Metode Lexicographic Dalam Masalah Transportasi
METODE LEXICOGRAPHIC DALAM MASALAH
TRANSPORTASI
SKRIPSI
MANUEL S. MARBUN
100803019
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
METODE LEXICOGRAPHIC DALAM MASALAH
TRANSPORTASI
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai
gelar Sarjana Sains
MANUEL S. MARBUN
100803019
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
:
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas
:
:
:
:
:
:
Metode Lexicographic dalam Masalah Transportasi
Skripsi
Manuel S. Marbun
100803019
Sarjana (S1) Matematika
Matematika
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, Juli 2014
Komisi Pembimbing
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si.
NIP. 195312181980031003
Dr. Mardiningsih, M.Si.
NIP. 196304051988112001
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si.
NIP. 19620901198803102
i
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
METODE LEXICOGRAPHIC DALAM MASALAH
TRANSPORTASI
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juli 2014
MANUEL S. MARBUN
100803019
ii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha
Penyayang, dengan limpah karunia-Nya Penulis dapat menyelesaikan penyusunan
skripsi ini dengan judul Metode Lexicographic dalam Masalah Transportasi.
Terimakasih penulis sampaikan kepada Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si. selaku
pembimbing 1 dan Bapak Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si. selaku pembimbing
2 yang telah meluangkan waktunya selama penulisan skripsi ini. Terima kasih
kepada Bapak Drs. Pasukat Sembiring, M.Si dan Bapak Drs. Sawaluddin, M.I.T.
sebagai penguji yang telah memberikan kritik dan saran yang membangun dalam
penyempurnaan skripsi ini. Terimakasih kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si
dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU. Terimakasih kepada Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku
Dekan FMIPA USU serta seluruh civitas akademika di lingkungan FMIPA USU.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Ayahanda Ir. Tambok Marbun
dan Ibunda Herlina Manalu serta saudara-saudari penulis Sumiharjo Fans Christian Marbun, Ester Gracia Marbun, Lydia De Vega Marbun, dan Adolf Yoshua
Marbun yang selama ini memberikan bantuan dan motivasi untuk menyelesaikan
perkuliahan. Semoga segala bentuk bantuan yang telah diberikan kepada penulis
mendapatkan balasan yang lebih baik dari Tuhan Yesus Kristus.
iii
Universitas Sumatera Utara
METODE LEXICOGRAPHIC DALAM MASALAH
TRANSPORTASI
ABSTRAK
Masalah transportasi adalah salah satu jenis pemodelan matematika untuk menentukan strategi terbaik dalam distribusi barang dari beberapa gudang ke sejumlah
pelanggan agar biaya dapat diminimumkan. Pada tulisan ini, masalah transportasi dikembangkan dengan menggunakan lebih dari satu fungsi tujuan, yaitu
meminimumkan biaya transportasi, meminimumkan kekosongan kapasitas mobil,
dan meminimumkan kerusakan barang selama perjalanan. Metode Lexicographic
juga akan dikaji untuk menyelesaikan masalah transportasi. Di akhir tulisan ini,
diberikan suatu pendekatan numerik untuk memperlihatkan keragaman nilai optimal setiap fungsi tujuan seiring perbedaan urutan prioritas fungsi tujuan.
Kata kunci: lexicographic, masalah transportasi, optimum pareto, prioritas
iv
Universitas Sumatera Utara
LEXICOGRAPHIC METHOD FOR TRANSPORTATION
PROBLEM
ABSTRACT
Transportation problem is a kind of mathematical programming to find the best
strategy in distributing goods from several warehouses to several customers in
order that the total cost can be minimized. In this paper, transportation problem is developed by using more than one objectives, such as minimizing the total
cost, minimizing the underused capacity, and minimizing the number of broken
goods in travel. Lexicographic Method will be discussed to solve transportation
problem. In the end of this paper, given a numerical approach to show varieties
of objectives based on different order of priority.
Keywords: lexicographic, transportation problem, pareto optimum, priorities
v
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
i
ii
iii
iv
v
vi
vii
viii
Persetujuan
Pernyataan
Penghargaan
Abstrak
Abstract
Daftar Isi
Daftar Tabel
Daftar Lampiran
Bab 1.
Pendahuluan
1.1 Latar Belakang Penelitian
1.2 Perumusan Masalah
1.3 Batasan Masalah
1.4 Tujuan Penelitian
1.5 Kontribusi Penelitian
1.6 Metodologi Penelitian
1.6.1 Alat
1.6.2 Langkah-langkah
1
1
2
2
2
2
3
3
3
Bab 2.
Tinjauan Pustaka
2.1 Masalah Transportasi
2.3 Program Tujuan Ganda dan Solusi Pareto-Optimal
2.4 Metode Lexicographic
5
5
7
9
Bab 3.
Pembahasan
3.1 Masalah Transportasi
3.1.1 Asumsi
3.1.2 Formulasi Model
3.2 Metode Lexicographic
3.2.1 Algoritma Metode Lexicographic
3.3 Pendekatan Numerik
11
11
11
12
15
17
17
Bab 4.
Kesimpulan dan Saran
4.1 Kesimpulan
4.2 Saran
26
26
26
Daftar Pustaka
28
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
No.
Judul
Hal.
3.1
Jumlah persediaan barang pada gudang i
18
3.2
Jumlah permintaan pelanggan j
18
3.3
Biaya penggunaan sebuah mobil dari gudang i ke pelanggan j
18
3.4
Biaya kekosongan sebuah barang dari gudang i ke pelanggan j
19
3.5
Peluang sebuah barang rusak dari gudang i ke pelanggan j
19
3.6
Nilai optimal setiap fungsi tujuan dari berbagai urutan prioritas
21
3.7
Nilai fi∗ dan fi+
21
3.8
Proporsi penyimpangan nilai fungsi tujuan
22
3.9
Interpretasi skala standar Analytic Hierarchy Process
23
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR LAMPIRAN
No.
Judul
Hal.
1.
Program Lingo 13.0 pada Masalah Transportasi
29
2.
Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f1 , f2 , f3 .
31
3.
Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f1 , f3 , f2 .
32
4.
Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f2 , f1 , f3 .
33
5.
Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f2 , f3 , f1 .
34
6.
Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f3 , f1 , f2 .
35
7.
Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f3 , f2 , f1 .
36
viii
Universitas Sumatera Utara
METODE LEXICOGRAPHIC DALAM MASALAH
TRANSPORTASI
ABSTRAK
Masalah transportasi adalah salah satu jenis pemodelan matematika untuk menentukan strategi terbaik dalam distribusi barang dari beberapa gudang ke sejumlah
pelanggan agar biaya dapat diminimumkan. Pada tulisan ini, masalah transportasi dikembangkan dengan menggunakan lebih dari satu fungsi tujuan, yaitu
meminimumkan biaya transportasi, meminimumkan kekosongan kapasitas mobil,
dan meminimumkan kerusakan barang selama perjalanan. Metode Lexicographic
juga akan dikaji untuk menyelesaikan masalah transportasi. Di akhir tulisan ini,
diberikan suatu pendekatan numerik untuk memperlihatkan keragaman nilai optimal setiap fungsi tujuan seiring perbedaan urutan prioritas fungsi tujuan.
Kata kunci: lexicographic, masalah transportasi, optimum pareto, prioritas
iv
Universitas Sumatera Utara
LEXICOGRAPHIC METHOD FOR TRANSPORTATION
PROBLEM
ABSTRACT
Transportation problem is a kind of mathematical programming to find the best
strategy in distributing goods from several warehouses to several customers in
order that the total cost can be minimized. In this paper, transportation problem is developed by using more than one objectives, such as minimizing the total
cost, minimizing the underused capacity, and minimizing the number of broken
goods in travel. Lexicographic Method will be discussed to solve transportation
problem. In the end of this paper, given a numerical approach to show varieties
of objectives based on different order of priority.
Keywords: lexicographic, transportation problem, pareto optimum, priorities
v
Universitas Sumatera Utara
Bab 1
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Penelitian
Operasi Riset merupakan disiplin ilmu matematika aplikasi yang telah membawa
pengaruh besar pada dunia sejak perang dunia kedua. Beberapa contoh masalah
Operasi Riset adalah sebagai berikut:
1. Selain mengharapkan keuntungan yang besar, seorang Manajer perlu mengerjakan proyeknya dengan waktu yang singkat.
2. Selain mengharapkan keuntungan maksimal, seorang Developer properti ingin
membangun rumah sewa dengan jumlah yang besar.
3. Selain mengharapkan return saham yang menggiurkan, seorang Investor perlu
meminimumkan risiko atau kerugian dari Investasi yang akan dilakukannya.
