbi, Khafizd, Izzudin, James, Ari, Haryanto, Ridwan, Irwan, Beni,
Fuka, Nova, Achie, Fenny, Mega (terima kasih atas kebersamaannya),
10. teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 45 (terima kasih atas doa, dukungan
semangatnya serta kebersamaannya),
11. kakak-kakak Matematika angkatan 43 dan 44 yang menjadi cermin untuk menjadi pribadi
yang lebih baik,
12. adik-adik Matematika angkatan 46 dan 47 yang terus mendukung agar berkembang,
13. Gumatika Brilian, Gumakusi dan HIMAT yang menunjukkan hal-hal baru,
14. semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya bidang
matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.
Bogor, Mei 2013
Herlan Budiawan
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Cianjur Jawa Barat, pada tanggal 12 Desember 1989 dari Bapak Koko
dan Ibu Kokom. Penulis merupakan putra ke-5 dari enam bersaudara.
Pada tahun 2002 penulis lulus dari SD Negeri Girimukti, tahun 2005 penulis lulus dari SMP
Negeri 1 Cipanas, tahun 2008 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Sukaresmi. Penulis diterima
sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor (IPB) pada tahun 2008 melalui jalur Undangan Seleksi
Masuk IPB (USMI), Tingkat Persiapan Bersama. Pada tahun 2009, penulis memilih mayor
Matematika pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Kalkulus II (S1) pada
tahun akademik 2010-2011. Tahun 2008-2010 penulis mendapatkan beasiswa PPA (Peningkatan
Prestasi Akademik) IPB dan Beasiswa BUMN (Badan Usaha Milik Negara) pada tahun 20112012.
Penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan di kampus, seperti organisasi himpunan profesi
Departemen Matematika yang dikenal dengan GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika)
sebagai Staf Divisi Pengembangan Sumber Daya Manusia (PSDM) tahun 2010-2011 dan sebagai
sekretaris organisasi mahasiswa daerah Cianjur yang dikenal dengan HIMAT (Himpunan
Mahasiswa Tjiandjoer). Penulis pernah menjadi sekretaris Masa Perkenalan Departemen untuk
angkatan 2010 atau angkatan 47.
Penulis pernah mendapatkan penghargaan, yaitu juara 1 bulu tangkis G-5 League tahun 2010,
2011, 2012 dan juara II bulu tangkis KEJURDA UNPAD tahun 2012.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................................................ ix
I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ..................................................................................................................
1.2 Tujuan ................................................................................................................................
1
1
II LANDASAN TEORI
2.1 Kontrak Reasuransi Tak Proporsional ...............................................................................
2.2 Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang ..............................................................................
2.3 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran......................................................................................
2.4 Nilai Harapan dan Ragam ..................................................................................................
2.5 Matriks...............................................................................................................................
1
2
2
3
3
III PEMBAHASAN
3.1 Kontrak Reasuransi dengan Reinstatements ......................................................................
3.2 Perencanaan Premi Optimal ..............................................................................................
3.3 Eksistensi dan Keunikan dari Perencanaan Premi Optimal ...............................................
3.4 Sifat dari Perencanaan Premi Optimal ...............................................................................
3.5 Contoh Sebaran Eksponensial Terpotong (Truncated Exponentials Distribution) ............
4
5
5
7
9
IV SIMPULAN ............................................................................................................................. 12
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................. 13
LAMPIRAN ........................................................................................................................... 14
viii
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Bukti Lema 1 ........................................................................................................................ 15
2 Bukti Persamaan 3.23 ........................................................................................................... 18
ix
1
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pada dasarnya kehidupan manusia tidak
lepas dari risiko, bahaya atau kerugian
material yang datang di luar perhitungannya.
Seseorang atau badan usaha yang selalu
menghadapi risiko akan berusaha untuk
mengurangi atau menghindari risiko tersebut
dengan berbagai cara. Salah satu cara yang
ditempuh seseorang atau badan usaha untuk
memperkecil risiko yang mereka hadapi
adalah dengan berasuransi. Di sisi lain,
perusahaan asuransi atau pihak penanggung
yang bidang usahanya justru menjual jasa
asuransi untuk mengambil alih sebagian atau
seluruh risiko yang dihadapi oleh tertanggung,
juga akan selalu menghadapi risiko
kemungkinan adanya tuntutan ganti kerugian
dan/atau santunan dari tertanggung yang wajib
mereka bayar sesuai dengan persyaratan dan
ketentuan polis yang berlaku. Dengan
demikian,
pihak
penanggung
juga
memerlukan kebijakan mengelola risiko
tanggung gugat yang mungkin akan terjadi
setiap saat akibat perjanjian-perjanjian
asuransi dengan pihak tertanggung. Langkah
yang harus ditempuh oleh para penanggung
untuk memperkecil risiko tanggung gugat
adalah dengan mempertanggungkan kembali
kepentingan atas kelebihan tanggung gugat
yang tidak mungkin mereka tanggung sendiri.
Kegiatan pertanggungan ulang terhadap risiko
yang dihadapi oleh perusahaan asuransi
seperti ini dikenal dengan reasuransi.
Reasuransi atau pertanggungan ulang pada
kenyataannya mempunyai peranan yang
sangat penting dalam industri asuransi. Peran
dan fungsi reasuransi tidak hanya memberikan
proteksi asuransi, tetapi juga dapat menaikkan
kapasitas akseptasi perusahaan asuransi atas
risiko-risiko
yang
melampaui
batas
kemampuannya karena kelebihan tanggung
gugat yang tidak bisa mereka tanggung sendiri
akan dijamin oleh penanggung ulang.
Reasuransi mempunyai dua tipe kontrak
atau perjanjian reasuransi, yaitu kontrak
proporsional (proportional treaties) dan
kontrak tak proporsional (non proportional
treaties). Kedua kontrak tersebut mempunyai
perbedaan mendasar terutama dalam hal
penetapan premi.
