Sebaran asimtotik penduga turunan pertama dan turunan kedua fungsi intensitas proses poisson periodik

 
 

SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN
TURUNAN KEDUA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON
PERIODIK

IHDA ANISSA INDRIASTUTI

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011

 
 

ABSTRAK
IHDA ANISSA INDRIASTUTI. Sebaran Asimtotik Penduga Turunan Pertama dan Turunan
Kedua Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan

SISWANDI.
Pada karya ilmiah ini dibahas pendugaan turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi
intensitas suatu proses Poisson periodik. Untuk memformulasikan penduga turunan pertama dan
turunan kedua fungsi intensitas ini, terlebih dahulu dirumuskan sebuah penduga fungsi intensitas
proses Poisson periodik itu sendiri. Kemudian dipelajari sifat-sifat statistik dari penduga turunan
pertama dan turunan kedua fungsi intensitas yang dikaji. Terakhir ditentukan normalitas asimtotik
dari penduga tersebut.

 
 

ABSTRACT
IHDA ANISSA INDRIASTUTI. Asymptotic Distribution of Estimators for the First and Second
Derivatives of the Intensity Function of a Periodic Poisson Process. Supervised by I WAYAN
MANGKU and SISWANDI.
This manuscript is concerned with estimation of the first and second derivatives of intensity
function of a periodic Poisson process. To construct the estimators for the first and second
derivatives of this intensity function, an estimator for the intensity function itself is formulated.
Then, the statistical properties of the estimators for the first and second derivatives of the intensity
function are discussed. Finally, an asymptotic normality of those estimators are established.

 
 

SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN
TURUNAN KEDUA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON
PERIODIK

IHDA ANISSA INDRIASTUTI

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011

 
 

Judul
Nama
NRP

: Sebaran Asimtotik Penduga Turunan Pertama dan Turunan Kedua
Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik.
: Ihda Anissa Indriastuti
: G54070002

Menyetujui

Pembimbing I,

Pembimbing II,

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.

NIP. 19620305 198703 1 001

Drs. Siswandi M,Si.
NIP. 19640629 199103 1 001

Mengetahui:
Ketua Departemen,

Dr. Berlian Setiawaty, MS
NIP. 19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus :

 
 

KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya
sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari
bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya

kepada:
1. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu,
kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini).
2. Drs. Siswandi M,Si. Selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu, saran, dan
bantuannya selama penulisan skripsi ini).
3. Ir. Retno Budiarti, MS. selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya).
4. Semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan).
5. Pak Yono, Mas Heri, Pak Bono, Bu Ade, Bu Susi, Mas Deni.
6. Keluargaku tercinta : Ayah dan Ibu (terima kasih banyak atas semua doa, dukungan, dan
kasih sayangnya) ,om, tante, adik-adik ku tersayang, kakek dan nenek (terima kasih atas
doanya).
7. Dede Febriyanto (terima kasih atas waktu, doa, dukungan, saran, dan segala bantuannya).
8. Ining, Ira, Vivi, Evi, Prisma, Eli, Yastika, Intan, Nila, Chyntia, Dian (terima kasih atas doa,
dukungan, saran dan segala bantuannya),
9. Teman sebimbingan : Wenti, Nadiroh, Pepi, Tita (makasih atas bantuannya).
10. Teman-teman Math 44 : Ruhiyat, Siska, Lingga, Yuyun, Lugina, Diana, Yanti, Lilis, Ririh,
Eka, Aswin, Wahyu, Aqil, Aze, Nurul, Tanti, Rachma, Mutia, Lili, Cita, Selvi, Tendhy, Ali,
Lina, Iresa, Deva, Nurul “Ucu”, Istiti, Ayum, Sri, Yuli, Zae, Dian, Vianey, Devi, Yogie,
Copa, Ayung, Sari, Endro, Fitri “Dora”, Ima, Fajar, Nurfitriana, Masayu, Denda, Atik, Dika,
Fani, Ikhsan, Della, Pandi, Rizky, Tyas, Arina, Imam, Rofi, Indin, Mariyam, Olih, Ipul,

Nurus, Lukman, Puying, Naim (selamat berjuang teman-temanku...).
11. Teman-teman Math 42 : Ka Agnes, Ka Ricken, Ka Ocoy, Ka Ratna, dan teman-teman Math
42 lainnya (terima kasih atas saran dan segala bantuannya).
12. Teman-teman Math 43 : Ka Emta, Ka Apri, Ka Supri, Ka Destya, Ka Vera, Ka Kabil, Ka
Agung, Ka Ratna, Ka Aini, Ka Tami, Ka Wira, Ka Sunarsih dan teman-teman Math 43
lainnya (terima kasih atas dukungan, saran, dan segala bantuannya).
13. Adik-adik Math 45, Math 46, dan TPB 47 (terima kasih atas doa dan dukungannya).
14. Teman-teman Perwira 48 (terima kasih atas doanya)
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya
Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, April 2011

Ihda Anissa Indriastuti

 
 

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Tangerang pada tanggal 29 Oktober 1989 sebagai anak pertama dari

tiga bersaudara, anak dari pasangan Samingan dan Surastiyah.
Tahun 2001 penulis lulus dari SDN Sirnabaya III. Tahun 2004 penulis lulus dari SMPN 3
Karawang. Tahun 2007 penulis lulus dari SMAN 5 Karawang dan pada tahun yang sama lulus
seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian Saringan Masuk IPB (USMI). Penulis memilih Jurusan
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi anggota dalam Organisasi Mahasiswa
Daerah (OMDA) Karawang pada periode 2009-2010.

vii

 

DAFTAR ISI
Halaman

PENDAHULUAN .............................................................................................................. 1 
Latar Belakang ................................................................................................................ 1 
Tujuan ............................................................................................................................. 1 
LANDASAN TEORI .......................................................................................................... 2 
Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang ........................................................................... 2 

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ................................................................................... 2 
Momen Peubah Acak ...................................................................................................... 3 
Kekonvergenan Peubah Acak ......................................................................................... 3 
Penduga ........................................................................................................................... 3 
Proses Poisson Periodik .................................................................................................. 4 
Beberapa Definisi dan Lema Teknis ............................................................................... 5 
HASIL PEMBAHASAN .................................................................................................... 7
Review Perumusan Penduga Bagi λ ( s ) dan Sifat-sifat Statistiknya ............................... 7 
Review Perumusan Penduga Bagi λ '( s ) dan Sifat-sifat Statistiknya ............................ 7 
Review Perumusan Penduga Bagi λ "( s) dan Sifat-sifat Statistiknya ............................ 9 
'

"

Sebaran Asimtotik bagi λˆn , λˆn dan λˆn  ......................................................................... 11 

SIMPULAN ...................................................................................................................... 16
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................................... 17
LAMPIRAN ...................................................................................................................... 18 

 
 

 
 

PENDAHULUAN

Latar Belakang
Banyak fenomena nyata dalam kehidupan
sehari-hari yang dapat dimodelkan dengan
proses stokastik. Model semacam ini
menggunakan aturan-aturan peluang yang
menggambarkan perilaku suatu sistem yang
tidak diketahui secara pasti di masa yang
akan datang. Misalnya, proses kedatangan
pelanggan ke suatu pusat servis (bank, kantor
pos, supermarket, dan sebagainya).
Proses stokastik adalah suatu model
matematika yang menggunakan kaidahkaidah peluang. Model ini umumnya

digunakan untuk menjelaskan fenomenafenomena yang tidak dapat diketahui secara
pasti mengenai perilakunya yang akan
terjadi. Proses stokastik dibedakan menjadi
dua yaitu proses stokastik dengan waktu
diskret dan proses stokastik dengan waktu
kontinu. Pada karya ilmiah ini pembahasan
hanya dibatasi pada proses stokastik dengan
waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari
proses stokastik dengan waktu kontinu
adalah proses Poisson periodik.
Proses Poisson periodik merupakan suatu
proses Poisson dengan fungsi intensitas
berupa fungsi periodik. Proses ini antara lain
dapat digunakan untuk memodelkan proses
kedatangan pelanggan ke suatu pusat servis
dengan periode satu hari. Pada proses
kedatangan pelanggan tersebut, fungsi

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

intensitas lokal menyatakan laju kedatangan
pelanggan pada waktu tertentu.
Dalam banyak penerapan, kita tidak
mengetahui secara pasti perilaku suatu sistem
di masa yang akan datang sehingga selain
diperlukan penduga bagi fungsi intensitas
suatu proses Poisson periodik, diperlukan
pula penduga bagi turunan fungsi intensitas
tersebut. Pada karya ilmiah ini dipelajari
perumusan penduga bagi turunan pertama
dan turunan kedua dari fungsi intensitas
suatu proses Poisson periodik dengan
menggunakan fungsi kernel seragam. Selain
itu dibahas pula sifat-sifat statistiknya, dan
akhirnya
ditentukan
sebaran
normal
asimtotiknya
jika
panjang
interval
pengamatan menuju tak hingga.
Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah
untuk :
(i) Mempelajari
perumusan
penduga
turunan pertama dan turunan kedua dari
fungsi intensitas suatu proses Poisson
periodik dengan fungsi kernel seragam.
(ii) Mempelajari pendekatan asimtotik dari
nilai harapan penduga.
(iii) Mempelajari pendekatan asimtotik dari
ragam penduga.
(iv) Menentukan sebaran asimtotik dari
penduga yang dikaji.

