Kekonsistenan Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik Dengan Tren Linear

KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON

PERIODIK DENGAN TREN LINEAR

Oleh:

LIA NURLIANA

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2005

‘’ Karya ilmiah ini ku persembahkan untuk : Mamah, Aa, Kakak-kakak ku tersayang dan

semua orang yang kusayangi ‘’

RINGKASAN

LIA NURLIANA_{. Kekonsistenan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear.}

Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU _dan RETNO BUDIARTI_.

Banyak fenomena nyata dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Sehingga proses stokastik mempunyai peranan cukup penting dalam memodelkan fenomena di berbagai bidang kehidupan kita sehari-hari. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik adalah proses Poisson periodik dengan suatu tren. Sebagai contoh, banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan raya dapat dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan periode satu hari. Namun, kalau misalkan banyaknya kendaraan yang melewati ruas jalan tersebut mempunyai kecenderungan meningkat secara linear terhadap waktu, maka model yang lebih cocok adalah proses Poisson periodik dengan tren linear. Dengan demikian model fungsi intensitas untuk kasus ini terdiri atas komponen periodik dan komponen tren linear.

Pada tulisan ini dibahas pendugaan fungsi intensitas dari proses Poisson periodik dengan tren linear yang diamati pada interval

[

0,n

)

.

Diasumsikan bahwa periode dari komponen periodik diketahui, tetapi kemiringan dari tren linear dan komponen periodik dari fungsi intensitasnya tidak diketahui. Pada kajian ini dipelajari perumusan penduga dari kemiringan tren linear dan penduga dari komponen periodik fungsi intensitas yang bersangkutan. Disamping itu juga dikaji: kekonsistenan lemah dan kuat serta sebaran normal asimtotik dari penduga kemiringan tren linear, dan kekonvergenan dalam peluang dan kekonvergenan dalam rataan ke-2 dari penduga komponan periodik dari fungsi intensitas proses Poisson yang dikaji.

KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON

PERIODIK DENGAN TREN LINEAR

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Oleh:

LIA NURLIANA

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2005

Judul : Kekonsistenan Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear. Nama : Lia Nurliana

NRP : G54102005

Menyetujui,

Pembimbing I Pembimbing II

Dr. Ir. I. Wayan Mangku, Msc Ir. Retno Budiarti, MS

NIP. 131 633 020 NIP. 131 842 409

Mengetahui,

Dekan FMIPA

Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS NIP. 131 473 999

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Cianjur 7 September 1983 sebagai anak ketujuh dari tujuh bersaudara, anak dari pasangan Maman Abdurahman dan Niah Mariah.

Tahun 2002 penulis lulus dari SMUN I Cianjur dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswa Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI. Tahun 2003-2004 menjabat sebagai Ketua Keputrian Gugus Mahasiswa Matematika Departemen Matematika Institut Pertanian Bogor. Penulis juga pernah menjadi Asisten Dosen untuk matakuliah Kalkulus 1, Kalkulus 2, dan Persamaan Diferensial Biasa.

PRAKATA

_{Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT karena hanya dengan izin dan rahmat –} Nya lah penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul “Kekonsistenan Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear ”.

Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : 1. Bapak Dr. Ir. I. Wayan Mangku, Msc. sebagai pembimbing I atas kesabaran, koreksi, dan

bimbingannya selama ini.

2. Ibu Ir. Retno Budiarti, MS. sebagai pembimbing II atas kesabaran, koreksi, dan bimbingannya.

3. Bapak Drs. Siswandi, MS. sebagai moderator seminar dan dosen penguji.

4. Mamah dan Aa untuk doa dan dukungannya, serta kesabaran dan kasih sayangnya selama ini.

5. Kakak-kakak ku tersayang (Teh Ai, Teh Elis, Teh Ois, Kang Yayan, Teh Nunung, dan Teh Yuyun), terima kasih atas dukungan, doa dan kasih sayangnya selama ini. “Alhamdulillah adik kalian yang bungsu ini bisa lulus juga”.

6. Keponakan-keponakan dan cucu ku yang lucu-lucu, terima kasih atas doanya selama ini pada Bi Iya.

7. Kak Imron Amirullah untuk kasih sayang, kesabaran, dan doanya selama ini. “Alhamdulillsh Ade bisa menyelesaikan skripsi ini dengan lancar dan cepat, terima kasih juga telah menemani saat sidang”.

8. Kakak-kakak ipar, Bibi, Ua, Amang, dan saudara-saudara ku terima kasih atas doa dan dukungannya.

9. Andri, Aden, dan Erra yang telah bersedia menjadi pembahas dalam seminar.

10. Teman sebimbingan Nur dan Lutfi untuk persahabatan, doa, dan bantuannya.”Lutfi, tetap semangat. Kamu pasti bisa”.

11. Azhari, Erra, Lutfi, Moza, Nur (terima kasih sudah menemani saat sidang dan membantu jadi seksi konsumsi), Neli dan Elis untuk persahabatan, doa, serta bantuannya.

12. Sahabat-sahabat ku: Miranti, Innike atas doa, kasih sayang, dukungan, dan dorongannya selama ini.

13. Warga Balsem: Nyimas, Mbak Tanti, Mbak Ari, Dewi Titi, Ainy, Ela, Wicha, Zakiah, Yolanda, Sarry, Ani, Teh Lili, Teh Atin, Harni, Tati, Renti, Achi, Enny, Desy, Mbak Umi, Mbak Iib, Mbak Tutut atas doa dan dukungannya selama ini.

14. Warga Griya Amani di Baranangsiang.

15. Riswan dan teman-teman di kosan Kc Math terima kasih atas pinjaman komputernya.”Yana, tetap semangat dalam mengerjakan skripsi”.

16. Teman–teman math 39, ”Kalian telah membuat suatu kenangan yang indah bagi Iya”. 17. Seluruh pegawai Departemen Matematika ( Bu Ade, Mas Bono, Mas Yono, Bu Susi,

Mas Deni ... ) dan FMIPA .

18. Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi semua pihak yang mempunyai ketertarikan yang sama pada materi ini. Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini masih jauh dari kesempurnaan oleh karena itu kritik dan saran sangat penulis harapkan.

Bogor, Oktober 2005

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR LAMPIRAN ...vi

PENDAHULUAN Latar Belakang ... 1

Tujuan . ...1

LANDASAN TEORI Kejadian dan Peluang . ...1

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran . ...2

Kekonvergenan ...2

Momen dan Nilai Harapan ...3

Penduga Tak-bias dan Penduga Konsisten...4

Beberapa Definisi dan Lema Teknis ...4

Proses Stokastik dan Proses Poisson ...6

HASIL DAN PEMBAHASAN Perumusan Penduga ...7

Kekonvergenan dari Penduga Kemiringan Tren Linear...8

Kekonsistenan dari Penduga Komponen Periodik ...11

SIMPULAN ...15

DAFTAR PUSTAKA ...16

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Bukti Lema 2 ………... . . .. .. . . 17

Bukti Lema 3 ……….... . . .. . . . .17

Bukti Lema 4 Ketaksamaan Markov………18

Bukti Lema 5 Ketaksamaan Chebyshev………...…18

Bukti Lema 6 Ketaksamaan Cauchy-Schwarz……….19

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Tulisan ini mengkaji kekonsistenan penduga kernel dari fungsi intensitas pada proses Poisson periodik dengan tren linear. Ini merupakan rekonstruksi dari paper: Helmers dan Mangku (2005). Banyak fenomena nyata dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Proses stokastik mempunyai peranan cukup penting dalam berbagai bidang pada kehidupan kita sehari-hari. Sebagai contoh dalam bidang transportasi: banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan raya pada suatu selang waktu tertentu hanya bisa diamati sekali. Beberapa kendala tersebut memaksa kita untuk mengkaji pemodelan stokastik tentang fungsi intensitas dari sebuah proses Poisson dengan hanya menggunakan sebuah realisasi dari proses tersebut.

Fungsi intensitas λ diasumsikan terintegralkan lokal, yaitu nilai integral dari fungsi tersebut pada sebarang interval dengan panjang terhingga adalah bernilai terhingga. Ini berakibat bahwa nilai harapan dari banyaknya data pengamatan pada sebarang interval dengan panjang terhingga adalah bernilai terhingga. Untuk menyusun suatu penduga yang konsisten, diperlukan data yang banyaknya menuju tak hingga. Agar data pengamatan di berbagai bagian selang waktu yang berbeda bisa digunakan untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik s, maka diperlukan asumsi bahwa fungsi intensitas tersebut adalah periodik (siklik). Pada kajian

ini , kita anggap periode dari fungsi intensitas λ diketahui, yaitu τ.

Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik adalah proses Poisson periodik dengan suatu tren linear. Sebagai contoh, banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan raya dapat dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan periode satu hari. Namun, kalau misalnya banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan tersebut mempunyai kecenderungan meningkat secara linear terhadap waktu, maka model yang lebih cocok adalah proses Poisson periodik dengan tren linear. Dengan demikian model fungsi intensitas untuk kasus ini dapat diformulasikan sebagai berikut

( )

s =λc

( )

s +as

λ

dengan λ_c

( )

s adalah suatu fungsi periodik, dan

a

dalah komponen tren linear dengan menyatakan kemiringan dari tren tersebut. Sehingga permasalahan di atas dapat dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan tren linear.

as

a

Tujuan

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah untuk:

(i) Mempelajari penyusunan penduga kernel pada proses Poisson periodik dengan tren linear.

(ii)

Mempelajari pembuktian

kekonsistenan dan beberapa jenis kekonvergenan dari penduga dan penduga kernel bagi

a

( )

s c

λ .

LANDASAN TEORI

Kejadian dan Peluang

Definisi 1 (Ruang Contoh dan Kejadian)

Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak bisa diprediksi secara tepat tapi kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak. Himpunan semua hasil yang mungkin dari percobaan acak disebut ruang contoh dan dinotasikan dengan . Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari ruang contoh.

Ω

[Ross, 1996]

Definisi 2 (σ−field)

Suatu himpunan

F

yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari Ω disebut dengan

−

σ field jika memenuhi kondisi (i) φ∈F.

(ii) JikaA₁,A₂,...∈F maka

U

F;

∞ =

∈

1

i i A

(iii) Jika A∈F maka Ac∈F.

[Grimmett dan Stirzaker,1992] σ - field terkecil yang mengandung semua selang berbentuk

(

−∞,r

]

,

r

∈

R , disebut medan Borel, dan dinotasikan B

(

F

)

; dan

anggota dari medan Borel disebut himpunan Borel.

KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON

PERIODIK DENGAN TREN LINEAR

Oleh:

LIA NURLIANA

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2005

‘’ Karya ilmiah ini ku persembahkan untuk : Mamah, Aa, Kakak-kakak ku tersayang dan

semua orang yang kusayangi ‘’

RINGKASAN

LIA NURLIANA_{. Kekonsistenan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear.}

Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU _dan RETNO BUDIARTI_.

Banyak fenomena nyata dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Sehingga proses stokastik mempunyai peranan cukup penting dalam memodelkan fenomena di berbagai bidang kehidupan kita sehari-hari. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik adalah proses Poisson periodik dengan suatu tren. Sebagai contoh, banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan raya dapat dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan periode satu hari. Namun, kalau misalkan banyaknya kendaraan yang melewati ruas jalan tersebut mempunyai kecenderungan meningkat secara linear terhadap waktu, maka model yang lebih cocok adalah proses Poisson periodik dengan tren linear. Dengan demikian model fungsi intensitas untuk kasus ini terdiri atas komponen periodik dan komponen tren linear.

Pada tulisan ini dibahas pendugaan fungsi intensitas dari proses Poisson periodik dengan tren linear yang diamati pada interval

[

0,n

)

.

Diasumsikan bahwa periode dari komponen periodik diketahui, tetapi kemiringan dari tren linear dan komponen periodik dari fungsi intensitasnya tidak diketahui. Pada kajian ini dipelajari perumusan penduga dari kemiringan tren linear dan penduga dari komponen periodik fungsi intensitas yang bersangkutan. Disamping itu juga dikaji: kekonsistenan lemah dan kuat serta sebaran normal asimtotik dari penduga kemiringan tren linear, dan kekonvergenan dalam peluang dan kekonvergenan dalam rataan ke-2 dari penduga komponan periodik dari fungsi intensitas proses Poisson yang dikaji.

KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON

PERIODIK DENGAN TREN LINEAR

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Oleh:

LIA NURLIANA

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2005

Judul : Kekonsistenan Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear. Nama : Lia Nurliana

NRP : G54102005

Menyetujui,

Pembimbing I Pembimbing II

Dr. Ir. I. Wayan Mangku, Msc Ir. Retno Budiarti, MS

NIP. 131 633 020 NIP. 131 842 409

Mengetahui,

Dekan FMIPA

Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS NIP. 131 473 999

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Cianjur 7 September 1983 sebagai anak ketujuh dari tujuh bersaudara, anak dari pasangan Maman Abdurahman dan Niah Mariah.

Tahun 2002 penulis lulus dari SMUN I Cianjur dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswa Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI. Tahun 2003-2004 menjabat sebagai Ketua Keputrian Gugus Mahasiswa Matematika Departemen Matematika Institut Pertanian Bogor. Penulis juga pernah menjadi Asisten Dosen untuk matakuliah Kalkulus 1, Kalkulus 2, dan Persamaan Diferensial Biasa.

PRAKATA

_{Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT karena hanya dengan izin dan rahmat –} Nya lah penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul “Kekonsistenan Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear ”.

Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : 1. Bapak Dr. Ir. I. Wayan Mangku, Msc. sebagai pembimbing I atas kesabaran, koreksi, dan

bimbingannya selama ini.

2. Ibu Ir. Retno Budiarti, MS. sebagai pembimbing II atas kesabaran, koreksi, dan bimbingannya.

3. Bapak Drs. Siswandi, MS. sebagai moderator seminar dan dosen penguji.

4. Mamah dan Aa untuk doa dan dukungannya, serta kesabaran dan kasih sayangnya selama ini.

5. Kakak-kakak ku tersayang (Teh Ai, Teh Elis, Teh Ois, Kang Yayan, Teh Nunung, dan Teh Yuyun), terima kasih atas dukungan, doa dan kasih sayangnya selama ini. “Alhamdulillah adik kalian yang bungsu ini bisa lulus juga”.

6. Keponakan-keponakan dan cucu ku yang lucu-lucu, terima kasih atas doanya selama ini pada Bi Iya.

7. Kak Imron Amirullah untuk kasih sayang, kesabaran, dan doanya selama ini. “Alhamdulillsh Ade bisa menyelesaikan skripsi ini dengan lancar dan cepat, terima kasih juga telah menemani saat sidang”.

8. Kakak-kakak ipar, Bibi, Ua, Amang, dan saudara-saudara ku terima kasih atas doa dan dukungannya.

9. Andri, Aden, dan Erra yang telah bersedia menjadi pembahas dalam seminar.

10. Teman sebimbingan Nur dan Lutfi untuk persahabatan, doa, dan bantuannya.”Lutfi, tetap semangat. Kamu pasti bisa”.

11. Azhari, Erra, Lutfi, Moza, Nur (terima kasih sudah menemani saat sidang dan membantu jadi seksi konsumsi), Neli dan Elis untuk persahabatan, doa, serta bantuannya.

12. Sahabat-sahabat ku: Miranti, Innike atas doa, kasih sayang, dukungan, dan dorongannya selama ini.

13. Warga Balsem: Nyimas, Mbak Tanti, Mbak Ari, Dewi Titi, Ainy, Ela, Wicha, Zakiah, Yolanda, Sarry, Ani, Teh Lili, Teh Atin, Harni, Tati, Renti, Achi, Enny, Desy, Mbak Umi, Mbak Iib, Mbak Tutut atas doa dan dukungannya selama ini.

14. Warga Griya Amani di Baranangsiang.

15. Riswan dan teman-teman di kosan Kc Math terima kasih atas pinjaman komputernya.”Yana, tetap semangat dalam mengerjakan skripsi”.

16. Teman–teman math 39, ”Kalian telah membuat suatu kenangan yang indah bagi Iya”. 17. Seluruh pegawai Departemen Matematika ( Bu Ade, Mas Bono, Mas Yono, Bu Susi,

Mas Deni ... ) dan FMIPA .

18. Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi semua pihak yang mempunyai ketertarikan yang sama pada materi ini. Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini masih jauh dari kesempurnaan oleh karena itu kritik dan saran sangat penulis harapkan.

Bogor, Oktober 2005

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR LAMPIRAN ...vi

PENDAHULUAN Latar Belakang ... 1

Tujuan . ...1

LANDASAN TEORI Kejadian dan Peluang . ...1

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran . ...2

Kekonvergenan ...2

Momen dan Nilai Harapan ...3

Penduga Tak-bias dan Penduga Konsisten...4

Beberapa Definisi dan Lema Teknis ...4

Proses Stokastik dan Proses Poisson ...6

HASIL DAN PEMBAHASAN Perumusan Penduga ...7

Kekonvergenan dari Penduga Kemiringan Tren Linear...8

Kekonsistenan dari Penduga Komponen Periodik ...11

SIMPULAN ...15

DAFTAR PUSTAKA ...16

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Bukti Lema 2 ………... . . .. .. . . 17

Bukti Lema 3 ……….... . . .. . . . .17

Bukti Lema 4 Ketaksamaan Markov………18

Bukti Lema 5 Ketaksamaan Chebyshev………...…18

Bukti Lema 6 Ketaksamaan Cauchy-Schwarz……….19

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Tulisan ini mengkaji kekonsistenan penduga kernel dari fungsi intensitas pada proses Poisson periodik dengan tren linear. Ini merupakan rekonstruksi dari paper: Helmers dan Mangku (2005). Banyak fenomena nyata dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Proses stokastik mempunyai peranan cukup penting dalam berbagai bidang pada kehidupan kita sehari-hari. Sebagai contoh dalam bidang transportasi: banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan raya pada suatu selang waktu tertentu hanya bisa diamati sekali. Beberapa kendala tersebut memaksa kita untuk mengkaji pemodelan stokastik tentang fungsi intensitas dari sebuah proses Poisson dengan hanya menggunakan sebuah realisasi dari proses tersebut.

