Kekonsistenan Kuat Dan Sebaran Asimtotik Penduga Intensitas Berupa Fungsi Periodik Kali Tren Fungsi Pangkat Proses Poisson Nonhomogen

KEKONSISTENAN KUAT DAN SEBARAN ASIMTOTIK
PENDUGA INTENSITAS BERUPA FUNGSI PERIODIK
KALI TREN FUNGSI PANGKAT PROSES POISSON
NONHOMOGEN

IKHSAN MAULIDI

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Kekonsistenan Kuat dan
Sebaran Asimtotik Penduga Intensitas Berupa Fungsi Periodik Kali Tren Fungsi
Pangkat Proses Poisson Nonhomogen adalah benar karya saya dengan arahan dari
komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan
tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang
diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks
dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.

Bogor, Juni 2015
Ikhsan Maulidi
NIM G551140546

RINGKASAN
IKHSAN MAULIDI. Kekonsistenan Kuat dan Sebaran Asimtotik Penduga
Intensitas Berupa Fungsi Periodik Kali Tren Fungsi Pangkat Proses Poisson
Nonhomogen. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan HADI SUMARNO.
Banyak fenomena nyata dalam kehidupan sehari-hari yang dapat
dimodelkan dengan proses stokastik, seperti pada proses kedatangan pelanggan ke
suatu pusat pelayanan. Berdasarkan waktu, proses stokastik dapat dibedakan
menjadi dua, yaitu proses stokastik diskret dan proses stokastik kontinu. Proses
pencacahan merupakan proses stokastik kontinu yang menghitung banyaknya
kejadian pada suatu selang waktu. Proses Poisson merupakan salah satu kasus
khusus proses pencacahan dimana banyaknya kejadian pada suatu selang waktu
diasumsikan menyebar Poisson. Proses Poisson dapat dibedakan menjadi proses
Poisson homogen dan proses Poisson nonhomogen. Pada proses Poisson homogen,

fungsi intensitas merupakan fungsi yang konstan (tidak bergantung pada waktu),
sedangkan pada proses Poisson non homogen, fungsi intensitas merupakan fungsi
yang bergantung pada waktu. Dalam penelitian ini proses Poisson yang dikaji
adalah proses Poisson nonhomogen dimana fungsi intensitasnya berupa fungsi
periodik kali tren fungsi pangkat.
Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen pada interval
dengan
fungsi intensitas yang tidak diketahui dan diasumsikan fungsi intensitas tersebut
terintegralkan lokal. Diasumsikan pula bahwa fungsi intensitas ini merupakan
perkalian antara komponen periodik dan komponen tren berbentuk fungsi
pangkat
dengan
diketahui, sehingga untuk setiap
fungsi
intensitas
dapat dinyatakan sebagai
(
dengan
merupakan fungsi periodik dengan periode diketahui. Konstanta
merupakan kemiringan dari tren dengan

Tanpa mengurangi keumuman,
fungsi intensitas juga dapat dituliskan menjadi
(
dengan
sehingga untuk setiap
Penduga untuk
̂

juga merupakan fungsi periodik dengan periode
dan adalah bilangan bulat
adalah sebagai berikut :
∑

∫

Dalam karya ilmiah ini telah dibuktikan kekonsistenan kuat penduga
intensitas berupa fungsi periodik kali tren fungsi pangkat pada proses Poisson
nonhomogen yang telah dirumuskan. Pembuktian kekonsistenan kuat
menggunakan pendekatan asimtotik bias dan ragam serta Lema Borel Cantelli.
Selain itu, telah dirumuskan sebaran asimtotik untuk penduga komponen

periodik fungsi intensitas yang dikaji. Pembuktian ini menggunakan konsep
Teorema Limit Pusat untuk barisan peubah acak bebas tetapi tidak memiliki
sebaran yang identik.

Penduga yang dikaji menggunakan fungsi kernel umum yang memenuhi
kondisi (K1)
adalah fungsi kepekatan peluang, (K2)
terbatas, (K3)
terdefinisi pada selang
, selain itu diasumsikan memiliki turunan kedua
yang terbatas di sekitar . Analisis matematika yang telah dilakukan untuk
menentukan sebaran asimtotik dibedakan menjadi tiga kasus, yakni
dan
Dari simulasi yang telah dilakukan diperoleh hasil bahwa jika
nilai semakin besar, maka dibutuhkan selang pengamatan yang lebih panjang
untuk memperoleh kekonvergenan penduga.
Kata kunci: konsisten kuat, konvergen lengkap, Lema Borel Cantelli, proses
Poisson, sebaran asimtotik

SUMMARY

IKHSAN MAULIDI. Strong Consistency and Asymptotic Normality of a
Kernel-Type Estimator for the Intensity Obtained as the Product of a Periodic
Function with the Power Function Trend of a Nonhomogeneous Poisson Process.
Supervised by I WAYAN MANGKU and HADI SUMARNO.
Many real phenomenon can be modeled by using stochastic processes, such
as the customer arrival process to the service center. Base on the time, the
stochastic processes can be classified into discrete stochastic process and
continuous stochastic process. The counting process is a continuous stochastic
process which counts the number of events on an interval of time. The Poisson
process is a counting process where the number of arrivals is assumed to follow a
Poisson distribution. The Poisson process can be classified into homogeneous and
nonhomogeneous Poisson process. In homogeneous Poisson process, the intensity
is constant (not dependent to the time), however in nonhomogeneous Poisson
process, the intensity dependent to the time. In this paper, the Poisson process that
have been studied is nonhomogeneous Poisson process which have intensity
function obtained as the product of a periodic function with the power function.
Let be a nonhomogeneous Poisson process on
having (unknown)
locally integrable intensity function . We assume the intensity function to be a
product of a periodic function with the power function trend. That is, the equation

(
holds true for each point
, where
is a periodic function with
known period
is the power function trend with
(known), and
denotes the slope of the power function trend. Without loss of generality, the
intensity function can also be written as
(

where
each point
The estimator of
̂

is also a periodic function with period
and is integer

Hence, for

has been formulated as follows,
∑

∫

In this paper, strong consistency of estimator for the intensity obtained as
the product of a periodic function with the power function trend of a
nonhomogeneous Poisson process was proved. The proof was constructed by
using bias and variance approach and also Borel Cantelli’s Lemma.
In addition, asymptotic normality for the estimator of periodic component of
the intensity function was established in all cases of values which is the power
of power function. This proofs used Central Limit Theorem for the sequence of
independent random variables but they do not have identical distribution.