 
 

LANDASAN TEORI

 
 

Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam
kondisi yang sama, yang hasilnya tidak dapat
diprediksi secara tepat tetapi kita dapat
mengetahui semua kemungkinan hasil yang
muncul disebut percobaan acak.
Definisi 1 (Ruang contoh)
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil
yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan
dinotasikan dengan Ω .
(Grimmett and Stirzaker 1992)
Definisi 2 (Kejadian)
Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari
ruang contoh Ω .
(Grimmett and Stirzaker 1992)
Definisi 3 (Kejadian lepas)
Kejadian A dan B disebut saling lepas jika
irisan dari keduanya adalah himpunan kosong

(φ) .

(Grimmett and Stirzaker 1992)
Definisi 4 (Medan- σ )
Medan- σ adalah suatu himpunan
yang
anggotanya terdiri dari himpunan bagian dari
ruang contoh Ω , yang memenuhi syarat
berikut :
1.
.
, maka A c
.
2. Jika A
∞

3.

Jika A 1 , A 2,…

, maka

U

Ai

.

i =1

(Hogg et al. 2005)
Definisi 5 (Ukuran Peluang)
Misalkan Ω adalah ruang contoh suatu
percobaan dan
adalah medan- σ pada Ω .
Suatu fungsi Ρ yang memetakan unsur-unsur
ke himpunan bilangan nyata , atau Ρ :
→
disebut ukuran peluang jika :
1. Ρ tak negatif, yaitu untuk setiap A ∈ ,

Ρ( A) ≥ 0 .

2.

Ρ bersifat aditif tak hingga, yaitu jika
dengan A ∩ A = φ, j ≠ k,
A 1, A 2,…
k
j

( )
∞

∞

n=1

n=1

maka Ρ U An = ∑ Ρ( A ) .
3.

Ρ bernorma satu, yaitu

n

Ρ(Ω) = 1.

Pasangan (Ω, ,Ρ) disebut ruang ukuran
peluang atau ruang probabilitas.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 6 (Kejadian saling bebas)
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas
jika :

Ρ( A ∩ B) = Ρ( A)Ρ(B) .

{

Secara umum, himpunan kejadian Ai ; i ∈ I

}

dikatakan saling bebas jika :

( )

Ρ I Ai = ∏ Ρ( Ai )
i∈J
i∈J
untuk setiap himpunan bagian J dari I.
(Grimmett and Stirzaker 1992)
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Definisi 7 (Peubah acak)
Misalkan Ω adalah ruang contoh dari suatu
percobaan acak. Fungsi X yang terdefinisi
pada Ω yang memetakan setiap unsur
ω ∈Ω ke satu dan hanya satu bilangan real

X (ω) disebut peubah acak.
Ruang dari
bilangan real

X

adalah himpunan bagian

= { x : x = X (ω), ω ∈ Ω} .

(Hogg et al. 2005)
Suatu peubah acak dilambangkan dengan
huruf kapital, misalnya X , Y , Z ,sedangkan
nilai dari peubah acak dilambangkan dengan
huruf kecil seperti x, y, z .
Definisi 8 (Peubah acak diskret)
Peubah acak X dikatakan diskret jika semua
himpunan nilai dari peubah acak tersebut
merupakan himpunan tercacah.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 9 (Fungsi sebaran)
Misalkan X adalah peubah acak dengan
ruang . Misalkan kejadian A = (−∞, x] ∈
, maka peluang dari kejadian A adalah
Ρ( X ≤ x ) = FX ( x ) .
Fungsi FX disebut fungsi sebaran dari
peubah acak X .
(Hogg et al. 2005)

3

 

Definisi 10 (Fungsi massa peluang)
Fungsi massa peluang dari peubah acak
, yang
diskret X adalah fungsi :
diberikan oleh :
p X ( x) = Ρ( X = x) .
(Hogg et al. 2005)
Definisi 11 (Peubah acak Poisson)
Suatu peubah acak X disebut peubah acak
Poisson dengan parameter λ , λ > 0, jika
fungsi massa peluangnya diberikan oleh
k
−λ λ
p X (k ) = e
,
k!
untuk k = 0,1, ...
(Ross 2007)
Lema 1 (Jumlah peubah acak Poisson)
Jika X dan Y adalah dua peubah acak yang
saling bebas dan memiliki sebaran Poisson
dengan parameter berturut-turut λ1 dan λ2 ,
maka X + Y adalah peubah acak bersebaran
Poisson dengan parameter λ1 + λ2 .
(Taylor and Karlin 1984)
Bukti : Lihat Lampiran 1.

Jika k adalah bilangan bulat positif, maka
momen ke- k atau mk dari peubah acak X
adalah
k
mk = Ε( X ).
(Hogg et al. 2005)
Definisi 15 (Momen pusat ke-k)
Jika k adalah bilangan bulat positif, maka
momen pusat ke- k atau σ k dari peubah acak
X adalah
k
σ k = Ε(( X − Ε( X )) ).
(Hogg et al. 2005)
Nilai harapan dari peubah acak X juga
merupakan momen pertama dari X . Nilai
harapan dari kuadrat perbedaan antara peubah
acak X dengan nilai harapannya disebut
ragam dari X . Ragam merupakan momen
pusat ke-2 dari peubah acak X .
Definisi 16 (Fungsi Indikator)
Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi
indikator dari A adalah suatu fungsi
Ι Α : Ω → [0,1] , yang diberikan oleh :

Ι Α (ω ) =

Momen Peubah Acak
Definisi 12 (Nilai harapan)
Misalkan X adalah peubah acak diskret
dengan fungsi massa peluang p X ( x ) . Nilai
harapan dari X , dinotasikan dengan Ε( X ) ,
adalah
Ε ( X ) = ∑ xp X ( x ),
∀x
jika jumlah di atas konvergen mutlak.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 13 (Ragam)
Misalkan X adalah peubah acak diskret
dengan fungsi massa peluang p X ( x ) dan

Ε( X ) . Ragam dari X ,
Var( X ) atau σ X2 ,
dinotasikan dengan

nilai harapan
adalah
2

2

2

σ X = Ε (( X − Ε ( X )) ) = ∑ ( x − Ε ( X )) p X ( x ) .
x

(Hogg et al. 2005)

Definisi 14 (Momen ke-k)

{

1, jika ω ∈ A
0, jika ω ∉ A

.

(Grimmet and Stirzaker 1992)
Dengan fungsi indikator
menyatakan hal berikut :
Ε(Ι A ) = Ρ( A) .

kita

dapat

Kekonvergenan Peubah Acak
Definisi 17 (Kekonvergenan dalam
sebaran)
, ,…,
adalah peubah acak
Misalkan
pada suatu ruang peluang Ω, , P . Suatu
dikatakan konvergen
barisan peubah acak
dalam sebaran ke peubah acak X, ditulis
, untuk
∞, jika
x
P
P
untuk
∞, untuk semua titik x dimana
P
adalah
fungsi sebaran
kontinu.
(Grimmett dan Stirzaker 1992)

Penduga

4

 

Definisi 18 (Statistik)
Statistik merupakan suatu fungsi dari satu
atau lebih peubah acak yang tidak tergantung
pada satu atau beberapa parameter yang
nilainya tidak diketahui.
(Hogg et al. 2005)

Definisi 23 (Proses Stokastik)
Proses stokastik X = {X (t ), t ∈T} adalah
suatu himpunan dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu
ruang state X (t ).
(Ross 2007)

Definisi 19 (Penduga)
Misalkan X1, X2,..., Xn adalah contoh acak.
Suatu

statistik

U ( X1, X2 ,..., X n )

yang

digunakan untuk menduga fungsi parameter

Jadi, untuk setiap t pada himpunan indeks
T,

X (t) adalah suatu peubah acak. Kita

sering menginterpretasikan t sebagai waktu

g(θ ) , dikatakan sebagai penduga (estimator)
bagi g(θ ) , dilambangkan dengan gˆ (θ ) .

dan X (t) sebagai state (keadaan) dari proses
pada waktu t .