Pada karya ilmiah ini dibahas perencanaan
premi optimal dengan reinstatement untuk
kontrak tak proporsional pada perusahaan
reasuransi. Di dalam kontrak ini, premi
reinstatement, yaitu jumlah yang harus
dibayarkan ketika kerugian perusahaan
reasuransi melebihi batas maksimum yang
akan
dibayarkan
kepada
tertanggung
didefinisikan sebagai peubah acak. Rujukan
utama karya ilmiah ini adalah tulisan Hess dan
Schmidt (2004) yang berjudul “Optimal
Premium Plans for Reinsurance with
Reinstatements”.
1.2 Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah
sebagai berikut:
1. Mempelajari eksistensi perencanaan premi
yang meminimumkan nilai harapan dari
kuadrat selisih antara total pemasukan
premi dan kerugian suatu perusahaan
reasuransi.
2. Menunjukkan bahwa perencanaan premi
optimal ada, unik, dan memenuhi prinsip
premi bersih.
3. Mempelajari sifat-sifat perencanaan premi
optimal.
II LANDASAN TEORI
Dalam bab ini akan dibahas beberapa
landasan teori yang berkaitan dengan bahasan
karya ilmiah ini.
2.1 Kontrak Reasuransi Tak Proporsional
Sebagaimana telah disebut di pendahuluan,
salah satu kategori kontrak reasuransi adalah
kontrak reasuransi tak proporsional. Kontrak
reasuransi tak proporsional mempunyai cara
kerja berbeda dengan kontrak reasuransi
proporsional. Kontrak reasuransi proporsional
menetapkan pembagian sesi premi secara
berimbang dan beban risiko yang ditanggung
penanggung pertama (pemberi sesi) dan
penanggung ulang adalah sama, sedangkan
dalam kontrak reasuransi tak proporsional,
tidak berlaku cara kerja seperti itu. Penetapan
premi dalam kontrak reasuransi tak
proporsional tidak hanya tergantung pada
jumlah limit tanggung gugat yang menjadi
tanggungan penanggung ulang, tetapi juga
didasarkan pada tingkat rasio klaim/kerugian.
Risiko-risiko yang dijamin oleh kontrak
2
reasuransi tak proporsional tidak hanya
terbatas pada risiko biasa, tetapi juga meliputi
kejadian-kejadian yang dapat menimbulkan
kerugian besar.
Adapun yang dimaksud dengan kontrak
reasuransi tak proporsional adalah suatu
perjanjian reasuransi yang menetapkan bahwa
para penanggung ulang dengan menerima
sejumlah premi yang telah disepakati bersedia
membayar kepada penanggung pertama
seluruh kerugian yang melampaui limit retensi
(underlying net retention) sampai pada batas
jumlah atau persentase tertentu akibat
peristiwa-peristiwa tertentu yang telah
disepakati.
(Marianto 1997)
Definisi 6 (Ukuran Peluang)
Misalkan ℱ adalah medan- dari ruang
contoh Ω. Ukuran peluang � pada (Ω, ℱ )
adalah suatu fungsi �: ℱ → [0,1]
yang
memenuhi:
1. �(Ø) = 0, �(Ω) = 1,
2. Jika 1 , 2 , … ∈ ℱ adalah himpunan yang
saling lepas, yaitu
i ∩ j = ∅ untuk
setiap pasangan ≠ , maka
2.2 Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
Definisi 7 (Peubah Acak)
Misalkan Ω adalah ruang contoh dari suatu
percobaan acak. Fungsi
terdefinisi pada Ω
yang memetakan setiap unsur � ∈ Ω ke satu
dan hanya satu bilangan real
� =
disebut peubah acak.
Ruang dari
adalah himpunan bagian
bilangan real � = { : = � , � ∈ Ω}.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Percobaan acak adalah percobaan yang
dapat dilakukan berulang-ulang dalam kondisi
yang sama. Semua kemungkinan hasil yang
akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada
percobaan berikutnya tidak dapat diduga
dengan tepat.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 2 (Ruang Contoh)
Ruang contoh adalah himpunan semua
hasil yang mungkin dari suatu percobaan
acak, dan dinotasikan dengan Ω.
(Grimmet & Stirzaker 1992)
Definisi 3 (Kejadian)
Kejadian adalah suatu himpunan bagian
dari ruang contoh Ω.
(Grimmet & Stirzaker 1992)
Definisi 4 (Kejadian Saling Lepas)
Kejadian dan disebut saling lepas jika
irisan dari keduanya adalah himpunan kosong
(∅).
(Grimmet & Stirzaker 1992)
Definisi 5 (Medan- )
Medan- adalah suatu himpunan ℱ yang
anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari
ruang contoh Ω yang memenuhi kondisi
berikut:
1. Ø ∈ ℱ,
2. Jika ∈ ℱ maka
∈ ℱ,
3. Jika 1 , 2 , … ∈ ℱ maka
∞
=1
∈ ℱ.
(Grimmet & Stirzaker 1992)
�
∞
=
∞
=1
=1
�
.
(Grimmet & Stirzaker 1992)
2.3 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Definisi 8 (Fungsi Sebaran)
Misalkan
adalah peubah acak dengan
ruang �. Misalkan kejadian = (−∞, ] ∈
�, maka peluang dari kejadian adalah
Fungsi
acak .
�
=
.
disebut fungsi sebaran dari peubah
(Hogg et al. 2005)
Definisi 9 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak
dikatakan diskret jika
nilainya berada hanya pada himpunan bagian
yang terhitung dari ℝ.
(Grimmet & Stirzaker 1992)
Catatan:
Suatu himpunan bilangan disebut terhitung
jika
terdiri atas bilangan terhingga atau
anggota
dapat dikorespondensikan 1-1
dengan bilangan bulat positif.
Definisi 10 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak
dikatakan kontinu jika
fungsi sebarannya dapat diekspresikan sebagai
=
,
−∞
3
untuk suatu fungsi : ℝ → 0, ∞ yang dapat
diintegralkan. Selanjutnya, fungsi
=
disebut fungsi kepekatan peluang (probability
density function) bagi .