Fungsi intensitas λ diasumsikan terintegralkan lokal, yaitu nilai integral dari fungsi tersebut pada sebarang interval dengan panjang terhingga adalah bernilai terhingga. Ini berakibat bahwa nilai harapan dari banyaknya data pengamatan pada sebarang interval dengan panjang terhingga adalah bernilai terhingga. Untuk menyusun suatu penduga yang konsisten, diperlukan data yang banyaknya menuju tak hingga. Agar data pengamatan di berbagai bagian selang waktu yang berbeda bisa digunakan untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik s, maka diperlukan asumsi bahwa fungsi intensitas tersebut adalah periodik (siklik). Pada kajian

ini , kita anggap periode dari fungsi intensitas λ diketahui, yaitu τ.

Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik adalah proses Poisson periodik dengan suatu tren linear. Sebagai contoh, banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan raya dapat dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan periode satu hari. Namun, kalau misalnya banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan tersebut mempunyai kecenderungan meningkat secara linear terhadap waktu, maka model yang lebih cocok adalah proses Poisson periodik dengan tren linear. Dengan demikian model fungsi intensitas untuk kasus ini dapat diformulasikan sebagai berikut

( )

s =λc

( )

s +as

λ

dengan λ_c

( )

s adalah suatu fungsi periodik, dan

a

dalah komponen tren linear dengan menyatakan kemiringan dari tren tersebut. Sehingga permasalahan di atas dapat dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan tren linear.

as

a

Tujuan

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah untuk:

(i) Mempelajari penyusunan penduga kernel pada proses Poisson periodik dengan tren linear.

(ii)

Mempelajari pembuktian

kekonsistenan dan beberapa jenis kekonvergenan dari penduga dan penduga kernel bagi

a

( )

s c

λ .

LANDASAN TEORI

Kejadian dan Peluang

Definisi 1 (Ruang Contoh dan Kejadian)

Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak bisa diprediksi secara tepat tapi kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak. Himpunan semua hasil yang mungkin dari percobaan acak disebut ruang contoh dan dinotasikan dengan . Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari ruang contoh.

Ω

[Ross, 1996]

Definisi 2 (σ−field)

Suatu himpunan

F

yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari Ω disebut dengan

−

σ field jika memenuhi kondisi (i) φ∈F.

(ii) JikaA₁,A₂,...∈F maka

U

F;

∞ =

∈

1

i i A

(iii) Jika A∈F maka Ac∈F.

[Grimmett dan Stirzaker,1992] σ - field terkecil yang mengandung semua selang berbentuk

(

−∞,r

]

,

r

∈

R , disebut medan Borel, dan dinotasikan B

(

F

)

; dan

anggota dari medan Borel disebut himpunan Borel.

Definisi 3 (Ukuran Peluang)

Ukuran peluang pada (Ω, F ) adalah fungsi : F → [0,1] yang memenuhi:

Ρ

Ρ

(i)

Ρ

( )

φ

=

0

,

Ρ

( )

Ω

=

1

.

(ii) Jika adalah himpunan

disjoint yang merupakan anggota dari F , yaitu

... , , 2

1 A

A

φ

=

∩

_j

i

A

A

,

untuk setiap

i,

j

dengan

i

≠

j

,

maka

∑

( )

.

∞ = ∞

=

= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

1

1 i

i i

i A

A Ρ

Ρ

_U

[Grimmett dan Stirzaker,1992]

Tripel

(

Ω

,

F

, ) disebut dengan ruang peluang.

Ρ

Definisi 4 (Kejadian Saling Bebas)

Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika

(

A

B

) ( ) (

Ρ

A

Ρ

B

.

Ρ

∩

=

)

Secara umum, himpunan kejadian dikatakan saling bebas jika

{

A_i;i∈I

}

( )

.

∏

∈ ∈

= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

J i

i J

i

i A

A Ρ

Ρ

_I

untuk setiap himpunan bagian J dari I. [Grimmett dan Stirzaker,1992]

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran

Definisi 5 (Peubah Acak)

Peubah acak

X

adalah fungsi X:Ω→ R

dengan

{

ω∈Ω:X

( )

ω ≤x

}

∈ F untuk setiap ∈

x R.

[Grimmett dan Stirzaker,1992]

Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital seperti X,Ydan Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti

y

x, dan z. Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran, sebagaimana didefinisikan berikut ini.

Definisi 6 (Fungsi Sebaran)

Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X

adalah

F

X

:

R→

[ ]

0,1, yang didefinisikan oleh

( ) (

x X x

).

FX =Ρ ≤

[Grimmett dan Stirzaker,1992]

Definisi 7 (Peubah Acak Diskret)

Peubah acak Xdikatakan diskret jika semua himpunan nilai

{

x₁,x₂,...

}

merupakan himpunan tercacah.

[Grimmett dan Stirzaker,1992]

Untuk peubah acak diskret X fungsi kerapatan peluang didefinisikan pada definisi berikut.

Definisi 8 (Fungsi Kerapatan Peluang)

Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret

X

adalah fungsi R , dengan

:

X

p

→

[ ]

0,1

( ) (

x X x

).

pX =Ρ =

[Grimmett dan Stirzaker,1992]

Kekonvergenan

Definisi 9 (Kekonvergenan Barisan Bilangan Nyata)

Barisan

{ }

an disebut mempunyai limit dan

kita tuliskan

L

L an n

=

∞ →

lim atau an →L jika n→∞ apabila untuk setiap ε>0 terdapat sebuah bilangan M sedemikian rupa sehingga

jikan > M maka an −L <ε.

Jika an L

nlim→∞ = ada, kita katakan barisan

tersebut konvergen. Jika tidak, kita katakan barisan tersebut divergen.

[Stewart, 1999]

Lema 1 (Deret– p)

Deret

∑

∞ =1

1

n p

n

(disebut juga deret–p) konvergen jika p>1, dan divergen jika

1 ≤

p .

Bukti: Lihat Stewart (1999).

Definisi 10 (Konvergen dalam Peluang)

Misalkan adalah peubah acak dalam ruang peluang

(

Ω

,

F

, ). Kita katakan

konvergen dalam peluang ke

X X X1, 2,...

Ρ

n

X X jika

(

)

1

lim − < =

∞

→ Xn X ε

n Ρ

atau

(

)

0

lim − ≥ =

∞

→ Xn X ε

n Ρ

untuk setiap ε >0, dan ditulis

untuk .

X

X_n⎯⎯→P n→∞

[Serfling, 1980]

Definisi 11 (Konvergen dalam rataan ke –r) Misalkan adalah peubah acak dalam ruang peluang

(

Ω

,

F

, ). Kita katakan

konvergen dalam rataan ke-r ke peubah acak

X X X1, 2,...

Ρ

n X

X, dengan r≥1, ditulis , untuk , jika

X X_n ⎯⎯→r

∞ →

n

∞ <

Ε r

n X

untuk semua dan n

(

−

)

→0

Ε r

n X X

untuk n→∞.

[Grimmett dan Stirzaker,1992]

Definisi 12 (Konvergen Hampir Pasti)

Misalkan adalah peubah acak dalam ruang peluang

(

Ω

,

F

, ). Suatu barisan peubah acak dikatakan konvergen hampir pasti ke peubah acak

X X X₁, ₂,...

Ρ

,... , ₂

1 X

X

X, ditulisXn⎯a⎯→s X, untuk

. _→∞

n , jika

untuk setiap ε>0,

1

lim ⎟=

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _{− <}

Ρ

∞

→ Xn X ε

n .

Dengan kata lain, konvergen hampir pasti adalah konvergen dengan peluang satu.

[Grimmett dan Stirzaker,1992]

Definisi 13 (Konvergen Lengkap)

Misalkan adalah peubah acak dalam ruang peluang

(

Ω

,

F

, P). Suatu barisan peubah acak dikatakan konvergen lengkap ke peubah acak

X X X₁, ₂,...

,... , ₂

1 X

X

X, jika untuk setiap

0

>

ε berlaku

(

− >

)

<∞

Ρ

∑

∞

=1

n

n X

X ε .

