Metode Lexicographic dalam Masalah Transportasi
METODE LEXICOGRAPHIC DALAM MASALAH TRANSPORTASI
SKRIPSI
MANUEL S. MARBUN 100803019
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Universitas Sumatera Utara
METODE LEXICOGRAPHIC DALAM MASALAH TRANSPORTASI
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
MANUEL S. MARBUN 100803019
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
: Metode Lexicographic dalam Masalah Trans-
portasi
Kategori
: Skripsi
Nama
: Manuel S. Marbun
Nomor Induk Mahasiswa : 100803019
Program Studi
: Sarjana (S1) Matematika
Departemen
: Matematika
Fakultas
: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di Medan, Juli 2014
Komisi Pembimbing Pembimbing 2,
Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si. NIP. 195312181980031003
Disetujui Oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si. NIP. 19620901198803102
i
Pembimbing 1, Dr. Mardiningsih, M.Si. NIP. 196304051988112001
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
METODE LEXICOGRAPHIC DALAM MASALAH TRANSPORTASI SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Juli 2014 MANUEL S. MARBUN 100803019
ii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, dengan limpah karunia-Nya Penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Metode Lexicographic dalam Masalah Transportasi.
Terimakasih penulis sampaikan kepada Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si. selaku pembimbing 1 dan Bapak Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si. selaku pembimbing 2 yang telah meluangkan waktunya selama penulisan skripsi ini. Terima kasih kepada Bapak Drs. Pasukat Sembiring, M.Si dan Bapak Drs. Sawaluddin, M.I.T. sebagai penguji yang telah memberikan kritik dan saran yang membangun dalam penyempurnaan skripsi ini. Terimakasih kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU. Terimakasih kepada Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU serta seluruh civitas akademika di lingkungan FMIPA USU. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Ayahanda Ir. Tambok Marbun dan Ibunda Herlina Manalu serta saudara-saudari penulis Sumiharjo Fans Christian Marbun, Ester Gracia Marbun, Lydia De Vega Marbun, dan Adolf Yoshua Marbun yang selama ini memberikan bantuan dan motivasi untuk menyelesaikan perkuliahan. Semoga segala bentuk bantuan yang telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang lebih baik dari Tuhan Yesus Kristus.
iii
Universitas Sumatera Utara
METODE LEXICOGRAPHIC DALAM MASALAH TRANSPORTASI ABSTRAK
Masalah transportasi adalah salah satu jenis pemodelan matematika untuk menentukan strategi terbaik dalam distribusi barang dari beberapa gudang ke sejumlah pelanggan agar biaya dapat diminimumkan. Pada tulisan ini, masalah transportasi dikembangkan dengan menggunakan lebih dari satu fungsi tujuan, yaitu meminimumkan biaya transportasi, meminimumkan kekosongan kapasitas mobil, dan meminimumkan kerusakan barang selama perjalanan. Metode Lexicographic juga akan dikaji untuk menyelesaikan masalah transportasi. Di akhir tulisan ini, diberikan suatu pendekatan numerik untuk memperlihatkan keragaman nilai optimal setiap fungsi tujuan seiring perbedaan urutan prioritas fungsi tujuan. Kata kunci: lexicographic, masalah transportasi, optimum pareto, prioritas
iv
Universitas Sumatera Utara
LEXICOGRAPHIC METHOD FOR TRANSPORTATION PROBLEM ABSTRACT
Transportation problem is a kind of mathematical programming to find the best strategy in distributing goods from several warehouses to several customers in order that the total cost can be minimized. In this paper, transportation problem is developed by using more than one objectives, such as minimizing the total cost, minimizing the underused capacity, and minimizing the number of broken goods in travel. Lexicographic Method will be discussed to solve transportation problem. In the end of this paper, given a numerical approach to show varieties of objectives based on different order of priority. Keywords: lexicographic, transportation problem, pareto optimum, priorities
v
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Persetujuan Pernyataan Penghargaan Abstrak Abstract Daftar Isi Daftar Tabel Daftar Lampiran
Bab 1.
Pendahuluan 1.1 Latar Belakang Penelitian 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Batasan Masalah 1.4 Tujuan Penelitian 1.5 Kontribusi Penelitian 1.6 Metodologi Penelitian
1.6.1 Alat 1.6.2 Langkah-langkah
Bab 2.
Tinjauan Pustaka 2.1 Masalah Transportasi 2.3 Program Tujuan Ganda dan Solusi Pareto-Optimal 2.4 Metode Lexicographic
Bab 3.
Pembahasan 3.1 Masalah Transportasi
3.1.1 Asumsi 3.1.2 Formulasi Model 3.2 Metode Lexicographic 3.2.1 Algoritma Metode Lexicographic 3.3 Pendekatan Numerik
Bab 4. Kesimpulan dan Saran 4.1 Kesimpulan 4.2 Saran
Daftar Pustaka
Halaman i ii
iii iv v vi vii viii
1 1 2 2 2 2 3 3 3
5 5 7 9
11 11 11 12 15 17 17
26 26 26
28
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
No. Judul Hal.
3.1 Jumlah persediaan barang pada gudang i
18
3.2 Jumlah permintaan pelanggan j
18
3.3 Biaya penggunaan sebuah mobil dari gudang i ke pelanggan j
18
3.4 Biaya kekosongan sebuah barang dari gudang i ke pelanggan j
19
3.5 Peluang sebuah barang rusak dari gudang i ke pelanggan j
19
3.6 Nilai optimal setiap fungsi tujuan dari berbagai urutan prioritas 21
3.7 Nilai fi∗ dan fi+ 3.8 Proporsi penyimpangan nilai fungsi tujuan
21 22
3.9 Interpretasi skala standar Analytic Hierarchy Process
23
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR LAMPIRAN
No. Judul 1. Program Lingo 13.0 pada Masalah Transportasi 2. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f1, f2, f3. 3. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f1, f3, f2. 4. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f2, f1, f3. 5. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f2, f3, f1. 6. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f3, f1, f2. 7. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f3, f2, f1.
Hal. 29 31 32 33 34 35 36
viii
Universitas Sumatera Utara
METODE LEXICOGRAPHIC DALAM MASALAH TRANSPORTASI ABSTRAK
Masalah transportasi adalah salah satu jenis pemodelan matematika untuk menentukan strategi terbaik dalam distribusi barang dari beberapa gudang ke sejumlah pelanggan agar biaya dapat diminimumkan. Pada tulisan ini, masalah transportasi dikembangkan dengan menggunakan lebih dari satu fungsi tujuan, yaitu meminimumkan biaya transportasi, meminimumkan kekosongan kapasitas mobil, dan meminimumkan kerusakan barang selama perjalanan. Metode Lexicographic juga akan dikaji untuk menyelesaikan masalah transportasi. Di akhir tulisan ini, diberikan suatu pendekatan numerik untuk memperlihatkan keragaman nilai optimal setiap fungsi tujuan seiring perbedaan urutan prioritas fungsi tujuan. Kata kunci: lexicographic, masalah transportasi, optimum pareto, prioritas
iv
Universitas Sumatera Utara
LEXICOGRAPHIC METHOD FOR TRANSPORTATION PROBLEM ABSTRACT
Transportation problem is a kind of mathematical programming to find the best strategy in distributing goods from several warehouses to several customers in order that the total cost can be minimized. In this paper, transportation problem is developed by using more than one objectives, such as minimizing the total cost, minimizing the underused capacity, and minimizing the number of broken goods in travel. Lexicographic Method will be discussed to solve transportation problem. In the end of this paper, given a numerical approach to show varieties of objectives based on different order of priority. Keywords: lexicographic, transportation problem, pareto optimum, priorities
v
Universitas Sumatera Utara
Bab 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Penelitian Operasi Riset merupakan disiplin ilmu matematika aplikasi yang telah membawa pengaruh besar pada dunia sejak perang dunia kedua. Beberapa contoh masalah Operasi Riset adalah sebagai berikut:
1. Selain mengharapkan keuntungan yang besar, seorang Manajer perlu mengerjakan proyeknya dengan waktu yang singkat.
2. Selain mengharapkan keuntungan maksimal, seorang Developer properti ingin membangun rumah sewa dengan jumlah yang besar.