The estimators use general kernel which satisfies (K1) is a density
function, (K2) is bounded function, (K3) has closed support
and also
is assumed to have a bounded second derivative around The mathematical
analysis have been done to show asymptotic normality of the estimator consider

three different cases, namely
and
The result of computer
simulation shows that the larger the value of , it is needed the longer the
observation interval to get the convergent of the estimator.
Keywords: aymptotic normality, Borel Cantelli’s Lemma, complete convergent,
Poisson process, strong consistency

© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2015
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB

KEKONSISTENAN KUAT DAN SEBARAN ASIMTOTIK
PENDUGA INTENSITAS BERUPA FUNGSI PERIODIK

KALI TREN FUNGSI PANGKAT PROSES POISSON
NONHOMOGEN

IKHSAN MAULIDI

Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015

Penguji pada Ujian Tertutup: Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA

Judul Tesis : Kekonsistenan Kuat dan Sebaran Asimtotik Penduga Intensitas
Berupa Fungsi Periodik Kali Tren Fungsi Pangkat Proses Poisson

Nonhomogen
Nama
: Ikhsan Maulidi
NIM
: G551140546

Disetujui oleh
Komisi Pembimbing

Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc
Ketua

Dr Ir Hadi Sumarno, MS
Anggota

Diketahui oleh

Ketua Program Studi
Matematika Terapan

Dekan Sekolah Pascasarjana

Dr Jaharuddin, MS

Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr

Tanggal Ujian:

Tanggal Lulus:

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan November 2014 ini ialah
kekonsistenan kuat dan sebaran asimtotik penduga, dengan judul Kekonsistenan
Kuat dan Sebaran Asimtotik Penduga Intensitas Berupa Fungsi Periodik Kali Tren
Fungsi Pangkat Proses Poisson Nonhomogen.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Prof Dr Ir I Wayan Mangku,
MSc dan Bapak Dr Hadi Sumarno, MS, serta Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba,
DEA yang telah banyak memberi saran. Di samping itu, ungkapan terima kasih
juga disampaikan kepada ayah, ibu, seluruh keluarga, teman-teman atas segala
doa dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Juni 2015
Ikhsan Maulidi

DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
DAFTAR GAMBAR
DAFTAR LAMPIRAN
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Perumusan Masalah
Tujuan Penelitian
2 TINJAUAN PUSTAKA
Proses Stokastik
Proses Poisson
Proses Poisson Periodik
Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik
3 METODE PENELITIAN
4 REVIEW PERUMUSAN PENDUGA
5 HASIL DAN PEMBAHASAN
Kekonsistenan Kuat Penduga
Sebaran Asimtotik Penduga
Simulasi Numerik
6 SIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
RIWAYAT HIDUP

v
vi
vi
1
1
2
2
3
3
3
4
4
5
5
6
6
12
31
34
34
36
49

DAFTAR TABEL
1 Hasil simulasi dari penduga yang dibangkitkan dan hasil teori untuk
31
2 Hasil simulasi dari penduga yang dibangkitkan dan hasil teori untuk
32
3 Hasil simulasi dari penduga yang dibangkitkan dan hasil teori untuk
32

DAFTAR GAMBAR
1 Grafik fungsi intensitas
beserta nilai dugaannya ( o ) dengan
interval pengamatan [0,100] untuk
dengan menggunakan
fungsi kernel seragam

32

2 Grafik fungsi intensitas
beserta nilai dugaannya ( o ) dengan
interval pengamatan [0,100] untuk
dengan menggunakan fungsi
kernel seragam

33

3 Grafik fungsi intensitas
beserta nilai dugaannya ( o ) dengan
interval pengamatan [0,100] untuk
dengan menggunakan fungsi
kernel seragam

33

DAFTAR LAMPIRAN
1 Beberapa Konsep Dasar

36

2 Bukti Lema 2 (Kekonvergenan Ragam dan Aproksimasi Asimtotik
Bagi Ragam)

39

3 Bukti Deret ∑

merupakan deret yang konvergen jika

44

4 Formula Young dari Teorema Taylor

44

5 Program Simulasi

45

1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Banyak fenomena nyata dalam kehidupan sehari-hari yang dapat
dimodelkan dengan proses stokastik. Model semacam ini menggunakan aturanaturan peluang yang menggambarkan perilaku suatu sistem yang tidak diketahui
secara pasti di masa yang akan datang. Misalnya proses kedatangan pelanggan ke
suatu pusat servis (bank, kantor pos, supermarket, dan sebagainya). Berdasarkan
waktu, proses stokastik dibedakan menjadi dua, yaitu proses stokastik dengan
waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu proses
stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson. Proses Poisson merupakan
proses pencacahan (counting process) dimana banyaknya kejadian pada interval
waktu menyebar dengan peubah acak Poisson.
Proses Poisson dibedakan menjadi dua, yaitu proses Poisson homogen dan
proses Poisson nonhomogen. Pada proses Poisson homogen fungsi intensitas
(fungsi nilai harapan) merupakan fungsi yang konstan (tidak bergantung pada
waktu), sedangkan pada proses Poisson nonhomogen fungsi intensitas
bergantung pada waktu. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson
nonhomogen yang fungsi intensitasnya berupa fungsi periodik. Proses ini
merupakan salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu
yang memiliki banyak manfaat dalam memodelkan berbagai macam fenomena
nyata yang berkaitan dengan aturan peluang. Fenomena yang dapat dimodelkan
dengan proses Poisson periodik di antaranya dalam bidang komunikasi, hidrologi,
meteorologi, asuransi, dan seismologi (Helmers et al. 2003). Dalam suatu proses
Poisson periodik, bentuk fungsi intensitas pada periode sebelumnya dengan
sesudahnya memiliki pola yang serupa. Oleh sebab itu, dalam kehidupan seharihari proses Poisson periodik berguna untuk memprediksi suatu kejadian pada
periode berikutnya.
Kajian terhadap proses Poisson periodik terus berkembang dengan
menyertakan komponen tren dalam fungsi intensitasnya. Berdasarkan penelitianpenelitian yang telah dilakukan, komponen tren tersebut terdiri atas dua
jenis, yaitu komponen tren yang berbentuk aditif dan multiplikatif. Helmers
dan Mangku (2009) telah mengkaji pendugaan fungsi intensitas pada suatu proses
Poisson periodik dengan menyertakan komponen tren linear yang berbentuk
aditif. Kemudian, penelitian tentang kekonsistenan penduga fungsi intensitas
pada suatu proses Poisson periodik ini berkembang dengan menyertakan
komponen tren linear yang berbentuk multiplikatif (Mangku 2011). Hal yang
serupa pun dikaji pada Ismayulia (2011), perbedaannya adalah tipe kernel
yang digunakan pada Mangku (2011) adalah fungsi kernel umum, sedangkan
pada Ismayulia (2011) menggunakan fungsi kernel seragam. Selain itu, telah
dikaji pula pendugaan fungsi intensitas pada suatu proses Poisson periodik
dengan menyertakan komponen tren kuadratik yang berbentuk multiplikatif
dengan menggunakan kernel seragam (Ramdani 2011) dan kernel umum (Taslim
2011), serta pendugaan fungsi intensitas berbentuk fungsi periodik kali tren
fungsi pangkat dengan menggunakan kernel umum telah dikaji pada Erliana
(2014). Pada penelitian ini telah dibuktikan kekonvergenan kuat dan telah

2
ditentukan sebaran asimtotik dari penduga tipe kernel umum yang dirumuskan
pada Erliana (2014).

Perumusan Masalah
Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen pada interval
dengan
fungsi intensitas yang tidak diketahui dan diasumsikan fungsi intensitas tersebut
terintegralkan lokal. Diasumsikan pula bahwa fungsi intensitas ini merupakan
perkalian antara komponen periodik dan komponen tren berbentuk fungsi
pangkat
dengan
diketahui, sehingga untuk setiap
fungsi
intensitas
dapat dinyatakan sebagai
(
(1)
dengan
merupakan fungsi periodik dengan periode diketahui. Konstanta
merupakan kemiringan dari tren dengan
Persamaan (1) juga dapat
dituliskan menjadi
(
, maka
dengan
juga merupakan fungsi periodik. Misalkan
persamaan (2) menjadi
pada
telah dikaji pada Erliana
Penyusunan penduga
(2014) dengan hanya mengggunakan realisasi tunggal
dari suatu proses
Poisson dengan fungsi intensitas
seperti pada persamaan (3) yang diamati
pada interval
]. Penduga tersebut adalah sebagai berikut :
̂
∑
∫

Pada Erliana (2014) telah dibuktikan kekonsistenan lemah dan telah
ditentukan aproksimasi bias, ragam, dan MSE bagi penduga yang dikaji. Pada
penelitian ini telah dibuktikan kekonsistenan kuat dan ditentukan sebaran
asimtotik penduga komponen periodik fungsi intensitas yang dikaji.

Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1 Membuktikan kekonsistenan kuat penduga komponen periodik fungsi
intensitas berupa fungsi periodik kali tren fungsi pangkat pada proses Poisson
nonhomogen.
2 Menentukan sebaran asimtotik penduga komponen periodik dari fungsi
intensitas tersebut.
3 Melihat perilaku kekonvergenan penduga untuk beberapa kasus melalui
simulasi numerik.

3

2 TINJAUAN PUSTAKA
Proses Stokastik
Proses stokastik
adalah suatu himpunan dari peubah acak
yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state Untuk setiap t pada
himpunan indeks T,
adalah suatu peubah acak. Kita sering
menginterpretasikan t sebagai waktu dan
sebagai state (keadaan) dari proses
pada waktu t (Ross 2010).
Suatu proses stokastik disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika
berupa suatu interval (Ross 2010). Proses stokastik dengan waktu kontinu
disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua
adalah
peubah acak
bebas (Ross 1996). Jika
memiliki sebaran yang sama untuk
semua nilai maka proses stokastik dengan waktu kontinu tersebut disebut
memiliki inkremen stasioner (Ross 1996).
Suatu proses stokastik
disebut proses pencacahan jika
menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu Dari definisi
tersebut, maka suatu proses pencacahan
harus memenuhi syarat-syarat
berikut (Ross 2010):
1
untuk setiap
2 Nilai
adalah integer.
3 Jika
maka
di mana
4 Untuk
maka
sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi
pada selang

Proses Poisson
Suatu proses pencacahan
disebut proses Poisson dengan laju
,
, jika dipenuhi tiga syarat berikut (Ross 2010):
1.
2. Proses tersebut memiliki inkremen bebas
3. Banyaknya kejadian pada sebarang interval waktu dengan panjang , memiliki
sebaran (distribusi) Poisson dengan nilai harapan
Jadi untuk semua
Berdasarkan syarat 3 dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen
stasioner serta diperoleh bahwa
Suatu proses Poisson
disebut proses Poisson nonhomogen jika
laju pada sebarang waktu t merupakan fungsi tak konstan dari yaitu
dan
memenuhi syarat-syarat berikut (Ross 2010):
1
.
2
memiliki inkremen bebas.
3
4

4
Proses Poisson Periodik
Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson nonhomogen yang
fungsi intensitasnya berupa fungsi periodik. Suatu fungsi disebut periodik jika
untuk semua
dan
. Konstanta terkecil yang
memenuhi persamaan
merupakan periode dari fungsi tersebut.
Berdasarkan sifat keperiodikan dari fungsi intensitas , dapat disusun penduga
konsisten pada sebarang titik yang diberikan dengan hanya menggunakan
realisasi tunggal. Hal ini dikarenakan dalam pendugaan pada sebarang titik ,
tidak hanya dapat menggunakan informasi di sekitar
saja, tetapi juga
dapat menggunakan informasi di sekitar
untuk sebarang , asalkan
(Mangku 2001).

Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik
Fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik merupakan laju dari proses
Poisson tersebut. Terdapat dua jenis fungsi intensitas, yaitu fungsi intensitas lokal
dan fungsi intensitas global. Perbedaan antara dua fungsi intensitas tersebut adalah
fungsi intensitas lokal merupakan laju dari proses Poisson di titik tertentu,
sedangkan fungsi intensitas global merupakan rata-rata laju dari proses Poisson
pada interval dengan panjang menuju tak hingga.
Pendugaan fungsi intensitas lokal pada suatu proses Poisson periodik di
suatu titik dapat dihampiri dengan rata-rata banyaknya kejadian proses Poisson
tersebut di sekitar titik sedangkan pendugaan fungsi intensitas global diduga
dengan memperkirakan rata-rata banyaknya kejadian proses Poisson dalam
interval waktu
Secara matematis, pendugaan fungsi intensitas lokal di sekitar titik s dapat
dituliskan sebagai

dengan
dan
menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada
interval waktu
sedangkan hampiran untuk fungsi intensitas global dapat
dituliskan
Pada proses Poisson periodik, terdapat beberapa metode nonparametrik
untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik, di antaranya adalah metode
penduga tipe kernel dan metode penduga titik terdekat (nearest neighbor
estimation). Pendugaan fungsi intensitas lokal dengan menggunakan metode
penduga titik terdekat telah dikaji oleh Mangku (1999), sedangkan pendugaan
fungsi intensitas lokal dengan menggunakan metode penduga tipe kernel telah
dikaji oleh Helmers, Mangku, dan Zitikis (2003).

5

3 METODE PENELITIAN
Penelitian ini merupakan kajian teoritis tentang bukti kekonsistenan kuat
penduga dan sebaran asimtotik penduga komponen periodik pada fungsi intensitas
dengan tren fungsi pangkat pada proses Poisson nonhomogen. Misalkan
adalah suatu fungsi bernilai real. Fungsi disebut kernel jika memenuhi sifatsifat, yaitu: (K1) merupakan fungsi kepekatan peluang, (K2)
terbatas, dan
(K3) memiliki daerah definisi pada
(Helmers et al. 2003).
Metode yang akan digunakan untuk membuktikan kekonvergenan kuat
penduga komponen periodik adalah menggunakan konsep kekonvergenan lengkap
dan Lema Borel Cantelli. Sementara metode yang digunakan untuk merumuskan
sebaran asimtotik dari penduga adalah menggunakan konsep Teorema Limit Pusat
dari barisan peubah acak bebas tetapi tidak identik.
Adapun langkah – langkah dalam penelitian ini adalah :
1 Membuktikan kekonvergenan kuat penduga komponen periodik dari fungsi
intensitas periodik kali tren fungsi pangkat.
2 Menentukan sebaran asimtotik penduga fungsi intensitas.
3 Melakukan simulasi pembangkitan penduga.

4 REVIEW PERUMUSAN PENDUGA
Misalkan
(K1), (K2), (K3), serta
nol, yaitu

adalah suatu fungsi kernel yang memenuhi sifat – sifat
adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke

untuk
. Penduga tipe kernel bagi
fungsi kernel dirumuskan sebagai berikut
̂
∑
∫

pada

(5)
dengan mengunakan
(6)

Berikut penjelasan proses penyusunan penduga bagi
pada
.
dengan menggunakan data yang diamati pada interval
, yaitu ̂
Penyusunan penduga pada persamaan (6) mengikuti proses penyusunan penduga
tipe kernel yang telah dikerjakan Mangku (2011). Karena hanya terdapat realisasi
tunggal dari suatu proses Poisson , maka untuk menduga
pada sembarang
yang
titik harus menggabungkan seluruh informasi tentang nilai dari
belum diketahui pada interval
. Oleh karena itu, asumsi periodik
sangat diperlukan dalam pendugaan fungsi intensitas ini. Misalkan
dengan menyatakan banyaknya elemen, maka
∑

Berdasarkan persamaan (3), persamaan (7) dapat ditulis menjadi
∑

6
Nilai fungsi

dapat didekati dengan rata-rata nilai fungsi pada interval
sehingga persamaan (8) menjadi
∫