[Grimmett dan Stirzaker,1992]

Definisi 14 (Konvergen dalam Sebaran)

Misalkan adalah peubah acak dalam ruang peluang

(

Ω

,

F

, P). Suatu barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam sebaran ke peubah acak

X X X₁, ₂,...

,... , 2

1 X

X

X, ditulis , jika

X Xn ⎯⎯→d

(

Xn ≤x

)

→Ρ

(

X ≤x

)

Ρ

untuk n→∞, untuk semua titik

x

dimana fungsi sebaran FX

( )

x adalah kontinu.

[Grimmett dan Stirzaker,1992]

Momen dan Nilai Harapan

Definisi 15 (Momen)

Jika X adalah peubah acak diskret, maka momen ke-mdari X didefinisikan sebagai

[ ]

=

_∑

( )

Ε

i

i X m i m

x p x

X ,

dimana diperoleh dari fungsi kerapatan peluang

i

x

( )

xi pX

( )

xi

p = , untuk

jika jumlahnya konvergen. Jika jumlahnya divergen, maka momen ke-m dari peubah acak

,... 2 , 1 =

i

Xdikatakan tidak ada.

[Taylor dan Karlin, 1984]

Momen pertama dari peubah acak X, yaitu jika m = 1 disebut sebagai nilai harapan dari

Xdan dinotasikan dengan Ε

[ ]

X atau µ.

Definisi 16 (Momen Pusat)

Momen pusat ke-m dari peubah acak

Xdidefinisikan sebagai momen ke-m dari peubah acak

(

X −Ε

[ ]

X

).

[Taylor dan Karlin, 1984]

Momen pusat pertama adalah nol. Ragam dari peubah acak

X

adalah momen pusat kedua dari peubah acak tersebut dan dinotasikan sebagai Var

( )

X atau

σ

2X . Jadi

( )

X

[

(

X

[ ]

X

)

2

]

.

Var =Ε −Ε

Lema 2

Jika X adalah peubah acak diskret dengan ragam yang berhingga, maka untuk sebarang konstanta dan c d, berlaku

(

cX d

)

c Var

(

X

Var + = 2

)

.

[Casela dan Berger, 1990]

Bukti: Lihat Lampiran 1.

Definisi 17 (Covarian)

Misalkan X dan Yadalah peubah acak diskret, dan misalkan pula µX dan µY

masing- masing menyatakan nilai harapan dari

X

dan

Y

. Covarian dari XdanY didefinisikan sebagai

(

X,Y

)

(

(

X X

)(

Y Y

)

).

Cov =Ε −µ −µ

[Casela dan Berger, 1990]

Lema 3

Misalkan X dan Yadalah peubah acak diskret, dan misalkan pula dan adalah dua buah konstanta sebarang, maka

c d

(

cX dY

)

c Var

( )

X d Var

( )

Y

Var + = 2 + 2

.

(

X Y

)

cdCov , 2

+

Jika X dan Yadalah peubah acak saling bebas, maka

(

cX dY

)

c2Var

( )

X d2Var

( )

Y .

Var + = +

[Casela dan Berger, 1990]

Bukti: Lihat Lampiran 2.

Penduga Tak- bias dan Penduga Konsisten

Definisi 18 (Statistik)

Statistik merupakan suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada parameter (yang tidak diketahui).

[Hogg dan Craig, 1995]

Definisi 19 (Penduga)

Misalkan adalah contoh acak. Suatu statistik

n X X X1, 2,...

(

X X Xn

)

U

U= ₁, ₂,..., =U

( )

X

yang digunakan untuk menduga fungsi parameter g

( )

θ , dikatakan sebagai penduga bagi g

( )

θ . Nilai amatan

dari dengan nilai amatan

(

X1,X2,...,X2

U

)

U X₁=x₁,X₂ =

, disebut sebagai dugaan bagi

n n x X x₂,..., =

( )

θ

g .

[Hogg dan Craig, 1995]

Definisi 20 (Penduga Tak-bias)

( )

X

U disebut penduga tak bias bagi g

( )

θ , bila Ε

[

U

( )

X

]

=g

( )

θ .

Bila Ε

[

U

( )

X

]

−g

( ) ( )

θ =bθ , maka b

( )

θ

disebut bias dari penduga. Bila

[

U

( )

X

]

g

( )

θ

nlim→∞Ε = maka U

( )

X disebut

sebagai penduga tak bias asimtotik.

[Hogg dan Craig, 1995]

Definisi 21 (Penduga Konsisten)

(i) Suatu statistik

yang konvergen dalam peluang ke parameter

(

X X Xn U ₁, ₂,...,

)

( )

θ

g , yaitu U

(

X1,X2,...,Xn

)

⎯→ ⎯P

( )

_θ

g , untuk , disebut

penduga konsisten bagi ∞ →

n

( )

θ

g .

(ii) Jika U

(

X X Xn

)

⎯a⎯→s g

( )

θ

. 2

1, ,...,

untuk n→∞, maka

disebut penduga konsisten kuat bagi

(

X1,X2,...,

U Xn

)

( )

θ

g .

(iii) Jika U

(

X1,X2,...,Xn

)

⎯⎯→r g

( )

θ

untuk n→∞, maka

disebut penduga konsisten dalam rataan ke-r bagi

(

X₁,X₂,...,

U Xn

)

( )

θ

g .

Definisi 22 (Mean Squared Error)

Mean squared error

(

MSE

)

dari penduga W

untuk parameter θ adalah fungsi dari θ yang didefinisikan oleh Εθ

(

W −θ

)

2. Dengan kata lain adalah nilai harapan kuadrat dari selisih antara penduga W dan parameter

MSE

θ _. Dari sini diperoleh

(

_θ

)

2

( )

(

(

_θ

)

)

2

θ

θ − = + Ε −

Ε W VarW W

=Var

( )

W +

(

Bias

( )

θˆn

)

2.

[Cassela dan Berger, 1990]

Beberapa Definisi dan Lema Teknis

Definisi 23 (O

( )

1 dan o

( )

1 )

(i) Suatu barisan bilangan nyata

{ }

an

disebut terbatas dan ditulis an =O

( )

1 , untuk n→∞, jika ada bilangan terhingga

A dan sehingga , untuk semua bilangan asli .

B B<an <A

n

(ii) Suatu barisan { yang konvergen ke , untuk

}

n b

0

n→∞, kadangkala ditulis

( )

1

o

bn = , untuk n→∞.

[Purcell dan Varberg, 1998]

Definisi 24 (Momen Kedua Terbatas)

Peubah acak X disebut mempunyai momen kedua terbatas jika Ε

( )

X2 terbatas.

[Helms, 1996]

Definisi 25 (Fungsi Indikator)

Fungsi indikator dari himpunan A, sering ditulis ΙA

( )

x , didefinisikan sebagai fungsi

( )

⎩ ⎨ ⎧ ∉ ∈ = Ι . , 0 , 1 A x A x x A

[Cassela dan Berger, 1996]

Lema 4 (Ketaksamaan Markov)

Jika X adalah peubah acak dengan Ε

( )

X

terbatas dan t>0, maka

(

)

[ ]

.

t X t X ≥ ≤ Ε

Ρ

[Helms, 1996]

Bukti: Lihat Lampiran 3.

Lema 5 (Ketaksamaan Chebyshev)

Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan µ dan ragam terbatas σ2, maka

(

)

₂2

δ σ δ µ ≥ ≤ −

Ρ X

untuk setiap δ ≥0.

[Helms, 1996]

Bukti: Lihat Lampiran 4.

Lema 6 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)

Jika Xdan Y adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas, maka

[ ]

(

)

2

[ ] [ ]

2 2

Y X

XY ≤Ε Ε

Ε

dan akan “bernilai sama dengan” jika dan hanya jika Ρ

(

X =0

)

=1 atau Ρ

(

Y =aX

)

=1 untuk suatu konstanta a.

[Helms, 1996]

Bukti: Lihat Lampiran 5.

Lema 7 (Lema Borel-Cantelli)

(i) Misalkan adalah sebarang

kejadian. Jika maka P

( A

{ }

An

{ }

<∞ Ρ

∑

∞ =1 n n A

n terjadi sebanyak tak hingga kali)=0.

(ii) Misalkan adalah sebarang kejadian yang saling bebas. Jika

maka P ( A

{ }

An

{ }

=∞ Ρ

∑

∞ =1 n n

A n terjadi

sebanyak tak hingga kali )=1.

Bukti: Lihat Durret (1996).

Lema 8 (Teorema Limit Pusat)

Misalkan adalah suatu barisan peubah acak yang bebas dan sebarannya

identik dengan nilai harapan finite

,... , ₂

1 X

X

µ dan ragam tak nol σ2<∞. Jika

(

)

_µ

σ n n

X X X n n − + + + =

Ζ 1 2 ...

maka Zn

konvergen ke sebaran normal baku, dan ditulis Ζn⎯⎯→d Normal (0,1) untuk n→∞, atau

(

)

_∫

∞ − − ∞

→ ΡΖ ≤ =

x y n

n x e dy

2 / 2 2 1 lim π .