3. Selain mengharapkan return saham yang menggiurkan, seorang Investor perlu meminimumkan risiko atau kerugian dari Investasi yang akan dilakukannya.
4. Perusahaan yang memproduksi galon air mineral, harus memperhatikan volume air yang harus 19 liter, desain yang elegan, biaya produksi yang minimum, penyusunan yang baik saat distribusi, dan keuntungan yang maksimal
5. Seorang manajer meminimumkan biaya transportasi saat mengantar barang dari beberapa gudang ke sejumlah pelanggan.
Khusus pada contoh 5 di atas, masalah transportasi merupakan masalah yang sering terjadi pada perusahaan yang mendistribusikan produknya ke pelanggan atau perusahaan lain. Pada umumnya, masalah transportasi adalah bentuk program linier dengan satu fungsi tujuan. Akan tetapi, ketunggalan fungsi tujuan akan kurang memenuhi fakta-fakta yang terjadi di dunia nyata karena ada aspekaspek lain yang harus diperhatikan, seperti minimum waktu distribusi produk, pertimbangan hubungan antar pelanggan yang satu dengan yang lain (Nunkeaw et al, 2009), dan lain-lain. Dengan menggunakan lebih dari satu fungsi tujuan, masalah transportasi menjadi sebuah persoalan program linier tujuan ganda.
Universitas Sumatera Utara
2
Ada beberapa metode untuk menyelesaikan program linier tujuan ganda, salah satunya adalah Metode Lexicographic. Dalam Wikipedia.org, metode lexicographic berasumsi bahwa setiap fungsi tujuan dapat diurutkan (ranking) dalam urutan kepentingan menurut pembuat keputusan (Decision Maker ). Dengan kata lain, metode lexicographic memerlukan preferensi dari pembuat keputusan sendiri agar dapat dikerjakan. Secara intuisi, akan terlihat suatu relativitas dalam metode lexicographic karena hasil optimal akan berbeda-beda bila masalah transportasi tersebut dikerjakan oleh orang yang berbeda-beda pula. Sementara, pengguna operasi riset tetap menginginkan solusi terbaik dari prosedur lexicographic. Oleh karena itu, penulis mengangkat judul, ”Metode lexicographic dalam Masalah Transportasi”.
1.2 Perumusan Masalah Metode lexicographic membutuhkan preferensi urutan kepentingan fungsi tujuan dari pembuat keputusan. Masalah penelitian ini adalah menentukan urutan yang bagaimanakah yang memberikan hasil paling optimal kepada pembuat keputusan.
1.3 Batasan Masalah 1. Penulis membahas metode lexicographic hanya dalam masalah transportasi.
2. Penulis membatasi penelitian dengan 3 fungsi tujuan dalam model.
1.4 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah untuk mengkaji metode lexicographic dan menyelesaikan masalah transportasi berbentuk program linier tujuan ganda.
1.5 Kontribusi Penelitian Dari penelitian ini, penulis optimis dapat memberikan kontribusi kepada pembaca berupa:
1. literatur tentang masalah transportasi
2. literatur tentang metode lexicographic dalam menyelesaikan program linier tujuan ganda
Universitas Sumatera Utara
3
1.6 Metodologi Penelitian 1.6.1 Alat Untuk membantu menganalisis data, penulis menggunakan software LINGO 13.0 dan AIMMS 3.13.
1.6.2 Langkah-langkah 1.6.2.1 Mengkaji Masalah Transportasi Tahap ini dilakukan dengan studi literatur dan pengamatan di lapangan. Akan diamati kondisi truk saat akan berangkat, saat dalam perjalanan, dan saat truk tiba di tempat pelanggan karena dicurigai bahwa hal-hal tersebut mempengaruhi strategi transportasi yang optimal. Sebagai contoh, dalam perjalanan, truk yang memuat barang dengan jumlah yang besar justru akan memperlambat transportasi dan juga akan membuat kondisi lalu lintas tidak kondusif.
Setelah studi literatur dan pengamatan dilakukan, masalah transportasi tersebut dimodelkan dalam bentuk program linier tujuan ganda sehingga diperoleh model matematika yang lebih kompleks daripada model transportasi dalam program linier.
1.6.2.2 Mengkaji Metode Lexicographic Tahap ini dilakukan dengan studi literatur, yaitu dengan mengkaji karakteristik metode lexicographic sehingga dapat diamati pengaruh urutan prioritas fungsi tujuan terhadap hasil optimal. Pada tahap ini, juga dilakukan suatu pendekatan numerik dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Mengambil sebuah contoh masalah transportasi
2. Mendaftarkan seluruh urutan prioritas fungsi tujuan
3. Mengambil hipotesis urutan yang memberikan hasil minimal
4. Memperoleh hasil-hasil optimal dari setiap urutan dengan menggunakan Metode lexicographic .
Universitas Sumatera Utara
4 5. Menentukan nilai minimal dari hasil-hasil optimal tersebut. 6. Mengamati apakah urutan yang memberikan hasil minimal sesuai dengan uru-
tan dugaan (hipotesis). Bila sesuai, kembali melakukan langkah 4 hingga langkah 6 dengan masalah transportasi yang lain. Bila tidak sesuai, maka lanjut ke langkah 7. 7. Mengambil kesimpulan bahwa “tidak terdapat urutan fungsi tujuan tertentu yang selalu memberikan hasil optimal dalam masalah transportasi berbentuk program linier tujuan ganda”. 8. Mengkaji Analytic Hierarchy Process untuk menentukan urutan prioritas fungsi tujuan. 9. Menentukan algoritma untuk menyelesaikan masalah transportasi berbentuk program linier tujuan ganda dengan metode lexicographic . 1.6.2.3. Membuat Kesimpulan Kesimpulan yang diambil adalah tentang urutan prioritas fungsi tujuan yang bagaimana yang dapat memberikan hasil paling optimal dan algoritma untuk menyelesaikan masalah transportasi berbentuk program linier tujuan ganda.
Universitas Sumatera Utara
Bab 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Masalah Transportasi Masalah transportasi pertama kali digunakan pada awal perang dunia kedua untuk menentukan bagaimana mengirimkan pasukan yang terletak disuatu tempat latihan Amerika Serikat ke medan perang di Eropa dan Asia, kemudian dikembangkan oleh F. L. Hitchcock sejak 1941 sebagai persoalan distribusi atau transportasi produk dari gudang ke pelanggan. Ilustrasinya adalah sebagai berikut:
Gambar 1. Jaringan Masalah Transportasi Sebuah perusahaan memiliki sejumlah gudang penyedia suatu produk yang tersebar di beberapa daerah. Pada daerah tersebut, juga tersebar pelanggan yang masing-masing membutuhkan sejumlah produk pada saat yang sama. Masingmasing pelanggan membutuhkan produk dengan jumlah yang berbeda-beda. Dalam distribusi produk dari gudang ke suatu pelanggan, perusahaan memerlukan biaya tertentu. Biaya distribusi bergantung pada jumlah produk yang didistribusikan. Oleh karena itu, Manajer harus mengatur distribusi dari setiap gudang agar biaya transportasi minimal dan seluruh permintaan pelanggan terpenuhi. Nunkeaw et al (2009) menyatakan model masalah transportasi dalam bentuk program linier sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
Model 2.1 kendala:
MN
min f (g) =
cij gij
i=1 j=1
N
gij ≤ Si, ∀i
j=1 M
gij = Dj, ∀j
i=1 MN
Si = Dj
i=1 j=1
gij ≥ 0, ∀i, j
6
2.1
2.2 2.3 2.4 2.5
Persamaan (2.1) adalah fungsi tujuan model transportasi untuk meminimumkan total biaya transportasi. Total jumlah barang yang diangkut dari suatu gudang untuk didistribusikan tidak lebih dari kapasitas gudang tersebut, seperti yang dinyatakan oleh persamaan (2.2). Persamaan (2.3) adalah persamaan yang menunjukkan bahwa total jumlah barang yang diangkut dari setiap gudang ke suatu pelanggan tepat memenuhi jumlah barang kebutuhan setiap pelanggan. Persamaan (2.4) menunjukkan bahwa total jumlah produk yang tersedia di seluruh gudang harus sama dengan total jumlah permintaan seluruh pelanggan, dan persamaan (2.5) menunjukkan bahwa persamaan (2.2), persamaan (2.3), dan persamaan (2.4) adalah kendala yang tak negatif.