4. Perusahaan yang memproduksi galon air mineral, harus memperhatikan volume air yang harus 19 liter, desain yang elegan, biaya produksi yang minimum, penyusunan yang baik saat distribusi, dan keuntungan yang maksimal
5. Seorang manajer meminimumkan biaya transportasi saat mengantar barang
dari beberapa gudang ke sejumlah pelanggan.
Khusus pada contoh 5 di atas, masalah transportasi merupakan masalah
yang sering terjadi pada perusahaan yang mendistribusikan produknya ke pelanggan atau perusahaan lain. Pada umumnya, masalah transportasi adalah bentuk
program linier dengan satu fungsi tujuan. Akan tetapi, ketunggalan fungsi tujuan
akan kurang memenuhi fakta-fakta yang terjadi di dunia nyata karena ada aspekaspek lain yang harus diperhatikan, seperti minimum waktu distribusi produk,
pertimbangan hubungan antar pelanggan yang satu dengan yang lain (Nunkeaw
et al, 2009), dan lain-lain. Dengan menggunakan lebih dari satu fungsi tujuan,
masalah transportasi menjadi sebuah persoalan program linier tujuan ganda.
Universitas Sumatera Utara
2
Ada beberapa metode untuk menyelesaikan program linier tujuan ganda,
salah satunya adalah Metode Lexicographic. Dalam Wikipedia.org, metode lexicographic berasumsi bahwa setiap fungsi tujuan dapat diurutkan (ranking) dalam
urutan kepentingan menurut pembuat keputusan (Decision Maker ). Dengan
kata lain, metode lexicographic memerlukan preferensi dari pembuat keputusan sendiri agar dapat dikerjakan. Secara intuisi, akan terlihat suatu relativitas
dalam metode lexicographic karena hasil optimal akan berbeda-beda bila masalah transportasi tersebut dikerjakan oleh orang yang berbeda-beda pula. Sementara, pengguna operasi riset tetap menginginkan solusi terbaik dari prosedur
lexicographic. Oleh karena itu, penulis mengangkat judul, ”Metode lexicographic
dalam Masalah Transportasi”.
1.2
Perumusan Masalah
Metode lexicographic membutuhkan preferensi urutan kepentingan fungsi tujuan
dari pembuat keputusan. Masalah penelitian ini adalah menentukan urutan yang
bagaimanakah yang memberikan hasil paling optimal kepada pembuat keputusan.
1.3
Batasan Masalah
1. Penulis membahas metode lexicographic hanya dalam masalah transportasi.
2. Penulis membatasi penelitian dengan 3 fungsi tujuan dalam model.
1.4
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk mengkaji metode lexicographic dan menyelesaikan masalah transportasi berbentuk program linier tujuan ganda.
1.5
Kontribusi Penelitian
Dari penelitian ini, penulis optimis dapat memberikan kontribusi kepada pembaca berupa:
1. literatur tentang masalah transportasi
2. literatur tentang metode lexicographic dalam menyelesaikan program linier
tujuan ganda
Universitas Sumatera Utara
3
1.6
1.6.1
Metodologi Penelitian
Alat
Untuk membantu menganalisis data, penulis menggunakan software LINGO 13.0
dan AIMMS 3.13.
1.6.2
Langkah-langkah
1.6.2.1 Mengkaji Masalah Transportasi
Tahap ini dilakukan dengan studi literatur dan pengamatan di lapangan. Akan
diamati kondisi truk saat akan berangkat, saat dalam perjalanan, dan saat truk
tiba di tempat pelanggan karena dicurigai bahwa hal-hal tersebut mempengaruhi
strategi transportasi yang optimal. Sebagai contoh, dalam perjalanan, truk yang
memuat barang dengan jumlah yang besar justru akan memperlambat transportasi dan juga akan membuat kondisi lalu lintas tidak kondusif.
Setelah studi literatur dan pengamatan dilakukan, masalah transportasi
tersebut dimodelkan dalam bentuk program linier tujuan ganda sehingga diperoleh model matematika yang lebih kompleks daripada model transportasi dalam
program linier.
1.6.2.2 Mengkaji Metode Lexicographic
Tahap ini dilakukan dengan studi literatur, yaitu dengan mengkaji karakteristik
metode lexicographic sehingga dapat diamati pengaruh urutan prioritas fungsi
tujuan terhadap hasil optimal. Pada tahap ini, juga dilakukan suatu pendekatan
numerik dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Mengambil sebuah contoh masalah transportasi
2. Mendaftarkan seluruh urutan prioritas fungsi tujuan
3. Mengambil hipotesis urutan yang memberikan hasil minimal
4. Memperoleh hasil-hasil optimal dari setiap urutan dengan menggunakan Metode lexicographic .
Universitas Sumatera Utara
4
5. Menentukan nilai minimal dari hasil-hasil optimal tersebut.
6. Mengamati apakah urutan yang memberikan hasil minimal sesuai dengan urutan dugaan (hipotesis). Bila sesuai, kembali melakukan langkah 4 hingga
langkah 6 dengan masalah transportasi yang lain. Bila tidak sesuai, maka
lanjut ke langkah 7.
7. Mengambil kesimpulan bahwa “tidak terdapat urutan fungsi tujuan tertentu
yang selalu memberikan hasil optimal dalam masalah transportasi berbentuk
program linier tujuan ganda”.
8. Mengkaji Analytic Hierarchy Process untuk menentukan urutan prioritas fungsi
tujuan.
9. Menentukan algoritma untuk menyelesaikan masalah transportasi berbentuk
program linier tujuan ganda dengan metode lexicographic .
1.6.2.3. Membuat Kesimpulan
Kesimpulan yang diambil adalah tentang urutan prioritas fungsi tujuan yang
bagaimana yang dapat memberikan hasil paling optimal dan algoritma untuk
menyelesaikan masalah transportasi berbentuk program linier tujuan ganda.
Universitas Sumatera Utara
Bab 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Masalah Transportasi
Masalah transportasi pertama kali digunakan pada awal perang dunia kedua untuk menentukan bagaimana mengirimkan pasukan yang terletak disuatu tempat
latihan Amerika Serikat ke medan perang di Eropa dan Asia, kemudian dikembangkan oleh F. L. Hitchcock sejak 1941 sebagai persoalan distribusi atau transportasi produk dari gudang ke pelanggan. Ilustrasinya adalah sebagai berikut:
Gambar 1. Jaringan Masalah Transportasi
Sebuah perusahaan memiliki sejumlah gudang penyedia suatu produk yang
tersebar di beberapa daerah. Pada daerah tersebut, juga tersebar pelanggan yang
masing-masing membutuhkan sejumlah produk pada saat yang sama. Masingmasing pelanggan membutuhkan produk dengan jumlah yang berbeda-beda.
Dalam distribusi produk dari gudang ke suatu pelanggan, perusahaan memerlukan biaya tertentu. Biaya distribusi bergantung pada jumlah produk yang
didistribusikan. Oleh karena itu, Manajer harus mengatur distribusi dari setiap
gudang agar biaya transportasi minimal dan seluruh permintaan pelanggan terpenuhi. Nunkeaw et al (2009) menyatakan model masalah transportasi dalam
bentuk program linier sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
6
Model 2.1
min f (g) =
M X
N
X
cij gij
2.1
i=1 j=1
kendala:
N
X
gij ≤ Si , ∀i
2.2
gij = Dj , ∀j
2.3
j=1
M
X
i=1
M
X
i=1
Si =
N
X
Dj
2.4
j=1
gij ≥ 0, ∀i, j
2.5
Persamaan (2.1) adalah fungsi tujuan model transportasi untuk meminimumkan total biaya transportasi. Total jumlah barang yang diangkut dari suatu
gudang untuk didistribusikan tidak lebih dari kapasitas gudang tersebut, seperti
yang dinyatakan oleh persamaan (2.2). Persamaan (2.3) adalah persamaan yang
menunjukkan bahwa total jumlah barang yang diangkut dari setiap gudang ke
suatu pelanggan tepat memenuhi jumlah barang kebutuhan setiap pelanggan.
Persamaan (2.4) menunjukkan bahwa total jumlah produk yang tersedia di seluruh gudang harus sama dengan total jumlah permintaan seluruh pelanggan, dan
persamaan (2.5) menunjukkan bahwa persamaan (2.2), persamaan (2.3), dan
persamaan (2.4) adalah kendala yang tak negatif.
Nunkeaw et al (2009) juga menilai bahwa penggunaan hanya satu fungsi tujuan dalam masalah transportasi tidak cukup karena itu akan kurang mendekati
solusi optimal di dunia nyata. Oleh karena itu, perusahaan perlu mempertimbangkan beberapa fungsi tujuan lain. Fungsi-fungsi tersebut dapat berkaitan
dengan jumlah produk yang diantar, kapasitas tak terpakai dalam sebuah mobil,
konsumsi engergi, total waktu distribusi, dan lain-lain.