X1 = x1, X2 = x2,..., Xn = xn ,
maka nilai U ( x1, x2 ,..., xn ) disebut sebagai

nilai dugaan (estimator) bagi g(θ ) .
(Hogg et al. 2005)

Definisi 24 (Proses stokastik waktu
kontinu)
Suatu proses stokastik X disebut proses
stokastik dengan waktu kontinu jika T
adalah suatu interval.
(Ross 2007)

Definisi 20 (Penduga Tak Bias)
(i) Suatu penduga yang nilai harapannya

Definisi 25 (Inkremen bebas)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu

Bilamana

nilai

sama dengan parameter

g(θ ) , yaitu

Ε[U(X1, X2,..., Xn)] = g(θ) , disebut penduga

tak bias bagi g(θ ) . Apabila sebaliknya,
penduga di atas disebut berbias.
lim Ε[U(X1, X2,..., Xn)] = g(θ) ,
(ii) Jika
n→∞

maka U( X1, X2,..., Xn) disebut sebagai
penduga tak bias asimtotik bagi g(θ ) .
(Hogg et al. 2005)

Definsi 21 (Penduga konsisten)
Suatu penduga yang konvergen

dalam

peluang ke parameter g(θ ) , disebut penduga
konsisten bagi g(θ ) .
(Hogg et al. 2005)
Definisi 22 (MSE suatu penduga)
Mean Square Error (MSE) dari suatu

U bagi parameter
penduga
didefinisikan sebagai

g(θ )

2
2
MSE(U ) = Ε(U − g(θ )) = (Bias(U )) + Var(U )
dengan Bias(U) = ΕU − g(θ ) .

Proses Poisson Periodik

{X (t), t ∈T} disebut memiliki inkremen
bebas jika untuk semua t0 < t1 < t2 < ... < tn ,
peubah
acak
X (t1) − X (t0 ), X (t2 ) − X (t1),..., X (tn ) − X (tn−1)

adalah bebas.
(Ross 2007)
Berdasarkan definisi di atas, maka suatu
proses stokastik dengan waktu kontinu X
disebut memiliki inkremen bebas jika proses
berubahnya nilai pada interval waktu yang
tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah
bebas.
Definisi 26 (Inkremen stasioner)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu

X = {X (t ), t ∈T}

disebut

memiliki

inkremen stasioner
jika X(t +s) −X(t)
memiliki sebaran yang sama untuk semua
nilai t .
(Ross 2007)
Berdasarkan definisi di atas, maka suatu
proses stokastik dengan waktu kontinu X
disebut memiliki inkremen stasioner jika
sebaran dari perubahan nilai antara
sembarang dua titik hanya tergantung pada
jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak
tergantung dari lokasi titik-titik tersebut.

5

 

Definisi 27 (Proses Pencacahan)

Suatu proses stokastik {N(t), t ≥ 0} disebut
proses pencacahan jika N(t) menyatakan
banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai
waktu t .
(Ross 2007)
Dari definisi tersebut, maka suatu proses
pencacahan N(t) harus memenuhi syaratsyarat berikut :

N(t) ≥ 0 untuk semua t ∈[0, ∞) .
(ii) Nilai N(t) adalah integer.
( ) dengan
(iii) Jika s < t maka N(s) ≤Nt
(i)

s, t ∈ [0, ∞).
(iv) Untuk s < t maka N(t) − N(s) sama
dengan banyaknya kejadian yang terjadi
pada interval (s, t ] .
Definisi 28 (Proses Poisson)
Suatu proses pencacahan {N(t), t ≥ 0}
disebut proses Poisson dengan laju λ , λ > 0 ,
jika dipenuhi tiga syarat berikut :
(i) N (0) = 0 .
(ii) Proses tersebut memiliki inkremen
bebas.
(iii) Banyaknya kejadian pada sembarang
interval waktu dengan panjang t ,
memiliki sebaran Poisson dengan nilai
harapan λt . Sehingga untuk semua
t, s > 0 ,
− λt
k
(λ t )
e
,
Ρ ( N (t + s ) − N ( s ) = k ) =
k!
k = 0,1, ...
(Ross 2007)
Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses
Poisson memiliki inkremen yang stasioner.
Dari syarat ini juga dapat diperoleh :

Ε( N (t )) = λ t .

Definisi 29 (Proses Poisson tak homogen)

Suatu proses Poisson {N(t), t ≥ 0} disebut
proses Poisson tak homogen jika laju pada
sembarang waktu t merupakan fungsi tak
konstan dari t yaitu λ (t ) .
Definisi 30 (Intensitas lokal)
Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak
homogen X dengan fungsi intensitas λ

pada titik
fungsi λ di s .

adalah

λ(s)

yaitu nilai

(Cressie 1993)
Definisi 31 (Fungsi periodik)
Suatu fungsi λ disebut periodik jika

λ(s + kτ ) = λ(s)
untuk semua
dan
. Konstanta
terkecil τ yang memenuhi persamaan di atas
disebut periode dari fungsi λ tersebut.
(Browder 1996)
Definisi 32 (Proses Poisson Periodik)
Proses Poisson periodik adalah suatu proses
Poisson
tak homogen yang
fungsi
intensitasnya adalah fungsi periodik.
(Mangku 2001)

Beberapa Definisi dan Lema Teknis
Definisi 33 (Fungsi terintegralkan lokal)
Fungsi intensitas λ disebut terintegralkan
lokal jika untuk sembarang himpunan Borel
terbatas B kita peroleh
μ ( B) = ∫B λ ( s)ds < ∞.
(Dudley 1989)

ο (.) )
Ο(.) dan ο(.)

Definisi 34 ( Ο(.) dan

Simbol-simbol
merupakan
cara untuk membandingkan besarnya dua
fungsi u( x) dan v(x) dengan x menuju
suatu limit L .
(i) Notasi u(x) =Ο(v(x)), x →L, menyatakan
bahwa

u ( x)
v( x)

terbatas, untuk x → L .

(ii) Notasi u(x) =ο(v(x)), x →L, menyatakan
bahwa

u ( x)
v( x)

→ 0 , untuk x → L .
(Serfling 1980)

Definisi 35 (Titik Lebesque)
Kita katakan s adalah titik Lebesque dari
jika berlaku

λ

1 h
lim
∫ λ ( s + x) − λ ( s ) dx = 0.
h→0 2h −h

(Wheeden and Zygmund 1977)
Lema 2 (Formula Young dari Teorema
Taylor)

6

 
Misalkan g memiliki turunan ke- n yang
berhingga pada suatu titik x . Maka

(

)

n g ( k ) ( x)
n
k
g ( y ) = g ( x) + ∑
( y − x) + ο y − x ,
k =1 k !

untuk y → x .

(Serfling 1980)
Bukti : Lihat Serfling 1980.
Lema 3 (Pertidaksamaan Chebyshev)
Jika X adalah peubah acak dengan nilai
harapan

μ dan ragam σ 2 , maka untuk

setiap k > 0

(

)

Ρ X −μ ≥ k ≤

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

σ
k

2
2 .

(Ross 2007)
Bukti : Lihat Lampiran 2.
Lema 4 (Teorema Limit Pusat)
Misalkan 1, 2,..., n adalah suatu contoh
acak dari suatu distribusi yang mempunyai
nilai-harapan µ dan variance σ2. Maka peubah
acak
Yn = ∑1n X i − nμ / nσ = n ( X n − μ ) / σ
konvergen ke sebaran normal dengan nilaiharapan nol dan ragam 1. 
 
(Hogg and Craig 2005)

(

)

Bukti : Lihat Hogg and Craig 2005 

7

 

HASIL PEMBAHASAN

Review Perumusan Penduga Bagi λ ( s )
dan Sifat-sifat Statistiknya
Misalkan N adalah suatu proses Poisson
periodik dengan fungsi intensitas λ yang
diamati pada suatu interval [0, n ].
Pembahasan hanya dibatasi untuk kasus
periode τ yang diketahui dari fungsi intensitas
λ.
Misalkan hn adalah barisan dari bilangan real
positif yang konvergen menuju nol, yaitu hn
0 jika n ∞. Penduga bagi λ ( s ) dapat
dirumuskan sebagai berikut :
τ ∞ 1
λˆn ( s ) =
∑
n k =0 2 hn
(1)
N

([ s + kτ − hn , s + kτ + hn ] ∩ [0, n]) .