Nunkeaw et al (2009) juga menilai bahwa penggunaan hanya satu fungsi tujuan dalam masalah transportasi tidak cukup karena itu akan kurang mendekati solusi optimal di dunia nyata. Oleh karena itu, perusahaan perlu mempertimbangkan beberapa fungsi tujuan lain. Fungsi-fungsi tersebut dapat berkaitan dengan jumlah produk yang diantar, kapasitas tak terpakai dalam sebuah mobil, konsumsi engergi, total waktu distribusi, dan lain-lain.
Universitas Sumatera Utara
7
2.2 Program Tujuan Ganda dan Solusi Pareto-Optimal Dalam Caramia et al, sebuah persoalan optimisasi dengan fungsi tujuan tunggal dapat diformulasikan sebagai berikut:
min f (x) x∈S
di mana f adalah sebuah fungsi skalar dan S adalah daerah fisibel yang didefinisikan sebagai
S = {x ∈ Rm : Ax = 0}. di mana A adalah matriks koefisien x pada kendala. Program Tujuan Ganda dapat dimodelkan secara matematis sebagai berikut:
min [f1(x), f2(x), . . . , fn(x)] x ∈ S,
di mana n > 1. Definisikan Ruang Objektif adalah ruang yang mengandung seluruh fungsi tujuan, dan definisikan
C = {y ∈ R : y = f (x), x ∈ S}.
Konsep skalar dari ”optimalitas” tidak dapat langsung diaplikasikan pada Program Tujuan Ganda. Di sini, notasi optimalitas Pareto akan diperkenalkan sebagai berikut:
• Sebuah titik x∗ dikatakan Pareto optimum lemah atau sebuah solusi efisien lemah untuk masalah Program Tujuan Ganda jika dan hanya jika tidak terdapat x ∈ S sehingga fi(x) < fi(x∗) untuk setiap i ∈ {1, . . . , n}.
• Sebuah titik x∗ dikatakan Pareto optimum kuat atau sebuah solusi efisien yang tepat untuk masalah Program Tujuan Ganda jika dan hanya jika tidak terdapat x ∈ S sehingga fi(x) ≤ fi(x∗) untuk setiap i ∈ {1, . . . , n}. Bayangan dari himpunan efisien, yaitu bayangan dari seluruh solusi efisien,
Universitas Sumatera Utara
8 disebut Pareto front atau Kurva Pareto. Bentuk dari permukaan Pareto mengindikasikan hubungan antara setiap fungsi tujuan. Sebuah contoh kurva Pareto ditampilkan pada Gambar 2, di mana setiap titik di antara (f2(xˆ), f1(xˆ)) dan (f2(x˜), f1(x˜)) disebut Pareto front. Titik-titik tersebut disebut titik non-inferior atau titik tak-terdominasi.
Gambar 2. Contoh Kurva Pareto Contoh Pareto optimum lemah dan kuat ditunjukkan pada Gambar 3: titik p1 dan p5 adalah Pareto optimum lemah; titik p2, p3, dan p4 adalah Pareto optimum kuat.
Gambar 3. Contoh Pareto optimum lemah dan kuat
Universitas Sumatera Utara
9
2.3 Metode Lexicographic Mathias Ehrgott mengemukakan bahwa dalam optimisasi lexicographic, setiap fungsi tujuan akan dipertimbangkan berdasarkan tingkat kepentingan atau prioritas. Sebuah solusi optimal xˆ dari suatu masalah disebut optimal lexicographic dan yˆ = f (xˆ) adalah sebuah vector minimal lexicographicdalam Y = f (X ), di mana X adalah himpunan vektor x yang memenuhi kendala (fisibel). Optimisasi lexicographicjuga dapat ditulis dengan notasi “lexmin” sebagai berikut:
lexmin(f1(x), f2(x), . . . , fp(x))
x∈X
2.6
Notasi “lexmin” pada persamaan (3.4) di atas menunjukkan proses meminimumkan setiap fungsi tujuan secara lexicographi atau berurutan, yaitu dari fungsi tujuan 1 hingga fungsi tujuan p. Algoritma optimisasi lexicographic akan dijelaskan lebih rinci pada Bab 3. Berikut diberikan definisi solusi dari sebuah optimisasi lexicographic.
Definisi 2.1. Sebuah solusi fisibel xˆ ∈ X adalah solusi lexicographic, jika tidak terdapat x ∈ X sehingga f (x) w2. Oleh karena itu, diperoleh bahwa urutan fungsi tujuan yang memenuhi preferensi pembuat keputusan adalah f1(x), f3(x), f2(x).
Universitas Sumatera Utara
Bab 4 KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan Berdasarkan hasil penelitian yang telah dibahas pada bab sebelumnya, dapat diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut: 1. Dari pendekatan numerik, diketahui bahwa tidak terdapat urutan tertentu
yang secara umum memberikan solusi optimal pada masalah program tujuan ganda. 2. Pada kondisi tertentu, Metode Lexicographic tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah transportasi atau masalah program tujuan ganda lainnya, karena bila pada suatu iterasi tidak terdapat solusi optimal, maka fungsi tujuan berikutnya tidak dapat dioptimalkan. Dengan kata lain, fungsi tujuan tersebut sama sekali tidak diperhitungkan dalam masalah. 3. Penggunaan Analytic Hierarchy Process dan Least Square Method untuk menentukan prioritas fungsi tujuan, tidak menjamin solusi paling optimal dari p! urutan prioritas yang dapat dibentuk dari p fungsi tujuan.
4.2 Saran Berdasarkan proses dan hasil penelitian, penulis menyampaikan beberapa saran sebagai berikut: 1. Peneliti selanjutnya diharapkan meneliti masalah program tujuan ganda yang
menggunakan lebih dari tiga fungsi tujuan. 2. Peneliti selanjutnya yang mengkaji masalah transporasi dan metode lexico-
graphic, dapat menggunakan alat bantu atau software yang lebih canggih, karena software LINGO 13.0 yang penulis pergunakan masih terbatas pada kapasitas jumlah variabel dan kendala yang sedikit.
Universitas Sumatera Utara
27 3. Sebelum menyelesaikan masalah transportasi, peneliti selanjutnya perlu men-
ganalisa kembali setiap fungsi tujuan yang digunakan agar seluruh fungsi tujuan dapat dioptimalkan. 4. Peneliti selanjutnya diharapkan mengkaji metode scalarization yang mengombinasikan seluruh fungsi tujuan ke dalam satu fungsi tujuan untuk menyelesaikan program tujuan ganda, sebagai perbandingan dengan metode preferensi seperti metode lexicographic.