Universitas Sumatera Utara
7
2.2
Program Tujuan Ganda dan Solusi Pareto-Optimal
Dalam Caramia et al, sebuah persoalan optimisasi dengan fungsi tujuan tunggal
dapat diformulasikan sebagai berikut:
min f (x)
x∈S
di mana f adalah sebuah fungsi skalar dan S adalah daerah fisibel yang didefinisikan sebagai
S = {x ∈ Rm : Ax = 0}.
di mana A adalah matriks koefisien x pada kendala. Program Tujuan
Ganda dapat dimodelkan secara matematis sebagai berikut:
min [f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)]
x ∈ S,
di mana n > 1. Definisikan Ruang Objektif adalah ruang yang mengandung
seluruh fungsi tujuan, dan definisikan
C = {y ∈ R : y = f (x), x ∈ S}.
Konsep skalar dari ”optimalitas” tidak dapat langsung diaplikasikan pada
Program Tujuan Ganda. Di sini, notasi optimalitas Pareto akan diperkenalkan
sebagai berikut:
• Sebuah titik x∗ dikatakan Pareto optimum lemah atau sebuah solusi efisien
lemah untuk masalah Program Tujuan Ganda jika dan hanya jika tidak
terdapat x ∈ S sehingga fi (x) < fi (x∗ ) untuk setiap i ∈ {1, . . . , n}.
• Sebuah titik x∗ dikatakan Pareto optimum kuat atau sebuah solusi efisien
yang tepat untuk masalah Program Tujuan Ganda jika dan hanya jika tidak
terdapat x ∈ S sehingga fi (x) ≤ fi (x∗ ) untuk setiap i ∈ {1, . . . , n}.
Bayangan dari himpunan efisien, yaitu bayangan dari seluruh solusi efisien,
Universitas Sumatera Utara
8
disebut Pareto front atau Kurva Pareto. Bentuk dari permukaan Pareto mengindikasikan hubungan antara setiap fungsi tujuan. Sebuah contoh kurva Pareto
ditampilkan pada Gambar 2, di mana setiap titik di antara (f2 (ˆ
x), f1 (ˆ
x)) dan
(f2 (˜
x), f1 (˜
x)) disebut Pareto front. Titik-titik tersebut disebut titik non-inferior
atau titik tak-terdominasi.
Gambar 2. Contoh Kurva Pareto
Contoh Pareto optimum lemah dan kuat ditunjukkan pada Gambar 3:
titik p1 dan p5 adalah Pareto optimum lemah; titik p2 , p3 , dan p4 adalah Pareto
optimum kuat.
Gambar 3. Contoh Pareto optimum lemah dan kuat
Universitas Sumatera Utara
9
2.3
Metode Lexicographic
Mathias Ehrgott mengemukakan bahwa dalam optimisasi lexicographic, setiap
fungsi tujuan akan dipertimbangkan berdasarkan tingkat kepentingan atau prioritas. Sebuah solusi optimal xˆ dari suatu masalah disebut optimal lexicographic
dan yˆ = f (ˆ
x) adalah sebuah vector minimal lexicographicdalam Y = f (X ), di
mana X adalah himpunan vektor x yang memenuhi kendala (fisibel). Optimisasi
lexicographicjuga dapat ditulis dengan notasi “lexmin” sebagai berikut:
lexmin(f1 (x), f2 (x), . . . , fp (x))
2.6
x∈X
Notasi “lexmin” pada persamaan (3.4) di atas menunjukkan proses meminimumkan setiap fungsi tujuan secara lexicographi atau berurutan, yaitu dari fungsi tujuan 1 hingga fungsi tujuan p. Algoritma optimisasi lexicographic akan dijelaskan
lebih rinci pada Bab 3. Berikut diberikan definisi solusi dari sebuah optimisasi
lexicographic.
Definisi 2.1. Sebuah solusi fisibel xˆ ∈ X adalah solusi lexicographic, jika tidak
terdapat x ∈ X sehingga f (x) w2 . Oleh karena itu, diperoleh bahwa urutan fungsi tujuan yang memenuhi preferensi pembuat keputusan
adalah f1 (x), f3 (x), f2 (x).
Universitas Sumatera Utara
Bab 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1
Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian yang telah dibahas pada bab sebelumnya, dapat
diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut:
1. Dari pendekatan numerik, diketahui bahwa tidak terdapat urutan tertentu
yang secara umum memberikan solusi optimal pada masalah program tujuan
ganda.
2. Pada kondisi tertentu, Metode Lexicographic tidak dapat digunakan untuk
menyelesaikan masalah transportasi atau masalah program tujuan ganda lainnya, karena bila pada suatu iterasi tidak terdapat solusi optimal, maka fungsi
tujuan berikutnya tidak dapat dioptimalkan. Dengan kata lain, fungsi tujuan
tersebut sama sekali tidak diperhitungkan dalam masalah.
3. Penggunaan Analytic Hierarchy Process dan Least Square Method untuk menentukan prioritas fungsi tujuan, tidak menjamin solusi paling optimal dari p!
urutan prioritas yang dapat dibentuk dari p fungsi tujuan.
4.2
Saran
Berdasarkan proses dan hasil penelitian, penulis menyampaikan beberapa saran
sebagai berikut:
1. Peneliti selanjutnya diharapkan meneliti masalah program tujuan ganda yang
menggunakan lebih dari tiga fungsi tujuan.
2. Peneliti selanjutnya yang mengkaji masalah transporasi dan metode lexicographic, dapat menggunakan alat bantu atau software yang lebih canggih,
karena software LINGO 13.0 yang penulis pergunakan masih terbatas pada
kapasitas jumlah variabel dan kendala yang sedikit.
Universitas Sumatera Utara
27
3. Sebelum menyelesaikan masalah transportasi, peneliti selanjutnya perlu menganalisa kembali setiap fungsi tujuan yang digunakan agar seluruh fungsi tujuan dapat dioptimalkan.
4. Peneliti selanjutnya diharapkan mengkaji metode scalarization yang mengombinasikan seluruh fungsi tujuan ke dalam satu fungsi tujuan untuk menyelesaikan program tujuan ganda, sebagai perbandingan dengan metode preferensi
seperti metode lexicographic.