Teorema 1 : (Aproksimasi asimtotik untuk
nilai harapan λˆn ( s ) )

Misalkan fungsi intensitas λ adalah periodik
(dengan periode τ) dan terintegralkan lokal
serta hn 0.
a)

Jika

λ

memiliki

turunan

3
berhingga di s dan nhn

ketiga

∞, maka

1 "
2
3
Ε λˆn ( s ) = λ ( s ) + λ ( s ) hn + o ( hn )
6
(2)
jika n ∞.
b) Jika λ memiliki turunan keempat

4

berhingga di s dan nhn

∞, maka

1 " 2 1 (4) 4
4
Ελˆn(s) = λ(s) + λ (s)hn + λ (s)hn + o(hn )
6
120

jika n ∞.
Bukti : Lihat Pramarani 2009.

(3)

Teorema 2 : (Aproksimasi asimtotik untuk
ragam λˆn ( s ) )

Misalkan fungsi intensitas λ adalah periodik
(dengan periode τ) dan terintegralkan lokal
serta hn 0.
a)

Jika λ memiliki turunan
berhingga pada s , maka

ketiga

"

Var(λˆn (s)) =

τλ(s) τλ (s)hn
+

2nhn

12n

jika n ∞.
b) Jika λ memiliki turunan
berhingga pada s , maka

⎛ h2 ⎞
+ o⎜ n ⎟
⎜n⎟
⎝ ⎠
(4)
keempat

"
τλ ( s ) τλ ( s ) hn
ˆ
+
Var ( λ n ( s )) =
2 nhn
12 n
+

τλ

(4)

3
( s ) hn

240 n

⎛ hn3
+ o⎜
⎜ n
⎝

⎞
⎟⎟
⎠

jika n ∞.
Bukti : Lihat Pramarani 2009.

(5)

Review Perumusan Penduga Bagi
dan Sifat-sifat Statistiknya
Jika λˆn ( s ) adalah penduga bagi

λ '(s)

λ(s) , maka

penduga bagi λ '(s) dapat dirumuskan
sebagai berikut :
λˆ ( s + hn ) − λˆn ( s − hn )
'
(6)
.
λˆn ( s ) = n
2 hn
Penduga di atas diperoleh dari fakta bahwa
untuk nilai h > 0 yang cukup kecil, maka
λ ( s + h) − λ ( s − h)
'
.
λ ( s) ≈
(7)
2h
Teorema 3 : (Aproksimasi asimtotik untuk

'
nilai harapan λˆn ( s ) )

Misalkan fungsi intensitas λ adalah periodik
(dengan periode τ) dan terintegralkan lokal.
Jika hn

3

0, nhn

∞ untuk n

∞ dan λ

memiliki turunan ketiga berhingga pada s ,
maka
1 '''
'
'
2
2
Ε λˆn ( s ) = λ ( s ) + λ ( s ) hn + o ( hn )
3
n ∞
jika
(8)
Bukti :
Nilai harapan ruas kiri dari persamaan (8)
dapat dinyatakan sebagai berikut :
⎛ λˆ ( s + hn ) − λˆn ( s − hn ) ⎞
'
Ελˆn ( s ) = Ε ⎜ n
⎟
2 hn
⎝
⎠

8

 

=

1

⎡⎣Ελˆn(s + hn) −Ελˆn(s − hn)⎤⎦.
2hn

(9)

Berdasarkan persamaan (2), maka
1 "
2
3
Ελˆn (s + hn ) = λ (s + hn ) + λ (s + hn )hn + o(hn )
6
∞

jika n
dan

(10)

1 "
2
3
Ελˆn (s − hn ) = λ (s − hn ) + λ (s − hn )hn + o(hn )
6

(11)
jika n ∞.
Dengan menggunakan deret Taylor maka
diperoleh bahwa
λ(s + hn ) =

'

"
'''
(12)
λ (s)
λ (s) 2 λ (s) 3
3
λ(s) +
hn +
hn +
hn + o(hn )
1!
2!
3!
'''
λ ( s)
"
"
λ ( s + hn ) = λ ( s ) +
hn + o( hn ) (13)
1!
λ(s − hn) =
'

λ(s) −

λ (s)
1!

"

"

hn +

'''

λ (s) 2 λ (s) 3
2!

"

hn −

λ ( s − hn ) = λ ( s ) −

3!

3
hn + o(hn )

(14)

'''

λ (s)

hn + o( hn ). (15)
1!
Dengan mensubtitusikan persamaan (12) dan
(13) ke persamaan (10) maka didapatkan
Ελˆn ( s + hn ) =
'

2 "
3

2

1 '''
3

3

3

λ (s) + λ (s)hn + λ (s)hn + λ (s)hn + o(hn )
jika n ∞.
(16)
Dengan mensubtitusikan persamaan (14) dan
(15) ke persamaan (11) maka didapatkan
Ελˆn (s − hn ) =
'

2 "
3

2

1 '''
3

3

3

λ (s) − λ (s)hn + λ (s)hn − λ (s)hn + o(hn )
jika n ∞.
(17)
Dengan mensubtitusikan persamaan (16) dan
(17) ke persamaan (9) maka didapatkan
1 '''
'
'
2
2
Ε λˆn ( s ) = λ ( s ) + λ ( s ) h n + o ( h n )
3
jika n ∞.
Teorema 3 terbukti.

Teorema 4 : (Aproksimasi asimtotik untuk

'
ragam λˆn ( s ) )

Misalkan fungsi intensitas λ adalah periodik
(dengan periode τ) dan terintegralkan lokal.
Jika hn

3

0, nhn

∞ untuk n

∞ dan λ

memiliki turunan ketiga berhingga pada s ,
maka
"
τλ ( s ) τλ ( s )
⎛1⎞
'
Var (λˆn ( s )) =
+
+ o⎜ ⎟
3
⎝n⎠
4nhn 6nhn
jika n ∞.
(18)
Bukti :

'
Var (λˆn ( s)) dapat ditentukan sebagai berikut

⎛ λˆ (s + hn ) − λˆn (s − hn ) ⎞
'
Var (λˆn (s)) = Var ⎜ n
⎟
2hn
⎝
⎠
1
[Var(λˆn(s + hn)) +Var(λˆn(s − hn))
2
4hn
−2Cov(λˆn(s + hn), λˆn(s − hn))].
=

(19)
Dari persamaan (1) diperoleh :
λˆn ( s + hn ) =
τ ∞ 1
N s + kτ , s + kτ + 2hn ∩ [0, n]
∑
n k =−∞ 2hn
dan
λˆn (s − hn ) =
τ ∞ 1
N s + kτ − 2hn , s + kτ ∩ [0, n] .
∑
n k =−∞ 2hn

([

]

)

([

]

)

Dari hn 0 jika n
yang

cukup

∞ maka untuk nilai n
besar,

selang

dan
[ s + kτ , s + kτ + 2hn ]
[ s + kτ − 2hn, s + kτ ] tidak saling tumpang
tindih, sehingga N[ s + kτ, s + kτ + 2hn] dan
N[ s + kτ − 2hn, s + kτ ] adalah peubah acak
bebas.
Dengan demikian
Cov λˆn ( s + hn ), λˆn ( s − hn ) = 0 ,
sehingga persamaan (19) menjadi

(

)

9

 
'
Var ( λ n ( s )) =
1
2
4 hn

[Var ( λˆn ( s + hn )) + Var ( λˆn ( s − hn ))].

(20)
Berdasarkan persamaan (4) diperoleh :
V a r ( λˆn ( s + h n )) =

⎛h ⎞
τλ ( s + h n ) τλ ( s + h n )
+
hn + o ⎜ n ⎟
⎜
⎟
"

2 n hn

2

⎝ n ⎠

12n

jika n ∞
dan
Var ( λˆn ( s − hn )) =
"
⎛
τλ ( s − hn ) τλ ( s − hn )
hn + o ⎜
+
⎜
2 nhn
12 n
⎝

(21)

Jika λˆn ( s ) adalah penduga bagi
penduga bagi
sebagai berikut :

λ "(s)

4hn
Penduga di atas diperoleh dari fakta bahwa,
untuk nilai h > 0 yang cukup kecil, maka :
'
'
λ ( s + h) − λ ( s − h)
"
λ ( s) ≈
2h
λ ( s + 2h) + λ ( s − 2h) − 2λ ( s )
"
λ (s) ≈
. (26)
2
4h

Teorema 5 : (Aproksimasi asimtotik untuk

"

nilai harapan λˆn ( s ) )