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR PUSTAKA
28
Caramia,M. dan Dell’Olmo, P..2008.Multi-objective Management in Freight Logistics Increasing Capacity, Service Level and Safety with Optimization Algorithms. Springer
Djelatova, Mariana.2001.A Lexicographic Algorithm Solving a Problem of a Multiobjective Flow in a Network.Sofia:Institute of Information Technologies
Ehrgott, Mathiass.2005.Multicriteria Optimization.Auckland:Springer
Ehrgott, Mathiass.2007.Multiobjective Linear Programming.Han sur Lesse: International Doctoral School Algorithmic Decision
Gupta, Prem Kumar., Hira, D.S..2007.Operations Research.India: S.Chand
Gamal, M.D.H..2007.Program Linier dan Integer.Pekanbaru: Pusat Pengembangan Pendidikan Universitas Riau
Isermann, H.. 1982. OR Spektrum—Linear Lexicographic Optimization. SpringerVerlag
Lewis, Catherine.2008.Linear Programming: Theory and Its Applications
Mandler, Michael.2012.The Lexicographic Method in Preference Theory.University of London
Marler, R. Timothy dan Arora, Jasbir S..2010.The Weighted Sum Method for Multiobjective Optimization:new insights.Springer-Verlag
Nunkeaw, Wuttinan and Phruksaphanrat, Busaba.2009.A Multiobjective Programming for Transportation Problem with Consideration of both Depot to Customer and Customer to Customer Relationships
Ojha, Dr.A.K.,Biswal, K.K..2009.Lexicographic Multi-objective Geometric Programming Problems.India:International Journal of Computer Science Issues, Vol. 6, No. 2
Rueda, A.J..1987.A Lexicographic Method for Multiple Objective Binary Linear Programming.Springer Berlin Heidelberg
Siang, Jong Jek.2011.Riset Operasi dalam Pendekatan Algoritmis.Yogyakarta: C.V ANDI OFFSET
Siagian, P..1987.Penelitian Operasional.Jakarta:UI-Press
Stanimirovic, Ivan P.,Zlatanovic, Milan Lj., dan Petkovic, Marko D.2011.On The Linear Weighted Sum Method for Multi-Objective Optimization.Serbia:Facta Universitatis
Universitas Sumatera Utara
Lampiran 1. Program Lingo 13.0 pada Masalah Transportasi
29
MODEL:
SETS: GUDANG: STOK; PELANGGAN: PERMINTAAN; LINKS(GUDANG,PELANGGAN): B_MOBIL, PELUANG, MOBIL, JUMLAH, HARGA_KOSONG; ENDSETS
! Datanya diberikan sebagai berikut:; DATA: !Anggota Himpunan; GUDANG = G1..G3; PELANGGAN = P1..P4;
!Nilai-nilai; STOK = 179 107 221;
PERMINTAAN = 94 132 157 115;
B_MOBIL = 48.13 88.57 68.64 72.24 96.26 98.19 66.76 94.27 60.78 19.61 87.02 47.75;
PELUANG = 0.0658 0.0848 0.1021 0.1198 0.0476 0.0940 0.0809 0.0598 0.0666 0.1045 0.0680 0.0571;
HARGA_KOSONG = 0.235 0.233 0.249 0.242 0.271 0.245 0.258 0.260 0.256 0.256 0.264 0.257; ENDDATA
!======================================================;
!FUNGSI TUJUAN1 : Meminimumkan Biaya Penggunaan Mobil; MIN = @SUM(LINKS(I,J): @IF(JUMLAH(I,J) #GE# 0,1,0)*MOBIL(I,J)*
B_MOBIL(I,J));
!FUNGSI TUJUAN2 : Meminimumkan Biaya Ruang Kosong pada Mobil MIN = @SUM(LINKS(I,J): (13*MOBIL(I,J) - JUMLAH(I,J))*HARGA_KOSONG(I,J));
!FUNGSI TUJUAN3 : Meminimumkan Jumlah Barang Rusak Selama Perjalanan MIN = @SUM(LINKS(I,J): PELUANG(I,J)*JUMLAH(I,J));
!Kendala Permintaan; @FOR(PELANGGAN(J): @SUM(GUDANG(I):JUMLAH(I,J)) = PERMINTAAN(J));
Universitas Sumatera Utara
30
!Kendala Stok/Kapasitas; @FOR(GUDANG(I): @SUM(PELANGGAN(J):JUMLAH(I,J)) = 0); @FOR(LINKS(I,J): 13*MOBIL(I,J) - JUMLAH(I,J) < 13); @FOR(LINKS: @GIN(MOBIL)); @FOR(LINKS: @GIN(JUMLAH)); !KENDALA FUNGSI TUJUAN3 : Jumlah Barang Rusak Selama Perjalanan @SUM(LINKS(I,J): PELUANG(I,J)*JUMLAH(I,J))=...; !KENDALA FUNGSI TUJUAN2 : Biaya Ruang Kosong pada Mobil @SUM(LINKS(I,J): (13*MOBIL(I,J) - JUMLAH(I,J))*HARGA_KOSONG(I,J))=...; !KENDALA FUNGSI TUJUAN1 : Biaya Penggunaan Mobil @SUM(LINKS(I,J): @IF(JUMLAH(I,J) #GE# 0,1,0)*MOBIL(I,J)*
B_MOBIL(I,J)) = ...; END
Universitas Sumatera Utara
31 Lampiran 2. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f1, f2, f3.
Tahap 1. Meminimumkan f1(x)
f1(x) = 1954, 880
mij 1 2 3 4 1 8 0 42 2 0 0 90 3 0 11 0 7
xij 1 2 3 4 1 94 0 50 26 2 0 0 107 0 3 0 132 0 89
Tahap 2. Meminimumkan f2(x)
f1(x) = 1954, 8800 f2(x) = 8, 7580
mij 1 2 3 4 1 8 0 42 2 0 0 90 3 0 11 0 7
xij 1 2 3 4 1 94 0 50 26 2 0 0 107 0 3 0 132 0 89
Tahap 3. Meminimumkan f3(x)
f1(x) = 1954, 8800 f2(x) = 8, 7580 f3(x) = 41, 9372
mij 1 2 3 4 1 8 0 42 2 0 0 90 3 0 11 0 7
xij 1 2 3 4 1 94 0 50 26 2 0 0 107 0 3 0 132 0 89
Universitas Sumatera Utara
32 Lampiran 3. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f1, f3, f2.
Tahap 1. Meminimumkan f1(x)
f1(x) = 1954, 880
mij 1 2 3 4 1 8 0 42 2 0 0 90 3 0 11 0 7
xij 1 2 3 4 1 94 0 50 26 2 0 0 107 0 3 0 132 0 89
Tahap 2. Meminimumkan f3(x)
f1(x) = 1954, 8800 f3(x) = 41, 9372
mij 1 2 3 4 1 8 0 42 2 0 0 90 3 0 11 0 7
xij 1 2 3 4 1 94 0 50 26 2 0 0 107 0 3 0 132 0 89
Tahap 3. Meminimumkan f2(x)
f1(x) = 1954, 8800 f3(x) = 41, 9372 f2(x) = 8, 7580
mij 1 2 3 4 1 8 0 42 2 0 0 90 3 0 11 0 7
xij 1 2 3 4 1 94 0 50 26 2 0 0 107 0 3 0 132 0 89
Universitas Sumatera Utara
33 Lampiran 4. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f2, f1, f3.
Tahap 1. Meminimumkan f2(x)
f2(x) = 8, 3850
mij 1 2 3 4 1 3 1 66 2 4 0 31 3 1 10 4 2
xij 1 2 3 4 1 29 2 66 76 2 52 0 39 13 3 13 130 52 26
Tahap 2. Meminimumkan f1(x)
f2x) = 8, 3850 f1(x) = 2025, 720
mij 1 2 3 4 1 8 1 52 2 0 0 80 3 0 10 0 7
xij 1 2 3 4 1 94 2 53 24 2 0 0 104 0 3 0 130 0 91
Tahap 3. Meminimumkan f3(x)
f2x) = 8, 3850 f1(x) = 2025, 720 f3(x) = 41, 8360
mij 1 2 3 4 1 8 1 52 2 0 0 80 3 0 10 0 7
xij 1 2 3 4 1 94 2 53 24 2 0 0 104 0 3 0 130 0 91
Universitas Sumatera Utara
34 Lampiran 5. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f2, f3, f1.
Tahap 1. Meminimumkan f2(x)
f2(x) = 8, 3850
mij 1 2 3 4 1 3 1 66 2 4 0 31 3 1 10 4 2
xij 1 2 3 4 1 29 2 66 76 2 52 0 39 13 3 13 130 52 26
Tahap 2. Meminimumkan f3(x)
f2x) = 8, 3850 f3(x) = 34, 26740
mij 1 2 3 4 1 3 11 1 1 2 50 03 3 0 0 12 5
xij 1 2 3 4 1 29 132 1 11 2 65 0 0 39 3 0 0 156 65
Tahap 3. Meminimumkan f1(x)
f2x) = 8, 3850 f3(x) = 34, 26740 f1(x) = 3306, 640
mij 1 2 3 4 1 3 11 1 1 2 50 03 3 0 0 12 5
xij 1 2 3 4 1 29 132 1 11 2 65 0 0 39 3 0 0 156 65
Universitas Sumatera Utara
35 Lampiran 6. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f3, f1, f2.
Tahap 1. Meminimumkan f3(x)
f3(x) = 33, 7398
mij 1 2 3 4 1 3 11 1 1 2 51 14 3 1 1 13 5
xij 1 2 3 4 1 38 132 0 0 2 56 0 0 51 3 0 0 157 64
Tahap 2. Meminimumkan f1(x)
f3(x) = 33, 7398 f1(x) = 3347, 0500
SKRIPSI
MANUEL S. MARBUN 100803019
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Universitas Sumatera Utara
METODE LEXICOGRAPHIC DALAM MASALAH TRANSPORTASI
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
MANUEL S. MARBUN 100803019
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
: Metode Lexicographic dalam Masalah Trans-
portasi
Kategori
: Skripsi
Nama
: Manuel S. Marbun
Nomor Induk Mahasiswa : 100803019
Program Studi
: Sarjana (S1) Matematika
Departemen
: Matematika
Fakultas
: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di Medan, Juli 2014
Komisi Pembimbing Pembimbing 2,
Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si. NIP. 195312181980031003
Disetujui Oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si. NIP. 19620901198803102
i
Pembimbing 1, Dr. Mardiningsih, M.Si. NIP. 196304051988112001
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
METODE LEXICOGRAPHIC DALAM MASALAH TRANSPORTASI SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Juli 2014 MANUEL S. MARBUN 100803019
ii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, dengan limpah karunia-Nya Penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Metode Lexicographic dalam Masalah Transportasi.