(Hogg et al. 2005)
Definisi 11 (Fungsi Massa Peluang)
Fungsi massa peluang dari peubah acak
diskret
adalah fungsi : ℝ → 0, 1 yang
diberikan oleh
=�
=
.
(Grimmet & Stirzaker 1992)
Definisi 12 (Peubah Acak Eksponensial)
Suatu peubah acak disebut peubah acak
eksponensial dengan parameter �, � > 0, jika
nilainya terletak pada [0, ∞) dan mempunyai
fungsi kepekatan peluang
=�
−�
,
0.
| =
�
=
|
.
(Hogg et al. 2005)
−
=
2
2
−
2
.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 16 (Koragam)
Misalkan dan adalah dua peubah acak
dengan
= �1 dan
= �2 , maka
koragam peubah acak dan adalah
,
=
=
− �2
− �1
− �1 �2 .
(Hogg et al. 2005)
Definisi 13 (Nilai Harapan)
1. Jika adalah peubah acak diskret dengan
fungsi massa peluang
, maka nilai
harapan
, dinotasikan dengan
adalah
,
asalkan jumlah di atas konvergen mutlak.
2. Jika adalah peubah acak kontinu dengan
fungsi kepekatan peluang , maka nilai
harapan
dinotasikan dengan
adalah
=
|
Definisi 15 (Ragam)
Ragam dari peubah acak
adalah nilai
harapan dari kuadrat selisih antara
dengan
nilai harapannya. Secara matematis dapat
dinyatakan sebagai
2.4 Nilai Harapan dan Ragam
∞
=
−∞
(Grimmet & Stirzaker 1992)
=
∞
2.5 Matriks
Definisi 17 (Transpos dari Suatu Matriks)
Transpos dari suatu matriks
berukuran
× adalah matriks
berukuran ×
yang didefinisikan oleh
= , untuk
= 1,2, … , dan = 1,2, … , . Transpos dari
matriks dinotasikan dengan .
(Leon 2001
Definisi 18 (Matriks Simetris)
Suatu matriks
berukuran
simetris jika
= .
×
disebut
(Leon 2001)
,
−∞
asalkan integral di atas konvergen mutlak.
Jika integral di atas divergen, maka nilai
harapan dari tidak ada.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 14 (Nilai Harapan Bersyarat)
Misalkan
dan
adalah peubah acak
kontinu dan
adalah fungsi kepekatan
|
peluang bersyarat dari
dengan syarat
= , maka nilai harapan dari
dengan syarat = adalah
Definisi 19 (Matriks Idempotent)
Suatu matriks
berukuran × disebut
matriks idempotent jika 2 = .
(Leon 2001)
Definisi 20 (Invers Matriks)
Suatu matriks
berukuran
×
dikatakan tak singular (nonsingular) atau
dapat dibalik (invertible) jika terdapat matriks
sehingga
=
= �. Matriks
disebut
sebagai
invers
perkalian
(multiplicative inverse) dari .
(Leon 2001)
4
III PEMBAHASAN
3.1 Kontrak Reasuransi dengan
Reinstatements
Kontrak reasuransi tak proporsional
merupakan suatu perjanjian reasuransi yang
menetapkan bahwa para penanggung ulang
(reinsurer) dengan menerima sejumlah premi
yang telah disepakati bersedia membayar
kepada penanggung pertama seluruh kerugian
yang melampaui limit retensi (underlying net
retention) sampai pada batas jumlah atau
persentase tertentu akibat peristiwa-peristiwa
tertentu yang telah disepakati.
Misalkan bilangan real � ∈ 0, ∞ adalah
konstanta yang menyatakan batas atas
liabilitas total dari reinsurer dan peubah acak
: Ω → ℝ dengan � 0
� = 1 adalah
peubah acak yang menyatakan kerugian total
dari reinsurer.
Kerugian Asuransi
Kerugian total ∗ yang ditanggung oleh
sebuah
perusahaan
asuransi
dapat
dipresentasikan sebagai
∗
=
�∗
=1
∗
∗
bebas terhadap � ∗ .
=
Kerugian Reasuransi
Perusahaan asuransi menentukan tingkat
retensi tertinggi untuk setiap kelas risiko dari
masing-masing pertanggungannya. Penetapan
retensi pada kenyataannya tidak hanya penting
bagi pemberi sesi, tetapi juga penting bagi
para penanggung ulang dalam menentukan
limit tertinggi yang dapat ditanggungnya
berdasarkan kontrak reasuransi. Penentuan
�∗
∗
=1
+
−
,
(3.2)
dengan adalah batas maksimum klaim yang
akan dibayarkan perusahaan asuransi terhadap
pihak tertanggung dan
adalah batas
maksimum yang dapat dibayarkan oleh
perusahaan reasuransi terhadap klaim yang
diajukan.
Peubah acak dari model bersama untuk
kerugian tertanggung tidak dapat diamati oleh
perusahaan reasuransi, tetapi model koleksi
∗
� ∗,
dapat ditransformasikan ke
∈� ∗
�,
dalam model kolektif
∈�
(Hess
2003). Oleh karena itu, kerugian total
reinsurer dapat dipresentasikan sebagai
(3.1)
= total klaim/kerugian total
perusahaan asuransi,
� ∗ = banyaknya
klaim
yang
diajukan oleh tertanggung,
∗
= besarnya
klaim
dari
tertanggung ke- , dengan
= 1,2, … , � ∗ .
Model ini sering disebut juga model
∗
kolektif untuk kerugian total
. Secara
umum model ini merepresentasikan klaim
secara menyeluruh pada periode tertentu.
Peubah acak � ∗ menyatakan banyaknya klaim
dan peubah acak ∗ menyatakan besarnya
klaim ke- ,
= 1,2, … , � ∗ . Diasumsikan
∗
adalah bebas stokastik identik dan
∈� ∗
dengan
limit tertinggi ini erat sekali kaitannya dengan
kerugian perusahaan terutama dalam hal
minimisasi tingkat kerugian.
