Pendekatan asimtotik untuk bias dan ragam penduga fungsi nilai harapan proses poisson periodik majemuk dengan tren linear

PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK BIAS DAN RAGAM
PENDUGA FUNGSI NILAI HARAPAN PROSES POISSON
PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN LINEAR

BONNO ANDRI WIBOWO

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR BARAT
2016

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Pendekatan Asimtotik
untuk Bias dan Ragam Penduga Fungsi Nilai Harapan Proses Poisson Majemuk
dengan Tren Linear adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Februari 2016
Bonno Andri Wibowo
NIM G551140536

Ringkasan
BONNO ANDRI WIBOWO. Pendekatan Asimtotik untuk Bias dan Ragam
Penduga Fungsi Nilai Harapan Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren
Linear. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan SISWADI.
Proses stokastik mempunyai peranan penting dalam memodelkan berbagai
fenomena nyata. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik adalah proses
Poisson majemuk. Banyak fenomena dalam berbagai bidang yang telah
dimodelkan sebagai suatu proses Poisson majemuk, antara lain fenomena di
bidang asuransi dan keuangan, fisika, demografi, geologi, serta biologi.
Pengembangan model proses Poisson majemuk telah dimulai dengan
menggunakan model proses Poisson periodik majemuk. Penelitian terakhir
dengan menambahkan tren linear pada model tersebut. Hasil terakhirnya diperoleh
penduga yang konsisten (lemah) bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson
periodik majemuk dengan tren linear.

Penelitian lanjutan ini memiliki dua tujuan, yaitu: (1) Menentukan
pendekatan asimtotik untuk bias dan ragam penduga fungsi nilai harapan pada
proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear; (2) Meneliti keakuratan
pendekatan asimtotik untuk bias dan ragam penduga untuk kasus panjang interval
pengamatan yang terbatas melalui simulasi dengan data bangkitan.
Misalkan {� , ≥ } adalah suatu proses dengan fungsi intensitas
terintegralkan lokal (tidak diketahui) . Kita asumsikan
mempunyai dua
komponen, sebuah komponen periodik � dengan periode (diketahui) � > dan
sebuah komponen tren linear. Dengan kata lain, untuk setiap > 0, fungsi
intensitas dapat dituliskan sebagai berikut:
+ ,
= �
adalah sebuah fungsi periodik dengan periode � dan
dengan �
melambangkan kemiringan dari tren linear dengan
> . Kita tidak
mengasumsikan bentuk parametrik apapun dari � kecuali bentuk periodik yang
dapat ditulis sebagai berikut:
= � + ��


untuk setiap ≥ 0 dan � ∈ ℕ, dengan ℕ menyatakan himpunan bilangan asli.
Misalkan {
, ≥ } adalah suatu proses dengan
� �
=∑�= �
di mana { � , � ≥ } adalah barisan peubah acak yang independent and identically
distributed dengan nilai harapan < ∞ dan ragam � < ∞, yang juga bebas
terhadap {� , ≥ }. Nilai harapan dari
adalah
dengan

= �[

] = ��,� �� + ��
��,� =

dan

��


�=





,

− ��,� �,

=∫





� ,




+

�2

� = �� �


dimana untuk setiap bilangan real x, � melambangkan bilangan bulat terbesar
yang kurang dari atau sama dengan x. � merupakan fungsi intensitas dari proses
{� , ≥ }. Diasumsikan � > .
Misalkan untuk suatu
∈ Ω, suatu realisasi tunggal �
dari proses
{� , ≥ } yang terdefinisi pada suatu ruang peluang Ω, ℱ,P diamati pada
suatu interval terbatas [ , ]. Selanjutnya, untuk setiap titik data pada realisasi

∩ [ , ] yang diamati, misalkan titik data ke-�, � =1, 2, ..., �[ , ], peubah
acak � yang bersesuaian juga diamati.


dirumuskan
Misalkan ��,� = , penduga bagi fungsi nilai harapan

sebagai berikut:
�2
̂�
= ��,� ��̂� + �̂�,� � + ̂�
̂�,
dengan

�̂�,�

dan

�̂� =

=




ln(��,� )�

ln(��,� )





�,�
∑�=

�,�
∑�=

̂� =

�[ ,�]
�2

,


� [ �− �,��]




�,�
− ̂� (ln(�

� [ �− �, �− �+�� ]





̂� =

� [ ,�]

[

∑�
�=

,�]

[ ̂�

]=

��−��� + ��� �� +��(��2 − ��� )

��,� �

ln(��,� )

dan ragam asimtotik penduga adalah


[ ̂�


���

��,� �

���





]=


�2

ln(��,� )

− �




���−�2 ��

+ �



((��,� �)

) + ��,� �
+

− �

�,

+ (

�� ��

��−��� +�

)+ (

ln(��,� )

)



− ),

���

�,�

+
)

(��2 − �� �)

),

saat � [ , ] = .

=

ln(��,� )

+ � � − ��� + ( �

��� �� �+�2 �(��2 − ��� )



�,� )

�,�
− ̂� (ln(�

dengan ̂ � = saat � [ , ] = berimplikasi ̂�
Bias asimtotik penduga adalah






)

+ �(��



) +

��� �� +��(��2 − ��� ) + ���



� �


+

��,� � �� − �� +

untuk → ∞. Simulasi model memberikan visualisasi mengenai proses Poisson
periodik majemuk dengan tren linear. Bias dan ragam penduga akan semakin
menuju 0 seiring memanjangnya interval pengamatan.
Kata kunci: Bias dan ragam penduga, fungsi nilai harapan, pendekatan asimtotik,
proses Poisson periodik majemuk, tren linear.