∑

∑

∑

∑

adalah

Dengan demikian, penduga bagi

̂

∑

Penduga pada persamaan (10) memberikan bobot yang sama pada setiap data dalam
menentukan rata-rata banyaknya kejadian pada interval [
],
sehingga persamaan (10) dapat ditulis menjadi

̂

∑

∫

Dengan mengganti fungsi
dengan kernel umum yang memenuhi (K1),
seperti pada persamaan (6), yaitu
(K2), dan (K3), maka diperoleh penduga bagi

̂

∑

∫

5 HASIL DAN PEMBAHASAN
Kekonsistenan Kuat Penduga ̂

Kekonsistenan kuat penduga adalah implikasi dari kekonvergenan
lengkap. Oleh karena itu untuk membuktikan kekonsistenan kuat, terlebih dahulu
harus dibuktikan kekonvergenan lengkap penduga. Berikut adalah Teorema 1
tentang kekonvergenan lengkap penduga dan Beberapa Lema yang dapat
membantu untuk membuktikan Teorema 1.
Teorema 1 (Kekonvergenan Lengkap Penduga)
Misalkan fungsi memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika kernel
K memenuhi sifat (K1), (K2), (K3) dan
dengan
serta
maka
̂
untuk
, asalkan adalah titik Lebesgue dari . Dengan kata lain, ̂
adalah konvergen lengkap ke untuk

7
Lema 1 (Ketakbiasan Asimtotik)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi (3) dan terintegralkan lokal,
fungsi kernel K memenuhi (K1), (K2), dan (K3), maka
̂
untuk

,

Bukti :

Dari persamaan (6) kita ketahui bahwa
̂

∑

Maka
̂

∫

( ∑

∫

∑

∑

Misalkan
∑

∫

∫

atau

. (11)
, maka persamaan (11) menjadi

∫

(12)

Karena memenuhi persamaan (3) dan memenuhi
maka persamaan (12) menjadi
̂

∑
∑

Karena

∫

(

∫

(
∑

∫

∑

(Lampiran 1) maka
̂

∫

(

.
untuk

8
∫

(13)

Suku pertama dari persamaan (13) dapat dijabarkan menjadi
∫
∫

(

∫

(

(

∫

(

(14)

Karena memenuhi (K2) dan (K3), serta merupakan titik Lebesgue maka suku
pertama persamaan (14) menjadi
∫

(

(

∫
(

Dari suku kedua persamaan (14), karena
∫

.

(
|

∫ |

(15)

memenuhi (K1) diperoleh
∫

(16)

Dari persamaan (15) dan persamaan (16) maka suku pertama persamaan (13)
. Suku kedua persamaan (13) merupakan
Jadi terbukti
menjadi
̂

untuk

Lema 2 (Kekonvergenan Ragam dan Aproksimasi Asimtotik bagi Ragam)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal.
Jika kernel K memenuhi (K1), (K2), dan (K3),
dan merupakan titik
Lebesgue bagi , serta memenuhi kasus berikut:


untuk



untuk


maka

untuk

.
̂

(17)

Ada pun aproksimasi bagi ragam penduga adalah:
(1)

̂

∫

jika

(18)

9
̂

(2)

̂

(3)

∫

jika
, dengan

∫

∑

(19)

, jika

(20)
Lema ini telah dibuktikan pada Erliana (2014) (Lampiran 2).
Bukti Teorema 1:
̂

Berdasarkan definisi kekonvergenan lengkap, untuk membuktikan
adalah penduga yang konvergen lengkap ke
berarti akan dibuktikan

bahwa
∑

|

Komponen

(| ̂

|

(| ̂

(| ̂

|

(21)

dapat dituliskan
|

̂

̂

|

(22)

Berdasarkan ketaksamaan segitiga dan Teorema dalam teori peluang maka
persamaan (21) menjadi
(| ̂

̂

(| ̂

(| ̂

Berdasarkan Lema 1, jika

|

̂

̂

| ̂

|

|

| ̂

|

maka | ̂

sehingga persamaan (23) menjadi
(| ̂

|

̂

|̂

|

̂

atau
∑

|̂

̂

̂

|
|

∑

sehingga untuk membuktikan (20) cukup membuktikan
∑

̂

,

̂

.

|
|

Dengan menggunakan ketaksamaan Chebishev, dapat diperoleh
|̂

(23)
,

.

10
Analisis selanjutnya adalah menggunakan Lema 2.
 Kasus
̂

∑

∫

∑

∑

Karena
∑

̂

∫

dan
∑

(24)
maka persamaan (24) menjadi
∫

Karena
maka berdasarkan uji deretderet yang konvergen, sehingga terbukti

∑

̂

Karena
∑

Deret ∑

∫

∑

∑

∫

∑

∫

, maka

̂

merupakan deret yang konvergen jika

akibatnya

terbukti

deret tersebut merupakan

̂

∑

 Kasus

(

∑

∫

(Lampiran 3),

11

 Kasus

∑

̂

∑
̂

∑

∫

∑

Karena

maka selanjutnya

̂

∑

Deret ∑

∫

(

∫

∑
merupakan deret-

(

(

dengan

sehingga deret ini

merupakan deret yang konvergen.
Akibatnya deret

terbukti

∫

∑

(
̂

∑

Dari ketiga kasus di atas maka Teorema 1 terbukti.

Akibat 1 (Kekonsistenan Kuat bagi ̂

)

Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal.
Jika kernel K memenuhi (K1), (K2), (K3), bandwidth
dengan
untuk
maka

untuk
̂

̂

→

asalkan merupakan titik Lebesgue dari
penduga konsisten kuat dari

Dengan kata lain,

12
Bukti Akibat 1:
Berdasarkan definisi konvergen hampir pasti, untuk membuktikan
̂
adalah penduga konsisten kuat bagi
, maka setara dengan
membuktikan bahwa

atau

|̂

|

|̂

|

|̂

|

|
Berdasarkan
Dari Teorema 1, diketahui ∑
(| ̂
|
maka
Lema Borel-Cantelli bagian (i), jika ∑
(| ̂
|
} hanya terjadi sebanyak terhingga yang
kejadian {| ̂
berimplikasi bahwa

Jadi Akibat 1 terbukti.

Sebaran Asimtotik Penduga ̂
Teorema 2 (Sebaran Normal Asimtotik ̂

untuk

)

Misalkan fungsi intensitas seperti persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Misalkan kernel memenuhi kondisi (K1), (K2), (K3), dan terbatas di sekitar
,
untuk
dan
memiliki
turunan kedua yang terbatas di sekitar .
(i). Jika
untuk

maka
dengan

(ii). Jika

untuk

(̂

(

∫

maka
(

dengan

(̂

∫

Teorema 3 (Sebaran Normal Asimtotik ̂

dan
untuk

∫

)

Misalkan fungsi intensitas seperti persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Misalkan kernel memenuhi kondisi (K1), (K2), (K3), dan terbatas di sekitar

13
untuk

dan

memiliki turunan

kedua yang terbatas di sekitar .
(i). Jika

maka

untuk

(̂

dengan

∫

maka

(ii). Jika

untuk

(̂

∫

dengan

dan

Teorema 4 (Sebaran Normal Asimtotik ̂

untuk

∫
)

