BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA (3)

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

Banjar/Barisan Tak Hingga
Barisan tak hingga {Sn} = S1, S2, S3, … , Sn, … adalah suatu fungsi dari n
dimana daerah domainnya adalah himpunan bilangan bulat positif (bilangan asli).
Contoh:
Bila n = 1, 2, 3, ……….., maka fungsi
Suku-suku

1 1 1 1
,
,
,
2 3 4 5

, ..........

1
n 1

menghasilkan urutan atau banjar


banjar ini disebut Banjar Tak Berhingga untuk

menunjukkan bahwa tak ada suku terakhir. Fungsi

1
n 1

disebut suku umum atau

ke-n dari banjar.
Suatu banjar tak berhingga dinyatakan dengan menutup suku umum dalam kurung
 1 
 , atau dapat ditulis :
1 n 

kurawal seperti 
1 1 1 1
, ,
,

2 3 4 5

, .....,

1
, .....
n 1

Contoh lain:
1.

{1, 2, 3, 4, ……… Un} → Un = n

2.

{3, 6, 9, 12, ……… Un} → Un = 3n
1 1 1
, ,
2 3 4


3.

{1,

4.

1, 4, 7, 10, 13, …  an = 3n – 2,

5. 0,

1

, .......... ...U n }  U n . 
n

1
1 2 3 4
, , , ,  an 1- ,
2 3 4 5
n

3 2 5 4 7 6
2 3 4 5 6 7

n≥1
n 1

n
6. 0, , , , , , ,   b n  1  (-1)

7. 0,

1
,
n

n 1

3 2 5 4 7 6
1
, - , , - , , - ,   c n  (-1)n 

,
2 3 4 5 6 7
n

Andiani / Kalkulus I / September’08

n 1

1

8.

0.999, 0.999, 0.999, 0.999, …

 dn = 0.999, n ≥ 1

Barisan {Sn} dikatakan terbatas jika terdapat bilangan-bilangan P dan Q
P  Sn  Q untuk semua n.

sehingga :

Contoh:

3 5 7
2n  1
,
,
, ... ,
, ...
2 4 6
2n

adalah terbatas karena untuk semua n : 1  Sn 

2
Tetapi 2, 4, 6, ... , 2n, ... adalah tidak terbatas.
Barisan {Sn} dikatakan tidak turun jika S1  S2  …  Sn  …
Dan dikatakan tidak naik jika S1 ≥ S2 ≥ … ≥ Sn ≥ …
Contoh:
Barisan
 n2 

1 4 9 16
,
,
, ... adalah barisan tidak turun.
  ,
2 3 4
5
 n  1

1. 

2. {2n - (-1)n} = 3, 3, 7, 7, … adalah barisan tidak turun.
1 1 1
 1
,
,
, ...
  1,
2 3 4
 n


3. 

4. {-n} = -1, -2, -3, -4, …

adalah barisan tidak naik.
adalah barisan tidak naik

Limit Barisan
Jika titik-titik berurutan yang diperoleh dari barisan :
1,

3 5 7 9
1
, , , , ...., 2 - , ..... (*)
2 3 4 5
n

terletak pada garis bilangan, dan untuk n cukup besar akan terletak disekitar titik 2.
Keadaan seperti ini dikatakan bahwa Limit barisan adalah 2.


Andiani / Kalkulus I / September’08

2

Jika x adalah peubah yang jangkauannya barisan (*), maka dikatakan bahwa x



mendekati 2 sebagai limit atau x menuju 2 sebagai limit dan ditulis : x → 2
1
lim
U n  lim
(2 - )  2


n
n 
n 


Kekonvergenan
Barisan

{Sn} dikatakan konvergen ke bilangan berhingga

 lim S S , jika untuk setiap bilangan positif
n  

n

S sebagai limit,

, bagaimanapun kecilnya, terdapat

bilangan bulat positif m sehingga untuk n > m akan berlaku

S - Sn  

Jika suatu barisan memiliki limit, maka disebut barisan konvergen.
Jika suatu barisan tidak memiliki limit, maka disebut barisan divergen.

