Metode Lexicographic Dalam Masalah Transportasi
Bab 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Masalah Transportasi
Masalah transportasi pertama kali digunakan pada awal perang dunia kedua untuk menentukan bagaimana mengirimkan pasukan yang terletak disuatu tempat
latihan Amerika Serikat ke medan perang di Eropa dan Asia, kemudian dikembangkan oleh F. L. Hitchcock sejak 1941 sebagai persoalan distribusi atau transportasi produk dari gudang ke pelanggan. Ilustrasinya adalah sebagai berikut:
Gambar 1. Jaringan Masalah Transportasi
Sebuah perusahaan memiliki sejumlah gudang penyedia suatu produk yang
tersebar di beberapa daerah. Pada daerah tersebut, juga tersebar pelanggan yang
masing-masing membutuhkan sejumlah produk pada saat yang sama. Masingmasing pelanggan membutuhkan produk dengan jumlah yang berbeda-beda.
Dalam distribusi produk dari gudang ke suatu pelanggan, perusahaan memerlukan biaya tertentu. Biaya distribusi bergantung pada jumlah produk yang
didistribusikan. Oleh karena itu, Manajer harus mengatur distribusi dari setiap
gudang agar biaya transportasi minimal dan seluruh permintaan pelanggan terpenuhi. Nunkeaw et al (2009) menyatakan model masalah transportasi dalam
bentuk program linier sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
6
Model 2.1
min f (g) =
N
M X
X
cij gij
2.1
i=1 j=1
kendala:
N
X
gij ≤ Si , ∀i
2.2
gij = Dj , ∀j
2.3
j=1
M
X
i=1
M
X
i=1
Si =
N
X
Dj
2.4
j=1
gij ≥ 0, ∀i, j
2.5
Persamaan (2.1) adalah fungsi tujuan model transportasi untuk meminimumkan total biaya transportasi. Total jumlah barang yang diangkut dari suatu
gudang untuk didistribusikan tidak lebih dari kapasitas gudang tersebut, seperti
yang dinyatakan oleh persamaan (2.2). Persamaan (2.3) adalah persamaan yang
menunjukkan bahwa total jumlah barang yang diangkut dari setiap gudang ke
suatu pelanggan tepat memenuhi jumlah barang kebutuhan setiap pelanggan.
Persamaan (2.4) menunjukkan bahwa total jumlah produk yang tersedia di seluruh gudang harus sama dengan total jumlah permintaan seluruh pelanggan, dan
persamaan (2.5) menunjukkan bahwa persamaan (2.2), persamaan (2.3), dan
persamaan (2.4) adalah kendala yang tak negatif.
Nunkeaw et al (2009) juga menilai bahwa penggunaan hanya satu fungsi tujuan dalam masalah transportasi tidak cukup karena itu akan kurang mendekati
solusi optimal di dunia nyata. Oleh karena itu, perusahaan perlu mempertimbangkan beberapa fungsi tujuan lain. Fungsi-fungsi tersebut dapat berkaitan
dengan jumlah produk yang diantar, kapasitas tak terpakai dalam sebuah mobil,
konsumsi engergi, total waktu distribusi, dan lain-lain.
Universitas Sumatera Utara
7
2.2
Program Tujuan Ganda dan Solusi Pareto-Optimal
Dalam Caramia et al, sebuah persoalan optimisasi dengan fungsi tujuan tunggal
dapat diformulasikan sebagai berikut:
min f (x)
x∈S
di mana f adalah sebuah fungsi skalar dan S adalah daerah fisibel yang didefinisikan sebagai
S = {x ∈ Rm : Ax = 0}.
di mana A adalah matriks koefisien x pada kendala. Program Tujuan
Ganda dapat dimodelkan secara matematis sebagai berikut:
min [f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)]
x ∈ S,
di mana n > 1. Definisikan Ruang Objektif adalah ruang yang mengandung
seluruh fungsi tujuan, dan definisikan
C = {y ∈ R : y = f (x), x ∈ S}.
Konsep skalar dari ”optimalitas” tidak dapat langsung diaplikasikan pada
Program Tujuan Ganda. Di sini, notasi optimalitas Pareto akan diperkenalkan
sebagai berikut:
• Sebuah titik x∗ dikatakan Pareto optimum lemah atau sebuah solusi efisien
lemah untuk masalah Program Tujuan Ganda jika dan hanya jika tidak
terdapat x ∈ S sehingga fi (x) < fi (x∗ ) untuk setiap i ∈ {1, . . . , n}.
• Sebuah titik x∗ dikatakan Pareto optimum kuat atau sebuah solusi efisien
yang tepat untuk masalah Program Tujuan Ganda jika dan hanya jika tidak
terdapat x ∈ S sehingga fi (x) ≤ fi (x∗ ) untuk setiap i ∈ {1, . . . , n}.