Summary
BONNO ANDRI WIBOWO. Asymptotic Approximations to the Bias and
Variance of an Estimator for the Mean Function of a Compound Cyclic Poisson
Process with Linear Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWADI.
A stochastic process has an important role in modeling various real
phenomena. One special form of the stochastic process is a compound Poisson
process. Many phenomena in different fields have been modeled as a compound
Poisson process, such as phenomena in the fields of insurance and finance,
physics, demography, geology, and biology. A compound Poisson process model
have been extended by using compound cyclic Poisson process model. The last
research is adding linear trend to the model, and the result is getting formula for
an estimator of the mean function of a compound cyclic Poisson process in the
presence of linear trend and it has been proved (weakly) consistent.
This further reseacrh has two objectives as follows: (1) to determine
asymptotic approximations to the bias and variance of an estimator for the mean
function of a compound cyclic Poisson process in the presence of linear trend; (2)
to study asymptotic approximations in the case of bounded observation time
interval, using simulation with generated data.
Let {� , ≥ } be a cyclic Poisson process with (unknown) locally
integrable intensity function . We assume
has two components, a cyclic
compunent � with (known) period � > and a linear trend. In other words, for
any > , the intensity function can be written as:
+ ,
= �
be a periodic function with period � and be the slope of the linear
with �
trend with > . We do not assume any (parametric) form of � except that it is
periodic, that is, the equality
= � + ��

holds for all ≥ 0 and � ∈ ℕ, with ℕ be the set of natural numbers. Let {
, ≥
} be process where
� �
= ∑�= �
with { � , � ≥ } is a sequence of independent and identically distributed random
variables having mean < ∞ and variance � < ∞, which is also independet of
the process {� , ≥ }. The mean function of
is given by

where

and

= �[

] = ��,� �� + ��
��,� =

��

�=





,

− ��,� �,

=∫





� = �� �


� ,



+

�2

where for any real numbers �, � denotes the biggest integer which is less than or
equal to �. � is the global intensity of the process {� , ≥ }. We also assume
that � > .
Suppose that, for some ∈ Ω, a single realization �
of the process
{� , ≥ } defined on a probability space Ω, ℱ,P is observed, though only
within a bounded interval [ , ]. Futhermore, suppose that for each data point in
the observed realization �
∩ [ , ], say �-th data point, � =1, 2, ..., �[ , ],
its corresponding random variable � is also observed.

Let ��,� = , the estimator of the mean function is given by

̂�

where

�̂�,�

and

�̂� =

=



= ��,� ��̂� + �̂�,�

ln(��,� )�

ln(��,� )





�,�
∑�=

�,�
∑�=

̂� =

�[ ,�]
�2

,

� [ �− �,��]


+ ̂�









� [ ,�]

[
∑�
�=

̂�,

�,�
− ̂� (ln(�

� [ �− �, �− �+�� ]

̂� =

�2

,�]



�,� )

�,�
− ̂� (ln(�



− ),

���

�,�

+
)

(��2 − �� �)

),

�,

with the understanding that ̂ � = when � [ , ] = , implies ̂�
� [ , ] = .
Asymptotic approximation to the bias of the estimator is


��−��� + ��� �� +��(��2 − ��� )

��,� �

[ ̂�

]=

[ ̂�

] = ln(�

ln(��,� )

+ (

ln(��,� )

=

when

)

and asymptotic approximation to the variance of the estimator is


���

��,� �

���





�2



�,� )

− �



���−�2 ��

+ �



((��,� �)

) + ��,� �
+

− �

+ � � − ��� + ( �

�� ��

��−��� +�

��� �� �+�2 �(��2 − ��� )



)+ (

ln(��,� )

)



+ �(��



) +

��� �� +��(��2 − ��� ) + ���



� �


+

��,� � �� − �� +

as → ∞. Simulation provides visualization about compound cyclic Poisson
process in the presence of linear trend. Bias and variance of the estimator will to
zero as the length of observation interval goes to infinity.
Key word: Asymptotic approximation, compound cyclic Poisson process, linear
trend, the bias and variance of estimator, the mean function

© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016
Hak Cipta Dilindungi Undang – Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apapun tanpa izin IPB

PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK BIAS DAN RAGAM
PENDUGA FUNGSI NILAI HARAPAN PROSES POISSON
PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN LINEAR

BONNO ANDRI WIBOWO

Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR BARAT
2016

Penguji pada Ujian Tesis: Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala
karuniaNya sehingga karya ilmiah yang berjudul Pendekatan Asimtotik untuk
Bias dan Ragam Penduga Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Majemuk
dengan Tren Linear ini berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Prof Dr Ir I Wayan Mangku,
MAppSc selaku Ketua Komisi Pembimbing dan Bapak Prof Dr Ir Siswadi, MSc.
selaku Anggota Komisi Pembimbing atas semua perhatian, ilmu, kesabaran,
motivasi, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini. Terima kasih juga
penulis ucapkan kepada Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku dosen penguji
yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan
kepada ibu (you are my superwomen in my life), Lukman, Adi, Widi atas segala
doa dan kasih sayangnya. Serta taklupa, saya ucapkan terima kasih kepada Dikti
atas beasiswa fresh graduate yang penulis terima selama perkuliahan. Selain itu,
penulis juga mengucapkan terima kasih kepada teman–teman Matematika 47,
Gumapastika, dan Matematika Terapan angkatan 50 serta rekan–rekan di PT
Asuransi Jiwa Manulife Indonesia yang telah memberikan kesempatan saya
belajar banyak hal selama masa internship.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat.
Bogor, Februari 2016
Bonno Andri Wibowo

DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
DAFTAR LAMPIRAN
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitan
Manfaat Penelitian
TINJAUAN PUSTAKA
Proses Stokastik
Proses Poisson
Proses Poisson Majemuk
Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk
Kekonsistenan Penduga Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik
Majemuk dengan Tren Linear
PERUMUSAN PENDUGA
Pengantar dan Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan
Ide Penduga Modifikasi
BEBERAPA LEMA TEKNIS
PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK BIAS DAN RAGAM PENDUGA
SIMULASI MODEL
SIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
RIWAYAT HIDUP

vi
vi
1
1
2
2
2
2
3
3
3
5
7
7
8
10
15
22
25
26
27
50

DAFTAR TABEL
1

Bias dan Ragam ̂�

24

DAFTAR GAMBAR
1
2

Grafik
dan ̂�
Grafik selisih (%) antara

dan ̂�

23
24

DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4

Beberapa Lema dan Teorema Teknis
Bukti beberapa Lema teknis
Bukti beberapa persamaan
Program Scilab untuk Simulasi