Bukti: Lihat Ghahramani (2000).

Lema 9 (Teorema Deret Taylor)

Suatu fungsi disebut deret Taylor dari fungsi f di a (atau di sekitar a atau yang berpusat di a), jika memenuhi persamaan

( )

_∑

∞ ( )

( )( )

= − = 0 ! n n n a x n a f x f

( )

( )( ) ( )( )

... ! 2 ! 1 2 '' ' + − + − +

= f a f a x a f a x a .

[Stewart, 1999]

Lema 10 (Teorema Fubini)

Jika f ≥0 atau

∫

f dµ<∞ maka

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

∫ ∫

∫

∫∫

= = Y X XxY X Y dy dx y x f fd dx dy y x f 2 1 1 2 , , µ µ µ µ µ .

Bukti: Lihat Durret (1996).

Definisi 26 (Terintegralkan Lokal)

Fungsi intensitas λ disebut terintegralkan lokal, jika untuk sebarang himpunan Borel terbatas B kita peroleh

µ(B )=

∫

λ

( )

sds<∞ . B

[Dudley, 1989]

Definisi 27 (Titik Lebesgue)

Suatu titik s disebut titik Lebesgue dari suatu fungsi λ jika

( ) ( )

∫

+ − → − = h s h s

h 2h u s du 0.

1 lim

0

λ λ

[Wheeden dan Zygmund, 1977]

Proses Stokastik dan Proses Poisson

Definisi 28 (Proses Stokastik)

Proses stokastik adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke ruang state .

( )

{

N t,t∈T

}

S

[Ross,1996]

Jadi, untuk setiap pada himpunan indeks adalah suatu peubah acak. Indeks sering diinterpretasikan sebagai waktu (meskipun dalam berbagai penerapannya tidak selalu menyatakan waktu), dan

t

( )

t

N

T,

t

t

( )

t N

kita sebut sebagai state dari proses pada waktu . Ruang state

t

S mungkin berupa: (i) Z (himpunan bilangan bulat),

atau himpunan bagiannya. =

S

(ii) R (himpunan bilangan nyata), atau himpunan bagiannya.

=

S

Suatu proses stokastik disebut proses stokastik dengan waktu diskret jika himpunan indeks

N

T

adalah himpunan tercacah, sedangkan kita sebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval.

N

Definisi 29 (Proses Pencacahan)

Suatu proses stokastik disebut proses pencacahan jika menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu .

( )

{

Nt,t≥0

}

( )

t N

t

[Ross, 1996]

Kadangkala proses pencacahan

{

N

( )

t,t≥0

}

ditulis , yang menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang waktu

[ ]

(

t N 0,

)

[ ]

0,t . Proses pencacahan harus memenuhi syarat- syarat sebagai berikut:

( )

t N

(i) N

( )

t ≥0 untuk semua t∈

[

0,∞

)

. (ii) Nilai N

( )

t adalah bilangan bulat. (iii) Jika s<t maka N

( )

s ≤ N

( )

t ,

)

[

∞ ∈0, ,t

s .

(iv) Untuk s<t maka N

( )

t −N

( )

s , sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang

(

s,t

]

.

Suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen bebas jika banyaknya kejadian yang terjadi pada sebarang dua selang waktu yang tidak tumpang tindih (tidak

overlap) adalah bebas. Sedangkan suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen statsioner jika sebaran (distribusi) dari banyaknya kejadian yang terjadi pada

sebarang selang waktu, hanya tergantung dari panjang selang tersebut.

Salah satu proses pencacahan yang penting adalah proses Poisson, yang juga merupakan proses stokastik dengan waktu kontinu.

Definisi 30 (Proses Poisson)

Suatu proses pencacahan disebut proses Poisson dengan laju

( )

{

Nt,t≥0

}

λ, λ>0, jika dipenuhi tiga syarat berikut:

(i) N

( )

0 =0.

(ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas. (iii) Banyaknya kejadian pada sebarang

interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran (distribusi) Poisson dengan nilai harapan λt. Jadi, untuk semua t,s>0

(

) ( )

(

)

( )

, 0,1,....

! =

= = − +

Ρ − k

k t e k s N t s N

k t _λ λ

Dari syarat (iii) bisa diketahui bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang statsioner. Dari syarat ini juga diperoleh bahwa

( )

(

Nt

)

=λt

Ε . Proses Poisson dengan laju λ yang merupakan kostanta untuk semua waktu

t disebut proses Poisson homogen. Jika laju λ bukan konstanta, tetapi merupakan fungsi dari waktu, λ

( )

t , maka disebut proses Poisson tak-homogen. Untuk kasus ini, λ

( )

t

disebut fungsi intensitas dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas λ

( )

t harus memenuhi syarat λ

( )

t ≥0 untuk t≥0.

Lema 11

Misalkan Xdan Y adalah peubah acak saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut dan u v. Maka

Y

X + memiliki sebaran Poisson dengan parameter u+v.

[Taylor dan Karlin, 1984]

Bukti: Lihat Lampiran 6.

Definisi 31 (Fungsi Periodik)

Suatu fungsi λ disebut periodik jika

(

s kτ

) (

λ s

)

λ + =

untuk semua s∈R dan Z. Konstanta terkecil

∈

k

τ yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi λ tersebut.

[Browder, 1996]

Definisi 32 (Proses Poisson Periodik)

Proses Poisson periodik adalah proses Poisson dimana fungsi intensitas λ adalah siklik (periodik).

HASIL DAN PEMBAHASAN

Perumusan Penduga

Misalkan adalah proses Poisson non homogen pada interval dengan fungsi intensitas

N

)

[

0,∞

λ yang tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan lokal dan terdiri atas 2 komponen, yaitu sebuah komponen periodik atau komponen siklik dengan periode (diketahui) τ >0dan sebuah tren linear yang tidak diketahui pula. Dengan kata lain, untuk

sebarang titik , kita dapat

menuliskan fungsi intensitas

)

[

∞ ∈ 0,

s

λ sebagai berikut:

( )

s =λ_c

( )

s +as

λ (1)

dengan λc

( )

s adalah fungsi periodik dengan

periode τ dan adalah kemiringan dari tren linear. Dalam bahasan ini kita tidak mengasumsikan suatu bentuk parametrik dari

a

c

λ kecuali bahwa λ_c adalah periodik yaitu persamaan

(

s k

)

_c

(

s

c τ λ

)

λ + = (2)

berlaku untuk ∀s∈

[

0,∞

)

dan k∈ Z dengan

Z adalah himpunan bilangan bulat. Karena

c

λ periodik dengan periode τ, maka untuk menduga λ_c untuk cukup diduga nilai

[

∞

)

∈ 0,

s

c

λ pada s∈

[

0,τ

)

.

Misalkan untuk suatu ω∈Ω, terdapat sebuah realisasi N

( )

ω dari proses Poisson N

yang terdefinisi dalam ruang peluang (Ω, F, P) dengan bentuk fungsi intensitas di persamaan (1).

Tujuan kita dalam pembahasan ini adalah mempelajari penyusunan penduga konsisten bagi λc pada s∈

[

0,τ

]

, dengan menggunakan

sebuah realisasi N

( )

ω dari proses Poisson yang diamati pada interval

[ ]

0,n .

Kita mengasumsikan bahwa s adalah titik Lebesgue dari λ, yang secara otomatis berarti bahwa s adalah titik Lebesgue dari λ_c.

Pada kajian ini kita asumsikan bahwa periode τ diketahui, tetapi slope dan fungsi

a

c

λ pada

[

0,τ

)

keduanya tidak diketahui. Dalam kondisi ini, kita boleh

mendefinisikan penduga

a

dan penduga bagi

c

λ di titik s yang diberikan.

Penduga bagi a diberikan oleh:

[ ]

(

)

2

, 0 2 ˆ

n n N

an = . (3)

Sedangkan untuk penduga bagi λc

( )

s pada

titik s∈

[

0,τ

)

diberikan oleh:

( )

_∑

∞

(

[

]

=

+ + − +k

=

1 ,

2 , 1

ln 1 ˆ

k n

n n

n c

h

h k s h s N k n

s τ τ

λ

[ ]

)

⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ + − ∩

n n s a n

n

ln ˆ , 0

(4)

dimana adalah barisan bilangan real

positif yang konvergen menuju 0,

n h

0 ↓

n

h (5)

untuk n→∞.

Sekarang akan diuraikan ide tentang pembentukan penduga bagi . Untuk menjelaskan hal ini akan kita gunakan Lema berikut.

a

Lema 12

Jika fungsi intensitas λ_c adalah periodik (dengan periode τ) dan terintegralkan lokal, maka

∫

λ

( )

→θ

n c sds

n

0

1

untuk n→∞,

dengan =

∫

_c

( )

sds τ

λ τ θ

0

1

.