⎞
⎟
n ⎟⎠

2
hn

jika n ∞.
(22)
Dengan mensubtitusikan persamaan (12) dan
(13) ke (21) maka diperoleh
Var(λˆn (s + hn )) =
2
'
"
'''
τλ(s) τλ (s) τλ (s)
τλ (s) 2 ⎛ hn ⎞
+
+
hn +
hn + o ⎜ ⎟
⎜n⎟
2nhn
2n
3n
6n
⎝ ⎠
jika n ∞.
(23)
Dengan mensubtitusikan persamaan (14) dan
(15) ke (22) maka diperoleh
Var(λˆn (s − hn )) =
2
'
"
'''
τλ(s) τλ (s) τλ (s)
τλ (s) 2 ⎛ hn ⎞
−
+
hn −
hn + o ⎜ ⎟
⎜n⎟
2nhn
2n
3n
6n
⎝ ⎠
jika n ∞.
(24)
Dengan mensubtitusikan persamaan (23) dan
(24) ke (20) maka
"
τλ ( s ) τλ ( s )
⎛1⎞
'
ˆ
Var (λn ( s )) =
+
+ o⎜ ⎟
3 6nh
⎝n⎠
4nhn
n
jika n ∞.
Teorema 4 terbukti.
Review Perumusan Penduga Bagi
dan Sifat-sifat Statistiknya

λˆ (s + 2hn) + λˆn(s − 2hn) − 2λˆn(s)
"
. (25)
λˆn(s) = n
2

λ "(s)

λ(s) , maka

dapat dirumuskan

Misalkan fungsi intensitas λ adalah periodik
(dengan periode τ) dan terintegralkan lokal.
Jika hn

4

0, nhn → ∞ untuk n

∞ dan λ

memiliki turunan keempat berhingga pada s ,
maka
1 (4)
"
2
2
"
Ελˆn ( s ) = λ ( s ) + λ ( s ) hn + o( hn )
2
(27)
jika n ∞.
Bukti :
Nilai harapan di ruas kiri persamaan (27)
dapat dinyatakan sebagai berikut :

⎡λˆ (s + 2hn) + λˆn(s − 2hn) − 2λˆn(s) ⎤
"
Ελˆn (s) = Ε ⎢ n
⎥
2
4hn
⎣⎢
⎦⎥
1
=
[Ελˆn ( s + 2hn ) + Ελˆn ( s − 2hn )
2
4hn
−2Ελˆn ( s )].
(28)
Berdasarkan persamaan (3), maka
Ελˆn(s +2hn) =
1 "
6
∞

2

λ(s +2hn) + λ (s +2hn)hn +
jika n

1 (4)
120

4

4

λ (s +2hn)hn +o(hn)
(29)

dan
Ελˆn(s −2hn) =
1 "
6
∞.

2

λ(s −2hn) + λ (s −2hn)hn +
jika n

1 (4)
120

4

4

λ (s −2hn)hn +o(hn)
(30)

Dengan menggunakan deret Taylor maka
diperoleh bahwa

10

 

'

'''

λ ( s)

+

3!

3 λ
8hn +

(4)

"

λ (s)

λ ( s + 2hn ) = λ ( s ) +

2hn +

1!
(s)

λ (s)
2!

Teorema 5 terbukti.
Teorema 6 : (Aproksimasi asimtotik untuk

2
4hn

"
ragam λˆn ( s ) )

4
4
16hn + o( hn ),

4!

Misalkan fungsi intensitas λ adalah periodik
(dengan periode τ) dan terintegralkan lokal.
(31)

"

λ ( s + 2 hn ) =
"

λ (s) +

'''

λ (s)
1!

2 hn +

λ

(4)

(s)

2!

2
2
4 h n + o ( hn ),

(32)

λ

(4)

(s + 2hn ) = λ

λ (s − 2hn ) = λ (s) −
'''

λ ( s)
3!

3 λ
8hn +

(4)

(4)
'

λ ( s)
1!

( s)

4!

(s) + o(1),

(33)
"

2hn +

λ ( s)
2!

2
4hn −

4
4
16hn + o(hn ),

"

'''

λ ( s)
1!

2hn +

λ

(4)

( s)

2!

2
2
4hn + o( hn ),

(35)
dan

λ

(4)

(s − 2hn ) = λ

(4)

(s) + o(1).

(36)

Dengan mensubtitusikan persamaan (31),
(32), dan (33) ke persamaan (29) maka
didapatkan
13 "
2
'
Ελˆn ( s + 2hn ) = λ ( s ) + 2λ ( s )hn + λ ( s )hn
6
5 '''
3 121 (4)
4
4
+ λ ( s )hn +
λ ( s )hn + o(hn )
3
120
jika n ∞.

(37)

Dengan mensubtitusikan persamaan (34),
(35), dan (36) ke persamaan (30) maka
didapatkan
13 "
2
'
Ελˆn ( s − 2hn ) = λ ( s ) − 2λ ( s )hn + λ ( s )hn
6
5 '''
3 121 (4)
4
4
− λ ( s ) hn +
λ ( s )hn + o(hn )
3
120
jika n ∞.

∞ dan λ

memiliki turunan keempat berhingga pada s ,
maka
"
Var (λˆn ( s)) =
(4)
"
⎛ 1 ⎞
3τλ ( s) 15τλ ( s) 123τλ ( s)
+
+
+ o⎜
⎟
5
3
1920nhn
16nhn
96nhn
⎝ nhn ⎠
jika n ∞.
(39)
Bukti :
berikut

λ ( s − 2hn ) =
"

4

0, nhn → ∞ untuk n

"
Var (λˆn ( s)) dapat ditentukan dengan sebagai
(34)

λ ( s) −

Jika hn

⎡λˆ (s + 2hn) + λˆn(s − 2hn) − 2λˆn(s)⎤
"
Var(λˆn(s)) =Var ⎢ n
⎥
2
4hn
⎣
⎦
1
=
[Var (λˆn ( s + 2hn )) + Var (λˆn ( s − 2hn ))
4
16hn
+4Var(λˆn(s)) − 2Cov(λˆn(s + 2hn), λˆn(s − 2hn))
−4Cov(λˆn(s + 2hn), λˆn(s))
−4Cov(λˆn(s − 2hn), λˆn(s))].

(40)
Dari persamaan (1), diperoleh
λˆn (s + 2hn ) =
∞ 1
N ( s + kτ + hn , s + kτ + 3hn ∩ [0, n])
∑
n k =−∞ 2hn

τ

[

]

dan
λˆn (s − 2hn ) =
∞ 1
N ( s + kτ − 3hn , s + kτ − hn ∩[0, n]).
∑
n k =−∞ 2hn

τ

[

Dari hn ↓ 0 , jika n

]

∞ maka untuk nilai n

[

]

yang cukup besar interval s +kτ −hn, s +kτ +hn
,

(38)

Dengan mensubtitusikan persamaan (3), (37),
dan (38) ke persamaan (28) maka didapatkan
1 (4)
''
"
2
2
Ελˆn ( s ) = λ ( s ) + λ ( s )hn + o(hn )
2
jika n ∞.

[s+kτ +hn, s +kτ +3hn] ,dan
[s +kτ −3hn, s +kτ −hn] tidak

tindih, sehingga

saling tumpang

[
]
N[ s +kτ +hn, s +kτ +3hn] , dan
N[ s + kτ − 3hn, s + kτ − hn] adalah bebas.
N s + kτ − hn, s + kτ + hn ,

11

 
Dengan demikian

Jadi Teorema 6 terbukti.

Cov(λˆn (s + 2hn ), λˆn (s − 2hn )) = 0 ,
Cov(λˆn (s + 2hn ), λˆn (s)) = 0 , dan

'
"
Sebaran Asimtotik bagi λˆn , λˆn dan λˆn

Cov(λˆn (s − 2hn ), λˆn ( s)) = 0 ,sehingga

Teorema 7 : (Normalitas asimtotik untuk

persamaan (40) menjadi
1
"
[Var ( λˆn ( s + 2 hn ))
Var ( λˆn ( s )) =
4
(41)
16 hn
+Var ( λˆn ( s − 2 hn )) + 4Var ( λˆn ( s ))].
Berdasarkan persamaan (5), diperoleh :
"
τλ(s + 2hn ) τλ (s + 2hn )
ˆ
+
Var(λn (s + 2hn )) =
hn
2nhn
12n
(4)
3
τλ (s + 2hn ) 3 ⎛ hn ⎞
+
hn + o ⎜ ⎟
⎜n⎟
240n
⎝ ⎠

Andaikan fungsi intensitas λ adalah periodik
(dengan periode τ) dan terintegralkan lokal,

jika n

∞

(42)
dan

"

Var(λˆn (s − 2hn )) =

τλ(s − 2hn ) τλ (s − 2hn )
+

2nhn
(4)
3
τλ (s − 2hn ) 3 ⎛ hn ⎞
+
hn + o ⎜ ⎟
⎜n⎟
240n
⎝ ⎠

12n

hn

jika n ∞.
(43)
Dengan mensubtitusikan persamaan (31),
(32), dan (33) ke persamaan (42) maka
τλ(s) τλ '(s) 13τλ "(s)
+
+
Var (λˆn (s + 2hn )) =
hn
2nhn
12n
n