28
30
41
48

PENDAHULUAN

Latar Belakang
Proses stokastik merupakan proses yang menggambarkan suatu kejadian
atau fenomena yang bersifat tidak pasti. Proses ini dapat digunakan untuk
memodelkan fenomena yang berkaitan dengan aturan peluang seperti pergerakan
harga saham, proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat layanan (customer
service), dan banyaknya klaim yang datang ke suatu perusahaan asuransi. Oleh
karena itu, untuk memprediksi bagaimana fenomena-fenomena tersebut terjadi di
masa yang akan datang diperlukan suatu peramalan. Peramalan tersebut berguna
untuk memperoleh informasi mengenai perubahan di masa yang akan datang.
Proses stokastik dapat diklasifikasikan menjadi proses stokastik dengan
waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Pada karya ilmiah ini
pembahasan hanya difokuskan pada salah satu bentuk khusus dari proses stokastik
dengan waktu kontinu, yaitu proses Poisson majemuk. Proses Poisson majemuk
dapat digunakan untuk memodelkan besarnya klaim agregat terhadap suatu
perusahaan asuransi, sehingga perusahaan tersebut dapat menduga besarnya
keuntungan yang akan diperoleh pada masa yang akan datang. Sebelumnya,
Byrne (1969) telah menggunakan proses Poisson majemuk pada beberapa
permasalahan fisika. Selain itu, proses Poisson majemuk telah diterapkan pada
bidang demografi (Kegler 2007), geologi (�̈zel 2011) dan biologi (Puig dan
Barquinero 2011).
Selama ini, kajian terhadap proses Poisson majemuk dilakukan dengan
menggunakan proses Poisson homogen, yaitu proses Poisson yang fungsi
intensitasnya konstan (tidak bergantung pada waktu). Apabila suatu kejadian
memiliki peluang lebih besar untuk terjadi pada interval waktu tertentu
dibandingkan pada interval waktu yang lain, maka asumsi ini tidak sesuai. Oleh
karena itu, untuk memperluas cakupan permasalahan yang dapat dimodelkan,
asumsi tersebut harus diubah. Waktu dapat dianggap berpengaruh dan digunakan
proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson yang fungsi intensitasnya
merupakan fungsi tak konstan dari waktu. Proses Poisson takhomogen ini
merupakan perumuman dari proses Poisson homogen.
Kajian terhadap proses Poisson majemuk dengan menggunakan proses
Poisson takhomogen sangatlah luas. Oleh karena itu, kajian dimulai dengan salah
satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson periodik
majemuk (Mangku et al. 2014). Setelah itu kajian ditingkatkan menjadi proses
Poisson periodik majemuk dengan tren linear (Wibowo 2014). Proses Poisson
periodik majemuk dengan tren linear ini cocok dalam menggambarkan fenomena
yang terjadi secara periodik namun meningkat mengikuti tren linear, seperti
jumlah klaim agregat dari suatu produk asuransi.
Peubah acak Poisson periodik majemuk merupakan peubah acak yang
bergantung dari waktu maka nilai harapan dari peubah acak tersebut disebut
fungsi nilai harapan. Penduga pada pendugaan fungsi nilai harapan pada proses
Poisson periodik majemuk dengan tren linear sudah terbukti merupakan penduga
yang konsisten lemah dan sudah ditentukan laju kekonverganan bagi bias, ragam
dan mean sequare error penduga tersebut pada Wibowo (2014). Pada penelitian

2

lanjutan ini dilakukan penentuan pendekatan asimtotik untuk bias dan ragam
penduga tersebut dan mempelajari perilaku penduga tersebut melalui simulasi
menggunakan bangkitan data bangkitan.
Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan sebagai berikut:
1. Menentukan pendekatan asimtotik untuk bias dan ragam penduga fungsi nilai
harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear.
2. Meneliti keakuratan pendekatan asimtotik untuk bias dan ragam penduga untuk
kasus panjang interval pengamatan yang terbatas melalui simulasi dengan data
bangkitan.
Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan informasi mengenai bias dan
ragam penduga dan penggunaan model pada data yang diperoleh sehingga dapat
menjadi pertimbangan bagi pengguna model matematika yang berkaitan dengan
proses Poisson.

TINJAUAN PUSTAKA

Proses Stokastik
Proses stokastik = {
, ∈ �} adalah suatu himpunan dari peubah acak.
Indeks t sering kali diinterpretasikan sebagai waktu dan
sebagai state dari
proses di waktu t. Himpunan T himpunan indeks dari proses. Ketika T merupakan
himpunan terhitung maka proses stokastiknya disebut dengan proses dengan
waktu diskret, sedangkan jika T merupakan interval dari rentang waktu tertentu,
proses stokastik disebut proses dengan waktu kontinu (Ross 2010).
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {
, ∈ �} disebut memiliki

inkremen bebas jika untuk semua < < < ⋯ < � , peubah acak
adalah saling bebas (Ross 2010).
,… ,

,
�−
� −
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {
, ∈ �} disebut memiliki
inkremen stasioner jika
+ −
memiliki sebaran yang sama untuk
semua (Ross 2010).
Suatu proses stokastik {
, ≥ } disebut proses pencacahan jika
menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu . Dari definisi
tersebut, maka suatu proses pencacahan
harus memenuhi syarat-syarat
berikut (Ross 2010):
1.
≥ untuk setiap ∈ [ , ∞ .
2. Nilai
adalah integer.
3. Jika < maka
di mana , ∈ [ , ∞ .
4. Untuk < maka

sama dengan banyaknya kejadian yang
terjadi pada , ].

3

Proses Poisson
Suatu proses pencacahan {� , ≥ } disebut proses Poisson homogen
dengan laju , > , jika memenuhi tiga syarat berikut (Ross 2010):
1. �
= .
2. Proses tersebut memiliki inkremen bebas.
3. Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t,
memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan . Jadi, untuk semua t,s ≥ ,


+

−�

=� =

− �

,� = , , …
�!
Dari syarat 3 bisa diketahui bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang
stasioner serta diperoleh bahwa �(� ) = .
Suatu proses pencacahan {� , ≥ } disebut proses Poisson nonhomogen dengan fungsi intensitas
, > , jika (Ross 2010):

1.
2.
3.
4.


= .
{� , ≥ } memiliki inkremen bebas.
P{� + − �
≥ }=
P{� + − �
= }=
+
, untuk

→ .