Bayangan dari himpunan efisien, yaitu bayangan dari seluruh solusi efisien,
Universitas Sumatera Utara
8
disebut Pareto front atau Kurva Pareto. Bentuk dari permukaan Pareto mengindikasikan hubungan antara setiap fungsi tujuan. Sebuah contoh kurva Pareto
ditampilkan pada Gambar 2, di mana setiap titik di antara (f2 (ˆ
x), f1 (ˆ
x)) dan
(f2 (˜
x), f1 (˜
x)) disebut Pareto front. Titik-titik tersebut disebut titik non-inferior
atau titik tak-terdominasi.
Gambar 2. Contoh Kurva Pareto
Contoh Pareto optimum lemah dan kuat ditunjukkan pada Gambar 3:
titik p1 dan p5 adalah Pareto optimum lemah; titik p2 , p3 , dan p4 adalah Pareto
optimum kuat.
Gambar 3. Contoh Pareto optimum lemah dan kuat
Universitas Sumatera Utara
9
2.3
Metode Lexicographic
Mathias Ehrgott mengemukakan bahwa dalam optimisasi lexicographic, setiap
fungsi tujuan akan dipertimbangkan berdasarkan tingkat kepentingan atau prioritas. Sebuah solusi optimal xˆ dari suatu masalah disebut optimal lexicographic
dan yˆ = f (ˆ
x) adalah sebuah vector minimal lexicographicdalam Y = f (X ), di
mana X adalah himpunan vektor x yang memenuhi kendala (fisibel). Optimisasi
lexicographicjuga dapat ditulis dengan notasi “lexmin” sebagai berikut:
lexmin(f1 (x), f2 (x), . . . , fp (x))
2.6
x∈X
Notasi “lexmin” pada persamaan (3.4) di atas menunjukkan proses meminimumkan setiap fungsi tujuan secara lexicographi atau berurutan, yaitu dari fungsi tujuan 1 hingga fungsi tujuan p. Algoritma optimisasi lexicographic akan dijelaskan
lebih rinci pada Bab 3. Berikut diberikan definisi solusi dari sebuah optimisasi
lexicographic.
Definisi 2.1. Sebuah solusi fisibel xˆ ∈ X adalah solusi lexicographic, jika tidak
terdapat x ∈ X sehingga f (x)
TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Masalah Transportasi
Masalah transportasi pertama kali digunakan pada awal perang dunia kedua untuk menentukan bagaimana mengirimkan pasukan yang terletak disuatu tempat
latihan Amerika Serikat ke medan perang di Eropa dan Asia, kemudian dikembangkan oleh F. L. Hitchcock sejak 1941 sebagai persoalan distribusi atau transportasi produk dari gudang ke pelanggan. Ilustrasinya adalah sebagai berikut:
Gambar 1. Jaringan Masalah Transportasi
Sebuah perusahaan memiliki sejumlah gudang penyedia suatu produk yang
tersebar di beberapa daerah. Pada daerah tersebut, juga tersebar pelanggan yang
masing-masing membutuhkan sejumlah produk pada saat yang sama. Masingmasing pelanggan membutuhkan produk dengan jumlah yang berbeda-beda.
Dalam distribusi produk dari gudang ke suatu pelanggan, perusahaan memerlukan biaya tertentu. Biaya distribusi bergantung pada jumlah produk yang
didistribusikan. Oleh karena itu, Manajer harus mengatur distribusi dari setiap
gudang agar biaya transportasi minimal dan seluruh permintaan pelanggan terpenuhi. Nunkeaw et al (2009) menyatakan model masalah transportasi dalam
bentuk program linier sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
6
Model 2.1
min f (g) =
N
M X
X
cij gij
2.1
i=1 j=1
kendala:
N
X
gij ≤ Si , ∀i
2.2
gij = Dj , ∀j
2.3
j=1
M
X
i=1
M
X
i=1
Si =
N
X
Dj
2.4
j=1
gij ≥ 0, ∀i, j
2.5
Persamaan (2.1) adalah fungsi tujuan model transportasi untuk meminimumkan total biaya transportasi. Total jumlah barang yang diangkut dari suatu
gudang untuk didistribusikan tidak lebih dari kapasitas gudang tersebut, seperti
yang dinyatakan oleh persamaan (2.2). Persamaan (2.3) adalah persamaan yang
menunjukkan bahwa total jumlah barang yang diangkut dari setiap gudang ke
suatu pelanggan tepat memenuhi jumlah barang kebutuhan setiap pelanggan.