Misalkan fungsi intensitas seperti persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Misalkan kernel memenuhi kondisi (K1), (K2), (K3), dan terbatas di sekitar
untuk
dan
memiliki turunan kedua yang
terbatas di sekitar .
(i). Jika

maka

untuk

dengan
(∑

(ii). Jika

(̂

∫

dan

maka

untuk

(̂

∫

dengan
(∑

dan

∫

Bukti Teorema 2, Teorema 3, dan Teorema 4
Untuk membuktikan Teorema 2, Teorema 3, dan Teorema 4, terlebih
dahulu ruas kiri (25), (27), (29) dapat ditulis berturut-turut sebagai berikut
(

(

(̂
(̂

̂

̂

(

( ̂

14

(̂

̂

̂

( ̂

̂

̂

( ̂

sehingga untuk membuktikan Teorema 2, cukup dibuktikan

dengan

̂

̂

(

, dan jika (

seperti pada (25) untuk
( ̂

(

Jika (

untuk

maka

(

untuk

maka

∫

Untuk membuktikan Teorema 3, cukup dibuktikan
̂

̂

dengan

seperti pada (27) untuk

, dan jika

maka

( ̂
untuk

maka

Jika
( ̂

untuk

∫

Untuk membuktikan Teorema 4, cukup dibuktikan
̂

(

dengan

seperti pada (29) untuk
(

untuk

Jika

(

( ̂

( ̂

̂

, dan jika

maka
∫

maka

15
untuk
Pertama dibuktikan bentuk (31), (34), dan (37). Ruas kiri persamaan (31),
(34), dan (37) berturut-turut dapat ditulis sebagai berikut
̂

√

(

̂

√
̂

√

(

(
(
(

̂

̂

̂

̂

√
̂

√

√

̂

̂

̂
̂

)
)
)

Untuk membuktikan (40), (41), dan (42) konvergen ke ruas kanan (31), (34), dan
(37) dapat diterapkan Teorema Limit Pusat pada Lema 6 (Lampiran 5).

Pemisalan

dan Nilai Harapan

Misalkan
∫

maka
∫

∫

Misalkan

Karena

∫

∫

,
(

(

sehingga persamaan (43) menjadi

memenuhi persamaan (3), maka persamaan (44) menjadi

16
∫
Karena

(

(

(

merupakan fungsi yang periodik, maka persamaan (45) menjadi
∫

(

∫

(

∫

(
(

(

∫

(

Suku pertama persamaan (46) adalah
∫

(

(
(

∫

(47)

Dengan menggunakan formula Young dari deret Taylor (Lampiran 4) diperoleh
(
sehingga persamaan (47) menjadi
∫

∫

(48)

Karena terbatas ( memenuhi K2), maka terdapat
persamaan (48) menjadi
∫

∫

|

|

sedemikian sehingga

17
Selanjutnya karena merupakan titik Lebesgue, maka diperoleh suku pertama
persamaan (46) sebagai berikut:
(

∫

(49)

Ada pun untuk suku kedua persamaan (46) dapat dijabarkan sebagai
berikut
∫

(

∫

(

(

∫
∫

∫

(50)
, maka persamaan (50) menjadi

Misalkan
∫

Karena fungsi kernel

memenuhi K1 maka persamaan (51) menjadi

Dari persamaan (49) dan persamaan (52) maka

Penentuan Ragam
Dengan menggunakan

untuk nilai

pada pemisalan sebelumnya, maka

yang besar dan
tidak
dan

persamaan di atas menjadi

∫

interval
dan
overlap sehingga untuk semua
adalah bebas. Dengan demikian

18

Karena

∫

menyebar Poisson maka

Misalkan

Karena

∫

, maka persamaan (35) menjadi
∫

,

, maka persamaan (54) menjadi

∫

memenuhi persamaan (3) dan

periodik, maka

∫

(55)

Dengan menggunakan formula Young dari Teorema Taylor (Serfling 1980),
diperoleh bahwa

(

(

(

(

Karena
untuk
, maka perilaku dari
itu, persamaan di atas dapat ditulis menjadi

sehingga persamaan (55) menjadi
∫
∫
∫

[

sama dengan

Oleh sebab

(
]

(56)

19
Dengan penggantian peubah, misalkan

dan karena kernel

memenuhi (K3) maka persamaan (56)
∫

∫

Karena

terbatas di sekitar , maka suku kedua persamaan (57)

∫
Dengan demikian
∫
(∑

Misalkan
∑

, sehingga diperoleh
∫

∫

∑
∑

Dalam lampiran 2 telah dibuktikan bahwa
untuk
∑

Untuk

Untuk

∑

∑

20
dengan
untuk setiap kasus nilai



(∑

Dengan demikian

diperoleh nilai

sebagai berikut :

kasus
∫

∑

(
∑

∫
∫

∫
∫

karena

untuk

∫
∫
∫
∫



∫

Kasus

∫

∫

∫
∫

∫

dan

maka

21
karena

untuk
∫

∫



, maka
(

∫

Kasus
∫

∫
∫

∫

dengan

∑

sehingga diperoleh

∫

Jelas

∫

(

untuk

∫

karena

∫

maka

dan

sehingga

(

22

∫

∫
∫
∫
∫

Selanjutnya dengan
∑

Karena

∫

merupakan
akibatnya
∑

∫

∑

∑

seperti pada persamaan sebelumnya, yaitu

∑

∫
∑

∑

pemisalan

∫

proses

]

∫

Poisson

[

maka

∫

∫

∫

(58)

Sebelumnya telah diperoleh bahwa

Karena

terbatas, maka

∫

∫

23

Karena

∫

terbatas, maka persamaan (58) menjadi

∑

∑

∫

∫

Dengan menyubstitusikan persamaan (41) ke persamaan (42) maka diperoleh:
∑

∑
Misalkan

∑

(

selanjutnya suku pertama ruas kanan persamaan (61) dapat

diuraikan sebagai berikut :
∑

∑
∑

∑

∫

∑

∫
∫

∑
Karena

∑

∑

maka
∑

∫

Perhatikan bahwa

∑

∑

Akibatnya persamaan (62) menjadi
∑

∫

(62)

24
∫
Karena

∫

(63)
untuk

, maka persamaan (63) menjadi

∫

(

(

Selanjutnya suku kedua persamaan (61) dapat diuraikan sebagai berikut :
∑

(

∑

∫
Selanjutnya karena

dengan

∑

[
∫

∫

∫

maka persamaan (65) menjadi

∫

∑
∑

(65)

∫

]

∑
(

∑

25
∫
∫

∫

(66)

Langkah selanjutnya adalah melakukan analisis untuk ketiga kasus nilai
apakah ∑
Analisis ini dilakukan dengan menggunakan
persamaan (61), (64) dan (66).



Kasus
∑

∑

∑

(

∫

∫

Karena

(67)

dan

ketika

, maka persamaan (67) menjadi

∑
∫

[



]

∫

Kasus
∑

Karena

∫

∑
∫

dan

∑

(
(68)

untuk

maka persamaan (68) menjadi

26

[



∑

∫

]

∫

kasus
∑

∫

Karena

∑

∑
∫

dan

(
(69)

ketika

, maka persamaan (69) menjadi

∑
∫

[

]

∫

Dengan demikian barisan
merupakan barisan peubah acak bebas
dengan nilai harapan dan ragam yang nilainya terhingga dan tak nol untuk
merupakan jumlah dari peubah acak
sembarang
sehingga penduga ̂
bebas yang dikalikan suatu konstanta, yaitu
̂

∑

∫
∑

yang menyebar normal asimtotik dengan nilai harapan
̂

̂

dan ragam

27
̂
untuk
membuktikan

untuk
diperoleh

̂

√

̂

√

̂

Selanjutnya, untuk membuktikan

√

√

̂

∫

√

untuk

∫

Dengan menggunakan Lema 2, maka ruas kiri persamaaan (70)

√

√

(

∫

(

∫
∫

Misalkan

dan

menggunakan deret Taylor diperoleh
∫
√

∫

√

∫

untuk

persamaan (31) cukup

∫

∫
√

∫

. Sehingga diperoleh

√

(

∫

√

dengan

28

̂

√
untuk

√

∫

.