Universitas Sumatera Utara
28
DAFTAR PUSTAKA
Caramia,M. dan Dell’Olmo, P..2008.Multi-objective Management in Freight Logistics Increasing Capacity, Service Level and Safety with Optimization Algorithms. Springer
Djelatova, Mariana.2001.A Lexicographic Algorithm Solving a Problem of a Multiobjective Flow in a Network.Sofia:Institute of Information Technologies
Ehrgott, Mathiass.2005.Multicriteria Optimization.Auckland:Springer
Ehrgott, Mathiass.2007.Multiobjective Linear Programming.Han sur Lesse: International Doctoral School Algorithmic Decision
Gupta, Prem Kumar., Hira, D.S..2007.Operations Research.India: S.Chand
Gamal, M.D.H..2007.Program Linier dan Integer.Pekanbaru: Pusat Pengembangan Pendidikan Universitas Riau
Isermann, H.. 1982. OR Spektrum—Linear Lexicographic Optimization. SpringerVerlag
Lewis, Catherine.2008.Linear Programming: Theory and Its Applications
Mandler, Michael.2012.The Lexicographic Method in Preference Theory.University
of London
Marler, R. Timothy dan Arora, Jasbir S..2010.The Weighted Sum Method for
Multiobjective Optimization:new insights.Springer-Verlag
Nunkeaw, Wuttinan and Phruksaphanrat, Busaba.2009.A Multiobjective Programming for Transportation Problem with Consideration of both Depot to
Customer and Customer to Customer Relationships
Ojha, Dr.A.K.,Biswal, K.K..2009.Lexicographic Multi-objective Geometric Programming Problems.India:International Journal of Computer Science Issues, Vol. 6, No. 2
Rueda, A.J..1987.A Lexicographic Method for Multiple Objective Binary Linear
Programming.Springer Berlin Heidelberg
Siang, Jong Jek.2011.Riset Operasi dalam Pendekatan Algoritmis.Yogyakarta:
C.V ANDI OFFSET
Siagian, P..1987.Penelitian Operasional.Jakarta:UI-Press
Stanimirovic, Ivan P.,Zlatanovic, Milan Lj., dan Petkovic, Marko D.2011.On The
Linear Weighted Sum Method for Multi-Objective Optimization.Serbia:Facta
Universitatis
Universitas Sumatera Utara
29
Lampiran 1. Program Lingo 13.0 pada Masalah Transportasi
MODEL:
SETS:
GUDANG: STOK;
PELANGGAN: PERMINTAAN;
LINKS(GUDANG,PELANGGAN): B_MOBIL, PELUANG, MOBIL, JUMLAH, HARGA_KOSONG;
ENDSETS
! Datanya diberikan sebagai berikut:;
DATA:
!Anggota Himpunan;
GUDANG = G1..G3;
PELANGGAN = P1..P4;
!Nilai-nilai;
STOK = 179 107 221;
PERMINTAAN = 94 132 157 115;
B_MOBIL =
48.13 88.57 68.64 72.24
96.26 98.19 66.76 94.27
60.78 19.61 87.02 47.75;
PELUANG =
0.0658 0.0848 0.1021 0.1198
0.0476 0.0940 0.0809 0.0598
0.0666 0.1045 0.0680 0.0571;
HARGA_KOSONG = 0.235 0.233 0.249 0.242
0.271 0.245 0.258 0.260
0.256 0.256 0.264 0.257;
ENDDATA
!======================================================;
!FUNGSI TUJUAN1 : Meminimumkan Biaya Penggunaan Mobil;
MIN = @SUM(LINKS(I,J): @IF(JUMLAH(I,J) #GE# 0,1,0)*MOBIL(I,J)*
B_MOBIL(I,J));
!FUNGSI TUJUAN2 : Meminimumkan Biaya Ruang Kosong pada Mobil
MIN = @SUM(LINKS(I,J): (13*MOBIL(I,J) - JUMLAH(I,J))*HARGA_KOSONG(I,J));
!FUNGSI TUJUAN3 : Meminimumkan Jumlah Barang Rusak Selama Perjalanan
MIN = @SUM(LINKS(I,J): PELUANG(I,J)*JUMLAH(I,J));
!Kendala Permintaan;
@FOR(PELANGGAN(J):
@SUM(GUDANG(I):JUMLAH(I,J)) = PERMINTAAN(J));
Universitas Sumatera Utara
30
!Kendala Stok/Kapasitas;
@FOR(GUDANG(I):
@SUM(PELANGGAN(J):JUMLAH(I,J)) = 0);
@FOR(LINKS(I,J):
13*MOBIL(I,J) - JUMLAH(I,J) < 13);
@FOR(LINKS: @GIN(MOBIL));
@FOR(LINKS: @GIN(JUMLAH));
!KENDALA FUNGSI TUJUAN3 : Jumlah Barang Rusak Selama Perjalanan
@SUM(LINKS(I,J): PELUANG(I,J)*JUMLAH(I,J))=...;
!KENDALA FUNGSI TUJUAN2 : Biaya Ruang Kosong pada Mobil
@SUM(LINKS(I,J): (13*MOBIL(I,J) - JUMLAH(I,J))*HARGA_KOSONG(I,J))=...;
!KENDALA FUNGSI TUJUAN1 : Biaya Penggunaan Mobil
@SUM(LINKS(I,J): @IF(JUMLAH(I,J) #GE# 0,1,0)*MOBIL(I,J)*
B_MOBIL(I,J)) = ...;
END
Universitas Sumatera Utara
31
Lampiran 2. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f1 , f2 , f3 .
Tahap 1. Meminimumkan f1 (x)
f1 (x) = 1954, 880
mij
1
2
3
1 2 3 4
8 0 4 2
0 0 9 0
0 11 0 7
xij
1
2
3
1
94
0
0
2
3
0
50
0 107
132 0
4
26
0
89
2
3
0
50
0 107
132 0
4
26
0
89
2
3
0
50
0 107
132 0
4
26
0
89
Tahap 2. Meminimumkan f2 (x)
f1 (x) = 1954, 8800
f2 (x) = 8, 7580
mij
1
2
3
1 2 3 4
8 0 4 2
0 0 9 0
0 11 0 7
xij
1
2
3
1
94
0
0
Tahap 3. Meminimumkan f3 (x)
f1 (x) = 1954, 8800
f2 (x) = 8, 7580
f3 (x) = 41, 9372
mij
1
2
3
1 2 3 4
8 0 4 2
0 0 9 0
0 11 0 7
xij
1
2
3
1
94
0
0
Universitas Sumatera Utara
32
Lampiran 3. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f1 , f3 , f2 .
Tahap 1. Meminimumkan f1 (x)
f1 (x) = 1954, 880
mij
1
2
3
1 2 3 4
8 0 4 2
0 0 9 0
0 11 0 7
xij
1
2
3
1
94
0
0
2
3
0
50
0 107
132 0
4
26
0
89
2
3
0
50
0 107
132 0
4
26
0
89
2
3
0
50
0 107
132 0
4
26
0
89
Tahap 2. Meminimumkan f3 (x)
f1 (x) = 1954, 8800
f3 (x) = 41, 9372
mij
1
2
3
1 2 3 4
8 0 4 2
0 0 9 0
0 11 0 7
xij
1
2
3
1
94
0
0
Tahap 3. Meminimumkan f2 (x)
f1 (x) = 1954, 8800
f3 (x) = 41, 9372
f2 (x) = 8, 7580
mij
1
2
3
1 2 3 4
8 0 4 2
0 0 9 0
0 11 0 7
xij
1
2
3
1
94
0
0
Universitas Sumatera Utara
33
Lampiran 4. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f2 , f1 , f3 .
Tahap 1. Meminimumkan f2 (x)
f2 (x) = 8, 3850
mij
1
2
3
1 2
3 1
4 0
1 10
3 4
6 6
3 1
4 2
xij
1
2
3
1
29
52
13
2
3 4
2 66 76
0 39 13
130 52 26
Tahap 2. Meminimumkan f1 (x)
f2 x) = 8, 3850
f1 (x) = 2025, 720
mij
1
2
3
1 2 3 4
8 1 5 2
0 0 8 0
0 10 0 7
xij
1
2
3
1
94
0
0
2
3
2
53
0 104
130 0
4
24
0
91
2
3
2
53
0 104
130 0
4
24
0
91
Tahap 3. Meminimumkan f3 (x)
f2 x) = 8, 3850
f1 (x) = 2025, 720
f3 (x) = 41, 8360
mij
1
2
3
1 2 3 4
8 1 5 2
0 0 8 0
0 10 0 7
xij
1
2
3
1
94
0
0
Universitas Sumatera Utara
34
Lampiran 5. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f2 , f3 , f1 .
Tahap 1. Meminimumkan f2 (x)
f2 (x) = 8, 3850
mij
1
2
3
1 2
3 1
4 0
1 10
3 4
6 6
3 1
4 2
xij
1
2
3
1
29
52
13
2
3 4
2 66 76
0 39 13
130 52 26
Tahap 2. Meminimumkan f3 (x)
f2 x) = 8, 3850
f3 (x) = 34, 26740
mij
1
2
3
1 2
3 11
5 0
0 0
3 4
1 1
0 3
12 5
xij
1
2
3
1
29
65
0
2
132
0
0
3
4
1 11
0 39
156 65
2
132
0
0
3
4
1 11
0 39
156 65
Tahap 3. Meminimumkan f1 (x)
f2 x) = 8, 3850
f3 (x) = 34, 26740
f1 (x) = 3306, 640
mij
1
2
3
1 2
3 11
5 0
0 0
3 4
1 1
0 3
12 5
xij
1
2
3
1
29
65
0
Universitas Sumatera Utara
35
Lampiran 6. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f3 , f1 , f2 .
Tahap 1. Meminimumkan f3 (x)
f3 (x) = 33, 7398
mij
1
2
3
1 2
3 11
5 1
1 1
3 4
1 1
1 4
13 5
xij
1
2
3
1
38
56
0
2
132
0
0
3
4
0
0
0 51
157 64
2
132
0
0
3
4
0
0
0 51
157 64
2
132
0
0
3
4
0
0
0 51
157 64
Tahap 2. Meminimumkan f1 (x)
f3 (x) = 33, 7398
f1 (x) = 3347, 0500
mij
1
2
3
1 2
3 11
5 0
0 0
3 4
0 0
0 4
13 5
xij
1
2
3
1
38
56
0
Tahap 3. Meminimumkan f2 (x)
f3 (x) = 33, 7398
f1 (x) = 3347, 0500
f2 (x) = 8, 9220
mij
1
2
3
1 2
3 11
5 0
0 0
3 4
0 0
0 4
13 5
xij
1
2
3
1
38
56
0
Universitas Sumatera Utara
36
Lampiran 7. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f3 , f2 , f1 .