(4)

5τλ "'(s) 2 121τλ (s) 3 ⎛ hn3 ⎞
hn +
hn + o ⎜⎜ ⎟⎟
6n
240n
⎝n⎠
jika n ∞.
(44)
Dengan mensubtitusikan persamaan (34),
(35), dan (36) ke persamaan (43) maka
τλ(s) τλ '(s) 13τλ "(s)
−
+
Var (λˆn (s − 2hn )) =
hn
2nhn
12n
n
(4)
5τλ "'(s) 2 121τλ (s) 3 ⎛ hn3 ⎞
hn +
hn + o ⎜⎜ ⎟⎟
−
6n
240n
⎝n⎠
+

λˆn )

dan mempunyai turunan keempat λ
berhingga pada s . Misalkan pula hn ↓ 0 dan
( 4)

4
nhn → ∞ , untuk n → ∞ . Berlaku hal
berikut :
(i)

(

→Normal(μ,σ2)
) ⎯d⎯

nhn λˆn(s) −λ(s)

(46)
1 "
untuk n→∞, dengan μ = λ (s) dan
6
τλ
(
s
)
2
σ =
.
2
(ii) Jika

nhn
untuk

5
nhn → 0 , maka

→Normal(0,σ 2)
( λˆn(s) − λ(s)) ⎯d⎯
n→∞

(47)

Bukti :
Ruas kiri pernyataan (46) dan pernyataan (47)
dapat ditulis sebagai

nhn(λˆn(s) −Ελˆn(s)) + nhn (Ελˆn(s) −λ(s)). (48)
Untuk membuktikan Teorema ini cukup
ditunjukkan
d
→Normal(0,σ2)
(a) nhn (λˆn(s) −Ελˆn(s)) ⎯⎯
untuk n → ∞ ,
(49)
(b) jika

5
nhn → 1 , maka

1 "
nhn (Ελˆn ( s ) − λ ( s )) → λ ( s ),
6
(50)
untuk n →∞ ,
(c) jika

(45)
jika n ∞.
Dengan mensubtitusikan persamaan (44),
(45), dan (5) ke persamaan (41) maka
(4)
"
3τλ(s) 15τλ (s) 123τλ (s) ⎛ 1 ⎞
"
+ o ⎜⎜ ⎟⎟
+
+
Var(λˆn(s)) =
5
3
1920nhn
⎝ nhn ⎠
16nhn 96nhn
jika n ∞.

5
nhn → 1 , maka

Jika

5
nhn → 0 , maka

nhn (Ελˆn (s) − λ (s)) → 0,
untuk n → ∞ .

(51)

Kita perhatikan pernyataan (49). Ruas kiri
pernyataan (49) dapat ditulis

12

 

⎛ λˆ (s) − Ελˆn (s) ⎞
(52)
nhn Var (λˆn (s)) ⎜ n
.
⎜ Var (λˆ (s)) ⎟⎟
n
⎝
⎠
Maka untuk membuktikan pernyataan (49),
cukup diperiksa

⎛ λˆn ( s) − Ελˆn ( s) ⎞ d
→ Normal (0,1),
⎜⎜
⎟ ⎯⎯
ˆ ( s )) ⎟
Var
(
λ
n
⎝
⎠

(53)

dan

τλ ( s )
nhn Var (λˆn ( s )) →
2

Berdasarkan Teorema 2 kita
kuantitas di atas sama dengan

τλ ( s )

(

)

, k = 0,1, 2,... . Karena hn ↓ 0 jika n → ∞ ,
maka untuk n yang cukup besar, interval

[ s + kτ − hn , s + kτ + hn ] dan
[ s + jτ − hn , s + jτ + hn ] tidak

beririsan

untuk semua k ≠ j . Hal ini berimplikasi,

τλ ( s )

+ o(1) =

+ o(1) ,
2
Sehingga kita

2

dapatkan
jika n → ∞ .
pernyataan (54).
Selanjutnya dibuktikan pernyataan (50) dan
pernyataan (51).
Dari Teorema 1 diperoleh
1 "
5
nhn (Ελˆn ( s ) − λ ( s )) = λ ( s ) nhn
6
+

(54)
jika n → ∞ .
Untuk membuktikan pernyataan (53) kita
perhatikan
bentuk
berikut.
Misalkan
X k = N [ s + kτ − hn , s + kτ + hn ] ∩ [ 0, n ]

dapatkan

32
240

λ

(4)

2
5
( s ) hn nhn + o

( )
5
nhn

(55)
jika n → ∞ . Karena hn ↓ 0 jika n → ∞ ,
maka suku ke dua pada ruas kanan
5
pernyataan (55) adalah o nhn . Sehingga

( )

ruas kanan persamaan (55) menjadi
1 "
5
5
λ (s) nhn +o nhn . Dari asumsi nhn5 → 1 ,
6
untuk n → ∞ , kita peroleh pernyataan (50).

( )

Selain itu dari asumsi

5
nhn → 0 , untuk

untuk semua k ≠ j , peubah acak X k dan

n → ∞ , kita peroleh pernyataan
Dengan demikian Teorema 7 terbukti.

Xj

Teorema 8 : (Normalitas asimtotik untuk

saling

bebas.

{ X k } , k = 0,1, 2,...,

Lebih

lanjut

lagi

( )

λˆn ( s ) dapat ditulis sebagai
λˆn (s) =

'

λˆn )

adalah barisan peubah

acak i.i.d, yang mempunyai nilai harapan
s + kτ + hn
λ ( x ) Ι ( x ∈ [0, n ]) dx
ΕX k =
∫
s + kτ − hn
dan ragam
s + kτ + hn
Var X k =
λ ( x )Ι ( x ∈ [0, n]) dx
∫
s + kτ −hn
yang berhingga. Oleh karena itu, penduga
∞
∑ X ,
2nhn k =0 k

τ

yang merupakan jumlah peubah acak i.i.d
dikalikan suatu konstanta. Selanjutnya
dengan Teorema Limit Pusat kita peroleh
pernyataan (53).
Untuk membuktikan pernyataan (54), kita
ingat bahwa ruas kiri pernyataan (54) dapat
ditulis menjadi
nhnVar ( λˆn ( s )).

(51).

Andaikan fungsi intensitas λ adalah periodik
(dengan periode τ) dan terintegralkan lokal,
serta mempunyai turunan ketiga ’’’ dengan
nilai terhingga pada s . Misalkan pula
hn ↓ 0

3
nhn → ∞ , untuk n→∞.

dan

Berlaku hal berikut:
(i) Jika

(

7
nhn → 1 , maka

)

d
3 '
'
nhn λˆn(s) −λ (s) ⎯
⎯
→Normal(μ,σ2) (56)
untuk n → ∞ , dengan μ =

2

σ =
(ii) Jika

3
nhn

τλ ( s)
4

1 "'
λ ( s ) dan
3

.

7
nhn → 0 , maka

(λˆn' (s)−λ'(s)) ⎯d⎯→Normal(0,σ2)

untuk n → ∞

(57)

13

 

Bukti :
Ruas kiri pernyataan (56) dan pernyataan
(57) dapat ditulis menjadi
3 '
'
3 '
'
nhn (λˆn (s) −Ελˆn (s)) + nhn (Ελˆn (s) − λ (s)).

(58)
Karena itu, untuk membuktikan Teorema ini
cukup ditunjukkan
d
3 '
'
nhn (λˆn (s) − Ελˆn (s)) ⎯⎯
→ Normal (0, σ 2 ),

(59)

jika n → ∞ .
Jika

7
nhn → 1 maka

jika

'

λn(s) =

([
([

)

Misalkan

([ s + kτ , s + kτ + 2hn ] ∩ [0, n])
− N ([ s + kτ − 2hn , s + kτ ] ∩ [ 0, n])
Xk = N

untuk k = 0,1, 2,...
Karena hn ↓ 0 jika n → ∞ , maka untuk n

]

juga
[ s + jτ − 2hn, s + jτ ] ,
[ s + kτ , s + kτ + 2hn] dan [ s + jτ , s + jτ + 2hn] ,

dan
(60)

tidak berpotongan untuk semua k ≠ j . Hal
ini berimplikasi, untuk semua k ≠ j , peubah

3
'
'
n h n ( Ε λˆn ( s ) − λ ( s )) → 0 ,

(61)

untuk n → ∞ .
Kita perhatikan pernyataan (59). Ruas kiri
pernyataan (59) dapat ditulis sebagai
⎛ λˆn' (s) −Ελˆ' (s) ⎞
'
⎜
3
'
n ⎟.
nhn Var(λˆn (s))
⎜
⎟
'
⎜ Var(λˆn (s)) ⎟