Barisan

{Sn} dikatakan divergen ke ∞,

 lim S  ,
n  

n

jika untuk setiap

bilangan positif M, bagaimanapun besarnya, terdapat bilangan bulat positif m sehingga
untuk n> m maka

Sn

Jika Sn > M maka

n  

Jika Sn < -M maka

 M

.

lim S n    .
lim S n  -  .

n  

Jadi dapat disimpulkan:
Definisi
-

Barisan
sebagai:

{an}

dinamakan konvergen menuju L atau berlimit L dan ditulis

lim a n  L

n 

ε , ada bilangan positif N sehingga untuk
 n ≥ N => | an – L | < ε

-

Apabila untuk tiap bilangan positif

-

Suatu barisan yang tidak konvergen ke suatu bilangan L yang terhingga
dinamakan divergen.

Andiani / Kalkulus I / September’08

3

Teorema-Teorema Barisan
1. Setiap barisan tidak turun atau tidak naik dan terbatas adalah konvergen.
2. Setiap barisan yang tidak terbatas adalah divergen.
3. Barisan konvergen atau divergen akan tetap konvergen atau divergen sesudah n
suku pertama dihapus.
4. Limit dari barisan konvergen adalah tunggal.
 Andaikan {sn}

dan

{tn}

barisan-barisan yang konvergen dan k sebuah

konsatanta, maka

s n  s dan lim t n  t
Jika nlim
 
n  
s n  ks dimana k konstanta
5. Lim (k.sn) = k nlim
 

lim  s n t n   lim s n  lim t n  s t

6.

n  

7.

n  

n  

n  

lim  s n . t n   lim s n . lim t n  s . t
n  

n  

lim s n
 sn 
s
n 


lim


8. n     
tn
t
 t n  nlim
 

jika t ≠ 0 dan tn ≠ 0 untuk semua n

9. Jika {sn} adalah barisan suku-suku tidak nol dan jika :

lim s n   , maka lim S1  0
n   n

n  

an   
10. Jika a > 1, maka nlim
 
11. Jika

r

rn  0
< 1, maka nlim
 

Jumlah :


S

n

 s1  s 2  s 3    s n  

............... (1)

n 1

Dan barisan tak hingga {Sn} disebut deret tak hingga.
Untuk setiap deret terdapat sebarisan jumlah parsial :
S1 = s 1
S2 = s 1 + s2
S3 = s 1 + s2 + s 3
Andiani / Kalkulus I / September’08

4



Sn = s 1 + s2 + s 3 + … + s n


Jika

lim Sn  s suatu bilangan hingga, maka deret (1) dikatakan konvergen dan s

n  

disebut jumlahnya.

S n  tidak ada , maka deret (1) dikatakan divergen.
Jika nlim
 
Suatu deret adalah divergen karena

lim S n   atau jika n membesar maka S n

n  

membesar dan mengecil tanpa mendekati suatu limit.
Contoh :
Deret : 1 – 1 + 1 – 1 + .....
Untuk deret ini : s1 = 1,

s2 = 0,

s3 = 1,

s4 = 0 ,

……

Contoh-Contoh:

1. Gunakan Teorema 1 untuk memperlihatkan bahwa barisan

 1- 
1
n

adalah

konvergen.
Penyelesaian :
Barisan
Jika Sn

 1 -  adalah terbatas karena 0  S
=  1 -  , maka :
1
n

n

 1 untuk semua n. Karena :

1
n

S n 1  1 -

1 -

1
n 1
1
1

n
n(n  1)

 Sn 

1
n(n  1)

Berarti bahwa Sn+1 ≥ Sn , merupakan barisan yang tidak turun.
Andiani / Kalkulus I / September’08

5

Jadi barisan ini konvergen ke s = 1
2. Gunakan

Teorema

1

untuk

memperlihatkan

bahwa

barisan

 1.3.5.7.....(2n - 1) 

 adalah konvergen.
 2.4.6.8.....(2n) 

Penyelesaian :
Barisan

1.3.5.7.....(2n - 1)
adalah terbatas, karena 0  Sn  1 untuk semua
2.4.6.8.....(2n)

n.
Karena :
Jika S n 

1.3.5.7.....(2n - 1)
2.4.6.8.....(2n)

Maka :
S n 1 



1.3.5.7.....(2n  1)
2.4.6.8.....(2n  2)
2n  1
. Sn
2n  2

Berarti barisan ini tidak naik, jadi barisan konvergen ke s = 0
3. Limit dari barisan konvergen adalah tunggal.
Misalkan berlaku kebalikannya sehingga:

lim Sn  s dan lim S n  t , dimana
n 

n 

Lingkungan

s-t

 2ε  0

ε dari s dan t mempunyai sifat-sifat yang saling berkontradiksi :

i)

Tidak memiliki titik-titik persekutuan

ii)

Masing-masing memiliki semua suku-suku barisan kecuali sejumlah
berhingga dari suku-suku tersebut.