Tahap 1. Meminimumkan f3 (x)
f3 (x) = 33, 7398
mij
1
2
3
1 2
3 11
5 1
1 1
3 4
1 1
1 4
13 5
xij
1
2
3
1
38
56
0
2
132
0
0
3
4
0
0
0 51
157 64
2
132
0
0
3
4
0
0
0 51
157 64
2
132
0
0
3
4
0
0
0 51
157 64
Tahap 2. Meminimumkan f2 (x)
f3 (x) = 33, 7398
f2 (x) = 8,
TRANSPORTASI
SKRIPSI
MANUEL S. MARBUN
100803019
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
METODE LEXICOGRAPHIC DALAM MASALAH
TRANSPORTASI
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai
gelar Sarjana Sains
MANUEL S. MARBUN
100803019
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
:
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas
:
:
:
:
:
:
Metode Lexicographic dalam Masalah Transportasi
Skripsi
Manuel S. Marbun
100803019
Sarjana (S1) Matematika
Matematika
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, Juli 2014
Komisi Pembimbing
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si.
NIP. 195312181980031003
Dr. Mardiningsih, M.Si.
NIP. 196304051988112001
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si.
NIP. 19620901198803102
i
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
METODE LEXICOGRAPHIC DALAM MASALAH
TRANSPORTASI
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juli 2014
MANUEL S. MARBUN
100803019
ii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha
Penyayang, dengan limpah karunia-Nya Penulis dapat menyelesaikan penyusunan
skripsi ini dengan judul Metode Lexicographic dalam Masalah Transportasi.
Terimakasih penulis sampaikan kepada Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si. selaku
pembimbing 1 dan Bapak Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si. selaku pembimbing
2 yang telah meluangkan waktunya selama penulisan skripsi ini. Terima kasih
kepada Bapak Drs. Pasukat Sembiring, M.Si dan Bapak Drs. Sawaluddin, M.I.T.
sebagai penguji yang telah memberikan kritik dan saran yang membangun dalam
penyempurnaan skripsi ini. Terimakasih kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si
dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU. Terimakasih kepada Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku
Dekan FMIPA USU serta seluruh civitas akademika di lingkungan FMIPA USU.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Ayahanda Ir. Tambok Marbun
dan Ibunda Herlina Manalu serta saudara-saudari penulis Sumiharjo Fans Christian Marbun, Ester Gracia Marbun, Lydia De Vega Marbun, dan Adolf Yoshua
Marbun yang selama ini memberikan bantuan dan motivasi untuk menyelesaikan
perkuliahan. Semoga segala bentuk bantuan yang telah diberikan kepada penulis
mendapatkan balasan yang lebih baik dari Tuhan Yesus Kristus.
iii
Universitas Sumatera Utara
METODE LEXICOGRAPHIC DALAM MASALAH
TRANSPORTASI
ABSTRAK
Masalah transportasi adalah salah satu jenis pemodelan matematika untuk menentukan strategi terbaik dalam distribusi barang dari beberapa gudang ke sejumlah
pelanggan agar biaya dapat diminimumkan. Pada tulisan ini, masalah transportasi dikembangkan dengan menggunakan lebih dari satu fungsi tujuan, yaitu
meminimumkan biaya transportasi, meminimumkan kekosongan kapasitas mobil,
dan meminimumkan kerusakan barang selama perjalanan. Metode Lexicographic
juga akan dikaji untuk menyelesaikan masalah transportasi. Di akhir tulisan ini,
diberikan suatu pendekatan numerik untuk memperlihatkan keragaman nilai optimal setiap fungsi tujuan seiring perbedaan urutan prioritas fungsi tujuan.
Kata kunci: lexicographic, masalah transportasi, optimum pareto, prioritas
iv
Universitas Sumatera Utara
LEXICOGRAPHIC METHOD FOR TRANSPORTATION
PROBLEM
ABSTRACT
Transportation problem is a kind of mathematical programming to find the best
strategy in distributing goods from several warehouses to several customers in
order that the total cost can be minimized. In this paper, transportation problem is developed by using more than one objectives, such as minimizing the total
cost, minimizing the underused capacity, and minimizing the number of broken
goods in travel. Lexicographic Method will be discussed to solve transportation
problem. In the end of this paper, given a numerical approach to show varieties
of objectives based on different order of priority.
Keywords: lexicographic, transportation problem, pareto optimum, priorities
v
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
i
ii
iii
iv
v
vi
vii
viii
Persetujuan
Pernyataan
Penghargaan
Abstrak
Abstract
Daftar Isi
Daftar Tabel
Daftar Lampiran
Bab 1.
Pendahuluan
1.1 Latar Belakang Penelitian
1.2 Perumusan Masalah
1.3 Batasan Masalah
1.4 Tujuan Penelitian
1.5 Kontribusi Penelitian
1.6 Metodologi Penelitian
1.6.1 Alat
1.6.2 Langkah-langkah
1
1
2
2
2
2
3
3
3
Bab 2.
Tinjauan Pustaka
2.1 Masalah Transportasi
2.3 Program Tujuan Ganda dan Solusi Pareto-Optimal
2.4 Metode Lexicographic
5
5
7
9
Bab 3.
Pembahasan
3.1 Masalah Transportasi
3.1.1 Asumsi
3.1.2 Formulasi Model
3.2 Metode Lexicographic
3.2.1 Algoritma Metode Lexicographic
3.3 Pendekatan Numerik
11
11
11
12
15
17
17
Bab 4.
Kesimpulan dan Saran
4.1 Kesimpulan
4.2 Saran
26
26
26
Daftar Pustaka
28
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
No.
Judul
Hal.
3.1
Jumlah persediaan barang pada gudang i
18
3.2
Jumlah permintaan pelanggan j
18
3.3
Biaya penggunaan sebuah mobil dari gudang i ke pelanggan j
18
3.4
Biaya kekosongan sebuah barang dari gudang i ke pelanggan j
19
3.5
Peluang sebuah barang rusak dari gudang i ke pelanggan j
19
3.6
Nilai optimal setiap fungsi tujuan dari berbagai urutan prioritas
21
3.7
Nilai fi∗ dan fi+
21
3.8
Proporsi penyimpangan nilai fungsi tujuan
22
3.9
Interpretasi skala standar Analytic Hierarchy Process
23
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR LAMPIRAN
No.
Judul
Hal.
1.
Program Lingo 13.0 pada Masalah Transportasi
29
2.
Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f1 , f2 , f3 .
31
3.
Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f1 , f3 , f2 .
32
4.
Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f2 , f1 , f3 .
33
5.
Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f2 , f3 , f1 .
34
6.
Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f3 , f1 , f2 .
35
7.
Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f3 , f2 , f1 .
36
viii
Universitas Sumatera Utara
METODE LEXICOGRAPHIC DALAM MASALAH
TRANSPORTASI
ABSTRAK
Masalah transportasi adalah salah satu jenis pemodelan matematika untuk menentukan strategi terbaik dalam distribusi barang dari beberapa gudang ke sejumlah
pelanggan agar biaya dapat diminimumkan. Pada tulisan ini, masalah transportasi dikembangkan dengan menggunakan lebih dari satu fungsi tujuan, yaitu
meminimumkan biaya transportasi, meminimumkan kekosongan kapasitas mobil,
dan meminimumkan kerusakan barang selama perjalanan. Metode Lexicographic
juga akan dikaji untuk menyelesaikan masalah transportasi. Di akhir tulisan ini,
diberikan suatu pendekatan numerik untuk memperlihatkan keragaman nilai optimal setiap fungsi tujuan seiring perbedaan urutan prioritas fungsi tujuan.
Kata kunci: lexicographic, masalah transportasi, optimum pareto, prioritas
iv
Universitas Sumatera Utara
LEXICOGRAPHIC METHOD FOR TRANSPORTATION
PROBLEM
ABSTRACT
Transportation problem is a kind of mathematical programming to find the best
strategy in distributing goods from several warehouses to several customers in
order that the total cost can be minimized. In this paper, transportation problem is developed by using more than one objectives, such as minimizing the total
cost, minimizing the underused capacity, and minimizing the number of broken
goods in travel. Lexicographic Method will be discussed to solve transportation
problem. In the end of this paper, given a numerical approach to show varieties
of objectives based on different order of priority.
Keywords: lexicographic, transportation problem, pareto optimum, priorities
v
Universitas Sumatera Utara
Bab 1
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Penelitian
Operasi Riset merupakan disiplin ilmu matematika aplikasi yang telah membawa
pengaruh besar pada dunia sejak perang dunia kedua. Beberapa contoh masalah
Operasi Riset adalah sebagai berikut:
1. Selain mengharapkan keuntungan yang besar, seorang Manajer perlu mengerjakan proyeknya dengan waktu yang singkat.
2. Selain mengharapkan keuntungan maksimal, seorang Developer properti ingin
membangun rumah sewa dengan jumlah yang besar.
3. Selain mengharapkan return saham yang menggiurkan, seorang Investor perlu
meminimumkan risiko atau kerugian dari Investasi yang akan dilakukannya.
4. Perusahaan yang memproduksi galon air mineral, harus memperhatikan volume air yang harus 19 liter, desain yang elegan, biaya produksi yang minimum, penyusunan yang baik saat distribusi, dan keuntungan yang maksimal
5. Seorang manajer meminimumkan biaya transportasi saat mengantar barang
dari beberapa gudang ke sejumlah pelanggan.