⎝

⎠

(62)
Oleh karena itu, untuk membuktikan
pernyataan (59), cukup diperiksa

⎛ λˆ ' ( s ) − Ελˆ ' ( s ) ⎞
n
⎜ n
⎟ ⎯d⎯
→ Normal (0,1),
⎜ Var (λˆ ' ( s )) ⎟
n
⎝
⎠

dan X j saling bebas. Lebih

acak X k
lanjut

{ X k } , k = 0,1, 2,...,

lagi

([

]

ΕX k = ΕN s + kτ , s + kτ + 2hn ∩ [0, n]

([

]

−ΕN s + kτ − 2hn , s + kτ ∩ [0, n]

dan ragam

([

)

)

]

Var( Xk ) = ΕN s + kτ , s + kτ + 2hn ∩[0, n]

([

]

−ΕN s + kτ − 2hn, s + kτ ∩[0, n]

)

)

dengan nilai berhingga. Oleh karena itu, bisa
(63)

'
kita tulis penduga λˆn ( s ) sebagai
'

λˆn(s) =

τλ ( s )
3
'
nhn Var (λˆn ( s )) →
,
4
(64)

jika n → ∞ .
Untuk membuktikan pernyataan (63) , kita
dasarkan pada persamaan (1)
sehingga
ˆ
λn(s + hn) =
τ ∞ 1
N s + kτ , s + kτ + 2hn ∩ 0, n
∑
n k=−∞ 2hn
dan
λˆn(s − hn) =
τ ∞ 1
N s + kτ − 2hn, s + kτ ∩ 0, n .
∑
n k=−∞ 2hn

∞
∑ Xk ,
2
4nhn k=0

τ

yang merupakan jumlahan peubah acak i.i.d
dikalikan suatu konstanta. Selanjutnya
dengan Teorema Limit Pusat kita peroleh
pernyataan (63).
Untuk membuktikan pernyataan (64), ruas
kiri dari
pernyataan (64) dapat ditulis
menjadi

] [ ])

] [ ])

adalah

barisan peubah acak i.i.d, yang mempunyai
nilai harapan

dan

([

]

[

7
nhn → 0 maka

([

)

]

∞ ⎛N s +kτ, s +kτ +2hn ∩[0, n] ⎞
⎜
⎟.
2 ∑
4nhn k=−∞⎜⎝−N s +kτ −2hn, s +kτ ∩[0, n] ⎟⎠

τ

yang cukup besar, interval s + kτ −2hn, s + kτ

1 "'
3
'
'
nhn (Ελˆn ( s ) − λ ( s )) → λ ( s )
3
untuk n → ∞ , dan

Dari persamaan (6) maka diperoleh

3
'
nhnVar ( λˆn ( s )).

Berdasarkan Teorema 4 kita
kuantitas di atas sama dengan

τλ ( s )
4

+ o(1) =

jika n → ∞ ,
pernyataan (64).

dapatkan

τλ ( s )

+ o(1) ,
4
sehingga kita

dapatkan

14

 
Selanjutnya akan dibuktikan pernyataan (60)
dan pernyataan (61). Dari Teorema 3 didapat
⎞
3 '
'
7 ⎛ 1 "'
nhn (Ελˆn(s) − λ (s)) = nhn ⎜ λ (s) + o nhn ⎟
⎝3
⎠
jika n → ∞ .

( )

7
nhn → 1 , untuk n → ∞ , kita

Dari asumsi

peroleh pernyataan (60). Selain itu dari
7
nhn → 0 , untuk

asumsi

n → ∞ , kita

peroleh pernyataan (61). Dengan demikian
Teorema 8 terbukti.
Teorema 9 : (Normalitas asimtotik untuk

"

λˆn )

Andaikan fungsi intensitas λ adalah periodik
(dengan periode τ) dan terintegralkan lokal,

serta mempunyai turunan keempat λ
dengan nilai terhingga pada s . Misalkan pula
( 4)

dan nhn → ∞ , untuk n → ∞.
Berlaku hal berikut :
4

hn ↓ 0

(i)

Jika

(

9
nhn → 1 , maka

)

(ii) Jika

(

2

=

3τλ ( s )
16

1 (4)
λ ( s)
2

)

untuk n → ∞

(66)
Bukti :
Ruas kiri pernyataan (65) dan pernyataan
(66) dapat ditulis sebagai
5 "
"
5
"
"
nhn (λˆn (s) − Ελˆn (s)) + nhn (Ελˆn (s) − λ (s)).

(67)
Karena itu, untuk membuktikan Teorema ini
cukup ditunjukkan
5 "
"
d
→ Normal (0, σ 2 ),
nhn ( λˆn ( s ) − Ε λˆn ( s )) ⎯⎯

9
nhn → 1 maka

5
"
"
n h n ( Ε λˆ n ( s ) − λ ( s )) → 0 ,

(70)
untuk n → ∞ .
Kita perhatikan pernyataan (68). Ruas kiri
pernyataan (68) dapat ditulis
⎛ λˆn" (s) −Ελˆ" (s) ⎞
'
5
" ⎜
n ⎟.
nhn Var(λˆn (s))
(71)
⎜
⎟
"
⎜ Var(λˆn(s)) ⎟

⎝

⎠

Maka untuk membuktikan pernyataan (68),
cukup periksa

⎛ λˆ" ( s ) − Ελˆ" ( s ) ⎞
n ⎟ ⎯d⎯
⎜ n
→ Normal (0,1),
⎜ Var (λˆ" ( s )) ⎟
n
⎝
⎠

5
"
nhn Var ( λˆn ( s )) →

3τλ ( s )

,

16

(73)

jika n → ∞ .

λˆn(s + 2hn) =

d
5 "
"
nhn λˆn (s) − λ (s) ⎯⎯
→Normal(0,σ 2)

jika

9
nhn → 0 maka

Untuk membuktikan pernyataan (72) , kita
ingat kembali persamaan (1)
sehingga
diperoleh

.

9
nhn → 0 , maka

untuk n → ∞ ,

jika

(72)

(65)

dan σ

(69)

untuk n → ∞ , dan

dan

d
5 "
"
nhn λˆn(s) −λ (s) ⎯
⎯
→Normal(μ,σ2)
untuk n → ∞ , dengan μ =

1 (4)
5
"
"
nhn (Ελˆn ( s ) − λ ( s )) → λ ( s )
2

(68)

τ ∞

(

)

(

)

1
N [ s + kτ + hn, s + kτ + 3hn] ∩[0, n]
∑
n k=−∞ 2hn

dan

λˆn(s − 2hn) =
τ ∞

1
N [ s + kτ − 3hn, s + kτ − hn] ∩[0, n]
∑
n k=−∞ 2hn

Dari persamaan (25) maka diperoleh
"
λn(s) =

(

)

⎛ N [ s + kτ + hn, s + kτ +3hn] ∩[0, n]
∞ ⎜
+N [ s + kτ −3hn, s + kτ − hn] ∩[0, n]
3 ∑ ⎜
8nhn k=−∞⎜
⎝−2N [ s + kτ − hn, s + kτ + hn] ∩[0, n]
τ

Misalkan

(

(

⎞
⎟
)⎟
) ⎟⎠

15

 
Xk =

yang bernilai terhingga. Oleh karena itu,

([ s + k τ + h n , s + k τ + 3 h n ] ∩ [0 , n ])
+ N ([ s + k τ − 3 h n , s + k τ − h n ] ∩ [0 , n ])
− 2 N ([ s + k τ − h n , s + k τ + h n ] ∩ [0 , n ])
N

untuk k = 0,1, 2, ...
Karena hn ↓ 0 jika n → ∞ , maka untuk n
yang
cukup
besar,
interval

[s + jτ −hn, s + jτ +3hn] , [s +kτ −3hn, s +kτ +hn]
dan
[ s + jτ − 3hn , s + jτ + hn ] , juga
dan
[ s + kτ − hn , s + kτ + hn ]
[ s + jτ − hn , s + jτ + hn ] tidak berpotongan

"
penduga λˆn ( s ) dapat ditulis sebagai
∞
Xk ,
3 k∑
8nhn =0
yang merupakan jumlah peubah acak yang
i.i.d dikalikan suatu konstanta. Selanjutnya
dengan Teorema Limit Pusat kita peroleh
pernyataan (72).
Untuk membuktikan pernyataan (73), kita
ingat bahwa ruas kiri pernyataan (73) dapat
ditulis menjadi
5
"
nhn Var ( λˆn ( s )).
Berdasarkan Teorema 6
kita dapatkan
kuantitas di atas sama dengan
"

λˆn (s) =

untuk semua k ≠ j . Hal ini berimplikasi,

3τλ ( s )

untuk semua k ≠ j , peubah acak X k dan

16

Xj

saling

bebas.