Kerugian reinsurer dalam kontrak
reasuransi dengan prioritas
∈ 0, ∞ dan
nilai ∈ 0, ∞ adalah
=
�
−
=1
(3.3)
,
dengan
= kerugian reinsurer,
= besarnya klaim ke- yang melebihi
prioritas,
� = banyaknya klaim yang melebihi
prioritas.
Jika kontrak reasuransi merupakan
prioritas total
∈ 0, ∞
dan batas
maksimum total � ∈ 0, ∞ , maka kerugian
reinsurer adalah
−
=
dengan
−
+
=
+
,�
− ,
0,
(3.4)
jika
jika
−
−
0
< 0.
Peubah acak memenuhi � 0
� = 1.
Kemudian diasumsikan kontrak reasuransi
pada
dengan
∈ ℕ0 reinstatements di
dalam rentang 0, � dibagi ke dalam + 1
bagian 0, , ,2 , … ,
,� dengan
=
�
.
+1
(3.5)
5
Premi awal 0 ∈ ℝ dibayarkan pada awal
kontrak, yaitu pada rentang 0, , dan premi
reinstatement
∈ ℝ dibayarkan ketika
kerugian
melebihi
dengan
∈ {1,2,
… , }.
⊆ℝ
Barisan terhingga =
∈ 0,1,…,
menjadi perencanaan premi untuk kontrak
reasuransi dengan n-reinstatements.
Peluang premi reinstatements yang
dibayarkan adalah
� =
� 0
<
�
,
+1
� ∈ 0,1 , ∀ ∈ 0,1, … ,
=0
=0
∈ 1, … , n ,
,
(3.6)
dan memenuhi
� = 1.
(3.7)
Jika sekurang-kurangnya terdapat
-klaim
yang melebihi prioritas dan jika klaim kemelebihi prioritas seperti
−1
−
=1
,
−
<
=1
,
,
(3.8)
harus dibayar.
maka premi reinstatement
3.2 Perencanaan Premi Optimal
Asumsikan Π adalah kumpulan dari semua
perencanaan premi untuk kontrak reasuransi
dengan n-reinstatements. Untuk rencana
∈ Π, total premi
premi
=
∈ 0,1,…,
reinstatement didefinisikan sebagai peubah
acak dan dapat dipresentasikan sebagai
�
=
0
�
+
=1
(3.9)
<
dengan
�
1,
=
0,
<
jika
jika
<
.
(3.10)
Premi awal, dinotasikan dengan
0
merupakan premi yang dibayarkan pada awal
kontrak, dan premi reinstatement, dinotasikan
dengan
merupakan premi yang dibayarkan
ketika kerugian
melebihi
dengan
∈ {1,2, … , }.
Nilai harapan dari kuadrat selisih antara
kerugian dan total pemasukan premi suatu
perusahaan reasuransi didefinisikan sebagai
�
−
2
.
(3.11)
Rencana
premi
dikatakan tak bias jika
�
=
=
∈ 0,1,…,
,
∈Π
(3.12)
tak negatif jika
0, ∀ ∈ 0,1, … , , dan
optimal jika mengakibatkan
�
− 2
minimum.
Pada pembahasan selanjutnya, akan
ditunjukkan bahwa terdapat perencanaan
∗
premi unik
= ∗ ∈ 1,2,…, ∈ Π yang
meminimumkan
�
− 2 , bersifat tak
bias dan tak negatif.
3.3 Eksistensi dan Keunikan dari
Perencanaan Premi Optimal
Meminimumkan
�
− 2 terhadap
semua perencanaan premi ∈ Π dapat dilihat
sebagai masalah kredibilitas. Masalah
kredibilitas sangat penting bagi suatu
perusahaan reasuransi karena hal ini akan
memengaruhi
seberapa
besar
tingkat
kepercayaan tertanggung terhadap perusahaan
tersebut. Kredibilitas ini sangat erat kaitannya
dengan kemampuan suatu perusahaan
reasuransi dalam menanggung kerugiankerugian yang dialami oleh pihak tertanggung.
Telah
diketahui
bahwa
masalah
kredibilitas mempunyai solusi unik. Jika
matriks koragam � dari vektor acak dibentuk
oleh peubah acak penjelas yang mempunyai
representasi unik sebagai penjumlahan linear
dari peubah acak penjelas, dan jika invers dari
matriks koragam � diketahui, maka formula
eksplisit dapat diberikan untuk koefisien pada
solusinya.
Didefinisikan:
� <
�=
(3.13)
� <
dengan � = �
�=
dan
�=�
=
2
=�
,
,
� ,
�, ,
.
Selanjutnya untuk memperlihatkan bahwa
perencanaan premi optimal mempunyai solusi
yang unik, akan ditunjukkan � mempunyai
invers dan akan ditentukan invers dari �.
Didefinisikan matriks
=
∈�
:,
untuk ∈ 1,2, … , dengan
:,
=
1,
0,
jika ,
selainnya.
3.14
6
Sehingga diperoleh matriks
1
=
1 0 0
0 0 0
0 0 0
⋱
0 0 0
3
1 1 1
1 1 1
1 1 1
=
⋱
0 0 0
1 1
1 1
0 0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0 ,… ,
1 1
1 1
1 1
1
1
1
1 1
1
0
0
0 ,
=1
2
=
=
0
Selanjutnya,
sebagai
=
sebagai berikut.
matriks
�
=1
.
=
=2
=3
=2
�
=2
�
=3
�
⋱
⋱
0
.
1
0
=3
�
=3
�
�
�
�
�
�
�
⋱
�
.
=
=
� ,
0,
jika = 1
(3.16)
selainnya.
�=
�
−1 + �
�
+�
+�
+�
+�
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0 .
−
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
(3.18)
(3.19)
1.
⋱
0
0
0
=
1.
0
=
=1
�
−1
.