Khusus pada contoh 5 di atas, masalah transportasi merupakan masalah
yang sering terjadi pada perusahaan yang mendistribusikan produknya ke pelanggan atau perusahaan lain. Pada umumnya, masalah transportasi adalah bentuk
program linier dengan satu fungsi tujuan. Akan tetapi, ketunggalan fungsi tujuan
akan kurang memenuhi fakta-fakta yang terjadi di dunia nyata karena ada aspekaspek lain yang harus diperhatikan, seperti minimum waktu distribusi produk,
pertimbangan hubungan antar pelanggan yang satu dengan yang lain (Nunkeaw
et al, 2009), dan lain-lain. Dengan menggunakan lebih dari satu fungsi tujuan,
masalah transportasi menjadi sebuah persoalan program linier tujuan ganda.
Universitas Sumatera Utara
2
Ada beberapa metode untuk menyelesaikan program linier tujuan ganda,
salah satunya adalah Metode Lexicographic. Dalam Wikipedia.org, metode lexicographic berasumsi bahwa setiap fungsi tujuan dapat diurutkan (ranking) dalam
urutan kepentingan menurut pembuat keputusan (Decision Maker ). Dengan
kata lain, metode lexicographic memerlukan preferensi dari pembuat keputusan sendiri agar dapat dikerjakan. Secara intuisi, akan terlihat suatu relativitas
dalam metode lexicographic karena hasil optimal akan berbeda-beda bila masalah transportasi tersebut dikerjakan oleh orang yang berbeda-beda pula. Sementara, pengguna operasi riset tetap menginginkan solusi terbaik dari prosedur
lexicographic. Oleh karena itu, penulis mengangkat judul, ”Metode lexicographic
dalam Masalah Transportasi”.
1.2
Perumusan Masalah
Metode lexicographic membutuhkan preferensi urutan kepentingan fungsi tujuan
dari pembuat keputusan. Masalah penelitian ini adalah menentukan urutan yang
bagaimanakah yang memberikan hasil paling optimal kepada pembuat keputusan.
1.3
Batasan Masalah
1. Penulis membahas metode lexicographic hanya dalam masalah transportasi.
2. Penulis membatasi penelitian dengan 3 fungsi tujuan dalam model.
1.4
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk mengkaji metode lexicographic dan menyelesaikan masalah transportasi berbentuk program linier tujuan ganda.
1.5
Kontribusi Penelitian
Dari penelitian ini, penulis optimis dapat memberikan kontribusi kepada pembaca berupa:
1. literatur tentang masalah transportasi
2. literatur tentang metode lexicographic dalam menyelesaikan program linier
tujuan ganda
Universitas Sumatera Utara
3
1.6
1.6.1
Metodologi Penelitian
Alat
Untuk membantu menganalisis data, penulis menggunakan software LINGO 13.0
dan AIMMS 3.13.
1.6.2
Langkah-langkah
1.6.2.1 Mengkaji Masalah Transportasi
Tahap ini dilakukan dengan studi literatur dan pengamatan di lapangan. Akan
diamati kondisi truk saat akan berangkat, saat dalam perjalanan, dan saat truk
tiba di tempat pelanggan karena dicurigai bahwa hal-hal tersebut mempengaruhi
strategi transportasi yang optimal. Sebagai contoh, dalam perjalanan, truk yang
memuat barang dengan jumlah yang besar justru akan memperlambat transportasi dan juga akan membuat kondisi lalu lintas tidak kondusif.
Setelah studi literatur dan pengamatan dilakukan, masalah transportasi
tersebut dimodelkan dalam bentuk program linier tujuan ganda sehingga diperoleh model matematika yang lebih kompleks daripada model transportasi dalam
program linier.
1.6.2.2 Mengkaji Metode Lexicographic
Tahap ini dilakukan dengan studi literatur, yaitu dengan mengkaji karakteristik
metode lexicographic sehingga dapat diamati pengaruh urutan prioritas fungsi
tujuan terhadap hasil optimal. Pada tahap ini, juga dilakukan suatu pendekatan
numerik dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Mengambil sebuah contoh masalah transportasi
2. Mendaftarkan seluruh urutan prioritas fungsi tujuan
3. Mengambil hipotesis urutan yang memberikan hasil minimal
4. Memperoleh hasil-hasil optimal dari setiap urutan dengan menggunakan Metode lexicographic .
Universitas Sumatera Utara
4
5. Menentukan nilai minimal dari hasil-hasil optimal tersebut.
6. Mengamati apakah urutan yang memberikan hasil minimal sesuai dengan urutan dugaan (hipotesis). Bila sesuai, kembali melakukan langkah 4 hingga
langkah 6 dengan masalah transportasi yang lain. Bila tidak sesuai, maka
lanjut ke langkah 7.
7. Mengambil kesimpulan bahwa “tidak terdapat urutan fungsi tujuan tertentu
yang selalu memberikan hasil optimal dalam masalah transportasi berbentuk
program linier tujuan ganda”.
8. Mengkaji Analytic Hierarchy Process untuk menentukan urutan prioritas fungsi
tujuan.
9. Menentukan algoritma untuk menyelesaikan masalah transportasi berbentuk
program linier tujuan ganda dengan metode lexicographic .
1.6.2.3. Membuat Kesimpulan
Kesimpulan yang diambil adalah tentang urutan prioritas fungsi tujuan yang
bagaimana yang dapat memberikan hasil paling optimal dan algoritma untuk
menyelesaikan masalah transportasi berbentuk program linier tujuan ganda.
Universitas Sumatera Utara
Bab 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Masalah Transportasi
Masalah transportasi pertama kali digunakan pada awal perang dunia kedua untuk menentukan bagaimana mengirimkan pasukan yang terletak disuatu tempat
latihan Amerika Serikat ke medan perang di Eropa dan Asia, kemudian dikembangkan oleh F. L. Hitchcock sejak 1941 sebagai persoalan distribusi atau transportasi produk dari gudang ke pelanggan. Ilustrasinya adalah sebagai berikut:
Gambar 1. Jaringan Masalah Transportasi
Sebuah perusahaan memiliki sejumlah gudang penyedia suatu produk yang
tersebar di beberapa daerah. Pada daerah tersebut, juga tersebar pelanggan yang
masing-masing membutuhkan sejumlah produk pada saat yang sama. Masingmasing pelanggan membutuhkan produk dengan jumlah yang berbeda-beda.
Dalam distribusi produk dari gudang ke suatu pelanggan, perusahaan memerlukan biaya tertentu. Biaya distribusi bergantung pada jumlah produk yang
didistribusikan. Oleh karena itu, Manajer harus mengatur distribusi dari setiap
gudang agar biaya transportasi minimal dan seluruh permintaan pelanggan terpenuhi. Nunkeaw et al (2009) menyatakan model masalah transportasi dalam
bentuk program linier sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
6
Model 2.1
min f (g) =
M X
N
X
cij gij
2.1
i=1 j=1
kendala:
N
X
gij ≤ Si , ∀i
2.2
gij = Dj , ∀j
2.3
j=1
M
X
i=1
M
X
i=1
Si =
N
X
Dj
2.4
j=1
gij ≥ 0, ∀i, j
2.5
Persamaan (2.1) adalah fungsi tujuan model transportasi untuk meminimumkan total biaya transportasi. Total jumlah barang yang diangkut dari suatu
gudang untuk didistribusikan tidak lebih dari kapasitas gudang tersebut, seperti
yang dinyatakan oleh persamaan (2.2). Persamaan (2.3) adalah persamaan yang
menunjukkan bahwa total jumlah barang yang diangkut dari setiap gudang ke
suatu pelanggan tepat memenuhi jumlah barang kebutuhan setiap pelanggan.
Persamaan (2.4) menunjukkan bahwa total jumlah produk yang tersedia di seluruh gudang harus sama dengan total jumlah permintaan seluruh pelanggan, dan
persamaan (2.5) menunjukkan bahwa persamaan (2.2), persamaan (2.3), dan
persamaan (2.4) adalah kendala yang tak negatif.
Nunkeaw et al (2009) juga menilai bahwa penggunaan hanya satu fungsi tujuan dalam masalah transportasi tidak cukup karena itu akan kurang mendekati
solusi optimal di dunia nyata. Oleh karena itu, perusahaan perlu mempertimbangkan beberapa fungsi tujuan lain. Fungsi-fungsi tersebut dapat berkaitan
dengan jumlah produk yang diantar, kapasitas tak terpakai dalam sebuah mobil,
konsumsi engergi, total waktu distribusi, dan lain-lain.