Laju dari suatu proses Poisson non-homogen {� , ≥ }, yaitu
disebut fungsi intensitas proses tersebut (Ross 2010). Intensitas lokal dari suatu
proses Poisson non-homogen � dengan fungsi intensitas pada titik ∈ adalah
, yaitu nilai fungsi di (Cressie 1993).
Proses Poisson Majemuk
Misalkan {

, ≥ } adalah suatu proses dengan
� �

= ∑�=



di mana { � , � ≥ } adalah barisan peubah acak yang independent and identically
distributed dengan nilai harapan < ∞ dan ragam � < ∞, yang juga bebas
terhadap {� , ≥ }. Proses {
, ≥ } disebut dengan proses Poisson
majemuk.
Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk
Misalkan {�� , ≥ } adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan
fungsi intensitas � terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas
� (s) diasumsikan berupa fungsi periodik, yakni memenuhi


=



+ �� ,

untuk setiap ≥ 0 dan � ∈ ℕ, dengan ℕ menyatakan himpunan bilangan asli.
Nilai harapan dari proses {�� , ≥ } adalah
t
E[Nc t ] = ∫ λc s ds = k t,τ τθ + Λ c t r .
dengan

4

t
k t,τ = ⌊ ⌋,
τ
di mana untuk setiap bilangan real ,
menyatakan bilangan bulat terbesar yang
lebih kecil dari atau sama dengan , � = − ��,� �,
��

dan

=∫



��

� ,



� = �� � ,

yaitu fungsi intensitas global dari proses {�� , ≥ }. Diasumsikan bahwa � >
.
Selanjutnya, misalkan { � , ≥ } adalah suatu proses dengan
� �

= ∑�=�



�,

di mana { � , � ≥ } adalah barisan peubah acak yang independent and identically
distributed dengan nilai harapan < ∞ dan ragam � < ∞, yang juga bebas
terhadap proses {�� , ≥ }. Proses { � , ≥ } disebut dengan proses
Poisson periodik majemuk.
Secara matematis, fungsi nilai harapan dari proses Poisson periodik
majemuk dapat dituliskan sebagai berikut:
.
= �[ � ] = ��,� �� + �� �

dirumuskan sebagai berikut:
Penduga bagi fungsi nilai harapan �
̂�,�

dengan

�̂∗∗
�,�



= ��,� ��̂�,� + �̂∗∗
�,�



�̂�,� = �

[ ,�]


,

= ∑∞= �� [��, �� +


̂ �,� =


∑�
�=

�� [ ,�]

[ ,�]

̂ �,� ,



�]


∩ [ , �] ,

,

=
saat �� [ , �] = . Penduga nilai harapan tersebut telah
dengan ̂�,�
dibuktikan kekonsistenannya baik kekonsistenan lemah maupun kekonsistenan
kuat pada Ruhiyat et al. (2013). Ruhiyat (2013) telah menentukan laju
kekonvergenan bias dan ragam serta mean square error (MSE) dari ̂�,�

sebesar
�̂∗∗
�,�



, untuk � → ∞.

Mangku et al. (2014) melakukan modifikasi terhadap penduga �̂�,� dan
� berturut-turut sebagai berikut:
�̂�,� =

�̂∗∗
�,�



=

,� �


,�

,� −

=



�� [��, �� + �] ,

,� −

=

�� [��, �� +

�]

.

Hasil modifikasi tersebut yaitu nilai bias dan ragam asimtotik bagi ̂�,�
berturut-turut sebagai berikut

5

�� [ ̂�,�

]=



+

untuk � → ∞.



�� [ ̂�,�

]=−

��,� �� + ��



( )



��

+

−�

( + ��,� ) +

,


� �� + ��
�� �,�



Kekonsistenan Penduga Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik
Majemuk dengan Tren Linear

Misalkan {� , ≥ } adalah suatu proses dengan fungsi intensitas
terintegralkan lokal (tidak diketahui) . Kita asumsikan
mempunyai dua
komponen, sebuah komponen periodik � dengan periode (diketahui) � > dan
sebuah komponen tren linear. Dengan kata lain, untuk setiap > 0, fungsi
intensitas dapat dituliskan sebagai berikut:
=

+� ,



adalah sebuah fungsi periodik dengan periode � dan �
dengan �
melambangkan kemiringan dari tren linear dengan � > .
Misalkan {
, ≥ } adalah suatu proses dengan
� �

= ∑�=



di mana { � , � ≥ } adalah barisan peubah acak yang independent and identically
distributed dengan nilai harapan < ∞ dan ragam � < ∞, yang juga bebas
terhadap {� , ≥ }. Proses {
, ≥ } disebut dengan proses Poisson
periodik majemuk dengan tren linear.
Nilai harapan dari
, dinotasikan dengan
, sebagai berikut:
dengan �

=∫



� .



= �[�

]�[

]=�

Misalkan � = − �, dimana untuk setiap bilangan real x,

melambangkan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x, dan

misalkan pula ��,� = . Kemudian, untuk setiap bilangan positif , = ��,� � +

� , dengan
� < . Misalkan
serta

��

=∫







� = �� �

yaitu fungsi intensitas global dari komponen periodik pada proses {� , ≥ }.
Kita asumsikan bahwa � > . Kemudian untuk setiap ≥ yang diberikan, kita
mempunyai

6



= ��,� �� + ��

Akhirnya, fungsi nilai harapan dari

+�



.

dapat dituliskan menjadi

= ��,� �� + ��

+�



.

Pendugaan fungsi nilai harapan
pada persamaan tersebut dapat dibagi
menjadi beberapa pendugaan, yaitu pendugaan , pendugaan � yang merupakan
slope pada fungsi intensitas, pendugaan fungsi intensitas global �, dan pendugaan
�� � yang merupakan nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada
interval waktu [ , � ].
Penduga bagi fungsi nilai harapan
dirumuskan sebagai berikut:
̂�

dimana

�̂�∗ =

dan

�̂∗�,�



= ��,� ��̂�∗ + �̂∗�,�

� �⁄�

=

∑∞=

� �⁄�

�̂� =

� [ �,

∑∞=

̂� =



+ �̂�

� [ , �]
,


+ �]∩[ ,�]


− �̂�

� [ �, �+�� ]∩[ ,�]
� [ ,�]

[
∑�
�=

,�]

− �̂�


,

̂�,



+

�� 2



� �⁄�

+

,

���

� �⁄�

,

= saat � [ , �] = .
dengan ̂ � = saat � [ , �] = berimplikasi ̂�
Penduga bagi tingkat kemiringan � telah dikaji pada Helmers dan Mangku (2009)
untuk tujuan yang berbeda. Penduga bagi fungsi intensitas global � telah dikaji
pada Mangku (2005) untuk tujuan berbeda dan penduga bagi fungsi intensitas
sebagian �� � telah dikaji pada Mangku (2010) untuk tujuan berbeda.
Wibowo (2014) telah membuktikan bahwa penduga nilai harapan tersebut
kekonsistenan lemah, yakni
̂�

untuk � → ∞. Laju kekonvergenan bias, ragam, dan MSE penduga ialah
untuk � → ∞.
n �⁄�

PERUMUSAN PENDUGA

Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson
Periodik Majemuk dengan Tren Linear
Misalkan {� , ≥ } adalah suatu proses Poisson takhomogen. Fungsi
intensitas
diasumsikan berbentuk
+� ,
(1)
= �
adalah sebuah fungsi periodik dengan periode � dan � melambangkan
dengan �
kemiringan dari tren linear dengan
�> .
(2)
Proses {
, ≥ } disebut dengan proses Poisson periodik majemuk
dengan tren linear jika
� �
= ∑�= �
(3)
di mana { � , � ≥ } adalah barisan peubah acak yang independent and identically
distributed dengan nilai harapan < ∞ dan ragam � < ∞, yang juga bebas
terhadap {� , ≥ }.
Misalkan untuk suatu
∈ Ω, suatu realisasi tunggal �
dari proses
{� , ≥ } yang terdefinisi pada suatu ruang peluang Ω, ℱ, � diamati pada
suatu interval terbatas [ , �]. Selanjutnya, untuk setiap titik data pada realisasi

∩ [ , �] yang diamati, misalkan titik data ke-i, i= 1, 2, ... , � [ , �] , peubah
acak � yang bersesuaian juga diamati.
Fungsi nilai harapan dari proses Poisson periodik majemuk dengan tren
linear:
dengan

serta

= �[

��

] = ��,� �� + ��

��,� = ⌊ ⌋,

� = − ��,� �,
=∫









+�

�2

.

(4)

(5)

(6)
� = �� �

yaitu fungsi intensitas global dari komponen periodik pada proses {� , ≥ }.
Kita asumsikan bahwa
�> .
(7)

dirumuskan
Misalkan ��,� = , penduga bagi fungsi nilai harapan

sebagai berikut:
�2
̂�
̂�
(8)
= ��,� ��̂� + �̂�,� � + �̂�
dengan

�̂� =

N[ ,n]
n2

,

(9)

8

dan

θ̂n =

�̂�,�

=



,τ )τ

n(
,τ )

n(





=

N [





=

N [

− τ, τ]

̂� = �

− �̂ � ( n(

− τ+tr ]

− τ,


∑�=

[ ,�]

,τ τ

,τ )

− �̂� ( n(,τ

[ ,�]

(10)

τ

− ),

τtr


+
)

(t2r − tr τ)

�,

),

(11)

(12)

= saat � [ , �] = .
dengan ̂ � = saat � [ , �] = berimplikasi ̂�
Penduga bagi tingkat kemiringan � telah dikaji pada Helmers dan Mangku (2009)
untuk tujuan yang berbeda. Penduga bagi fungsi intensitas global � merupakan
modifikasi dari �̂� pada Mangku (2005) dan penduga bagi fungsi intensitas
sebagian �� � merupakan modifikasi dari �̂�,� � pada Mangku (2010).
Ide Penduga Modifikasi

Penduga �
Penduga � diperoleh dengan proses penjabaran sebagai berikut:
Misalkan Ln = ∑ =,τ .


�=� �

=� ∑

=� ∑

Karena


=
=
=



=



� �



,�

=





=



,�

=

Misalkan
� �

=



� �

,�

=



,�

=

,�



=

= � �∑

=

=
=

� �

� �



,�

=





� .



merupakan fungsi periodik, maka

,�





,�

=

,�





,�

=

,�
























+ �−

+ �−

+ �−


− �

�[� [

�[� [

�[� [

� �

+ �−

+ �−

=







� −�

� maka

� � −

− �, �] ]

− �, �] ]







+ �−
,�

� � −� �∑

� −

− �, �] ]





� �





� �





,� �

��








� �
,�



,�

+



=

,�

=






− �

+

��

.

��







,�

=



+ �−

� �



− �2

,�

=

=

=

=



+ �−

+ �−

� sehingga

� � .
� �

9

Karena � = ∑ =,� ≈ ln(��,� ) dan �[� [ � − �, ��] ] diganti dengan
padanan stokastiknya yaitu � [ � − �, ��] sehingga diperoleh
�̂� =

Penduga �� ��
Penduga ��
Misalkan � = ∑
��

=



=




��







=
Karena


=
=
=





,�

=

,�





=





=



=
=
=
=





��




=

,�









,�

=

=





=

=



=
=





,�

,�

��



=

��



��

��







� .





+ �−



+ �−

��

+ �−

��



+ �−

− �+��
− �

�[� [

− �,

,�

�[� [� [



− �,

=∑

�[� [

,�

=

� �

� −�

� maka

� � −

� −

− �+�� ] ]
− �+�� ] ]

− �,



















�[� [

− �,

− �+�� ] ]

,�

�[� [

− �,

− �+�� ] ]







,�







−�

=





,�

=



,�

=

=







,�



− ).
)

��

��

+ �−

+ �−

��

,�



=



� −

,� ���

� �

� sehingga

� � .
� �



��� − ��� +��2 )

,�



+ �−



− �+��
− �

(

=

,� ���





=

,�





,�



=



+ �−





− �+�� ] ] ]

− �+�� ] ]





, maka

− �,



� � −

,�

=

− �̂� ( �( ,�

=

=

�[� [

=

− �, �]

diperoleh dengan proses penjabaran sebagai berikut:





,�

=

,�

=





,�



Karena


,�



� [

,�

Misalkan y = + � −


,�

=

merupakan fungsi periodik, maka

,�





,� )�

�(















+




=

�(��2 − ��� )

+

,�

(��2 − �� �)



− �



,�

=



(��2 − ��� )

(��2 − ��� )

.

.