Terimakasih penulis sampaikan kepada Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si. selaku pembimbing 1 dan Bapak Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si. selaku pembimbing 2 yang telah meluangkan waktunya selama penulisan skripsi ini. Terima kasih kepada Bapak Drs. Pasukat Sembiring, M.Si dan Bapak Drs. Sawaluddin, M.I.T. sebagai penguji yang telah memberikan kritik dan saran yang membangun dalam penyempurnaan skripsi ini. Terimakasih kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU. Terimakasih kepada Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU serta seluruh civitas akademika di lingkungan FMIPA USU. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Ayahanda Ir. Tambok Marbun dan Ibunda Herlina Manalu serta saudara-saudari penulis Sumiharjo Fans Christian Marbun, Ester Gracia Marbun, Lydia De Vega Marbun, dan Adolf Yoshua Marbun yang selama ini memberikan bantuan dan motivasi untuk menyelesaikan perkuliahan. Semoga segala bentuk bantuan yang telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang lebih baik dari Tuhan Yesus Kristus.
iii
Universitas Sumatera Utara
METODE LEXICOGRAPHIC DALAM MASALAH TRANSPORTASI ABSTRAK
Masalah transportasi adalah salah satu jenis pemodelan matematika untuk menentukan strategi terbaik dalam distribusi barang dari beberapa gudang ke sejumlah pelanggan agar biaya dapat diminimumkan. Pada tulisan ini, masalah transportasi dikembangkan dengan menggunakan lebih dari satu fungsi tujuan, yaitu meminimumkan biaya transportasi, meminimumkan kekosongan kapasitas mobil, dan meminimumkan kerusakan barang selama perjalanan. Metode Lexicographic juga akan dikaji untuk menyelesaikan masalah transportasi. Di akhir tulisan ini, diberikan suatu pendekatan numerik untuk memperlihatkan keragaman nilai optimal setiap fungsi tujuan seiring perbedaan urutan prioritas fungsi tujuan. Kata kunci: lexicographic, masalah transportasi, optimum pareto, prioritas
iv
Universitas Sumatera Utara
LEXICOGRAPHIC METHOD FOR TRANSPORTATION PROBLEM ABSTRACT
Transportation problem is a kind of mathematical programming to find the best strategy in distributing goods from several warehouses to several customers in order that the total cost can be minimized. In this paper, transportation problem is developed by using more than one objectives, such as minimizing the total cost, minimizing the underused capacity, and minimizing the number of broken goods in travel. Lexicographic Method will be discussed to solve transportation problem. In the end of this paper, given a numerical approach to show varieties of objectives based on different order of priority. Keywords: lexicographic, transportation problem, pareto optimum, priorities
v
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Persetujuan Pernyataan Penghargaan Abstrak Abstract Daftar Isi Daftar Tabel Daftar Lampiran
Bab 1.
Pendahuluan 1.1 Latar Belakang Penelitian 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Batasan Masalah 1.4 Tujuan Penelitian 1.5 Kontribusi Penelitian 1.6 Metodologi Penelitian
1.6.1 Alat 1.6.2 Langkah-langkah
Bab 2.
Tinjauan Pustaka 2.1 Masalah Transportasi 2.3 Program Tujuan Ganda dan Solusi Pareto-Optimal 2.4 Metode Lexicographic
Bab 3.
Pembahasan 3.1 Masalah Transportasi
3.1.1 Asumsi 3.1.2 Formulasi Model 3.2 Metode Lexicographic 3.2.1 Algoritma Metode Lexicographic 3.3 Pendekatan Numerik
Bab 4. Kesimpulan dan Saran 4.1 Kesimpulan 4.2 Saran
Daftar Pustaka
Halaman i ii
iii iv v vi vii viii
1 1 2 2 2 2 3 3 3
5 5 7 9
11 11 11 12 15 17 17
26 26 26
28
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
No. Judul Hal.
3.1 Jumlah persediaan barang pada gudang i
18
3.2 Jumlah permintaan pelanggan j
18
3.3 Biaya penggunaan sebuah mobil dari gudang i ke pelanggan j
18
3.4 Biaya kekosongan sebuah barang dari gudang i ke pelanggan j
19
3.5 Peluang sebuah barang rusak dari gudang i ke pelanggan j
19
3.6 Nilai optimal setiap fungsi tujuan dari berbagai urutan prioritas 21
3.7 Nilai fi∗ dan fi+ 3.8 Proporsi penyimpangan nilai fungsi tujuan
21 22
3.9 Interpretasi skala standar Analytic Hierarchy Process
23
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR LAMPIRAN
No. Judul 1. Program Lingo 13.0 pada Masalah Transportasi 2. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f1, f2, f3. 3. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f1, f3, f2. 4. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f2, f1, f3. 5. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f2, f3, f1. 6. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f3, f1, f2. 7. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f3, f2, f1.
Hal. 29 31 32 33 34 35 36
viii
Universitas Sumatera Utara
METODE LEXICOGRAPHIC DALAM MASALAH TRANSPORTASI ABSTRAK
Masalah transportasi adalah salah satu jenis pemodelan matematika untuk menentukan strategi terbaik dalam distribusi barang dari beberapa gudang ke sejumlah pelanggan agar biaya dapat diminimumkan. Pada tulisan ini, masalah transportasi dikembangkan dengan menggunakan lebih dari satu fungsi tujuan, yaitu meminimumkan biaya transportasi, meminimumkan kekosongan kapasitas mobil, dan meminimumkan kerusakan barang selama perjalanan. Metode Lexicographic juga akan dikaji untuk menyelesaikan masalah transportasi. Di akhir tulisan ini, diberikan suatu pendekatan numerik untuk memperlihatkan keragaman nilai optimal setiap fungsi tujuan seiring perbedaan urutan prioritas fungsi tujuan. Kata kunci: lexicographic, masalah transportasi, optimum pareto, prioritas
iv
Universitas Sumatera Utara
LEXICOGRAPHIC METHOD FOR TRANSPORTATION PROBLEM ABSTRACT
Transportation problem is a kind of mathematical programming to find the best strategy in distributing goods from several warehouses to several customers in order that the total cost can be minimized. In this paper, transportation problem is developed by using more than one objectives, such as minimizing the total cost, minimizing the underused capacity, and minimizing the number of broken goods in travel. Lexicographic Method will be discussed to solve transportation problem. In the end of this paper, given a numerical approach to show varieties of objectives based on different order of priority. Keywords: lexicographic, transportation problem, pareto optimum, priorities
v
Universitas Sumatera Utara
Bab 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Penelitian Operasi Riset merupakan disiplin ilmu matematika aplikasi yang telah membawa pengaruh besar pada dunia sejak perang dunia kedua. Beberapa contoh masalah Operasi Riset adalah sebagai berikut:
1. Selain mengharapkan keuntungan yang besar, seorang Manajer perlu mengerjakan proyeknya dengan waktu yang singkat.
2. Selain mengharapkan keuntungan maksimal, seorang Developer properti ingin membangun rumah sewa dengan jumlah yang besar.
3. Selain mengharapkan return saham yang menggiurkan, seorang Investor perlu meminimumkan risiko atau kerugian dari Investasi yang akan dilakukannya.
