Simetri genap Simetri ganjil

Beberapa kondisi khusus bentuk fungsi dapat lebih mudah dinyatakan dalam deret Fourier yaitu bila fungsi tersebut mempunyai bentuk simetri.

3.2.1 Simetri genap

Suatu fungsi dikatakan simetri genap bila memenuhi persamaan sebagai berikut : f ωt = f-ωt ini berarti fungsi tersebut simetri terhadap sumbu vertikal. Untuk fungsi ini dapat dibuktikan bahwa koefisien B n , sama dengan nol. ∫ = π ω ω ω π 2 sin 1 t d t n t f B n ∫ − = π π ω ω ω π sin 1 t d t n t f B n ] sin sin [ 1 ∫ ∫ + = − π π ω ω ω ω ω ω π t d t n t f t d t n t f B n Bila variabel ωt pada integral pertama diganti dengan -σ dan dilakukan pengubahan batas integral di dapat: ] sin sin [ 1 ∫ ∫ + − − − = π π ω ω ω σ σ σ π t d t n t f d n f B n ] sin sin [ 1 ∫ ∫ + − = π π ω ω ω σ σ σ π t d t n t f d n f B n Simbol yang digunakan pada variabel integral tidak mempengaruhi nilai integrasinya sehingga : Universitas Sumatera Utara B n = 0 Karena fungsi simetri genap maka koefisien A dan A n dapat ditentukan sebagai berikut : ∫ = π ω ω π 2 2 1 t d t f A ∫ = π ω ω ω π 2 cos 1 t d t n t f A n ∫ = π ω ω ω π cos 2 t d t n t f A n Sehingga untuk fungsi simetri genap berlaku : [ ] ∑ ∞ = + = 1 cos n n t n A A t f ω ω .............................................................. 3-3a ∫ = π ω ω π 1 t d t f A ............................................................................ 3-3b ∫ = π ω ω ω π cos 2 t d t n t f A n ............................................................. 3-3c

3.2.2 Simetri ganjil

Fungsi simetri ganjil mempunyai sifat simetri terhadap titik awal dan mempunyai hubungan: f ωt = - f-ωt Untuk fungsi simetri ganjil dapat dibuktikan bahwa koefisien A n = 0 atau komponen sinusnya hilang. Universitas Sumatera Utara ∫ = π ω ω ω π 2 cos 1 t d t n t f A n ∫ − = π π ω ω ω π cos 1 t d t n t f A n ] cos cos [ 1 ∫ ∫ + = − π π ω ω ω ω ω ω π t d t n t f t d t n t f A n Variabel ωt integral pertama diganti dengan -σ dan dilakukan pengubahan batas integral di dapat: ] cos cos [ 1 ∫ ∫ + − − − = π π ω ω ω σ σ σ π t d t n t f d n f A n ] cos cos [ 1 ∫ ∫ + − = π π ω ω ω σ σ σ π t d t n t f d n f A n ] cos cos [ 1 ∫ ∫ + − = π π ω ω ω σ σ σ π t d t n t f d n f A n = n A Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa : A = 0 Karena fungsi ganjil, maka koefisien B n dapat ditentukan sebagai berikut: ∫ = π ω ω ω π 2 sin 1 t d t n t f B n ∫ = π ω ω ω π sin 2 t d t n t f B n Universitas Sumatera Utara Sehingga untuk fungsi simetri ganjil berlaku: [ ] ∑ ∞ = = 1 sin n n t n B t f ω ω ...................................................................... 3-4a ∫ = π ω ω ω π sin 2 t d t n t f B n .............................................................. 3-4b

3.2.3 Simetri setengah gelombang