10

Karena � = ∑ =,� ≈ ln(��,� ) dan �[� [ � − �, � − �+ � ] ] diganti
dengan padanan stokastiknya yaitu � [ � − �, � − �+ � ] sehingga
diperoleh
(� 2 − � �)
��
N [ − τ, − τ+tr ]
− �̂� ( n(,� �) + � � ).
�̂�,� � = n( ) ∑ =,τ


,�

BEBERAPA LEMA TEKNIS
Bagian ini memuat beberapa Lema teknis yang digunakan dalam penentuan
pendekatan bias dan ragam asimtotik penduga.
Lema 1: Misalkan fungsi intensitas
lokal, maka
�[�̂� ] = � +

memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
�� − ���
�(��,� )

+

�(��,� )

untuk � → ∞, dengan � = .
… adalah konstanta Euler. Dengan kata lain �̂�
merupakan penduga yang takbias asimtotik bagi �.
Bukti:
�[�̂� ]

=�[
=

,� )�

�(
,� )�

�(





,�

=

,�

=

� [

�[� [

− �, �]
− �, �] ]

Perhatikan bahwa
�[�[ � −

=∫

=∫

=∫


− �


− �






= �� +





− ( �(

,� �

,� )

,� �

,� )





− )]

− ) �[�̂� ].

(13)

�, ��]]


− � �

=� ∫


− �̂� ( �(

+�

� +∫



2





− �

� +� |
�2

.





− �

(14)

Berdasarkan persamaan (14) maka bagian pertama ruas kanan persamaan (13)
menjadi
�(

,� )�



,�

=

�� +



− �2

11

=

,� )�

�(

,�



�� −

=

��2

Berdasarkan Lema L.1 maka
�(

=

,� )�

�(

=�−



,� )�

��

+

,�

��2

=

�� −



���
,� �+��− 2

�� −

��2

+

�(

�(

,� )�

,� )�

+ (

�(

,� )

,�





�(��,� ) + � +

,� )

�(

+

=
,�

�� .

��

=



+

),

,� �

,� )

�(

(15)

untuk � → ∞. Substitusi persamaan (15) dan Lema L.2 pada persamaan (13)
sehingga diperoleh
�(

,� )�

=�−

=�−



��

��

+

+

,�

=

�[� [



���
,� �+��− 2



���
,� �+��− 2

��−���

=�+

− �, �] ]

,� )

�(

�(

,� )

�(

,� )

+ (

�(

− ( �( ,�

+ (


,� )



�(

�(

,� �

,� )

),

,� )



,�



− ) �[�̂� ]
)

) − ( �( ,�

−�

,� ��

,� )

�(



,� )

+



− ) (� +

��



+ + (






+
,� )

�(

)

�2

)

untuk � → ∞. Bukti lengkap.

Lema 2: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal, maka
�� 2 +�( ��−�� 2 )

�� [�̂� ] =
+
+ (
2)
2
�(

,� )

�( �(

( �(

,� ))

,� ))

untuk � → ∞, dengan � = .
… adalah konstanta Euler.
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2.

Lema 3: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal, maka
��� � + �� � − � �
+
�[�̂�,� � ] = �� � +
�(��,� )
�(��,� )

untuk � → ∞,dengan � = .
… adalah konstanta Euler. Dengan kata lain
̂
��,� � merupakan penduga yang takbias asimtotik bagi �� � .
Bukti:
�[�̂�,�

=�[

=

�(

�(
,� )



]

,� )





,�

=

,�

=

� [

�[� [

Perhatikan bahwa

− �,
− �,

− �+�� ]
− �+�� ] ]

− �̂� ( �(,�

−(

,� ���

�(

,�

���
,�

+
)

+
)

(��2 − �� �)

(��2 − �� �)

)]

) �[�̂� ].

(16)

12

�[� [ � −

=∫

− �+��
− �

=∫

− �+��
− �

− �+��
− �

=∫


=∫

��

= ��







− �+��
− �

periodik maka

− �+��
− �

� +�∫



� +�

− �

��2 − ���

� .


− �+��

2

� +� |

+ ���



+� �

� +�∫



Karena


− �+��
− �

�+ � ] ]

�, � −

.

(17)

Berdasarkan persamaan (17) maka bagian pertama ruas kanan persamaan (16)
menjadi
�[� [ − �, − �+�� ] ]
∑ =,�
,� )

�(

=
=

�(

,� )

�(

,� )

,�



��

=

,�



��

=

+ ���



+�





+�

��2 − ���

Berdasarkan Lema L.1 maka
,� )

�(

=

�(

= ��

,�



,� )



��

=

��

+�



+�



��2 − ���

+�

��2 − ���

��2 − ���

+



�(

,� ���
,� )

��2 − ���

+

+

,� )

�(

,� )

�(



�(��,� ) + � +

+

=
,�

=

�2 −2���
�� �� �+�� �
2
,� )

�(

,�



�� � .

��



+

+ (



�(

�(

,� ���
,� )

,� )

),

(18)

untuk � → ∞. Substitusi persamaan (18) dan Lema L.2 pada persamaan (16)
sehingga diperoleh
�(

= ��

,� )





(��2 − �� �)

= ��



= ��



,�

=

+�



,� )



+

+ � ( �(,�


−�

+

�(

− �+�� ] ]

− �,

��2 − ���

) (� +

��(��2 − ��� )
�(

�[� [

+



�(

���
,�

+
)

,� ���
,�


)

�2

,� ���
,� )

)

(��2 − �� �)


,� )

untuk � → ∞. Bukti lengkap.

���
,�
2

+
)

(��2 − �� �)

� −2���
�� �� �+�� �

) − � ( �(,�
+ (

+ ( �(

2

,� )

�(

�(��2 − �� �)

��� �� +��(��2 − ��� )
�(

+

− ( �(,�

�(

,� )

���
,�

+
)

,� )

),

)

+ (

) �[�̂� ]

�(

(��2 − �� �)

,� )

) − ( �(,�

)+

��� ��
�(

,� )

���

+

,� )

+

13

Lema 4: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal, maka
� 2 �� �� +�� 2 (��2 − ��� )+ ���� �
����
�� [�̂�,� � ] =
+
+ (
2)
2
�(

,� )

( �(

( �(

,� ))

untuk � → ∞, dengan � = .
… adalah konstanta Euler.
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2.

,� ))

Lema 5: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal, maka
���−�2 ��
+ (
)
�(�̂� �̂� ) = �� +
�(

,� )

,� )

�(

untuk � → ∞, dengan � = .
… adalah konstanta Euler.
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2.

Lema 6: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal, maka
�(�̂�,�



�̂� ) = ���

��� �� �+�2 �(��2 − ��� )

+



�(

+ (

,� )

untuk � → ∞, dengan � = .
… adalah konstanta Euler.
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2.