4. Perusahaan yang memproduksi galon air mineral, harus memperhatikan volume air yang harus 19 liter, desain yang elegan, biaya produksi yang minimum, penyusunan yang baik saat distribusi, dan keuntungan yang maksimal
5. Seorang manajer meminimumkan biaya transportasi saat mengantar barang dari beberapa gudang ke sejumlah pelanggan.
Khusus pada contoh 5 di atas, masalah transportasi merupakan masalah yang sering terjadi pada perusahaan yang mendistribusikan produknya ke pelanggan atau perusahaan lain. Pada umumnya, masalah transportasi adalah bentuk program linier dengan satu fungsi tujuan. Akan tetapi, ketunggalan fungsi tujuan akan kurang memenuhi fakta-fakta yang terjadi di dunia nyata karena ada aspekaspek lain yang harus diperhatikan, seperti minimum waktu distribusi produk, pertimbangan hubungan antar pelanggan yang satu dengan yang lain (Nunkeaw et al, 2009), dan lain-lain. Dengan menggunakan lebih dari satu fungsi tujuan, masalah transportasi menjadi sebuah persoalan program linier tujuan ganda.
Universitas Sumatera Utara
2
Ada beberapa metode untuk menyelesaikan program linier tujuan ganda, salah satunya adalah Metode Lexicographic. Dalam Wikipedia.org, metode lexicographic berasumsi bahwa setiap fungsi tujuan dapat diurutkan (ranking) dalam urutan kepentingan menurut pembuat keputusan (Decision Maker ). Dengan kata lain, metode lexicographic memerlukan preferensi dari pembuat keputusan sendiri agar dapat dikerjakan. Secara intuisi, akan terlihat suatu relativitas dalam metode lexicographic karena hasil optimal akan berbeda-beda bila masalah transportasi tersebut dikerjakan oleh orang yang berbeda-beda pula. Sementara, pengguna operasi riset tetap menginginkan solusi terbaik dari prosedur lexicographic. Oleh karena itu, penulis mengangkat judul, ”Metode lexicographic dalam Masalah Transportasi”.
1.2 Perumusan Masalah Metode lexicographic membutuhkan preferensi urutan kepentingan fungsi tujuan dari pembuat keputusan. Masalah penelitian ini adalah menentukan urutan yang bagaimanakah yang memberikan hasil paling optimal kepada pembuat keputusan.
1.3 Batasan Masalah 1. Penulis membahas metode lexicographic hanya dalam masalah transportasi.
2. Penulis membatasi penelitian dengan 3 fungsi tujuan dalam model.
1.4 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah untuk mengkaji metode lexicographic dan menyelesaikan masalah transportasi berbentuk program linier tujuan ganda.
1.5 Kontribusi Penelitian Dari penelitian ini, penulis optimis dapat memberikan kontribusi kepada pembaca berupa:
1. literatur tentang masalah transportasi
2. literatur tentang metode lexicographic dalam menyelesaikan program linier tujuan ganda
Universitas Sumatera Utara
3
1.6 Metodologi Penelitian 1.6.1 Alat Untuk membantu menganalisis data, penulis menggunakan software LINGO 13.0 dan AIMMS 3.13.
1.6.2 Langkah-langkah 1.6.2.1 Mengkaji Masalah Transportasi Tahap ini dilakukan dengan studi literatur dan pengamatan di lapangan. Akan diamati kondisi truk saat akan berangkat, saat dalam perjalanan, dan saat truk tiba di tempat pelanggan karena dicurigai bahwa hal-hal tersebut mempengaruhi strategi transportasi yang optimal. Sebagai contoh, dalam perjalanan, truk yang memuat barang dengan jumlah yang besar justru akan memperlambat transportasi dan juga akan membuat kondisi lalu lintas tidak kondusif.
Setelah studi literatur dan pengamatan dilakukan, masalah transportasi tersebut dimodelkan dalam bentuk program linier tujuan ganda sehingga diperoleh model matematika yang lebih kompleks daripada model transportasi dalam program linier.
1.6.2.2 Mengkaji Metode Lexicographic Tahap ini dilakukan dengan studi literatur, yaitu dengan mengkaji karakteristik metode lexicographic sehingga dapat diamati pengaruh urutan prioritas fungsi tujuan terhadap hasil optimal. Pada tahap ini, juga dilakukan suatu pendekatan numerik dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Mengambil sebuah contoh masalah transportasi
2. Mendaftarkan seluruh urutan prioritas fungsi tujuan
3. Mengambil hipotesis urutan yang memberikan hasil minimal
4. Memperoleh hasil-hasil optimal dari setiap urutan dengan menggunakan Metode lexicographic .
Universitas Sumatera Utara
4 5. Menentukan nilai minimal dari hasil-hasil optimal tersebut. 6. Mengamati apakah urutan yang memberikan hasil minimal sesuai dengan uru-
tan dugaan (hipotesis). Bila sesuai, kembali melakukan langkah 4 hingga langkah 6 dengan masalah transportasi yang lain. Bila tidak sesuai, maka lanjut ke langkah 7. 7. Mengambil kesimpulan bahwa “tidak terdapat urutan fungsi tujuan tertentu yang selalu memberikan hasil optimal dalam masalah transportasi berbentuk program linier tujuan ganda”. 8. Mengkaji Analytic Hierarchy Process untuk menentukan urutan prioritas fungsi tujuan. 9. Menentukan algoritma untuk menyelesaikan masalah transportasi berbentuk program linier tujuan ganda dengan metode lexicographic . 1.6.2.3. Membuat Kesimpulan Kesimpulan yang diambil adalah tentang urutan prioritas fungsi tujuan yang bagaimana yang dapat memberikan hasil paling optimal dan algoritma untuk menyelesaikan masalah transportasi berbentuk program linier tujuan ganda.
Universitas Sumatera Utara
Bab 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Masalah Transportasi Masalah transportasi pertama kali digunakan pada awal perang dunia kedua untuk menentukan bagaimana mengirimkan pasukan yang terletak disuatu tempat latihan Amerika Serikat ke medan perang di Eropa dan Asia, kemudian dikembangkan oleh F. L. Hitchcock sejak 1941 sebagai persoalan distribusi atau transportasi produk dari gudang ke pelanggan. Ilustrasinya adalah sebagai berikut:
Gambar 1. Jaringan Masalah Transportasi Sebuah perusahaan memiliki sejumlah gudang penyedia suatu produk yang tersebar di beberapa daerah. Pada daerah tersebut, juga tersebar pelanggan yang masing-masing membutuhkan sejumlah produk pada saat yang sama. Masingmasing pelanggan membutuhkan produk dengan jumlah yang berbeda-beda. Dalam distribusi produk dari gudang ke suatu pelanggan, perusahaan memerlukan biaya tertentu. Biaya distribusi bergantung pada jumlah produk yang didistribusikan. Oleh karena itu, Manajer harus mengatur distribusi dari setiap gudang agar biaya transportasi minimal dan seluruh permintaan pelanggan terpenuhi. Nunkeaw et al (2009) menyatakan model masalah transportasi dalam bentuk program linier sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
Model 2.1 kendala:
MN
min f (g) =
cij gij
i=1 j=1
N
gij ≤ Si, ∀i
j=1 M
gij = Dj, ∀j
i=1 MN
Si = Dj
i=1 j=1
gij ≥ 0, ∀i, j
6
2.1
2.2 2.3 2.4 2.5
Persamaan (2.1) adalah fungsi tujuan model transportasi untuk meminimumkan total biaya transportasi. Total jumlah barang yang diangkut dari suatu gudang untuk didistribusikan tidak lebih dari kapasitas gudang tersebut, seperti yang dinyatakan oleh persamaan (2.2). Persamaan (2.3) adalah persamaan yang menunjukkan bahwa total jumlah barang yang diangkut dari setiap gudang ke suatu pelanggan tepat memenuhi jumlah barang kebutuhan setiap pelanggan. Persamaan (2.4) menunjukkan bahwa total jumlah produk yang tersedia di seluruh gudang harus sama dengan total jumlah permintaan seluruh pelanggan, dan persamaan (2.5) menunjukkan bahwa persamaan (2.2), persamaan (2.3), dan persamaan (2.4) adalah kendala yang tak negatif.