Jadi s = t dan limitnya adalah tunggal.

an  
4. Jika a > 1, maka nlim

Ambil M > 0, betapapun besarnya.
Andiani / Kalkulus I / September’08

6

Misalkan a = 1 + b dimana b > 0, maka :
a n  1  b 

n

 1  nb 

Jika n 

n(n - 1) 2
b  ......  1  nb  M
1.2

M
b

Karena an > M dan jika

n 

M
b

untuk M betapapun besarnya maka

lim a n   

n 

5. Deret aritmatika tak hingga a + (a + d) + (a + 2d) + ….. + [a + (n-1)d] divergen
jika a2 + d2 > 0
Untuk deret a + (a + d) + (a + 2d) + ….. + [a + (n-1)d]

Sn  
Sn = ½ n [2a + (n-1)d] dan nlim

Kecuali untuk a = d = 0
Jadi deret divergen jika a2 + d2 > 0
6. Deret geometri tak hingga a + ar + ar2 + ….. + arn-1 + ….., dimana a ≠ 0
Konvergen ke

a
jika
1- r

r

1

dan divergen jika

r

1

Untuk deret a + ar + ar2 + ….. + arn-1 :
Sn 



a - ar n
1- r
a
a
rn ,
1- r
1- r

r 1

Jika

r

1,

r n  0 sehingga lim S n  a
maka nlim

n 

Jika

r

1 ,

r n   sehingga Sn divergen.
maka nlim


Jika

r

1 ,

deretnya berbentuk a + a + a + a + a + ……….

1- r

Atau a – a + a – a + a + ………… yang divergen.
7. Untuk deret 1 

1
1
1
1


 ... 
,
2
3
4
n

Andiani / Kalkulus I / September’08

7

Jumlah bagiannya adalah :
S4 > 2
S8 > 2 ½
S16 > 3
S32 > 3 ½
S64 > 4


Jadi barisan jumlah-jumlah bagiannya tidak terbatas dan divergen, Jadi deretnya
divergen.
Uji Konvergensi dan Divergensi dari Deret Positif
I. Uji Integral
Misalkan f(n) menyatakan suku umum Sn dari deret ∑ Sn yang suku-sukunya
semua positif. Jika f(x) > 0 dan tidak pernah naik dalam interval x > ξ , dimana ξ
suatu bilangan bulat positif, maka deret ∑ Sn konvergen atau divergen tergantung kepada


apakah

f(x) dx ada atau tidak ada.



II. Uji Banding untuk Konvergensi
Suatu deret positif

∑ Sn adalah konvergen jika setiap suku (mungkin sesudah

sejumlah berhingga) adalah lebih kecil atau sama dengan suku yang bersesuaian dari
suatu deret positif konvergen yang diketahui ∑ cn
III. Uji Banding untuk Divergensi
Suatu deret positif

∑ Sn adalah divergen jika setiap suku (mungkin sesudah

sejumlah berhingga) adalah sama dengan atau lebih besar dari suku yang bersesuaian dari
suatu deret positif divergen yang diketahui ∑ dn

IV. Uji Rasio

Andiani / Kalkulus I / September’08

8

Deret positif

lim

n

lim

∑ Sn konvergen jika

n

Sn 1
 1 , dan divergen jika
Sn

Sn 1
S
 1 . Jika lim n  1  1 uji ini tidak dapat dipakai.
n S
Sn
n

Contoh :
Selidiki konvergensi dari :

1
3

1



5

1



7



1
9

 

Dengan menggunakan uji integral.
Penyelesaian :
1
,
2n  1

f(n) = Sn =
Ambil f(x) =

n = 1, 2, 3, ...

1
2x  1

Pada interval x > 1, f(x) > 0 dan menurun jika x naik.
Ambil ξ = 1 dan pandang :
u



f(x) dx
1

 lim

u  

 lim

u 


1

dx
 lim
u 
2x  1

2u  1 -

3

u

2x  1
1

 

Nilai integralnya tidak ada, jadi deret divergen.