Untuk membuktikan (32) dan (33) dapat digunakan Lema 1 sehingga diperoleh
( ̂

∫

∫

Karena

∫

(71)
untuk

maka persamaan (71) menjadi

∫
untuk

sehingga persamaan (32) terbukti.

Kemudian karena
menjadi

untuk

(

maka persamaan (71)

∫
∫

untuk
terbukti.

sehingga persamaan (33) terbukti. Dengan demikan Teorema 2

Dengan cara yang sama, untuk membuktikan (34), cukup membuktikan
√

̂

√

∫

Dengan menggunakan Lema 2 maka ruas kiri persamaan (72) menjadi
√

∫

29
√

∫

√

∫

Dengan menggunakan deret Taylor seperti sebelumnya diperoleh (72).
Selanjutnya untuk membuktikan (35) dan (36) dapat menggunakan Lema
1 sehingga diperoleh
( ̂
∫
∫
(

∫

Karena

untuk

maka persamaan (73) menjadi

∫

(
untuk

sehingga persamaan (35) terbukti.
Karena

maka persamaan (73) menjadi

∫

(

untuk
terbukti.

untuk

∫

sehingga persamaan (36) terbukti. Dengan demikan Teorema 3

Untuk membuktikan (37), cukup membuktikan

30
̂

√

√

∫

(74)

Dengan menggunakan Lema 2 maka ruas kiri persamaan (74) menjadi
√
√

∫
(

∫

√

(

∫

Dengan menggunakan deret Taylor seperti sebelumnya diperoleh (74).
Selanjutnya, untuk membuktikan (38) dan (39) dapat menggunakan Lema 1,
sehingga diperoleh
( ̂
∫

∫
(

∫

Karena

untuk

maka persamaan (75) menjadi
(

untuk

∫

sehingga persamaan (38) terbukti.
Karena

untuk
(

untuk
terbukti.

maka persamaan (75) menjadi
∫

∫

sehingga persamaan (39) terbukti. Dengan demikian Teorema 4

31

Simulasi Numerik
Simulasi dilakukan dengan membangkitkan penduga intensitas lokal pada
interval
dengan
Metode yang digunakan adalah metode Monte
Carlo. Tujuan dari simulasi ini adalah melihat bagaimana laju kekonvergenan
ragam dan bias dari penduga.
Fungsi intensitas yang digunakan dalam simulasi ini adalah
(

untuk
dan
Bandwidth yang dipilih merupakan bandwidth
optimal yang meminimumkan MSE, yaitu sebagai berikut:
∫

⁄

∫

∫

∫
∫

⁄
∫

untuk

, untuk
⁄

, untuk

Ada pun fungsi kernel yang digunakan dalam simulasi ini adalah fungsi
,
Simulasi ini menggunakan
kernel seragam, yaitu
program R (Lampiran 5). Algoritma simulasi yang dilakukan adalah sebagai
berikut :





Bangkitkan realisasi proses Poisson periodik pada interval pengamatan
dan periode .
Bangkitkan penduga di suatu titik dengan bandwidth

dan kernel seragam.

Tentukan mean dugaan, mean teori, ragam dugaan, ragam teori, bias, dan
selisih nilai ragam penduga dengan ragam teori.
Hasil dari simulasi untuk
yang dilakukan ditampilkan dalam Tabel berikut:
Tabel 1 Hasil simulasi dari penduga yang dibangkitkan dan hasil teori untuk

n
100
300
500
1000
1500
2000

1.9245
1.9245
1.9245
1.9245
1.9245
1.9245

̂
simulasi
1.7431
1.8121
1.8570
1.8833
1.8951
1.9048

̂ teori

0.1195
0.0496
0.0330
0.0189
0.0137
0.0109

̂
simulasi
0.1796
0.0725
0.0473
0.0269
0.0207
0.0174

Bias
-0.1814
-0.1124
-0.0675
-0.0412
-0.0294
-0.0197

̂ teori- ̂
simulasi
0.0600
0.0228
0.0143
0.0101
0.0070
0.0174

32
Tabel 2 Hasil simulasi dari penduga yang dibangkitkan dan hasil teori untuk

N

̂
teori

̂
simulasi

̂ teori

̂
simulasi

Bias

100
300
500
1000

3.3333
3.3333
3.3333
3.3333

1.7026
1.8458
1.8767
1.9013

0.0069
0.0014
0.0007
0.0002

0.0032
0.0008
0.0005
0.0002

-1.6307
-1.4875
-1.4566
-1.4321

̂
teorî
simulasi
-0.0037
-0.0006
-0.0002
0

Tabel 3 Hasil simulasi dari penduga yang dibangkitkan dan hasil teori untuk

N
50
70
80
100
120

̂ teori

10.0000
10.0000
10.0000
10.0000
10.0000

̂
simulasi
5.4328
6.2890
6.6024
6.8237
7.4096

̂ teori

0.0011
0.0005
0.0004
0.0002
0.0001

̂ simulasi

0.0219
0.0177
0.0141
0.0103
0.0090

Bias
-4.5672
-3.7110
-3.3976
-3.1763
-2.5904

̂ teori- ̂
simulasi
-0.0207
-0.0172
-0.0137
-0.0101
-0.0089

Tabel 1 memperlihatkan nilai bias dan perbedaan nilai ragam teori dengan
ragam hasil simulasi. Terlihat bahwa bias di Tabel 1 lebih cepat konvergen ke nol
dibandingkan dengan bias yang ditampilkan Tabel 2 dan Tabel 3. Sehingga untuk
nilai yang lebih besar membutuhkan selang pengamatan yang besar untuk
menentukan kekonvergenan penduga tersebut.
Berbeda halnya dengan bias, nilai ragam yang ditampilkan Tabel 1 lebih
lambat konvergen ke nol bila dibandingkan dengan Tabel 2 dan Tabel 3. Sehingga
semakin besar nilai , ragam yang dihasilkan penduga semakin kecil.

Gambar 1 Grafik fungsi intensitas
beserta nilai dugaannya ( o ) dengan
interval pengamatan [0,100] untuk
dengan menggunakan
fungsi kernel seragam

33

Gambar 2 Grafik fungsi intensitas
beserta nilai dugaannya ( o ) dengan
interval pengamatan [0,100] untuk
dengan menggunakan
fungsi kernel seragam

Gambar 3 Grafik fungsi intensitas
beserta nilai dugaannya ( o ) dengan
interval pengamatan [0,100] untuk
dengan menggunakan
fungsi kernel seragam
Gambar 1, Gambar 2, dan Gambar 3 memperlihat plot dugaan penduga
dan fungsi intensitas yang sebenarnya. Dari Gambar terlihat bahwa semakin
besar nilai maka bias yang dalam hal ini merupakan selisih antara titik
berwarna merah dengan garis grafik intensitas adalah semakin besar untuk
interval pengamatan

34

6 SIMPULAN
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, diperoleh simpulan sebagai
berikut:
1. Telah terbukti sifat kekonsistenan kuat penduga intensitas berupa fungsi
periodik kali tren fungsi pangkat pada proses Poisson nonhomogen, bukti
disajikan dalam Teorema kekonvergenan lengkap penduga dan Akibat dari
Teorema ini yaitu terbuktinya sifat konsisten kuat penduga, sehingga penduga
yang telah dirumuskan merupakan penduga yang konsisten kuat.
2. Sebaran asimtotik untuk penduga komponen periodik dengan berbagai kasus
nilai pangkat telah dirumuskan dalam Teorema sebaran normal asimtotik
penduga.
3. Hasil simulasi yang dilakukan menunjukkan bahwa untuk nilai pangkat
(nilai ) yang lebih besar diperlukan selang pengamatan yang lebih besar
untuk memperoleh kekonvergenan penduga.