Universitas Sumatera Utara
7
2.2
Program Tujuan Ganda dan Solusi Pareto-Optimal
Dalam Caramia et al, sebuah persoalan optimisasi dengan fungsi tujuan tunggal
dapat diformulasikan sebagai berikut:
min f (x)
x∈S
di mana f adalah sebuah fungsi skalar dan S adalah daerah fisibel yang didefinisikan sebagai
S = {x ∈ Rm : Ax = 0}.
di mana A adalah matriks koefisien x pada kendala. Program Tujuan
Ganda dapat dimodelkan secara matematis sebagai berikut:
min [f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)]
x ∈ S,
di mana n > 1. Definisikan Ruang Objektif adalah ruang yang mengandung
seluruh fungsi tujuan, dan definisikan
C = {y ∈ R : y = f (x), x ∈ S}.
Konsep skalar dari ”optimalitas” tidak dapat langsung diaplikasikan pada
Program Tujuan Ganda. Di sini, notasi optimalitas Pareto akan diperkenalkan
sebagai berikut:
• Sebuah titik x∗ dikatakan Pareto optimum lemah atau sebuah solusi efisien
lemah untuk masalah Program Tujuan Ganda jika dan hanya jika tidak
terdapat x ∈ S sehingga fi (x) < fi (x∗ ) untuk setiap i ∈ {1, . . . , n}.
• Sebuah titik x∗ dikatakan Pareto optimum kuat atau sebuah solusi efisien
yang tepat untuk masalah Program Tujuan Ganda jika dan hanya jika tidak
terdapat x ∈ S sehingga fi (x) ≤ fi (x∗ ) untuk setiap i ∈ {1, . . . , n}.
Bayangan dari himpunan efisien, yaitu bayangan dari seluruh solusi efisien,
Universitas Sumatera Utara
8
disebut Pareto front atau Kurva Pareto. Bentuk dari permukaan Pareto mengindikasikan hubungan antara setiap fungsi tujuan. Sebuah contoh kurva Pareto
ditampilkan pada Gambar 2, di mana setiap titik di antara (f2 (ˆ
x), f1 (ˆ
x)) dan
(f2 (˜
x), f1 (˜
x)) disebut Pareto front. Titik-titik tersebut disebut titik non-inferior
atau titik tak-terdominasi.
Gambar 2. Contoh Kurva Pareto
Contoh Pareto optimum lemah dan kuat ditunjukkan pada Gambar 3:
titik p1 dan p5 adalah Pareto optimum lemah; titik p2 , p3 , dan p4 adalah Pareto
optimum kuat.
Gambar 3. Contoh Pareto optimum lemah dan kuat
Universitas Sumatera Utara
9
2.3
Metode Lexicographic
Mathias Ehrgott mengemukakan bahwa dalam optimisasi lexicographic, setiap
fungsi tujuan akan dipertimbangkan berdasarkan tingkat kepentingan atau prioritas. Sebuah solusi optimal xˆ dari suatu masalah disebut optimal lexicographic
dan yˆ = f (ˆ
x) adalah sebuah vector minimal lexicographicdalam Y = f (X ), di
mana X adalah himpunan vektor x yang memenuhi kendala (fisibel). Optimisasi
lexicographicjuga dapat ditulis dengan notasi “lexmin” sebagai berikut:
lexmin(f1 (x), f2 (x), . . . , fp (x))
2.6
x∈X
Notasi “lexmin” pada persamaan (3.4) di atas menunjukkan proses meminimumkan setiap fungsi tujuan secara lexicographi atau berurutan, yaitu dari fungsi tujuan 1 hingga fungsi tujuan p. Algoritma optimisasi lexicographic akan dijelaskan
lebih rinci pada Bab 3. Berikut diberikan definisi solusi dari sebuah optimisasi
lexicographic.
Definisi 2.1. Sebuah solusi fisibel xˆ ∈ X adalah solusi lexicographic, jika tidak
terdapat x ∈ X sehingga f (x) w2 . Oleh karena itu, diperoleh bahwa urutan fungsi tujuan yang memenuhi preferensi pembuat keputusan
adalah f1 (x), f3 (x), f2 (x).
Universitas Sumatera Utara
Bab 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1
Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian yang telah dibahas pada bab sebelumnya, dapat
diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut:
1. Dari pendekatan numerik, diketahui bahwa tidak terdapat urutan tertentu
yang secara umum memberikan solusi optimal pada masalah program tujuan
ganda.
2. Pada kondisi tertentu, Metode Lexicographic tidak dapat digunakan untuk
menyelesaikan masalah transportasi atau masalah program tujuan ganda lainnya, karena bila pada suatu iterasi tidak terdapat solusi optimal, maka fungsi
tujuan berikutnya tidak dapat dioptimalkan. Dengan kata lain, fungsi tujuan
tersebut sama sekali tidak diperhitungkan dalam masalah.
3. Penggunaan Analytic Hierarchy Process dan Least Square Method untuk menentukan prioritas fungsi tujuan, tidak menjamin solusi paling optimal dari p!
urutan prioritas yang dapat dibentuk dari p fungsi tujuan.
4.2
Saran
Berdasarkan proses dan hasil penelitian, penulis menyampaikan beberapa saran
sebagai berikut:
1. Peneliti selanjutnya diharapkan meneliti masalah program tujuan ganda yang
menggunakan lebih dari tiga fungsi tujuan.
2. Peneliti selanjutnya yang mengkaji masalah transporasi dan metode lexicographic, dapat menggunakan alat bantu atau software yang lebih canggih,
karena software LINGO 13.0 yang penulis pergunakan masih terbatas pada
kapasitas jumlah variabel dan kendala yang sedikit.
Universitas Sumatera Utara
27
3. Sebelum menyelesaikan masalah transportasi, peneliti selanjutnya perlu menganalisa kembali setiap fungsi tujuan yang digunakan agar seluruh fungsi tujuan dapat dioptimalkan.
4. Peneliti selanjutnya diharapkan mengkaji metode scalarization yang mengombinasikan seluruh fungsi tujuan ke dalam satu fungsi tujuan untuk menyelesaikan program tujuan ganda, sebagai perbandingan dengan metode preferensi
seperti metode lexicographic.
Universitas Sumatera Utara
28
DAFTAR PUSTAKA
Caramia,M. dan Dell’Olmo, P..2008.Multi-objective Management in Freight Logistics Increasing Capacity, Service Level and Safety with Optimization Algorithms. Springer
Djelatova, Mariana.2001.A Lexicographic Algorithm Solving a Problem of a Multiobjective Flow in a Network.Sofia:Institute of Information Technologies
Ehrgott, Mathiass.2005.Multicriteria Optimization.Auckland:Springer
Ehrgott, Mathiass.2007.Multiobjective Linear Programming.Han sur Lesse: International Doctoral School Algorithmic Decision
Gupta, Prem Kumar., Hira, D.S..2007.Operations Research.India: S.Chand
Gamal, M.D.H..2007.Program Linier dan Integer.Pekanbaru: Pusat Pengembangan Pendidikan Universitas Riau
Isermann, H.. 1982. OR Spektrum—Linear Lexicographic Optimization. SpringerVerlag
Lewis, Catherine.2008.Linear Programming: Theory and Its Applications
Mandler, Michael.2012.The Lexicographic Method in Preference Theory.University