Persamaan (2.4) menunjukkan bahwa total jumlah produk yang tersedia di seluruh gudang harus sama dengan total jumlah permintaan seluruh pelanggan, dan
persamaan (2.5) menunjukkan bahwa persamaan (2.2), persamaan (2.3), dan
persamaan (2.4) adalah kendala yang tak negatif.
Nunkeaw et al (2009) juga menilai bahwa penggunaan hanya satu fungsi tujuan dalam masalah transportasi tidak cukup karena itu akan kurang mendekati
solusi optimal di dunia nyata. Oleh karena itu, perusahaan perlu mempertimbangkan beberapa fungsi tujuan lain. Fungsi-fungsi tersebut dapat berkaitan
dengan jumlah produk yang diantar, kapasitas tak terpakai dalam sebuah mobil,
konsumsi engergi, total waktu distribusi, dan lain-lain.
Universitas Sumatera Utara
7
2.2
Program Tujuan Ganda dan Solusi Pareto-Optimal
Dalam Caramia et al, sebuah persoalan optimisasi dengan fungsi tujuan tunggal
dapat diformulasikan sebagai berikut:
min f (x)
x∈S
di mana f adalah sebuah fungsi skalar dan S adalah daerah fisibel yang didefinisikan sebagai
S = {x ∈ Rm : Ax = 0}.
di mana A adalah matriks koefisien x pada kendala. Program Tujuan
Ganda dapat dimodelkan secara matematis sebagai berikut:
min [f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)]
x ∈ S,
di mana n > 1. Definisikan Ruang Objektif adalah ruang yang mengandung
seluruh fungsi tujuan, dan definisikan
C = {y ∈ R : y = f (x), x ∈ S}.
Konsep skalar dari ”optimalitas” tidak dapat langsung diaplikasikan pada
Program Tujuan Ganda. Di sini, notasi optimalitas Pareto akan diperkenalkan
sebagai berikut:
• Sebuah titik x∗ dikatakan Pareto optimum lemah atau sebuah solusi efisien
lemah untuk masalah Program Tujuan Ganda jika dan hanya jika tidak
terdapat x ∈ S sehingga fi (x) < fi (x∗ ) untuk setiap i ∈ {1, . . . , n}.
• Sebuah titik x∗ dikatakan Pareto optimum kuat atau sebuah solusi efisien
yang tepat untuk masalah Program Tujuan Ganda jika dan hanya jika tidak
terdapat x ∈ S sehingga fi (x) ≤ fi (x∗ ) untuk setiap i ∈ {1, . . . , n}.
Bayangan dari himpunan efisien, yaitu bayangan dari seluruh solusi efisien,
Universitas Sumatera Utara
8
disebut Pareto front atau Kurva Pareto. Bentuk dari permukaan Pareto mengindikasikan hubungan antara setiap fungsi tujuan. Sebuah contoh kurva Pareto
ditampilkan pada Gambar 2, di mana setiap titik di antara (f2 (ˆ
x), f1 (ˆ
x)) dan
(f2 (˜
x), f1 (˜
x)) disebut Pareto front. Titik-titik tersebut disebut titik non-inferior
atau titik tak-terdominasi.
Gambar 2. Contoh Kurva Pareto
Contoh Pareto optimum lemah dan kuat ditunjukkan pada Gambar 3:
titik p1 dan p5 adalah Pareto optimum lemah; titik p2 , p3 , dan p4 adalah Pareto
optimum kuat.
Gambar 3. Contoh Pareto optimum lemah dan kuat
Universitas Sumatera Utara
9
2.3
Metode Lexicographic
Mathias Ehrgott mengemukakan bahwa dalam optimisasi lexicographic, setiap
fungsi tujuan akan dipertimbangkan berdasarkan tingkat kepentingan atau prioritas. Sebuah solusi optimal xˆ dari suatu masalah disebut optimal lexicographic
dan yˆ = f (ˆ
x) adalah sebuah vector minimal lexicographicdalam Y = f (X ), di
mana X adalah himpunan vektor x yang memenuhi kendala (fisibel). Optimisasi
lexicographicjuga dapat ditulis dengan notasi “lexmin” sebagai berikut:
lexmin(f1 (x), f2 (x), . . . , fp (x))
2.6
x∈X
Notasi “lexmin” pada persamaan (3.4) di atas menunjukkan proses meminimumkan setiap fungsi tujuan secara lexicographi atau berurutan, yaitu dari fungsi tujuan 1 hingga fungsi tujuan p. Algoritma optimisasi lexicographic akan dijelaskan
lebih rinci pada Bab 3. Berikut diberikan definisi solusi dari sebuah optimisasi
lexicographic.
Definisi 2.1. Sebuah solusi fisibel xˆ ∈ X adalah solusi lexicographic, jika tidak
terdapat x ∈ X sehingga f (x)