Soal :
Dengan menggunakan uji integral selidiki kekonvergensian dari :
Andiani / Kalkulus I / September’08

9

1.

1
1
1



4
16
36
sin π 

2.
3.

1 

1
 ...
64

1
1
1
1
1
1
sin π 
sin π 
sin π  ...
4
2
9
3
16
4

1
1
1
1
 p  p 
 ... (p  0)
p
2
3
4
5p

Uji Banding
Suku umum dari deret yang diketahui yang akan diuji konvergensinya akan
dibandingkan dengan suku umum dari deret yang diketahui konvergensinya atau
divergensinya. Deret-deret berikut akan berguna sebagai deret uji :
a) Deret geometri a + ar + ar2 + ….. + arn + ….., dimana a ≠ 0 akan konvergen jika
0 < r < 1 dan divergen jika p ≥ 1.
b) Deret 1 

1
1
1
1
 p  p    p  
p
2
3
4
n

konvergen jika p > 1 dan divergen jika p  1
Contoh :
Selidiki konvergensi dari :

1
1
1
1
1



   2
 
2
5
10
17
n 1

Dengan menggunakan uji banding.
Penyelesaian :
1
1
1
1
1



   2
 
2
5
10
17
n 1

Suku umum S n 

1
1
 2
n 1
n
2

Jadi suku-suku deret ini adalah lebih kecil dari suku-suku deret :
1 

1
1
1

   2   yang konvergen karena p = 2
4
9
n

Andiani / Kalkulus I / September’08

10

Jadi deret yang diketahui juga konvergen. (Uji integral juga dapat digunakan disini)
Lanjut Soal :
Dengan menggunakan uji banding, selidiki konvergensi dari :
4.
5.

1



1

1 

1
2



1
3



1

 

4

1
1
1



2!
3!
4!



Tugas
Selidiki konvergensi dari deret-deret dengan menggunakan uji banding :
1.

2 

3
4
5
 3  3  
3
2
3
4

2.

1 

1
1
1
 3  4  
2
2
3
4

3.

1 

22 1
32  1
42 1


 
23  1
33  1
43  1

Uji Rasio
Deret positif ∑ Sn konvergen jika nlim

Dan divergen jika nlim

Jika nlim


Sn 1
 1
Sn

Sn 1
 1.
Sn

Sn 1
 1 uji ini tidak dapat dipakai
Sn

Contoh :

Andiani / Kalkulus I / September’08

11

Dengan

menggunakan

uji

rasio,

selidiki

konvergensi

dari

:

1
2
3
4
 2  3  4  
3
3
3
3

Penyelesaian :
Suku umum S n 

n
n 1
S n 1  n 1
n , maka
3
3

S n 1
n  1 3n
 n 1 .
Sn
n
3

Maka nlim




n 1
3n

Sn 1
n 1
1
 lim

1
n


Sn
3n
3

sehingga deret konvergen

Lanjut Soal :
Dengan menggunakan uji rasio, selidiki konvergensi dari :
6.

1
2!
3!
4!
 2  3  4  
3
3
3
3
1.2
1.2.3
1.2.3.4


 
1.3
1.3.5
1.3.5.7

7.

1 

8.

1
1
1
1



 
2
3
1.2
2.2
3.2
4.2 4

9.

2 

3 1
4 1
5 1



2
2 4
3 4
4 43

Tugas:
1. Tentukan apakah konvergen atau divergen dengan uji integral :
a).

1

n

b).

50

 n(n 1)

c).

1

 n ln n

d).

n

  n  1 n  2
2. Tentukan apakah konvergen atau divergen dengan uji banding :
a).

n

1
b).
-1

3



n-2
n3

c).



1
3

n

d).

n

2

1
5

3. Tentukan apakah konvergen atau divergen dengan uji rasio :

Andiani / Kalkulus I / September’08

12

a).



 n  1 n  2

n
c).  2n
2

5n
b). 
n!

n!

3 2n -1
d).  2
n n

4. Tentukan apakah konvergen atau divergen :
a).

1
1
1
1
 2 

 
2
2
4
7
10
13 2

b).

3 

c).

1
1
1
1



 
2
3.4
4.5.6
5.6.7.8

d)

3 

3
3

2



3
3

3



3
3

4

 

3
11
9



4
27
32

Andiani / Kalkulus I / September’08

13