of London
Marler, R. Timothy dan Arora, Jasbir S..2010.The Weighted Sum Method for
Multiobjective Optimization:new insights.Springer-Verlag
Nunkeaw, Wuttinan and Phruksaphanrat, Busaba.2009.A Multiobjective Programming for Transportation Problem with Consideration of both Depot to
Customer and Customer to Customer Relationships
Ojha, Dr.A.K.,Biswal, K.K..2009.Lexicographic Multi-objective Geometric Programming Problems.India:International Journal of Computer Science Issues, Vol. 6, No. 2
Rueda, A.J..1987.A Lexicographic Method for Multiple Objective Binary Linear
Programming.Springer Berlin Heidelberg
Siang, Jong Jek.2011.Riset Operasi dalam Pendekatan Algoritmis.Yogyakarta:
C.V ANDI OFFSET
Siagian, P..1987.Penelitian Operasional.Jakarta:UI-Press
Stanimirovic, Ivan P.,Zlatanovic, Milan Lj., dan Petkovic, Marko D.2011.On The
Linear Weighted Sum Method for Multi-Objective Optimization.Serbia:Facta
Universitatis
Universitas Sumatera Utara
29
Lampiran 1. Program Lingo 13.0 pada Masalah Transportasi
MODEL:
SETS:
GUDANG: STOK;
PELANGGAN: PERMINTAAN;
LINKS(GUDANG,PELANGGAN): B_MOBIL, PELUANG, MOBIL, JUMLAH, HARGA_KOSONG;
ENDSETS
! Datanya diberikan sebagai berikut:;
DATA:
!Anggota Himpunan;
GUDANG = G1..G3;
PELANGGAN = P1..P4;
!Nilai-nilai;
STOK = 179 107 221;
PERMINTAAN = 94 132 157 115;
B_MOBIL =
48.13 88.57 68.64 72.24
96.26 98.19 66.76 94.27
60.78 19.61 87.02 47.75;
PELUANG =
0.0658 0.0848 0.1021 0.1198
0.0476 0.0940 0.0809 0.0598
0.0666 0.1045 0.0680 0.0571;
HARGA_KOSONG = 0.235 0.233 0.249 0.242
0.271 0.245 0.258 0.260
0.256 0.256 0.264 0.257;
ENDDATA
!======================================================;
!FUNGSI TUJUAN1 : Meminimumkan Biaya Penggunaan Mobil;
MIN = @SUM(LINKS(I,J): @IF(JUMLAH(I,J) #GE# 0,1,0)*MOBIL(I,J)*
B_MOBIL(I,J));
!FUNGSI TUJUAN2 : Meminimumkan Biaya Ruang Kosong pada Mobil
MIN = @SUM(LINKS(I,J): (13*MOBIL(I,J) - JUMLAH(I,J))*HARGA_KOSONG(I,J));
!FUNGSI TUJUAN3 : Meminimumkan Jumlah Barang Rusak Selama Perjalanan
MIN = @SUM(LINKS(I,J): PELUANG(I,J)*JUMLAH(I,J));
!Kendala Permintaan;
@FOR(PELANGGAN(J):
@SUM(GUDANG(I):JUMLAH(I,J)) = PERMINTAAN(J));
Universitas Sumatera Utara
30
!Kendala Stok/Kapasitas;
@FOR(GUDANG(I):
@SUM(PELANGGAN(J):JUMLAH(I,J)) = 0);
@FOR(LINKS(I,J):
13*MOBIL(I,J) - JUMLAH(I,J) < 13);
@FOR(LINKS: @GIN(MOBIL));
@FOR(LINKS: @GIN(JUMLAH));
!KENDALA FUNGSI TUJUAN3 : Jumlah Barang Rusak Selama Perjalanan
@SUM(LINKS(I,J): PELUANG(I,J)*JUMLAH(I,J))=...;
!KENDALA FUNGSI TUJUAN2 : Biaya Ruang Kosong pada Mobil
@SUM(LINKS(I,J): (13*MOBIL(I,J) - JUMLAH(I,J))*HARGA_KOSONG(I,J))=...;
!KENDALA FUNGSI TUJUAN1 : Biaya Penggunaan Mobil
@SUM(LINKS(I,J): @IF(JUMLAH(I,J) #GE# 0,1,0)*MOBIL(I,J)*
B_MOBIL(I,J)) = ...;
END
Universitas Sumatera Utara
31
Lampiran 2. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f1 , f2 , f3 .
Tahap 1. Meminimumkan f1 (x)
f1 (x) = 1954, 880
mij
1
2
3
1 2 3 4
8 0 4 2
0 0 9 0
0 11 0 7
xij
1
2
3
1
94
0
0
2
3
0
50
0 107
132 0
4
26
0
89
2
3
0
50
0 107
132 0
4
26
0
89
2
3
0
50
0 107
132 0
4
26
0
89
Tahap 2. Meminimumkan f2 (x)
f1 (x) = 1954, 8800
f2 (x) = 8, 7580
mij
1
2
3
1 2 3 4
8 0 4 2
0 0 9 0
0 11 0 7
xij
1
2
3
1
94
0
0
Tahap 3. Meminimumkan f3 (x)
f1 (x) = 1954, 8800
f2 (x) = 8, 7580
f3 (x) = 41, 9372
mij
1
2
3
1 2 3 4
8 0 4 2
0 0 9 0
0 11 0 7
xij
1
2
3
1
94
0
0
Universitas Sumatera Utara
32
Lampiran 3. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f1 , f3 , f2 .
Tahap 1. Meminimumkan f1 (x)
f1 (x) = 1954, 880
mij
1
2
3
1 2 3 4
8 0 4 2
0 0 9 0
0 11 0 7
xij
1
2
3
1
94
0
0
2
3
0
50
0 107
132 0
4
26
0
89
2
3
0
50
0 107
132 0
4
26
0
89
2
3
0
50
0 107
132 0
4
26
0
89
Tahap 2. Meminimumkan f3 (x)
f1 (x) = 1954, 8800
f3 (x) = 41, 9372
mij
1
2
3
1 2 3 4
8 0 4 2
0 0 9 0
0 11 0 7
xij
1
2
3
1
94
0
0
Tahap 3. Meminimumkan f2 (x)
f1 (x) = 1954, 8800
f3 (x) = 41, 9372
f2 (x) = 8, 7580
mij
1
2
3
1 2 3 4
8 0 4 2
0 0 9 0
0 11 0 7
xij
1
2
3
1
94
0
0
Universitas Sumatera Utara
33
Lampiran 4. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f2 , f1 , f3 .
Tahap 1. Meminimumkan f2 (x)
f2 (x) = 8, 3850
mij
1
2
3
1 2
3 1
4 0
1 10
3 4
6 6
3 1
4 2
xij
1
2
3
1
29
52
13
2
3 4
2 66 76
0 39 13
130 52 26
Tahap 2. Meminimumkan f1 (x)
f2 x) = 8, 3850
f1 (x) = 2025, 720
mij
1
2
3
1 2 3 4
8 1 5 2
0 0 8 0
0 10 0 7
xij
1
2
3
1
94
0
0
2
3
2
53
0 104
130 0
4
24
0
91
2
3
2
53
0 104
130 0
4
24
0
91
Tahap 3. Meminimumkan f3 (x)
f2 x) = 8, 3850
f1 (x) = 2025, 720
f3 (x) = 41, 8360
mij
1
2
3
1 2 3 4
8 1 5 2
0 0 8 0
0 10 0 7
xij
1
2
3
1
94
0
0
Universitas Sumatera Utara
34
Lampiran 5. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f2 , f3 , f1 .
Tahap 1. Meminimumkan f2 (x)
f2 (x) = 8, 3850
mij
1
2
3
1 2
3 1
4 0
1 10
3 4
6 6
3 1
4 2
xij
1
2
3
1
29
52
13
2
3 4
2 66 76
0 39 13
130 52 26
Tahap 2. Meminimumkan f3 (x)
f2 x) = 8, 3850
f3 (x) = 34, 26740
mij
1
2
3
1 2
3 11
5 0
0 0
3 4
1 1
0 3
12 5
xij
1
2
3
1
29
65
0
2
132
0
0
3
4
1 11
0 39
156 65
2
132
0
0
3
4
1 11
0 39
156 65
Tahap 3. Meminimumkan f1 (x)
f2 x) = 8, 3850
f3 (x) = 34, 26740
f1 (x) = 3306, 640
mij
1
2
3
1 2
3 11
5 0
0 0
3 4
1 1
0 3
12 5
xij
1
2
3
1
29
65
0
Universitas Sumatera Utara
35
Lampiran 6. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f3 , f1 , f2 .
Tahap 1. Meminimumkan f3 (x)
f3 (x) = 33, 7398
mij
1
2
3
1 2
3 11
5 1
1 1
3 4
1 1
1 4
13 5
xij
1
2
3
1
38
56
0
2
132
0
0
3
4
0
0
0 51
157 64
2
132
0
0
3
4
0
0
0 51
157 64
2
132
0
0
3
4
0
0
0 51
157 64
Tahap 2. Meminimumkan f1 (x)
f3 (x) = 33, 7398
f1 (x) = 3347, 0500
mij
1
2
3
1 2
3 11
5 0
0 0
3 4
0 0
0 4
13 5
xij
1
2
3
1
38
56
0
Tahap 3. Meminimumkan f2 (x)
f3 (x) = 33, 7398
f1 (x) = 3347, 0500
f2 (x) = 8, 9220
mij
1
2
3
1 2
3 11
5 0
0 0
3 4
0 0
0 4
13 5
xij
1
2
3
1
38
56
0
Universitas Sumatera Utara
36
Lampiran 7. Hasil perhitungan urutan prioritas fungsi tujuan: f3 , f2 , f1 .
Tahap 1. Meminimumkan f3 (x)
f3 (x) = 33, 7398
mij
1
2
3
1 2
3 11
5 1
1 1
3 4
1 1
1 4
13 5
xij
1
2
3
1
38
56
0
2
132
0
0
3
4
0
0
0 51
157 64
2
132
0
0
3
4
0
0
0 51
157 64
2
132
0
0
3
4
0
0
0 51
157 64
Tahap 2. Meminimumkan f2 (x)
f3 (x) = 33, 7398
f2 (x) = 8,