(3.20)
Bukti (Lema 2)
Untuk
∈ 1,2, … ,
didefinisikan matriks
∈�
dengan
1, jika
=
+1 =
(3.21)
: , = −1, jika <
0, selainnya.
Untuk ∀ , ∈ 1,2, … , didefinisikan
, jika =
�, selainnya.
Bukti: Disajikan pada Lampiran 2.
(3.17)
(3.22)
Oleh karena itu, berdasarkan persamaan
(3.20) dan persamaan (3.22) diperoleh
−
=1
=
=1
�
=1
� �
−1
�
−1
=
=1
=
0
0
Selanjutnya hubungan antara �, , dan �
akan ditunjukkan dalam Lema sebagai berikut.
Lema 1
Matriks � memenuhi � = − ��� .
Bukti: Disajikan pada Lampiran 1.
1
0
0
, , + 1, + 1
, + 1 , + 1,
adalah invertible dan memenuhi
=
Sehingga diperoleh matriks � sebagai berikut.
�1 + �2 +
�2 + �3 +
�3 + �4 +
�4 + �5 +
0
untuk
=
�
Kemudian didefinisikan matriks � ∈ �
dengan
,
=
Lema 2
Matriks
sebagai berikut.
=3
�
1, jika , ∈
= −1, jika , ∈
0, selainnya.
Kemudian diperoleh
1
1
1
(3.15)
�
:,
didefinisikan
Sehingga diperoleh matriks
�
0
0
0 ,
∈�
Didefinisikan matriks
∈ 0,1, … , dengan
=
+
+
1 −1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
0
0
0
+
0
0
0
0
0
0
0 0
1 −1
1 −1
1 −1
0 0
0 0 0
0
+
⋱
⋱
+
0
0
0
0
+
0
0
0
0
+
0
0
�
0
0
0
0
1 −1 0
1 −1 0
0 0 0
0 0 0
0 0
0
0
0
+
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0 0
⋱
⋱
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
7
1
0
0
0
=
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
⋱
0
= �.
=0
�
−1
1
=0
= �−�
∎
adalah simetris dan
+
Secara khusus, premi awal
∗
0
0
∗
∗
�
−
=
= � − �� � −1
= � −1 .
∗
� −1
�
� �
persamaan
memenuhi
∗
∗
1, … ,
memenuhi
(3.27)
Perencanaan premi ∗ adalah tak bias.
Bukti dapat dilihat di Hess & Schmidt [2001].
∈ 0,1, … , , + 1 , didefinisikan
Untuk
,�
0,
=
−1
∈ 1, … , ,
∈ 0, + 1
(3.28)
, jika
jika
<
1
=
dan
−1
. (3.25)
(3.26)
dan premi reinstatement
∗
1
(3.24)
Teorema 1 memperlihatkan eksistensi dan
keunikan dari perencanaan premi optimal
yang sama baiknya dengan formula eksplisit
untuk premi awal dan premi reinstatement
dari rencana premi ini. Akan ditunjukkan
bahwa perencanaan premi optimal adalah tak
negatif.
�
�
2
=�+
3.4 Sifat dari Perencanaan Premi Optimal
Menggunakan Lema 2 dan
� = 1 − � �, diperoleh
�
2
3.23
Bukti (Lema 3)
Ambil � =
dan
idempotent.
Dari Lema 1 diperoleh
�� − = �
�−�
�
.
� = − ���
= −
= −
= −
= −
= −�
= �−� .
� −1
dan
Lema 3
Matriks � adalah invertible dan memenuhi
�− =
∗
�
+
=1
−
�
−1
= �−�
� −1 +
−
+
= � − � � −1
−1
+�
= �−� �
= � − � � −1 � + �
= � −1 � − � −1 � + � − �
= � −1 � − � + � − �
= � −1 � − 1 − � � + � − �
= � −1 � � + � − �
=�+ �−�
= �.
.
(3.29)
Pada bagian ini, akan diperoleh sebuah
formula pelengkap untuk perencanaan premi
optimal.
Teorema 2
Perencanaan premi optimal
memenuhi
∎
∗
=
Lema ini menunjukkan bahwa perencanaan
premi optimal mempunyai solusi yang unik.
Teorema 1
Terdapat suatu perencanaan premi optimal
∗
= ∗ ∈ 0,1,…, ∈ Π yang meminimumkan
dan premi total dari
�
− 2
perencanaan premi ∗ yang memenuhi
−
�
�−
+1
1
�
−
∗
,
−1
�
jika
−
−1
, jika
=
−
� =
+1
� ,
0,
� −
jika
jika
∈ 0,1,…,
=0
∈ 1, … ,
.
(3.30)
Bukti (Teorema 2)
∀ ∈ 0,1, … , , kita mempunyai
dengan
∗
=
−
+1
�
+1
∈ 1, … , ,
∈ 0, + 1 ,
(3.31)
8
dan � merupakan unit ke- dari vector � .
=�−
Didefinisikan
∗
∗
1
=
.
∗
(3.32)
Berdasarkan persamaan (3.23) dan (3.27),
diperoleh
∗
= � −1
=
=0
=
=0
�
�
−1
−1
−
=
=0
−
=1
=
=1
∗
+1
�
+1
�
−
=
−
�
+1
�
+1
�
−
� −
−
−
+1
−
=0
�
�
−
−
� .
−1
�
+1
−1
=1
−1
�
−
−1
Persamaan
terbukti untuk ∈ 1,2, … ,
Selanjutnya, kita mempunyai
�=
=1
=
�
� .
+1
�
∗
= � − �� � −1
= � − �� ∗
=�−
=�−
=�−
=�−
=�−
=1
=1
=1
=1
=1
�
=1
−
�
�
�
Persamaan
�
.∎
(3.33)
−
−
�
−
�
−
�
+1
+1
−
+1
0 −
−
�0
+1
+
1
�0
� 1
+1 +
�0
−
−1
�
1
−1
�
−
−1
1
�0
−
−1
.