[Damiri, 2003]

Bukti: Lihat Damiri (2003).

Pertama, perhatikan bahwa

[ ]

(

n

)

( )

sds N

n

∫

= Ε

0

,

0 λ

(

( )

s as

)

ds n

c

∫

+

=

0

λ

=

∫

( )

+

∫

.

n n

c sds asds

0 0

λ

Perhatikan suku pertama dari ruas kanan persamaan di atas. Berdasarkan Lema 12, maka

( )

∫

≈

n

c sds n

0

. θ λ

Suku kedua dari ruas kanan persamaan tadi

. 2 0 2

∫

= n n a asds

Dengan mengganti dengan

padanan stokastiknya maka

diperoleh

[ ]

(

n N 0,

Ε

)

)

[ ]

(

n N 0,

[ ]

(

)

2

2 ,

0 n n an

N ≈θ + . Kedua ruas

dibagi dengan n2, sehingga

[ ]

(

)

(

[ ]

)

. 2 , 0 2 2 , 0 2

2 _{n n} a

n N a n n n

N _≈θ _{+ ⇔ − θ ≈}

Jika n→∞, maka 2θ →0

n . Akhirnya

diperoleh bahwa:

[ ]

(

)

2 , 0 2 ˆ n n N

a_n = .

Sekarang, akan diuraikan ide tentang pembentukan dari penduga kernel λˆ_c,n

( )

s

dari λ_c

( )

s . Perlu diingat bahwa hanya ada sebuah realisasi dari proses Poisson yang tersedia, kita harus menggabungkan informasi tentang nilai dari

N

( )

s

c

λ yang belum diketahui dari tempat yang berbeda pada interval

[ ]

0,n . Dari (1) dan (2) yang kita punya, untuk sebarang titik

s

dan k∈Z, maka

( )

λ

(

τ

)

λ_c s = _c s+k . (6)

Misalkan dan

yang memegang

peranan penting dalam menuntun kita ke rangkaian pendekatan. Berdasarkan (6), kita dapat menuliskan

( )

x

[

x h x h

]

Bh_n = − , +

[ ]

(

∑

∞

=

−_{Ι + ∈}

=

1

1 _0,

k

n k s k n

L τ

)

( )

_∑

∞

(

(

)

)

(

[ ]

)

= ∈ + Ι + = 1 , 0 1 1 k c n

c s k s k n

k L

s λ τ τ

λ

(

) (

(

∑

∞ = + − + = 1 1 1 k n k s a k s k

L λ τ τ

))

Ι

(

s+kτ∈

[ ]

0,n

)

(

)

(

)

(

[ ]

)

∑

∞ = ∈ + Ι + = 1 , 0 1 1 k n n k s k s k

L λ τ τ

as

−

(

s k

[ ]

n L a k n , 0 1 ∈ + Ι −

∑

∞ = τ τ

₎

. (7)

Perlu diingat bahwa

(

[ ]

)

τ

τ n n

k s k ≈ ∈ + Ι

∑

∞ =1 , 0

dan untuk _setara

asimtotik dengan . Maka persamaan (7) dapat dituliskan sebagai berikut:

n

Ln ~ln n→∞

(

Ln

)

n

ln

( )

x

(

x s k

[ ]

n

)

dx h k n n n h k s h k s k n , 0 2 1 1 ln 1 1 ∈ + + Ι ≈

∑

∫

+ + − + ∞ = τ λ τ τ n n a as ln − −

(

)

[ ]

(

)

∑

∞ = ∩ + Ε = 1 2 , 0 ln 1 k n n h n k s Bh N n τ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

−

n

n

s

a

ln

. (8) Perilaku ΕN

(

Bh_n

(

s+kτ

)

∩

[ ]

0,n

)

(

)

[ ]

(

Bh

s

k

n

)

N

_n

+

∩

0

,

≈

τ

yang merupakan

padanan stokastiknya, sehingga persamaan (8) dapat ditulis:

(

)

[ ]

(

)

∑

∞ = ∩ + ≈ 1 2 , 0 ln 1 k n n h n k s Bh N n τ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

−

n

n

s

a

ln

, (9)

yang dapat dilihat sebagai penduga dari

( )

s

c

λ , dengan periode τdan kemiringan dari tren linear diasumsikan diketahui. Jika tidak diketahui, kita ganti a dengan di persamaan (9) sehingga diperoleh penduga dari

a a

n

aˆ

( )

s

c

λ yang diberikan di persamaan (4).

Kekonvergenan dari

a

ˆ

_n

Lema 13

Misalkan fungsi intensitas λdiberikan di (1) dan terintegralkan lokal. Maka:

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = Ε 2 1 2 ˆ n O n a

a_n θ (10) dan

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 3 2 1 2 ˆ n O n a a

Var _n (11)

untuk n→∞, dimana .

Akibatnya, adalah penduga konsisten dari , dan Mean-squared error (MSE)nya adalah:

( )

∫

− = τ λ τ θ 0

1 _sds

c

n

aˆ

a

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 3 2 2 1 4 2 ˆ n O n a a MSE n θ .(12) Bukti:

Berdasarkan (3), dapat dihitung sebagai berikut:

( )

aˆn

Ε

( )

= Ε

(

[ ]

)

=

_∫

( )

Ε

n

n sds

n n N n a 0 2 2 2 , 0 2 ˆ λ

( )

(

)

( )

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ο + + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{+ +} = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = + =

∫

∫

∫

2 2 2 0 0 2 0 2 1 2 1 2 2 2 2 n n a O n a n n asds ds s n ds as s n n n c n c θ θ λ λ

untuk . Ragam dari diperoleh dengan cara yang serupa:

∞ →

n aˆ_n

( )

Var

(

N

(

[ ]

n

)

)

n a

Var n 0,

4 ˆ

4

=

[ ]

(

n

)

N

n 0,

4 4 Ε =

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊

= an On n 2 4 ₂ 4 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 3 2 1 2 n O n a ,

untuk n→∞.

( )

( )

(

(

)

2

ˆ ˆ

ˆn Var an Biasan a

MSE = +

)

( )

(

_ˆ

)

2

(

( )

_ˆ

)

2

a a a

Bias n = Ε n −

2 2 1 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = a n O n a θ 2 2 1 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = n O n θ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 3 2 2 1 4 n O n θ

, (13) untuk n→∞.

Sehingga berdasarkan (11) dan (13), maka

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ο + + = 3 2 2 ₁ 4 2 ˆ n n a a MSE n θ , untuk n→∞.

Teorema 1 (Kekonsistenan)

Penduga adalah penduga konsisten bagi yaitu

n aˆ

a

a

aˆn ⎯⎯→P (14)

untuk n→∞.

Berdasarkan Definisi 10, untuk membuktikan teorema ini adalah setara dengan menunjukan bahwa, untuk setiap ε >0, berlaku

(

ˆ − >

)

→0

Ρ an a ε . (15)

Bukti:

Berdasarkan ketaksamaan segitiga, kita peroleh a a a a a

aˆn− ≤ ˆn−Εˆn +Εˆn− . (16)

Berdasarkan Lema 13, kita peroleh

0 ˆ

limΕ − =

∞

→ an a

n (17)

sehingga untuk ∀ε >0, ada N agar

2 ˆ − <ε

Εan a (18)

untuk ∀n≥N.

Berdasarkan persamaan (17), kita peroleh

(

)

⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _{−Ε >}

Ρ ≤ > − Ρ 2 ˆ ˆ

ˆn a ε an an ε

a .

Jadi untuk membuktikan (14) cukup ditunjukan

0 2 ˆ ˆ

lim ⎟=

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _{−Ε >}

Ρ ∞ → ε n n

n a a .

Dengan ketaksamaan Chebyshev, kita peroleh

( )

2 ˆ 4 2 ˆ ˆ ε ε n n n a Var a

a ⎟≤

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _{−Ε >}

Ρ .

Jadi kita tinggal membuktikan bahwa

( )

0 ˆ 4 lim 2 → ∞ → ε n n a Var

. (19)

Berdasarkan Lema 13, akan

konvergen ke nol jika , sehingga persamaan (19) terbukti.

( )

an Var ˆ

∞ →

n

Jadi Teorema 1 terbukti.

Teorema 2 (Kekonvergenan Lengkap)

Penduga adalah konvergen lengkap ke a, yaitu

n aˆ

,

ˆ a

a_n⎯⎯→c

untuk n→∞.

Bukti:

Berdasarkan Definisi 13, untuk membuktikan teorema ini cukup dibuktikan

(

ˆ

)

.

1 ∞ < > − Ρ

∑

∞ = n n a a ε

Berdasarkan ketaksaman segitiga, kita peroleh

a a a a a

aˆn− ≤ ˆn −Εˆn + Εˆn − .