Nunkeaw et al (2009) juga menilai bahwa penggunaan hanya satu fungsi tujuan dalam masalah transportasi tidak cukup karena itu akan kurang mendekati solusi optimal di dunia nyata. Oleh karena itu, perusahaan perlu mempertimbangkan beberapa fungsi tujuan lain. Fungsi-fungsi tersebut dapat berkaitan dengan jumlah produk yang diantar, kapasitas tak terpakai dalam sebuah mobil, konsumsi engergi, total waktu distribusi, dan lain-lain.
Universitas Sumatera Utara
7
2.2 Program Tujuan Ganda dan Solusi Pareto-Optimal Dalam Caramia et al, sebuah persoalan optimisasi dengan fungsi tujuan tunggal dapat diformulasikan sebagai berikut:
min f (x) x∈S
di mana f adalah sebuah fungsi skalar dan S adalah daerah fisibel yang didefinisikan sebagai
S = {x ∈ Rm : Ax = 0}. di mana A adalah matriks koefisien x pada kendala. Program Tujuan Ganda dapat dimodelkan secara matematis sebagai berikut:
min [f1(x), f2(x), . . . , fn(x)] x ∈ S,
di mana n > 1. Definisikan Ruang Objektif adalah ruang yang mengandung seluruh fungsi tujuan, dan definisikan
C = {y ∈ R : y = f (x), x ∈ S}.
Konsep skalar dari ”optimalitas” tidak dapat langsung diaplikasikan pada Program Tujuan Ganda. Di sini, notasi optimalitas Pareto akan diperkenalkan sebagai berikut:
• Sebuah titik x∗ dikatakan Pareto optimum lemah atau sebuah solusi efisien lemah untuk masalah Program Tujuan Ganda jika dan hanya jika tidak terdapat x ∈ S sehingga fi(x) < fi(x∗) untuk setiap i ∈ {1, . . . , n}.
• Sebuah titik x∗ dikatakan Pareto optimum kuat atau sebuah solusi efisien yang tepat untuk masalah Program Tujuan Ganda jika dan hanya jika tidak terdapat x ∈ S sehingga fi(x) ≤ fi(x∗) untuk setiap i ∈ {1, . . . , n}. Bayangan dari himpunan efisien, yaitu bayangan dari seluruh solusi efisien,
Universitas Sumatera Utara
8 disebut Pareto front atau Kurva Pareto. Bentuk dari permukaan Pareto mengindikasikan hubungan antara setiap fungsi tujuan. Sebuah contoh kurva Pareto ditampilkan pada Gambar 2, di mana setiap titik di antara (f2(xˆ), f1(xˆ)) dan (f2(x˜), f1(x˜)) disebut Pareto front. Titik-titik tersebut disebut titik non-inferior atau titik tak-terdominasi.
Gambar 2. Contoh Kurva Pareto Contoh Pareto optimum lemah dan kuat ditunjukkan pada Gambar 3: titik p1 dan p5 adalah Pareto optimum lemah; titik p2, p3, dan p4 adalah Pareto optimum kuat.
Gambar 3. Contoh Pareto optimum lemah dan kuat
Universitas Sumatera Utara
9
2.3 Metode Lexicographic Mathias Ehrgott mengemukakan bahwa dalam optimisasi lexicographic, setiap fungsi tujuan akan dipertimbangkan berdasarkan tingkat kepentingan atau prioritas. Sebuah solusi optimal xˆ dari suatu masalah disebut optimal lexicographic dan yˆ = f (xˆ) adalah sebuah vector minimal lexicographicdalam Y = f (X ), di mana X adalah himpunan vektor x yang memenuhi kendala (fisibel). Optimisasi lexicographicjuga dapat ditulis dengan notasi “lexmin” sebagai berikut:
lexmin(f1(x), f2(x), . . . , fp(x))
x∈X
2.6
Notasi “lexmin” pada persamaan (3.4) di atas menunjukkan proses meminimumkan setiap fungsi tujuan secara lexicographi atau berurutan, yaitu dari fungsi tujuan 1 hingga fungsi tujuan p. Algoritma optimisasi lexicographic akan dijelaskan lebih rinci pada Bab 3. Berikut diberikan definisi solusi dari sebuah optimisasi lexicographic.
Definisi 2.1. Sebuah solusi fisibel xˆ ∈ X adalah solusi lexicographic, jika tidak terdapat x ∈ X sehingga f (x) w2. Oleh karena itu, diperoleh bahwa urutan fungsi tujuan yang memenuhi preferensi pembuat keputusan adalah f1(x), f3(x), f2(x).
Universitas Sumatera Utara
Bab 4 KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan Berdasarkan hasil penelitian yang telah dibahas pada bab sebelumnya, dapat diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut: 1. Dari pendekatan numerik, diketahui bahwa tidak terdapat urutan tertentu
yang secara umum memberikan solusi optimal pada masalah program tujuan ganda. 2. Pada kondisi tertentu, Metode Lexicographic tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah transportasi atau masalah program tujuan ganda lainnya, karena bila pada suatu iterasi tidak terdapat solusi optimal, maka fungsi tujuan berikutnya tidak dapat dioptimalkan. Dengan kata lain, fungsi tujuan tersebut sama sekali tidak diperhitungkan dalam masalah. 3. Penggunaan Analytic Hierarchy Process dan Least Square Method untuk menentukan prioritas fungsi tujuan, tidak menjamin solusi paling optimal dari p! urutan prioritas yang dapat dibentuk dari p fungsi tujuan.
4.2 Saran Berdasarkan proses dan hasil penelitian, penulis menyampaikan beberapa saran sebagai berikut: 1. Peneliti selanjutnya diharapkan meneliti masalah program tujuan ganda yang
menggunakan lebih dari tiga fungsi tujuan. 2. Peneliti selanjutnya yang mengkaji masalah transporasi dan metode lexico-
graphic, dapat menggunakan alat bantu atau software yang lebih canggih, karena software LINGO 13.0 yang penulis pergunakan masih terbatas pada kapasitas jumlah variabel dan kendala yang sedikit.
Universitas Sumatera Utara
27 3. Sebelum menyelesaikan masalah transportasi, peneliti selanjutnya perlu men-
ganalisa kembali setiap fungsi tujuan yang digunakan agar seluruh fungsi tujuan dapat dioptimalkan. 4. Peneliti selanjutnya diharapkan mengkaji metode scalarization yang mengombinasikan seluruh fungsi tujuan ke dalam satu fungsi tujuan untuk menyelesaikan program tujuan ganda, sebagai perbandingan dengan metode preferensi seperti metode lexicographic.