DAFTAR PUSTAKA
Casella G, Breger RL. 1990. Statistical Inference. Ed. Ke-1. California :
Wardswort & Brooks.
Dudley RM. 1989. Real Analysis and Probability. California: Wardswort &
Brooks.
Durret R. 1996. A Practical Introduction (Probability and Stochastic). USA :
CRC Press LLC.
Erliana W. 2014. Pendugaan tipe kernel umum untuk intensitas berupa fungsi
periodik kali tren fungsi pangkat proses Poisson nonhomogen [Tesis]. Bogor
(ID): Institut Pertanian Bogor.
Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability with Stochastics Processes.
Third Edition. New Jersey: Pearson Prentice Hall.
Grimmett GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes.
Third Edition. New York: Oxford University Press, Inc.
Helmers R, Mangku IW. 2009. Estimating the intensity of a cyclic Poisson
process in the presence of linear tren. Annals Institute of Statistical
Mathematics. 61(3): 599-628.
Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2003. Consistent estimation of the intensity
function of a cyclic Poisson process. Journal of Multivariate Analysis.
84:19-39.
Helms, LL. 1996. Introductory to probability teory: With contemporary
application. W. H. Freeman & Company. New York.
Hogg RV, Craig AT, Mc Kean JW. 2005. Introduction to Mathematical
Statistics. Six Edition. New Jersey: Prentice Hall, Upper Saddle River.
Hogg RV, Craig AT, Mc Kean JW. 2014. Introduction to Mathematical Statistics.
Six Edition. New Jersey: Prentice Hall, Upper Saddle River.

35
Ismayulia W. 2011. Pendugaan komponen periodik fungsi intensitas berbentuk
fungsi periodik kali tren linear suatu proses Poisson non-homogen [skripsi].
Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Mangku IW. 1999. Nearest neighbor estimation of the intensity function of a
cyclic Poisson Process. CWI report PNA-R9914.
Mangku IW. 2001. Estimating the intensity of a cyclic Poisson
process [Ph.D.Thesis]. Amsterdam (NL): University of Amsterdam.
Mangku IW. 2011. Estimating the intensity obtained as the product of a periodic
function with the linear tren of a non-homogeneous Poisson process. Far
East Journal of Mathematical Science (FJMS). 51:141-150.
Ramdani P. 2011. Pendugaan komponen periodik fungsi intensitas berbentuk
fungsi periodik kali tren kuadratik suatu proses Poisson non-homogen
[skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Ross SM. 1996. Stochastics Processes. Second Edition. New York: John Wiley &
Sons.
Ross SM. 2010. Introduction to Probability Models. Tenth Edition. UK: Elsevier,
Inc.
Serfling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics.
NewYork (US): J Wiley.
Stewart J. 1999. Kalkulus. Jilid 2. Ed ke-4. Jakarta (ID): Erlangga.
Taslim. 2011. Kekonsistenan penduga komponen periodik fungsi intensitas
berbentuk perkalian fungsi periodik dengan tren kuadratik pada proses
Poisson non homogen [tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Wheeden RL, Zygmund. 1977. Measure and Integral: An Introduction to Real
Analysis. New York (US): Marcel Dekker, Inc.

36

LAMPIRAN
Lampiran 1 Beberapa Konsep Dasar
Peluang
Ruang contoh dan kejadian
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang
hasilnya tidak bisa diprediksi secara tepat tetapi kita bisa mengetahui semua
kemungkinan hasil yang muncul disebut peubah acak. Himpunan semua hasil
yang mungkin dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh dan dinotasikan
dengan Ω. Suatu kejadian
adalah himpunan bagian dari ruang contoh
(Ross 2010).
Ukuran peluang
Suatu ukuran
pada
memenuhi syarat-syarat berikut:
Jika
∑

adalah suatu fungsi

dan
adalah himpunan-himpunan yang saling lepas,
untuk setiap pasangan
dengan
maka
⋃
(Grimmet dan Stirzaker 1992).

yang

yaitu

Peubah acak

Peubah acak X adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi dalam ruang
contoh Ω (Ross 2010). Peubah acak terdiri dari peubah acak diskret dan peubah
acak kontinu. Peubah acak dikatakan kontinu jika terdapat fungsi tak negatif
yang terdefinisi untuk
yaitu fungsi kepekatan peluang sehingga
∫

untuk setiap himpunan B. Jika

maka

(Ross 2010). Peubah acak disebut peubah acak
∫
diskret jika himpunan semua kemungkinan dari peubah acak adalah himpunan
tercacah (Ghahramani 2005). Peubah acak diskret
memiliki fungsi massa
peluang yaitu fungsi dari ke
yang memenuhi syarat berikut (Ghahramani
2005).
a.
jika
{
}
dan
b.
c. ∑
Salah satu contoh peubah acak diskret adalah peubah acak Poisson.
Peubah acak Poisson adalah peubah acak diskret X yang memunyai nilai
kemungkinan 0,1,2,3,... disebut peubah acak Poisson dengan parameter λ, λ
jika

, i=0,1,2,3,...(Ghahramani 2005).

37
Nilai harapan dari peubah acak diskret dengan himpunan kemungkinan
∑
nilai dan fungsi massa peluang
didefinisikan sebagai
(Ghahramani 2005). Misalkan
, maka dan Var( ) disebut simpangan
.
baku dan ragam dari didefinisikan sebagai
√
Kekonvergenan
Kekonvergenan Barisan Bilangan Real
Barisan {an} disebut memunyai limit L dan ditulis
atau
jika
apabila untuk setiap
terdapat sebuah bilangan M
|
sedemikian rupa sehingga jika
maka |
. Jika
ada, maka barisan tersebut dikatakan konvergen. Jika tidak, maka barisan tersebut
divergen (Steward 1999).
Konvergen dalam Peluang
Misalkan
adalah barisan peubah acak pada suatu ruang
peluang
. Barisan peubah acak
dikatakan konvergen dalam peluang ke
|
jika untuk setiap
berlaku |
, dinotasikan
untuk
(Serfling 1980).
Konvergen Hampir Pasti
Misalkan
adalah barisan peubah acak pada suatu ruang
peluang
. Barisan peubah acak
dikatakan konvergen hampir pasti ke
peubah acak

ditulis

→

jika

Dengan kata lain

konvergen hampir pasti adalah konvergen dengan peluang satu (Grimmet dan
Stirzaker 1992).
Konvergen Lengkap
Misalkan
adalah barisan peubah acak pada suatu ruang
peluang
. Barisan peubah acak
dikatakan konvergen lengkap ke
|
|
peubah acak , jika untuk setiap
, berlaku ∑
(Grimmet dan Stirzaker 1992).
Konvergen dalam Sebaran
Misalkan
adalah barisan peubah acak pada suatu ruang
peluang
. Barisan peubah acak
dikatakan konvergen dalam sebaran
jika
peubah acak , ditulis
semua titik dimana fungsi sebaran
1992).

untuk
untuk
adalah kontinu (Grimmet dan Stirzaker

38
Kekonsistenan Penduga
Misalkan
adalah n peubah acak yang merupakan contoh dari
sebaran peubah acak X yang memiliki fungsi kepekatan peluang
atau
fungsi massa peluang
di mana
Suatu fungsi
dari contoh tersebut disebut statistik. T merupakan penduga tak bias dari jika
Jika
maka merupakan penduga bias dari (Hogg
5 et al. 2005 ). T merupakan penduga konsisten jika T konvergen dalam peluang
ke (Hogg et al. 2014).