Dengan cara yang sama dengan pembuktian Teorema 1, akhirnya kita peroleh

( )

2 ˆ 4 2 ˆ ˆ ε ε n n n a Var a

a ⎟≤

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _{−Ε >}

Ρ .

Kemudian 4 ₂

( )

ˆ 4₂ 2₂ 1_{3 ⎟⎟}.

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = n O n a a Var n ε ε Sehingga diperoleh

( )

. 1 2 4 ˆ 4 1 1 3 2 2

2 ⎟⎟_⎠<∞

⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =

∑

∞

∑

= ∞ = n n n n O n a a Var ε ε

Jadi Teorema 2 terbukti.

Akibat 1 (Kekonsistenan Kuat)

Penduga adalah penduga konsisten kuat bagi a, yaitu

n aˆ

,

ˆ . a

a_n⎯a⎯→s

untuk n→∞.

Bukti:

Berdasarkan Definisi 12, untuk membuktikan akibat ini akan dibuktikan untuk ε >0, maka

1 ˆ

lim ⎟=

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _{− <}

Ρ

∞

→ an a ε

n

atau

. 0 ˆ

lim ⎟=

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− ≥} Ρ ∞

→ an a ε

n

Dari Teorema 2 diketahui

∑

(

∞ = > − Ρ 1 ˆ n n a

a ε

)

. Dengan bagian (i) Lema Borel - Cantelli

(Lema 7), diperoleh jika ∞ <

(

)

∑

∞ = > − Ρ 1 ˆ n n a a ε ∞

< maka kejadian

{

aˆn−a >ε

}

hanya akan

terjadi sebanyak terhingga, yang berimplikasi bahwa

. 0 ˆ

lim ⎟=

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− ≥} Ρ ∞

→ an a ε

n

Maka Akibat 1 terbukti.

Sebaran Normal Asimtotik dari aˆn

Teorema 3 (Kekonvergenan dalam Sebaran)

(

a a n ˆn−

)

)

adalah konvergen dalam sebaran ke Normal

(

2θ,2a untuk n→∞. (20)

Bukti:

Ruas kiri persamaan (20) adalah sebagai berikut:

(

a a

) (

na a

) (

n a a n ˆn− = ˆn−Εˆn + Εˆn −

)

.

Untuk membuktikan Teorema 3, cukup dibuktikan

(

a a

)

(

a

)

n ˆn−Εˆn ⎯⎯→d Ν0,2 …(a)

dan

(

Εaˆ −a

)

→2θ

n n …(b)

Untuk membuktikan bagian (a), perhatikan bahwa ruas kiri bagian (a) adalah sebagai berikut:

(

)

(

[ ]

)

(

[ ]

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ε − = Ε − 2 2 , 0 2 , 0 2 ˆ ˆ n n N n n N n a a

n n n

[ ]

(

)

(

[ ]

)

(

)

[ ]

(

)

(

[ ]

)

(

[ ]

)

[ ]

(

0,

)

.

, 0 , 0 , 0 2 , 0 , 0 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝

⎛ _−Ε

= Ε − = n VarN n N n N n VarN n n N n N n

Berdasarkan Teorema Limit Pusat, maka diperoleh

[ ]

(

)

(

[ ]

)

[ ]

(

0,

)

( )

0,1

, 0 ,

0 _⎯⎯→Ν

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝

⎛ _{−Ε d}

n VarN n N n N (21)

jika n→∞. Maka untuk membuktikan (a), tinggal dibuktikan

[ ]

(

n

)

a

VarN

n 0, 2

2 _→

. (22) Karena N

(

[ ]

0,n

)

adalah peubah acak Poisson, maka ruas kiri persamaan (22) dapat dituliskan sebagai berikut:

[ ]

(

)

N

(

[ ]

n

)

n n VarN

n 0,

2 , 0

2 _{= Ε}

( )

1 2 2 2 O n a n

n + +

= θ

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} = 1 2 4 2

2 n O

a n n θ . 1 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = n O

a Perhatikan bahwa ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n O 1

konvergen ke nol untuk n→∞, sehingga

( )

1

1

o n O ⎟=

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

. Misalkan x=2a+o

( )

1 _, f

( )

x x

= . Berdasarkan Teorema Deret Taylor, maka

( ) ( )

( ) (

)

( )

! 2 2 " 2 ! 1 2 '

2a f a x a1 f a

f x

f = + − +

(

x−2a

)

2+...

( )

( )

( )

2

( )

( )

1 ... 2 . 4 1 1 2 2 1 2 2 3

1_{− +}

+ = o a o a a

( ) ( )

1

( ) ( )

1 1

2a+O o +o

=

( )

1 2a+o

= _.

Sehingga bagian (a) terbukti.

Untuk membuktikan bagian (b) gunakan Lema 13, sehingga ruas kiri dari (b) dapat dituliskan sebagai berikut:

(

)

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − Ε 2 1 2 ˆ n O n n a a n n θ 2 1⎟.

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = n O θ

Dengan kata lain n

(

Εaˆn−a

)

→2θ jika

. ∞ →

n

Jadi Teorema 3 terbukti.

Kekonsistenan dari λˆc,n

( )

s

Lema 14 (Ketakbiasan Asimtotik)

Misalkan fungsi intensitas λseperti (1) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (5) dipenuhi, maka

( )

s _c

( )

s

n

c λ

λ →

Εˆ_{, (23)} untuk n→∞, asalkan s adalah titik Lebesgue dari λc. Dengan kata lain, λˆc,n

( )

s

adalah penduga tak bias secara asimtotik bagi

( )

s

c

λ .

Bukti:

Untuk membuktikan persamaan (23), akan ditunjukan bahwa

( )

s c

(

s n

c n→∞Ελ , =λ

ˆ

lim

)

. (24)

Berdasarkan Teorema Fubini, nilai harapan di ruas kiri (23) dapat dinyatakan sebagai berikut:

(

)

[ ]

(

)

∑

∞ = ∩ + Ε 1 2 , 0 1 ln 1 k n n h n k s Bh N k n τ

( )

an n n

s ˆ

ln ⎟⎠Ε

⎞ ⎜

⎝ ⎛ +

− . (25) Suku pertama dari (25)

(

)

∑ ∫

∞₌ − + + = 1 1 ln 2 1 k h h n n n k s x k n

h λ τ

[ ]

(

x+s+k ∈0,n

)

dx

Ι τ

(

) (

(

)

∫

∑

− ∞ = + + + + = n n h h c k n k s x a s x k n

h ₁ λ τ

1 ln 2

1

₎

[ ]

(

x+s+k ∈0,n

)

dx

Ι τ

(

)

(

)

_⎜⎜ ⎝ ⎛ + =

∫

∑

∞ = − 1 1 ln 1 2 1 k h h c

n n k

s x h n n λ

[ ]

(

x+s+k ∈0,n

))

dx

Ι τ

(

)

∑ ∫

∞ = − + + + 1 1 ln 2 _k h h n n n k s x k n h a _τ

[ ]

(

x+s+k ∈0,n

)

dx

Ι τ (26)

Suku pertama dari (26) dapat diuraikan sebagai berikut:

[ ]

(

)

∑

∞ = ∈ + + Ι 1 , 0 1 ln 1 k dx n k s x k n τ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ο + = n ln 1

1 (27)

untuk n→∞, dan

(

)

(

)

( )

(

)

(

( )

)

(

)

( )

(

)

⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + = + − + = +

∫

∫

∫

− − − dx s s x h dx s s s x h dx s x h n n n n n n h h c c n h h c c c n h h c n λ λ λ λ λ λ 2 1 2 1 2 1 .

( )

_⎥⎥ ⎦ ⎤ +

∫

− dx s n n h h c λ

Karena s adalah titik Lebesgue dari λ_c, maka

(

)

( )

(

)

1

2 1 o dx s s x h n n h h c c n = − +

∫

− λ

λ

( ).

( )

( )

_∫

∫

− − = n n n n h h n c h h c n dx h s dx s h 2 1 2

1 _{λ λ}

( )

[ ]

n n h h n c x h s ₋ = 2 1 λ

( )

( )

_n

n c h h s 2 2 1 λ =

=λ_c

( )

s . (28) Dari (27) dan (28), kita peroleh suku pertama dari (26) :

( ) ( )

(

1

ln 1

1 s o

n

O ⎟⎟ c +

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

+ λ

)

( ) ( )

ο1 λ +

= _c s (29)

(vii) merupakan penduga konsisten dalam rataan

kuadrat bagi

( )

s

n c,

ˆ

λ λ_c

( )

s .

DAFTAR PUSTAKA

Browder, A. 1996. Mathematical Analysis: An Introduction. Springer, New York.