,� )

�(

)

Lema 7: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal, maka
� �̂� �̂�,�

= ���





+

��� �� +��(��2 − ��� ) + ����

��−��� +�

�� ��

untuk � → ∞, dengan � = .
Bukti:
Misalkan:

�̂�,� � � =
Perhatikan bahwa:

�(

,� )

�(

,� )

… adalah konstanta Euler.

,�

=

� [

− �+�� , �]

�̂� = (�̂�,�

Berdasarkan Lampiran 3, diperoleh:
� �̂�,� � � , �̂�,�
untuk � → ∞. Sehingga diperoleh
� �̂� �̂�,�

=

=



� �̂� , �̂�,�
� ( (�̂�,�





+ �(�̂� )� �̂�,�

+ �̂�,�



+ (



), �̂�,�







− �̂� (

+ �̂�,�

= �(


( n(



,� �

�(

).
,τ ))

2

�−��
,� )

),

) + �(�̂� )� �̂�,�

�(



,� )

)

�−�� 2

).

(19)



14

=

� �̂�,�



�̂�,�

= ��


, �̂�,�



+







+

� �̂�,�



� �̂�,�





, �̂�,�






, �̂�,�

+ �(�̂� )� �̂�,�



+ �(�̂� )� �̂�,�



.



(20)

Berdasarkan Lema 1, Lema 3, dan Lema 4 serta persamaan (19) maka persamaan
(20) menjadi


=

�̂�,�

��


�+

����

�(

,�



+
)

+

= ���

,�

+



� �̂�,�





, �̂�,�

� 2 �� �� +�� 2 (��2 − ��� )+

��−���
�(



+ (
)
�� ��

( �(

�(

,�

)
)

,� ))

��−��� +�

untuk � → ∞. Bukti lengkap.

2

��

���� �

+



+ �(�̂� )� �̂�,�



+ (

( �(

,� ))

) +

��� �� +��(��2 − ��� )
�(

,� )

��� �� +��(��2 − ��� ) + ����
�(

2

,� )

+ (

+ (

�(



(

( �(

�(
,� )

,� )

),

)

,� ))

2

)+

Lema 8: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal. Jika kondisi (2) dan (7) dipenuhi, maka dengan peluang 1,
N [ , n] → ∞
(21)
untuk � → ∞.
Bukti:
�[� [ , �] ]

=∫



=∫





= �� +



��2

+�

+


,

(22)

untuk � → ∞. Kemudian, berdasarkan Teorema L.2 (Lema Borel-Cantelli),
diperoleh (21). Bukti lengkap.
Berdasarkan Lema 1 dan 2, diperoleh Akibat berikut
Akibat 1: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan
terintegralkan lokal, maka
� (�̂� )

untuk � → ∞, dengan � = .

= � +

�+ �2 �−����
�(

,� )

+ (

�(

… adalah konstanta Euler.

,� )

)

Berdasarkan Lema 3 dan 4, diperoleh Akibat berikut
Akibat 2: Misalkan fungsi intensitas
memenuhi persamaan (1) dan
terintegralkan lokal, maka
� ( �̂�,�



) = (��



untuk � → ∞, dengan � = .

) +

2

���� + �(�� �� ) +���� �� (��2 − ��� )
�(

,� )

… adalah konstanta Euler.

+ ( �(

,� )

)

15

Berdasarkan Lema L.2 dan Lema L.3 diperoleh Akibat berikut
Akibat 3: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan
terintegralkan lokal, maka
=� +

� �̂�

untuk � → ∞.

��
+


( )


PENDEKATAN ASIMTOTIK BIAS DAN RAGAM PENDUGA
Pendekatan asimtotik bias dan ragam penduga disajikan ke dalam dua
teorema, yakni Teorema 1 tentang bias asimtotik penduga dan Teorema 2 tentang
ragam asimtotik penduga.
Teorema 1 (Bias Asimtotik Penduga):
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (3), maka
� ��−��� + ��� �� +��(��2 − ��� )
�� [ ̂� ] = �,�
+ (
)
(23)
)
)
�(
�[ ̂�

]

= � [�[ ̂�

= �[ ̂�

|� [ , �] =

|� [ , �] =

∑∞= �[ ̂�

maka ̂�

= ��,� ��̂� + �̂�,�

Sehingga diperoleh untuk
�[ ̂�

]

= ∑∞= � ��,� ��̂� + �̂�,�
= ∑∞ =

=

+ �̂�






��,� ��(�̂� ) + � �̂�,�

+

� [ , �] =

]

�2

+ �̂�


,�

� [ , �] =

]

� [ , �] =

]

|� [ , �] =

Untuk � [ , �] =
̂�

… adalah konstanta Euler.

|� [ , �] ]]

= ∑∞= �[ ̂�

�(

,�

untuk � → ∞, dengan � = .
Bukti:
Perhatikan

�2

.

. Sedangkan � [ , �] ≥
� [ ,�]



+ � �̂�

[
∑�
�=

∑�=

�2



Berdasarkan Lema 1, Lema 3, Lema L.2, diperoleh

,�]



�.

∑�=

� [ , �] =


� [ , �] =

.

16

∑∞ =
(

�(

��,� � � +

= ∑∞ =

,�

) + (� +
)

(



+

)

�2



+

�(

�2

�� 2

,� )

+



,� )

�(

�� 2

∑∞ =

,� )

�(

� [ , �] =

)

( −

)+

+ (

�,� �

,� )

�(

)

��� �� +��(��2 − ��� )

+

�(

)

� [ , �] =

∑∞ =

� [ , �] =

+

��−��� + ��� �� +��(��2 − ��� )
,� )

�(

)

,� )

+ (

�(

untuk � → ∞. Dengan perhitungan sederhana, diperoleh
� � = �[� , � ] = �� +

untuk � → ∞. Sehingga diperoleh
+

+

=
( −

=

�,� �

− ��+

+

��−��� + ��� �� +��(��2 − ��� )

�,� �

,� )

�(

)

��−��� + ��� �� +��(��2 − ��� )
�(

,� )

+ (

] = �[ ̂�
=

=

�,� �

+

]−
�,� �

�(

,� )

��−��� + ��� �� +��(��2 − ��� )

untuk � → ∞. Bukti lengkap.

�(

,� )

,� )

,� )

,� )

+ (

)

,� )

�(

)

+

( −

−� �

( −

)

−� �

),

��−��� + ��� �� +��(��2 − ��� )
�(

+

).