0
=1
1
�0
∗
1
�0
∎
= 0.
terbukti untuk
Teorema ini memberikan representasi lain
dari premi pada perencanaan premi optimal
dan menunjukkan bahwa perencanaan premi
optimal adalah tak negatif.
Teorema 3
Perencanaan premi optimal
memenuhi
∗
|
|
=
−
|0
<
−1
∗
,
+1
<
∗
=
jika
0
jika
,
∈ 0,1,…,
=0
∈ 1, … ,
.
(3.34)
Secara khusus, perencanaan premi optimal
adalah tak negatif.
Bukti (Teorema 3)
Untuk ∀ ∈ 1, … , , kita mempunyai
|
<
�
1
=
�
=
1
�
−1
=
=
=
�
�
1
1
�
�
−1
<
+1
−
�
+1
.
<
� −1 <
−1 <
�
−1
1
=�+
�
=
−
−1
−1
+1
+1
+�
=�+
=
<
�
1
�
|
+1
�
<
=
=
=
�
=�−
�
+ 1 − �0
1
+1
Dengan menggunakan persamaan (3.26),
diperoleh
0
=�−
−
1
−1
�
−1
+�
−1
−
−1
−
−
−
+1
+1
+�
<
= +1
�
+ ��
<
= −1
.
�
�
−
�
−
+ ��
+�
−1
<
=
�
9
dan
Sehingga diperoleh
∗
=
<
+1
−
|
−1 <
− +1
− �+
= �+
�
− +1
−
−1
=
−
,
�
� −1
untuk ∈ 1,2, … , .
− +1 � +1 ,
=
− +1 � −
(seperti ditunjukkan dalam bukti Teorema 2),
diperoleh
|
−1
�
−
−1
∎
Dengan argumen serupa, dihasilkan
|0
=
� 0
1
=
�
=
=
1
�
�0
� 0<
�
=0
1
��0 −
�0
=�−
1
�0
−
�
�
−
1
<
+�
=1
�
1
, untuk
∎
= 0.
Premi dari perencanaan premi optimal
selanjutnya mengikuti Teorema 2. Sebagai
tambahan, kita mempunyai
|
<
+1
−1 <
dan
|0
|
∀ ∈ 1,2, … ,
,
untuk
0.
1 � 2
=
2
1 �
=
2
1
�
=
2
1
= (
− +1 � − ( − +1 )� +1 )� .
2
− +1 � +1
− +1 � −
1
− +1 � − � +1 � . ((
=
2
− +1 )(� − � +1 ))
1
− +1 2 � − � +1 � � − � +1
=
2
1
=
− +1 2 � − � +1 � � − � +1
2
1
− +1 2 (��� � − ��� � +1
=
2
−��+� � + ��+� � +1 )
1
=
− +1 2 1 + 1
2
=
− +1 2 .
Berdasarkan persamaan (3.23) dan (3.25),
diperoleh
�
∗
=
−
2
+
=
2
+
2
� −1
�
Sehingga secara tidak langsung premi optimal
adalah tak negatif.
=
Teorema 4
Nilai harapan dari kuadrat galat penduga
premi total pada perencanaan premi optimal
memenuhi persamaan
∗
�
−
2
2
=
+
=0
�
−1
−
+1
2
(3.35)
dan variannya memenuhi persamaan
�
�
∗
=
=0
�
Bukti (Teorema 4)
Untuk ∀ ∈ 1,2, … ,
2
=2
−1
−
+1
2
. (3.36)
, didefinisikan
(3.37)
2
�
+
=0
=0
�
�
−1
−1
−
3.5 Contoh
Sebaran
Terpotong (Truncated
Distribution)
+1
2
∎
.
Eksponensial
Exponentials
Untuk ilustrasi secara umum, diasumsikan
kerugian reasuransi memenuhi sebaran
eksponensial terpotong.
Anggap peubah acak dengan
0,
�
=
0
�
−�
,
jika
0
jika
> 0,
untuk parameter � ∈ 0, ∞ , yang berarti
bahwa
menyebar eksponensial dengan
parameter �.
10
�
Didefinisikan
,�
jika
jika
=
,
=
�,
=�
�
> �.
Besarnya premi bersih untuk
=
�
=
� +
−�
�
0
1
−
�
−�
=−
−��
= −�
−��
+�
−�
1
−
�
+�
1 −�� 1
+
=−
�
�
1
−��
.
= 1−
�
adalah
−��
−��
− 0−
1
�
Besarnya peluang premi reinstatement yang
dibayarkan adalah
� 0
�
=
0
=�
−�
0
1 −�
|0
�
−�
=−
|0
= − −� − − 0
= 1 − −� .
<
+1
�
=
�
�
−�
−�
+
−�
−
+
∞
�
�
0
−�
= − −�
1
= 1−
�
<
+1
−�
1
�
−�
1
1 −�
− 0−
�
�
1 −�
1
−
+
�
�
−
−�
−�
−
.
+1
−�
�
+1
−�
+
−�
−
+1
−�
1
�
−�
− −
|0
−�
|
−�
+1
1
�
+1
−
+1
−�
−
1
�
−�
−�
−
1 −�
1 −� +1
+
−
�
�
1 −�
− −� +1 +
=
�
−� +1
− +1
.
1 −� +1
=� −
|
�
= − −� | +1
= − −� +1 − − �
= −� − −� +1 .
�
= −
=
−�
<
=−
= −
−�
=�
�
=−
=−
+1
=
0
=−
+1
�
−�
�
=
=
=� −
�
�0
�
−�
−�
�
=
−�
��
Besarnya premi yang harus dibayarkan adalah
−��
+�
+�
∞
1 −� �
1 −� ∞
=� −
|
+� −
|�
�
�
−� �
−� �
=−
| + −
|
= − �� − − −�
+ − ∞− −
= −� .