{ X k } , k = 0,1, 2,...,

Lebih

lanjut

lagi

adalah barisan peubah

acak i.i.d, yang mempunyai nilai harapan

ΕX k =

(

)

ΕN [ s + kτ + hn , s + kτ + 3hn ] ∩ [0, n]

(

τ

+ o (1) =

3τλ ( s )

+ o (1) ,

16

jika n → ∞ .
Sehingga kita dapatkan persamaan (73).
Selanjutnya akan dibuktikan persamaan (69)
dan persamaan (70). Dari Teorema 5 didapat
⎞
5 "
"
9 ⎛ 1 (4)
nhn (Ελˆn(s) − λ (s)) = nhn ⎜ λ (s) + o(1) ⎟
2
⎝
⎠
jika n → ∞ .

)
−2ΕN ([ s + kτ − hn , s + kτ + hn ] ∩ [0, n])

Dari asumsi

dan ragam
Var ( X k ) =

peroleh persamaan (70). Dengan demikian
Teorema 9 terbukti.

+ΕN [ s + kτ − 3hn , s + kτ − hn ] ∩ [0, n]

([ s + kτ + hn , s + kτ + 3hn ] ∩ [0, n])
+ΕN ([ s + kτ − 3hn , s + kτ − hn ] ∩ [0, n ])
−2ΕN ([ s + kτ − hn , s + kτ + hn ] ∩ [0, n ])

ΕN

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

9
nhn → 1 , untuk n → ∞ , kita

peroleh persamaan (69). Selain itu dari
asumsi

9
nhn → 0 , untuk

n → ∞ , kita

16

 

SIMPULAN

 
 

Pada tulisan ini dikaji suatu metode
untuk menduga turunan pertama dan turunan
kedua suatu fungsi intensitas proses Poisson
periodik dengan periode τ yang diketahui.
Untuk tujuan ini, terlebih dahulu ditentukan
penduga bagi fungsi intentensitas lokal λ
dengan menggunakan data
pada titik
yang diamati pada interval [0, n ] yang
dirumuskan sebagai berikut:
τ ∞
1
λˆn ( s ) =
∑
n k =−∞ 2 hn
N

(

untuk n → ∞ , dengan σ

Pada ketiga penduga di atas, hn disebut
bandwidth. Pengkajian yang dilakukan
difokuskan pada sebaran asimtotik dari

'
"
penduga λn ( s ) dan λn ( s ) .
Dari hasil pengkajian yang dilakukan
dapat disimpulkan bahwa :
(i)

5
nhn → 1 , maka

Jika

(

)

d
→Normal(μ,σ2)
nhn λˆn(s) − λ(s) ⎯⎯
1 "
untuk n → ∞ , dengan μ = λ (s) dan
6
τλ
(
s
)
2
σ =
.
2

=

τλ ( s)

.

2

7

(

)

d
3 '
'
nhn λˆn(s) −λ (s) ⎯⎯
→Normal(μ,σ2)
1 "'
untuk n → ∞ , dengan μ = λ (s) dan

3

'

"

2

(iii) Jika nhn → 1 , maka

Dari penduga di atas, kemudian diturunkan

lagi penduga bagi λ ( s ) yang dirumuskan
sebagai :
λˆ ( s + 2hn ) + λˆn ( s − 2hn ) − 2λˆn ( s)
"
.
λˆn ( s) = n
2
4hn

)

d
→Normal(0, σ 2 )
nhn λˆn (s) − λ(s) ⎯⎯

([ s + kτ − hn , s + kτ + hn ] ∩ [0, n]) .

penduga bagi λ ( s ) yang dirumuskan seperti
λˆ ( s + hn ) − λˆn ( s − hn )
berikut : λˆn' ( s ) = n
.
2 hn
Selanjutnya dari penduga di atas, diturunkan

5
nhn → 0 , maka

(ii) Jika

σ

2

τλ ( s )

=

4

.

.
7

(iv) Jika nhn → 0 , maka

(

)

d
3 '
'
nhn λˆn(s) − λ (s) ⎯⎯
→Normal(0,σ2)
untuk n → ∞ , dengan σ

(v) Jika

(

2

=

τλ ( s)

4

.

9
nhn → 1 , maka

)

d
5 "
"
nhn λˆn(s) −λ (s) ⎯
⎯
→Normal(μ,σ2)
untuk n → ∞ , dengan μ =
dan σ

(vi) Jika

(

2

=

3τλ ( s )
16

1 (4)
2

λ

( s)

.

9
nhn → 0 , maka

)

d
5 "
"
nhn λˆn (s) − λ (s) ⎯⎯
→Normal(0,σ 2)
untuk n → ∞ , dengan σ

2

=

3τλ ( s )
16

.

17

 

DAFTAR PUSTAKA

Browder, A. 1996. Mathematical Analysis:
An Introduction. Springer. New York.
Cressie, N. A. C. 1993. Statistic for Spatial
Data. Revised Edition. Wiley. New York.

Pramarani, R. G. N. 2009. Sifat-sifat
Statistika Penduga Turunan Pertama dan
Turunan Kedua Fungsi Intensitas Proses
Poisson Periodik. [Skripsi]. Bogor : Institut
Pertanian Bogor.

Dudley, R. M. 1989. Real Analysis and
Probability.
Wadsworth
&
Brooks.
California.

Ross, S. M. 2007. Introduction to
Probability Models. Ed. ke-9. Academic
Press Inc. Orlando. Florida.

Grimmett, G. R. dan D. R. Stirzaker. 1992.
Probability and Random Processes. Ed. ke-2.
Clarendon Press. Oxford.

Serfling, R. J. 1980. Approximation
Theorems of Mathematical Statistics. John
Wiley & Sons. New York.

Hogg, R. V, A. T. Graig, dan J. MacKean,
W. 2005. Introduction to Mathematical
Statistics. Ed. ke-6. Prentice Hall, Englewood
Cliffs. New Jersey.

Taylor, H. M. dan S. Karlin. 1984. An
Introduction to Stochastics Modelling.
Academic Press Inc. Orlando. Florida.

Mangku, I W. 2001. Estimating the Intensity
of a Cyclic Poisson Process (Ph.D.Thesis).
University of Amsterdam. Amsterdam.

 
 
 
 
 

Wheeden, R. L. and A. Zygmund. 1977.
Measure and Integral: An Introduction to
Real Analysis. Marcel Dekker, Inc. New
York.

18

 

LAMPIRAN

19 

 

Lampiran 1. Pembuktian Lema 1
Lema 1 (Jumlah peubah acak Poisson)
Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan

parameter berturut-turut

λ1

dan

λ2 . Maka X + Y

memiliki sebaran Poisson dengan parameter

λ1 + λ2 .
(Taylor and Karlin 1984)
Bukti :
Dengan menggunakan aturan peluang total (law of total probability), dapat kita nyatakan
∞

Ρ ( X + Y = n) = ∑ Ρ ( X = k , Y = n − k )
k =0
∞

= ∑ Ρ ( X = k )Ρ (Y = n − k ) ( X dan Y saling bebas)
k =0

∞
⎛ λ k e− λ1 ⎞⎛ λ2n −k e− λ2 ⎞
= ∑⎜ 1
⎟⎜
⎟
k ! ⎠⎝ (n − k )! ⎠
k =0 ⎝
e−λ1 e−λ2 ∞
n!
λ1k λ2n−k.
=
∑
n! k =0 k !(n − k )!

(74)

Kita ingat kembali, dengan perluasan binomial maka kita dapat menyatakan, untuk setiap integer
positif n ,
∞
⎛ n⎞
(λ1 + λ2 )n = ∑ ⎜ ⎟λ1k λ2n−k
k =0 ⎝ k ⎠
∞

n!
λ1k λ2n − k .
k
!(
n
k
)!
−
k =0

=∑

Sehingga dengan mensubtitusikan persamaan (75)
persamaan (74) adalah

e − ( λ1 + λ2 )
(λ1 + λ2 ) n
n!

(75)

ke (74) maka kita peroleh ruas kanan

(76)

Bentuk persamaan (76) di atas merupakan fungsi peluang dari sebaran Poisson dengan parameter
(λ1 + λ2 ) .
Maka Lema 1 terbukti.

20 

 

Lampiran 2. Pembuktian Lema 3
Lema 3 (Pertidaksamaan Chebyshev)

Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan

Ρ( X − μ ≥ k) ≤

μ dan ragam σ 2 , maka untuk setiap k > 0 ,

σ2
k2

.

(77)

(Ross 2007)
Bukti :
Untuk membuktikan pertidaksamaan Chebyshev diperlukan pertidaksamaan Markov (Lema 4)
berikut :

Lema 4 (Pertidaksamaan Markov)
Jika X ada