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR PUSTAKA
28
Caramia,M. dan Dell’Olmo, P..2008.Multi-objective Management in Freight Logistics Increasing Capacity, Service Level and Safety with Optimization Algorithms. Springer
Djelatova, Mariana.2001.A Lexicographic Algorithm Solving a Problem of a Multiobjective Flow in a Network.Sofia:Institute of Information Technologies
Ehrgott, Mathiass.2005.Multicriteria Optimization.Auckland:Springer
Ehrgott, Mathiass.2007.Multiobjective Linear Programming.Han sur Lesse: International Doctoral School Algorithmic Decision
Gupta, Prem Kumar., Hira, D.S..2007.Operations Research.India: S.Chand
Gamal, M.D.H..2007.Program Linier dan Integer.Pekanbaru: Pusat Pengembangan Pendidikan Universitas Riau
Isermann, H.. 1982. OR Spektrum—Linear Lexicographic Optimization. SpringerVerlag
Lewis, Catherine.2008.Linear Programming: Theory and Its Applications
Mandler, Michael.2012.The Lexicographic Method in Preference Theory.University of London
Marler, R. Timothy dan Arora, Jasbir S..2010.The Weighted Sum Method for Multiobjective Optimization:new insights.Springer-Verlag
Nunkeaw, Wuttinan and Phruksaphanrat, Busaba.2009.A Multiobjective Programming for Transportation Problem with Consideration of both Depot to Customer and Customer to Customer Relationships
Ojha, Dr.A.K.,Biswal, K.K..2009.Lexicographic Multi-objective Geometric Programming Problems.India:International Journal of Computer Science Issues, Vol. 6, No. 2
Rueda, A.J..1987.A Lexicographic Method for Multiple Objective Binary Linear Programming.Springer Berlin Heidelberg
Siang, Jong Jek.2011.Riset Operasi dalam Pendekatan Algoritmis.Yogyakarta: C.V ANDI OFFSET
Siagian, P..1987.Penelitian Operasional.Jakarta:UI-Press
Stanimirovic, Ivan P.,Zlatanovic, Milan Lj., dan Petkovic, Marko D.2011.On The Linear Weighted Sum Method for Multi-Objective Optimization.Serbia:Facta Universitatis
Universitas Sumatera Utara
Lampiran 1. Program Lingo 13.0 pada Masalah Transportasi
29
MODEL:
SETS: GUDANG: STOK; PELANGGAN: PERMINTAAN; LINKS(GUDANG,PELANGGAN): B_MOBIL, PELUANG, MOBIL, JUMLAH, HARGA_KOSONG; ENDSETS
! Datanya diberikan sebagai berikut:; DATA: !Anggota Himpunan; GUDANG = G1..G3; PELANGGAN = P1..P4;
!Nilai-nilai; STOK = 179 107 221;
PERMINTAAN = 94 132 157 115;
B_MOBIL = 48.13 88.57 68.64 72.24 96.26 98.19 66.76 94.27 60.78 19.61 87.02 47.75;
PELUANG = 0.0658 0.0848 0.1021 0.1198 0.0476 0.0940 0.0809 0.0598 0.0666 0.1045 0.0680 0.0571;
HARGA_KOSONG = 0.235 0.233 0.249 0.242 0.271 0.245 0.258 0.260 0.256 0.256 0.264 0.257; ENDDATA
!======================================================;
!FUNGSI TUJUAN1 : Meminimumkan Biaya Penggunaan Mobil; MIN = @SUM(LINKS(I,J): @IF(JUMLAH(I,J) #GE# 0,1,0)*MOBIL(I,J)*
B_MOBIL(I,J));
!FUNGSI TUJUAN2 : Meminimumkan Biaya Ruang Kosong pada Mobil MIN = @SUM(LINKS(I,J): (13*MOBIL(I,J) - JUMLAH(I,J))*HARGA_KOSONG(I,J));
!FUNGSI TUJUAN3 : Meminimumkan Jumlah Barang Rusak Selama Perjalanan MIN = @SUM(LINKS(I,J): PELUANG(I,J)*JUMLAH(I,J));
!Kendala Permintaan; @FOR(PELANGGAN(J): @SUM(GUDANG(I):JUMLAH(I,J)) = PERMINTAAN(J));
Universitas Sumatera Utara
30
!Kendala Stok/Kapasitas; @FOR(GUDANG(I): @SUM(PELANGGAN(J):JUMLAH(I,J)) = 0); @FOR(LINKS(I,J): 13*MOBIL(I,J) - JUMLAH(I,J) < 13); @FOR(LINKS: @GIN(MOBIL)); @FOR(LINKS: @GIN(JUMLAH)); !KENDALA FUNGSI TUJUAN3 : Jumlah Barang Rusak Selama Perjalanan @SUM(LINKS(I,J): PELUANG(I,J)*JUMLAH(I,J))=...; !KENDALA FUNGSI TUJUAN2 : Biaya Ruang Kosong pada Mobil @SUM(LINKS(I,J): (13*MOBIL(I,J) - JUMLAH(I,J))*HARGA_KOSONG(I,J))=...; !KENDALA FUNGSI TUJUAN1 : Biaya Penggunaan Mobil @SUM(LINKS(I,J): @IF(JUMLAH(I,J) #GE# 0,1,0)*MOBIL(I,J)*
B_MOBIL(I,J)) = ...; END
Universitas Sumatera Utara
31 Lampiran 2. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f1, f2, f3.
Tahap 1. Meminimumkan f1(x)
f1(x) = 1954, 880
mij 1 2 3 4 1 8 0 42 2 0 0 90 3 0 11 0 7
xij 1 2 3 4 1 94 0 50 26 2 0 0 107 0 3 0 132 0 89
Tahap 2. Meminimumkan f2(x)
f1(x) = 1954, 8800 f2(x) = 8, 7580
mij 1 2 3 4 1 8 0 42 2 0 0 90 3 0 11 0 7
xij 1 2 3 4 1 94 0 50 26 2 0 0 107 0 3 0 132 0 89
Tahap 3. Meminimumkan f3(x)
f1(x) = 1954, 8800 f2(x) = 8, 7580 f3(x) = 41, 9372
mij 1 2 3 4 1 8 0 42 2 0 0 90 3 0 11 0 7
xij 1 2 3 4 1 94 0 50 26 2 0 0 107 0 3 0 132 0 89
Universitas Sumatera Utara
32 Lampiran 3. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f1, f3, f2.
Tahap 1. Meminimumkan f1(x)
f1(x) = 1954, 880
mij 1 2 3 4 1 8 0 42 2 0 0 90 3 0 11 0 7
xij 1 2 3 4 1 94 0 50 26 2 0 0 107 0 3 0 132 0 89
Tahap 2. Meminimumkan f3(x)
f1(x) = 1954, 8800 f3(x) = 41, 9372
mij 1 2 3 4 1 8 0 42 2 0 0 90 3 0 11 0 7
xij 1 2 3 4 1 94 0 50 26 2 0 0 107 0 3 0 132 0 89
Tahap 3. Meminimumkan f2(x)
f1(x) = 1954, 8800 f3(x) = 41, 9372 f2(x) = 8, 7580
mij 1 2 3 4 1 8 0 42 2 0 0 90 3 0 11 0 7
xij 1 2 3 4 1 94 0 50 26 2 0 0 107 0 3 0 132 0 89
Universitas Sumatera Utara
33 Lampiran 4. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f2, f1, f3.
Tahap 1. Meminimumkan f2(x)
f2(x) = 8, 3850
mij 1 2 3 4 1 3 1 66 2 4 0 31 3 1 10 4 2
xij 1 2 3 4 1 29 2 66 76 2 52 0 39 13 3 13 130 52 26
Tahap 2. Meminimumkan f1(x)
f2x) = 8, 3850 f1(x) = 2025, 720
mij 1 2 3 4 1 8 1 52 2 0 0 80 3 0 10 0 7
xij 1 2 3 4 1 94 2 53 24 2 0 0 104 0 3 0 130 0 91
Tahap 3. Meminimumkan f3(x)
f2x) = 8, 3850 f1(x) = 2025, 720 f3(x) = 41, 8360
mij 1 2 3 4 1 8 1 52 2 0 0 80 3 0 10 0 7
xij 1 2 3 4 1 94 2 53 24 2 0 0 104 0 3 0 130 0 91
Universitas Sumatera Utara
34 Lampiran 5. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f2, f3, f1.
Tahap 1. Meminimumkan f2(x)
f2(x) = 8, 3850
mij 1 2 3 4 1 3 1 66 2 4 0 31 3 1 10 4 2
xij 1 2 3 4 1 29 2 66 76 2 52 0 39 13 3 13 130 52 26
Tahap 2. Meminimumkan f3(x)
f2x) = 8, 3850 f3(x) = 34, 26740
mij 1 2 3 4 1 3 11 1 1 2 50 03 3 0 0 12 5
xij 1 2 3 4 1 29 132 1 11 2 65 0 0 39 3 0 0 156 65
Tahap 3. Meminimumkan f1(x)
f2x) = 8, 3850 f3(x) = 34, 26740 f1(x) = 3306, 640
mij 1 2 3 4 1 3 11 1 1 2 50 03 3 0 0 12 5
xij 1 2 3 4 1 29 132 1 11 2 65 0 0 39 3 0 0 156 65
Universitas Sumatera Utara
35 Lampiran 6. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f3, f1, f2.
Tahap 1. Meminimumkan f3(x)
f3(x) = 33, 7398
mij 1 2 3 4 1 3 11 1 1 2 51 14 3 1 1 13 5
xij 1 2 3 4 1 38 132 0 0 2 56 0 0 51 3 0 0 157 64
Tahap 2. Meminimumkan f1(x)
f3(x) = 33, 7398 f1(x) = 3347, 0500