>�
|�
0
−�
<
�
=−
�
�
−�
−�
+
�
+�
−�
−�
+1
−�
−��
+�
−��
+1
11
−�
=−
= −�
=
1
−
�
1
=
�
−
−��
−�
1
�
−
1
�
−�
−��
−��
+�
1
+
�
−�
|� + �
−�
−
−��
+
=
.
Oleh karena itu, diperoleh
=
=
|
=
�0
� 0
1
1−
�
−�
1−
<
�
�
1
=
−�
−
�
+
−
+1
�
<
−�
−�
−�
−
+1
+1
−
−�
−
−
−�
−�
−�
<
−�
−
−�
+1
−�
+1
+1
−
−�
+1
+1
−�
+1
+1
−�
−�
�
−��
−
+
−�
−�
1
= −
+
�
�
−�
.
Sehingga besarnya premi dari perencanaan
premi optimal ∗ = ∗ ∈ 0,1,…, memenuhi
−�
3. Untuk =
∗
=
|
−
|
+
1−
�
<
<
−�
1
−
+
=
�
�
=
+1
1
− −�
1−
�
−�
1
= −
+
� 1 − −�
=
−�
+
+1
−� +1
−
− −�
−�
−�
−�
�
�
<
<
2. Untuk ∈ 1,2, … , − 1
∗
=
|
<
+1
−
|0
−�
−�
1
1
= −
+
−
+
� 1 − −�
� 1 − −�
= .
−�
1
−
.
� 1 − −�
1
=
−�
�
�
1. Untuk = 0
∗
=
|0
−�
1
= −
.
� 1 − −�
|0
=
�
1
−��
−�
<
=
−�
− −
1
−
�
−�
|
−��
−�
−
−�
−�
�
+1
−�
1
−
−
+
� 1 − −�
.
Sehingga
dapat
disimpulkan
bahwa
perencanaan premi optimal memenuhi
∗
−�
1
−
,
� 1 − −�
,
=
.
dan
∗
0
1−
<
−�
−�
<
−
−�
∗
.
�
jika
=0
jika
∈ 1,2, … , − 1
, jika
=
12
IV SIMPULAN
Reasuransi merupakan perjanjian antara
beberapa perusahaan asuransi mengenai
pengalihan sebagian atau seluruh risiko untuk
menghindari kebangkrutan akibat risiko
katastropik, yaitu risiko yang dapat
mengakibatkan kerugian yang sangat besar.
Perencanaan premi
sangat
diperlukan
perusahaan reasuransi dalam menghadapi
risiko-risiko atas klaim yang diajukan. Salah
satu upaya yang dapat dilakukan perusahaan
reasuransi untuk mengoptimalkan premi yang
akan
dibayarkan
adalah
dengan
memberlakukan kontrak reasuransi dengan
reinstatement. Total premi yang dibayarkan
merupakan penjumlahan antara 0 (premi
yang dibayarkan pada awal kontrak) dan
(premi reinstatement) yang dibayarkan ketika
kerugian perusahaan melebihi batas atas
liabilitas reinsurer.
Eksistensi dari suatu perencanaan premi
adalah meminimumkan nilai harapan dari
kuadrat selisih antara kerugian dan total
pemasukan premi suatu perusahaan reasuransi
sehingga perencanaan premi yang digunakan
optimal dan dapat dilihat sebagai masalah
kredibilitas. Masalah kredibilitas ini sangat
penting bagi perusahaan reasuransi karena
sangat erat kaitannya dengan kemampuan
perusahaan reasuransi dalam menanggung
kerugian-kerugian yang dialami tertanggung
sehingga akan memengaruhi seberapa besar
tingkat kepercayaan tertanggung terhadap
perusahaan tersebut.
Perencanaan premi optimal memenuhi
prinsip premi bersih dan mempunyai solusi
unik
karena
matriks
koragam
dari
perencanaan premi tersebut mempunyai
invers. Selain itu, perencanaan premi optimal
mempunyai beberapa sifat, yaitu tak bias dan
tak negatif. Perencanaan premi bersifat tak
bias ketika kerugian perusahaan reasuransi
sama dengan total pemasukan premi pihak
tertanggung.
13
DAFTAR PUSTAKA
Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability
and Random Processes. 2nd Ed. Oxford:
Clarendon Press.
Hess KT. 2003. Das kollektive modelle der
risikhotheorie in der schadenexzedenten
ruckvericherung. Allg. Statist. Archiv
87:309-320.
reinstatements. Astin Bulletin 34(2):299313.
Hogg RV, Craig AT, McKean JW. 2005.
Introduction to Mathematical Statistics.
6th Ed. New Jersey: Prentice Hall.
Hess KT, Schmidt KD. 2001. Credibility
modelle in tarifierung und reservierung.
Allg. Statist. Archiv 85:225-246.
Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan
Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A,
penerjemah; Hardani HW, editor. Jakarta:
Erlangga. Terjemahan dari: Linear
Algebra with Applications. 5th Ed.
Hess KT, Schmidt KD. 2004. Optimal
premium plans for reinsurance with
Marianto AJ. 1997. Reasuransi. Jakarta:
Ghalia Indonesia.
14
LAMPIRAN
15
Lampiran 1
Bukti Lema 1
Matriks � memenuhi � = − ��� .
Berdasarkan persamaan (3.13),
�=�
�
��� −
=
�
�
�
.
=
Jadi, akan dibuktikan bahwa
memenuhi � = − ��� .
���
dan ��� =
Bukti:
Berdasarkan persamaan (3.13), ∀ ∈ 1, … ,
� =�
� =�
<
<
�
�
�
sehingga matriks �
dan ∈ 1, … , , kita mempunyai
,
.
Sehingga
�� =�
=�
=�
< ∩
<
<
Oleh karena itu,
��
= �
=�
<
=
=
1.
���
�=
��� =
=
� <
�2 <
�3 <
�
<
� <
�2 <
�3 <
�
∩
<
∩
<
< ∩
<
<
�2
�2
�3
�
�2
<
� <
�2 <
�3 <
<
∩
� <
�2 <
�3 <
�
�
<
� <
�2 <
�3 <
�
=
� .