Casella, G. dan R.L. Berger. 1990. Statistical

Inference. Ed. Ke-1. Wadsworth & Brooks/Cole, Pasific Grove, California.

Damiri, S.D. 2003. Metode Untuk Menduga Fungsi Intensitas Global pada Proses Poisson Periodik. [Skripsi]. Bogor: Institut Pertanian Bogor.

Dudley, R. M. 1989. Real Analysis and Probability. Wadsworth & Brooks. California.

Durret, R. 1996. Probability: Theory and Examples. Ed. ke-2. Duxbury Press. New York.

Ghahramani, S. 2000. Fundamentals of Probability. Ed. ke-2. Prentice Hall. New Jersey.

Grimmett, G. R. dan D. R. Stirzaker. 1992.

Probability and Random Processes. Ed. ke-2. Clarendon Press. Oxford.

Helmers, R. dan I. W. Mangku. 2005.

Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process in the Presence of Trend Linear. CWI. Amstersdam.

Helms, L. L. 1996. Introduction to

Probability Theory: Whit Contemporary Application. W. H. Freeman & Company. New York.

Hogg, R. V. dan A. T. Craig. 1995.

Introduction to Mathematical Statistics. Ed. ke-5. Prentice Hall, Englewood Cliffs. New Jersey.

Purcell, E. J. dan D. Varberg. 1998.

Kalkulus dan Geometri Analisis. Jilid 2. Ed. ke-5. Penerbit Erlangga. Jakarta.

Ross, S. M. 1996. Stochastic Processes. Ed. ke-2. John Wiley & Sons. New York.

Serfling, R. J. 1980. Approximation

Theorems of Mathematical Statistics. John Wiley & Sons. New York.

Stewart, J. 1999. Kalkulus. Jilid 1. Ed. ke-4. Penerbit Erlangga. Jakarta.

Taylor, H. M. dan S. Karlin. 1984. An Introduction to Stochastis Modelling.

Acedemic Press Inc. Orlando, Florida.

Wheeden, R. L. dan A. Zygmund. 1977. Measure and Integral: An Introduction to real Analysis. Marcel Dekker. New York.

Lampiran 1 (Pembuktian Lema 2)

Lema 2

Jika X peubah acak diskret dengan ragam yang berhingga, maka untuk sebarang konstanta dan ,

c d

(

cX d

)

c Var

( )

X Var + = 2 .

Bukti:

Dari definisi yang kita punya bahwa

(

)

(

(

) (

)

)

2

d cX d cX d

cX

Var + =Ε + −Ε +

=Ε

(

cX−cΕX

)

2

(

Ε

(

cX+d

) (

=cΕX+d

)

)

=c2Ε

(

X−ΕX

)

2

=c2Var

( )

X .

Jadi Lema 2 terbukti.

Lampiran 2 (Pembuktian Lema 3)

Lema 3

Misalkan Xdan adalah peubah acak diskret, dan misalkan pula dan adalah dua buah konstanta sebarang, maka

Y c d

(

cX dY

)

c Var

( )

X d Var

( )

Y

Var + = 2 + 2 +2cdCov

(

X,Y

)

. Jika Xdan Yadalah peubah acak saling bebas, maka

(

cX dY

)

c Var

( )

X d Var

( )

Y

Var + = 2 + 2 .

Bukti:

Nilai harapan dari cX+dY =Ε

(

cX+dY

)

=cΕX +dΕY =cµ +_X dµ_Y. Sehingga

Var

(

cX

+

dY

)

=

Ε

(

(

cX

+

dY

) (

−

c

µ

X

+

d

µ

Y

)

)

2

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

(

X Y X Y

)

Y X

Y X

cd Y

d X

c

Y d X

c

µ µ

µ µ

µ µ

− −

+ − + − Ε =

− + − Ε =

2

2 2

2 2

2

)

( )

X d Var

( )

Y cdCov

(

X Y

)

Var

c2 + 2 +2 ,

= .

Lampiran 3 (Pembuktian Lema 4)

Lema 4 (Ketaksamaan Markov)

Jika X adalah peubah acak dengan Ε

( )

X terbatas dan t>0, maka

(

)

[ ]

t X t X ≥ ≤ Ε

Ρ .

Bukti:

Misalkan A=

{

[ ]

X ≥t

}

, maka

[ ]

X ≥t Ι_A, dengan Ι_A adalah fungsi indikator dari

A

, yaitu:

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

< ≥ =

Ι

t X jika

t X jika

A

, 0

, 1

. Jika ditentukan nilai harapannya, maka diperoleh

[ ]

X ≥Ε

( )

tΙA Ε

(

)

(

)

.

t X t X

t X t t A

Ε ≤ ≥ Ρ ⇔

≥ Ρ =

ΕΙ =

Jadi Lema 4 terbukti.

Lampiran 4 (Pembuktian Lema 5)

Lema 5 (Ketaksamaan Chebyshev)

Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapanµ dan ragam terbatas σ2. Maka

(

)

₂2

δ σ δ

µ ≥ ≤

− Ρ X untuk setiapδ ≥0.

Bukti:

Berdasarkan ketaksamaan markov,

(

_{−µ ≥δ}

)

_=Ρ

(

(

_−µ

)

2 _≥δ2

)

Ρ X X

[

(

)

]

2 2

δ µ

− Ε

≤ X

2 2

δ

σ

=

.

Lampiran 5 (Pembuktian Lema 6)

Lema 6 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)

Jika Xdan Yadalah peubah acak dengan momen kedua terbatas, maka

[ ]

(

)

2

[ ] [ ]

2 2

Y X XY ≤Ε Ε

Ε

dan akan “bernilai sama dengan” jika dan hanya jika Ρ

(

X =0

)

=1 atau untuk suatu konstanta a.

(

=

)

=1

ΡY aX

Bukti:

Pilihlah salah satu dari Ρ

(

X =0

)

=1 atau Ρ

(

X =0

)

<1.

Pada kasus pertama, persamaan akan terpenuhi karena kedua ruas mempunyai nilai nol, sehingga kita bisa mengasumsikan Ρ

(

X =0

)

<1, yang berarti bahwa

X

mempunyai suatu nilai

dengan peluang positif, sehingga 0

0 ≠

x

[ ]

=

_∑

( )

>

Ε

j

j X

j f x

x

X2 2 0.

Definisikan fungsi kuadrat

( )

[

(

)

2

]

[ ]

2

[ ]

2

[ ]

2

.

2 XY X

Y X

Y

g λ =Ε −λ =Ε − λΕ +λ Ε Fungsi kuadrat di atas akan bernilai minimum pada saat

[ ]

[ ]

2 0 X XY Ε Ε = λ sehingga

(

)

[

2

]

[

(

)

2

]

0

0≤Ε Y−λ X ≤Ε Y−λX untuk ∀λ yang real ganti

λ

₀ dengan

[ ]

[ ]

₂

X

XY

Ε

Ε

.

(

)

[

]

[ ]

[ ]

2

[ ]

2

0 0

2 2

0X Y 2 XY X

Y− =Ε − Ε + Ε

Ε λ λ λ

[ ]

(

[ ]

)

[ ]

(

[ ]

[ ]

)

[ ]

(

[ ]

)

[ ]

, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 X XY Y X XY X XY Y Ε Ε − Ε = Ε Ε + Ε Ε − Ε = sehingga

(

)

[

]

[ ]

(

[ ]

)

[ ]

[

(

)

2

]

2 2 2

2 0

0 Y X

X XY Y

X

Y λ ≤Ε −λ

Ε Ε − Ε = − Ε ≤ .

Di satu sisi, hal ini berimplikasi bahwa

[ ]

(

)

2

[ ] [ ]

2 2

Y X XY ≤Ε Ε

Ε

dan di sisi lain jika sama akan

(

)

[

− ₀ 2

]

=0

Lampiran 6 (Pembuktian Lema 11)

Lema 11

Misalkan Xdan Yadalah peubah acak saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut u dan . Maka v X+Ymemiliki sebaran Poisson dengan parameter

v u+ .

Bukti:

Berdasarkan Hukum Penjumlahan Peluang,

{

}

_∑

{

= − = = Ρ = = + Ρ n k k n Y k X n Y X 0 ,

}

}

(peubah acak

{

} {

∑

= − = Ρ = Ρ = n k k n Y k X 0

Xdan Ysaling bebas)

_{( )}

(

)

(

)

∑

∑

= − + − = − − − − = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = n k k n k v u n k v k n u k v u k n k n n e k n e v k e u 0 0 . ! ! ! ! ! !

Perluasan binomial dari

(

u+v

)

n adalah

(

)

_∑

₍

₎

= − − = + n k k n k n v u k n k n v u 0 , ! ! ! sehingga diperoleh

{

}

( )

(

)

, 0,1,...

! =

+ =

= +

Ρ − + n

n v u e n Y X n v u

merupakan bentuk dari sebaran Poisson. Jadi Lema 11 terbukti.