Beberapa Lema dan Definisi
Definisi 1 (Big-O dan Litle-o)

fungsi

Simbol
dan

dan
adalah cara untuk membandingkan besarnya dua
dengan menuju suatu limit L.

(i) Notasi
(ii) Notasi
(Serfling 1980).

(

menyatakan bahwa |

menyatakan bahwa |

|

| terbatas, untuk
, untuk

Definisi 2 (Fungsi Indikator)
Fungsi indikator dari suatu himpunan A, sering ditulis

(Casella dan Berger 1990).

, didefinisikan sebagai

{

Lema 3 (Ketaksamaan Chebyshev)
Jika
|

adalah peubah acak dengan nilai harapan
|

, untuk setiap

dan ragam

maka

(Ghahramani 2005).

Lema 4 (Ketaksamaan Markov)
Jika
adalah peubah acak, maka untuk suatu
(Ghahramani 2005).

,

| |

| |

Lema 5 (Lema Borel-Cantelli)
(i) Misalkan
(ii) Misalkan
∑
(Durret 1996).

maka
adalah sebarang kejadian, jika ∑
.
adalah sebarang kejadian yang saling bebas. Jika
maka

39
Definisi 3 (Terintegralkan lokal)
Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal, jika untuk sebarang himpunan
Borel terbatas B kita peroleh
Definisi 4 (Titik Lebesgue)
Suatu titik
disebut titik
|
∫ |

∫

(Dudley 1989).

Lebesgue dari suatu fungsi
(Wheeden dan Zygmund 1977).

jika

Lema 6 (Teorema Limit Pusat)

Misalkan
adalah barisan peubah acak yang bebas dengan masing masing
memiliki nilai harapan
dan ragamnya bernilai berhingga
. Jika
|
|
∑
dan untuk suatu
, ∑
maka
∑
menyebar normal asimtotik dengan nilai harapan ∑
dan ragam
dinotasikan

( ∑

∑

(Serfling 1980).

Lampiran 2 Bukti Lema 2 (Kekonvergenan Ragam dan Aproksimasi
Asimtotik Bagi Ragam)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal.
Jika kernel K memenuhi sifat (K1), (K2), (K3),
, dan merupakan titik
Lebesgue bagi , maka
ar ̂
asalkan

untuk

untuk

untuk

,

, dan

.

Bukti: Untuk
,
, sehingga

dan
yang cukup besar, interval
,
tidak saling tumpang tindih (tidak overlap) untuk
dan

saling bebas. Oleh karena itu, ragam bagi ̂
ar ̂

ar ( ∑
∑

∫

dapat dihitung sebagai berikut:
∫

Karena adalah peubah acak Poisson, maka
persamaan (1.1) menjadi

ar(

ar

.

(1.1)

, sehingga

40
ar ̂

∑

Misalkan
ar ̂

∫

∑

∫

∑

,

∫

∑
∫

.
, maka persamaan (1.2) menjadi

(

∫

.

(1.2)

(
∑

(

Dalam Erliana (2013) telah diketahui bahwa
 jika
,

∑

 jika

,

∑

 jika

∑

∑
,
dengan
sehingga persamaan (1.3) diuraikan menjadi tiga kasus, yaitu:
 jika
, maka
ar ̂

∫

Karena
dapat ditulis menjadi
ar ̂

∫

(

(

∫

(

(

(

(

(1.4)

, maka persamaan (1.4)
(

Karena kernel K memenuhi kondisi (K2) dan (K3), maka

(1.5)

41

∫

∫

∫

(

|

(
|

(
,

(1.6)

dengan
adalah suatu konstanta. Karena adalah titik Lebesgue, maka ruas
kanan pada pertidaksamaan (1.6) sama dengan
. Akibatnya, suku pertama
pada ruas kanan dari persamaan (1.5) menjadi
∫

(

(

(

(

(

(

(

(

(

.

(1.7)

Karena fungsi kernel memenuhi persamaan (K3), maka suku kedua dari
persamaan (1.5) dapat ditulis menjadi
∫
Misalkan

∫

(
,

∫

(

(

(

(1.8)

, maka persamaan (1.8) menjadi

∫

(

.

(

(1.9)

Dengan menggabungkan persamaan (1.7) dan (1.9), maka persamaan (1.5)
menjadi
∫
Dengan demikian,
ar ̂

Berdasarkan asumsi
 Jika

, maka

∫

(

(
.

(
∫

, maka ar ̂

(

.

untuk

(1.10)

.

42
ar ̂

∫

Karena
ditulis menjadi
ar ̂

∫

(

(

(1.11)

, maka persamaan (1.11) dapat
(

∫

(

(1.12)

Sama halnya dengan kasus
, karena kernel K memenuhi kondisi (K2)
dan (K3) serta adalah titik Lebesgue, maka
∫

(

.

(

Akibatnya, suku pertama pada ruas kanan dari persamaan (1.12) menjadi
∫

(

(

(

(

.

(1.13)

Karena fungsi kernel
memenuhi persamaan (K3), maka suku kedua dari
persamaan (1.12) dapat ditulis menjadi
∫
Misalkan

∫

(
,

∫

∫

(

.

(1.14)

, maka persamaan (8.14) menjadi

(

.

(1.15)

Dengan menggabungkan persamaan (1.13) dan (1.15), maka persamaan (1.12)
menjadi
∫
Dengan demikian,
ar ̂

∫

(

.

∫

.

(1.16)

43
, maka ar ̂

Berdasarkan asumsi
 jika
ar ̂

∫

Karena
ditulis menjadi
̂

∫

(
(

∫

untuk

.

(1.17)

, maka persamaan (1.17) dapat
(

.

(

(1.18)

Sama halnya dengan kasus
. Karena kernel K memenuhi kondisi (K2)
dan (K3) serta adalah titik Lebesgue, maka
∫

(

.

(

Akibatnya, suku pertama pada ruas kanan dari persamaan (1.18) menjadi
∫

(

(

(

(

(

(

.

(1.19)

Karena fungsi kernel
memenuhi persamaan (K3), maka suku kedua dari
persamaan (1.18) dapat ditulis menjadi
∫
Misalkan

∫

∫

(
,

(

∫

.

(1.20)

, maka persamaan (1.20) menjadi

(

.

(1.21)

Dengan menggabungkan persamaan (1.19) dan (1.21), maka persamaan (1.18)
menjadi
∫

(

(

44

Dengan demikian,

∫

.

(

ar ̂

∫

Berdasarkan asumsi

maka

Dengan demikian, terbukti bahwa ar ̂
Lampiran 3 Bukti Dere