<
<
<
<
�
<
�3
� <
�2 <
�3 <
∩2 <
∩2 <
∩2 <
�
< ∩2 <
�3
�3
�3
�
<
<
<
<
�
<
⋱
�
�
�
�
<
∩3 <
∩3 <
∩3 <
< ∩3 <
<
<
<
<
⋱
� <
�2 <
�3 <
�
∩
<
∩
<
∩
<
< ∩
<
16
Sehingga
=1
��� =
=2
=3
= .
Terbukti
2.
�
�
�=
�
=2
�
=2
�
=3
�
�
=3
�
=3
�
=3
�
�
�
�
�
�
�
⋱
�
�
��� = .
�
∎
.
� <
�2 <
�3 <
�
<
=1
� =
=2
=3
�
�
�
�
dan
�
�
=
=1
�
=2
�
=3
�
�
.
Sehingga
=1
�
�
�
=
=2
=3
�
�
�
�
=1
�
=2
�
=3
�
�
17
=1
=2
=
=3
�
=1
�
=1
�
�
=1
=1
�
=1
�
=2
�
=3
�
�
=2
�
=2
�
�
=2
=2
�
=1
�
=2
�
=3
�
�
=3
�
=3
�
�
=3
=3
�
�
�
�
�
�
⋱
�
=1
=2
=3
�
�
�
� �
Sedangkan
=1
��� =
=2
=3
�
0
0
0
�
0
0
0
�
0
�
=1
=2
=
=3
�
=
Terbukti
�
�
0
0
�
0
=1
�
=1
�
=1
=1
�
�
�
�
�
�
=2
�
=3
�
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⋱
�
0
0
⋱
0
=1
=2
=3
�
�
�
�
=2
=2
=2
=2
�
�
�
�
=1
=2
=3
�
�
�
�
=3
=3
=3
=3
�
�
�
�
�
�
�
= ��� .
Jadi, berdasarkan (1) dan (2) terbukti bahwa matriks � memenuhi � =
dan ��� =
�
�
⋱
=1
=2
=3
�
�
�
� �
.
�
�
0
0
�
�
=1
.
− ��� dengan
=
∎
���
18
Lampiran 2
Bukti persamaan .
Berdasarkan persamaan 3.14 , 3.18 , dan (3.21), didefinisikan matriks
turut sebagai berikut.
∈�
untuk
∈�
untuk
∈�
untuk
dengan
∈ 1,2, … ,
dengan
∈ 0,1, … ,
:,
1,
0,
, dan
berturut-
jika ,
selainnya,
.
:,
.
dengan
∈ 1,2, … ,
=
,
:,
.
1, jika , ∈
= −1, jika , ∈
0, selainnya,
1,
= −1,
0,
, , + 1, + 1
, + 1 , + 1,
jika
=
jika < + 1 =
selainnya,
Oleh karena itu, diperoleh
1 1
1 2
1 3
1
2 1
=
=
=
=
=
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0 0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
⋱
⋱
⋱
⋱
⋱
0
0
0
0
1 −1
−1 1
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
−1
0
0
−1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 −1
−1 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
1 −1
−1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
0 0
⋱
⋱
⋱
0
0
0
0
1
0
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
0
=
1
⋱
=
0
0
0
0
0
=
0
0
0
0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
0 0
⋱
⋱
⋱
0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=�
=�
=�
0
0
0
0
0
=�
19
2 2
2 3
=
=
=
2
3 1
3 2
3 3
=
=
=
=
3
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0 0
0 0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0 0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0 0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0 0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0 0
=
−1
−1
=
0
0
0
0
1
1
1
0
0 0
1 1
1 1
1 1
⋱
⋱
⋱
⋱
⋱
⋱
1
1
1
1 1
0 0
1
0
1 1
1 1
1 1
1
1
1
1 1
1 1
⋱
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
1 −1
−1 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
1 −1
−1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
1 −1
−1 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
1 0
1 0
1 0
⋱
0 0
1 −1
−1 1
0 0
0 0
1 −1
−1 1
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⋱
0 0
0 0
0 0
0
0
0 0
0 0
1 1
1 1
1 1
0
0
0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0
1 0
0 0
1 1
1 1
0
0
0
0
0 0
0 0
⋱
⋱
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⋱
⋱
0
0
0
0
⋱
=
=
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
=
0
=
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1 −1
−1 1
0 0
1 −1
1 −1
1 −1
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
⋱
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
0
0
0
0
⋱
0
⋱
⋱
=�
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
=�
0
0
0
0
0
=�
0
0
0
0
0
⋱
0
=�
0
0
0
0
0
=
0
0
0
0
0
⋱
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
=
0 0
0 1
0
0
0
1
1
0
0
0 0
0
0 0
0 0
0 0
⋱
=
1
⋱
0
0
0
0
=
0
=�
0
0
0
0
0
⋱
=�
0
0
0
0
0
=�
20
−1
−1
=
1 1
1 1
1 1
1
0
1
1
1
1
=
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
0 0
1
1
1
1
1
1
1
⋱
1
1
1
1
1 1
⋱
1
0
0
0
0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0 0
0 0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0 0
0
0
0
0
0
0
0
⋱
0
0
0
0
0
0
0 0
⋱
0
0
0
0
0
0
0
=
−1
1
1
−1
=
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
1
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
1 −1
1 −1
1 −1
0
0
0
0
0
⋱
⋱
1
1
1
1
1 −1
0 0
=
=
�−
�
1
Uraian tersebut di atas dapat ditulis sebagai berikut.
1 2
1 3
2 2
3 3
−1
1
=
=
=
1 1
−1
=
=
2 1
2 3
=
jika
= .
2
�−
3 1
�
3 2
3
Jadi, dapat disimpulkan bahwa
=
, jika =
�, selainnya
=�
=�
=�
=�
=�
=�
=�
=�
=�
=�
−1
−1 = �
≠
.
= � jika
≠ .
∎