+

�(

+ (

untuk � → ∞. Dengan persamaan (24) diperoleh
�� [ ̂�

��2

+ (

��−��� + ��� �� +��(��2 − ��� )

� 2
+
2

�,� �

,� )

�(

,� )

+

,� )

�(

� [ , �] =

+ (

� [ , �] =
�(



� [ , �] =

��−��� + ��� �� +��(��2 − ��� )

�,� �

+

=

,�

) + ��
)

� [ , �] =

��−��� + ��� �� +��(��2 − ��� )

( −
�(



,�

+ (
)

��−��� + ��� �� +��(��2 − ��� )

�,� �

= ��,� �� + ��
=

�(

��,� �� + ��

∑∞ =
�,� �

��−���

(24)

+ (

�(

)

,� )

)

�(

,� )

)−

17

Teorema 2 (Ragam Asimtotik Penduga)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika
memenuhi persamaan (3), maka
�� [ ̂�
����



���



��,� �

]=


�(

2

− �



���−�2 ��

+ ��

,� )

((��,� �) � + � � − ���� + (��

) + ��,� �

��� �� �+�2 �(��2 − ��� )

+

− �





)+ (

�(

,� )



),

+ �(��



) +

��� �� +��(��2 − ��� ) + ���

��−��� +�

�� ��



� �

+

��,� � �� − ��� +

(25)

untuk � → ∞.
Bukti:
Berdasarkan sifat dari ragam, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan
dapat diperoleh dari rumusan berikut:
(26)
] − (�[ ̂� ]) .
�� [ ̂� ] = � [ ̂�
Bagian kedua dari ruas kanan persamaan (26) telah diperoleh pada persamaan
(24), sehingga diperoleh tersisa bagian pertamanya yang perlu dihitung. Momen
kedua dari penduga bagi fungsi nilai harapan dapat ditentukan melalui nilai
harapan bersyarat berikut:
� [ ̂�

= � [� [ ̂�

]

= ∑∞ = � [ ̂ �

= [ ̂�

|� [ , �] ]]

|� [ , �] =

∑∞ = � [ ̂ �

Untuk � [ , �] =
̂�

|� [ , �] =
]

|� [ , �] =

Sehingga diperoleh untuk





.

Pertama, dihitung
� [(��,� ��̂� + �̂�,�



+ �̂� ) ]

.

. Sedangkan untuk � [ , �] ≥

=

+ �̂�

+

� [ , �] =

]

�2

� [( ̂� ) ] = ∑∞= � [ ��,� ��̂� + �̂�,�
� [ , �] =

� [ , �] =

� [ , �] =

maka ̂�

= ��,� ��̂� + �̂�,�

]

� [ ,�]



+ �̂�

[
∑�
�=

�2

,�]

]�

�.

∑�=

(27)


18

= (��,� �) � (�̂� )

��,� � �(�̂� �̂� ) +

+ � ( �̂�,�
�(�̂�,�



+ � ( �̂�,�





�̂� )



)+

+ ��,� �� �̂� �̂�,�

� �̂�

+



Berdasarkan Akibat 1 – Akibat 3 dan Lema 5 – Lema 7 maka diperoleh
(��,� �) � (�̂� )

��,� � �(�̂� �̂� ) +

= (��,� �)

� +
2

�(�̂�,�

�+ � 2 �−����
,� )

�(



��,� � (���

��,� �



�� +

+

���−�2 ��
,� )

��� �� �+�2 �(��2 − ��� )
�(

,� )

= (��,� �) � + (��
,� )

�(



= ��,� �� + ��

(��



��,� �



+ �(��



+
+�

�2

��−��� +�

�� ��

2

∑�=

�[ ∑�=





]

+

,� )

) + (��
) +
)

�(

,�

�(

,� )

]



) +

(���

+ ��,� ����







��

(� +





+





+ (

)+ (

)+

�(

,� )

��

�(

+

,� )

+



�2

) + ����

��� �� +��(��2 − ��� ) + ���

,� )

+

+ ��,� � �� +

+ �(��



)) +



�+





)

((��,� �) � + � � − ���� +

− �



)+

��� �� +��(��2 − ��� ) + ���

)+ (

) +



��� �� +��(��2 − ��� ) + ���

))

�(

+ ��,� �� �̂� �̂�,�

� �̂�

��� �� �+�2 �(��2 − ��� )

) + ����

untuk � → ∞.
Kedua, dihitung

=



,� )

��−��� +�

��� �� �+�2 �(��2 − ��� )

�[

,� )

�(

�(

) +�

�� ��

���−�2 ��

��,� �

+ (



((��,� �) � + � � − ���� + (��

) + ��,� �



+ (

+ (



�(

��−��� +�

�� ��

�(

�̂� )

+ (

���� + �(�� �� ) +���� �� (��2 − ��� )
�( ,� )

)+

�(

,� )

),

+ ��,� �

���−�2 ��

+

(28)

19

=

2

=

2

=

2

=

�[∑�=

(∑�= �(
�(

+

=

+�

�2







+ ∑�= ∑

) + ∑�= ∑

)+
+

.





= , ≠�



= , ≠� �





]



�( )

�( ))

(29)


Berdasarkan persamaan (28), dan persamaan (29) maka untuk
(27) menjadi
� [ ��,� ��̂� + �̂�,�
��,� �� + ��

=
(��



��,� �

+ �(��
�� ��






+ �̂�

+�

�2

) + ����

��,� �� + ��

(��



��,� �

+ �(��
�� ��




+�

,� )





��,� �

+

,� )

�(




)

) + ����





+

�(



2

,� )

− �

)+

���−�2 ��

untuk � → ∞.
Jadi diperoleh

+

��−��� +�

���−�2 ��

+ ��,� �

�2

+

((��,� �) � + � � − ���� +


)+

��,� �� + ��

((��,� �) � + � � − ���� + (��

) + ��,� �

)+

��� �� +��(��2 − ��� ) + ���

��−��� +�

�� ��



((��,� �) � + � � − ���� +

− �

+

�2

��� �� �+�2 �(��2 − ��� )

�(

∑�=

]�

��� �� +��(��2 − ��� ) + ���

��−��� +�

��� �� �+�2 �(��2 − ��� )

=

�2

persamaan





+ ��,� �

+�

�2

+ �(��



)

�2

+

) + ����

��� �� +��(��2 − ��� ) + ���

��� �� �+�2 �(��2 −