34 nc + s + 1, p
H
= m + s dan q
H
= c + s − 1, batas atas nilai beda d adalah sebagai
berikut: d
≤ p
G
− p
H
p
H
+ q
G
− q
H
q
H
n − 1
= [p
H
− sn + s − p
H
]p
H
+ [q
H
− s − 1n + s − 1 − q
H
]q
H
n − 1
= [np
H
− sn + s − p
H
]p
H
+ [nq
H
− sn + n + s − 1 − q
H
]q
H
n − 1
= np
H 2
− snp
H
+ sp
H
− p
2 H
+ nq
H 2
− snq
H
+ nq
H
+ sq
H
− q
H
− q
H 2
n − 1
= n
− 1p
H 2
− n − 1sp
H
+ n − 1q
H 2
− n − 1sq
H
+ n − 1q
H
n − 1
= p
H 2
− sp
H
+ q
H 2
− sq
H
+ q
H
sehingga terbukti bahwa antimagicness super total selimut pada joint graf G = nW
z
+ P
s
memiliki d ≤ p
H 2
− sp
H
+ q
H 2
− sq
H
+ q
H
4.2 Pengembangan Partisi
Pada tahap ini setelah mengetahui batas atas nilai d, langkah selanjutnya adalah menentukan partisi dari sebuah bilangan bulat. Partisi ini sangat penting didalam
membangun antimagicness super total selimut pada joint graf G = nW
z
+ P
s
. Berikut adalah beberapa Lemma yang terkait dengan pengembangan partisi yang digunakan
pada joint graf G = nW
z
+ P
s
.
♦ Lemma 4.2.1.
Misal n, m, s dan z bilangan bulat positif dimana s = nz dan z =
m −1. Untuk j = 1, 2, ..., n jumlah dari P
n m,d
7
i, j = 2i +2jm −j −2m; 1 ≤ i ≤ m
, membentuk baris aritmatika dengan beda d
7
= 2m
2
− m.
Bukti. Melalui proses perhitungan sederhana, untuk j
= 1, 2, ..., n didapat
m
X
i =1
P
n m,d
7
i, j = P
n m,d
7
j =
P
n m,d
7
j = {1 + 2jm − j − mm}
= {m
2
, 3m
2
− m, 5m
2
− 2m, . . . , 1 + 2n − 1m − n − 1 − mm, 1 + 2nm
− n − mm}
35 Terbukti bahwa himpunan tersebut membentuk deret arimatika dengan d
7
= 2m
2
− m. ¤
♦ Lemma 4.2.2. Misal
n, m, s dan z bilangan bulat positif dimana s = nz dan z = m
− 1. Untuk j = 1, 2, ..., n jumlah dari P
n m,d
8
i, j = 2mn − n − 2jm + j +
2i − 1; 1 ≤ i ≤ m , membentuk baris aritmatika dengan beda d
8
= −2m
2
− m.
Bukti. Melalui proses perhitungan sederhana, untuk j
= 1, 2, ..., n didapat
m
X
i =1
P
n m,d
8
i, j = P
n m,d
8
j =
{2mn − n − 2jm + j + mm} =
{2nm − n − m + 1m, 2nm − n − 3m + 2m, 2nm − n − 5m +3m, . . . , 3m
2
− m, m
2
} Terbukti bahwa himpunan tersebut membentuk deret arimatika dengan d
8
= −2m
2
− m.
¤
4.3 Antimagicness Super Total Selimut pada Joint Graf G
= nW
z
+ P
s
Pada sub bab ini, akan disajikan teorema utama tentang keberadaan pelabelan super
a, d-H antimagic total pada joint graf. Teorema dibangun dengan
mengembangkan kombinasi linear antara Lemma 2.5.1, 2.5.2, 2.5.3, 2.5.4, 2.5.5, 2.5.6, 4.2.1 dan 4.2.2. Dari teorema inilah nantinya ciphertext akan dibangun.
♦ Teorema 4.3.1. Misal
m, n, z, s dan c adalah bilangan bulat positif dengan n ≥ 2
maka joint graf yang dinotasikan dengan G = nW
z
+ P
s
, memiliki super a, d
− H − antimagic total covering dengan a = m
1
− m
2 1
+ 2m
2 2
n − nm
2
+ m
2 2
+ 2m
1
− 1n +
m
3
n 2
m
3
− 1 + 2m
2
− 1n + 2m
1
− 1n +
m
4
n 2
m
4
+ 1 + m
4
+ nm
3
+ 2m
2
− 1n + 2m
1
− 1n +
m
5
2
1 − m
5
+ nm
4
+ nm
3
+ 2m
2
− 1n + 2m
1
− 1n +
m
6
2
2m
6
n + m
6
+ 1 + nm
5
+ nm
4
+ nm
3
+ 2m
2
−1n+2m
1
−1n+
m
7
4
2m
7
n −n+1+nm
6
+ nm
5
+ nm
4
+ nm
3
+ 2m
2
− 1n + 2m
1
− 1n +
m
8
4
2m
8
n + n + 3 + nm
7
+ nm
6
+ nm
5
+ nm
4
+ nm
3
+ 2m
2
− 1n + 2m
1
− 1n +
nz
1
2
[21 + z
1
+ n − 12z
1
+ 1] +
nz
2
2
[21 + z
2
+ n − 12z
2
+ 1] + 2m
1
− 1mn
2
+
c
1
n 2
c
1
− 1 + nm + s +
c
2
n 2
c
2
+ 1 + c
2
+ nc
1
+ nm + s +
c
3
2
1 − c
3
+ nc
2
+ nc
1
+ nm + s +
c
4
2
2c
4
n + c
4
+ 1 + nc
3
+
36 nc
2
+ nc
1
+ nm + s +
c
5
4
2c
5
n − n + 1 + nc
4
+ nc
3
+ nc
2
+ nc
1
+ nm + s +
c
6
4
2c
6
n + n + 3 + nc
5
+ nc
4
+ nc
3
+ nc
2
+ nc
1
+ nm + s + s − 1nm + s + nc +
s s−1
2
dan d = 2m
2 1
−m
1
−2m
2 2
+m
2
+m
3
−m
4
+m
2 5
−m
2 6
+
m
7
2
−
m
8
2
+c
1
−c
2
+c
2 3
−c
2 4
+
c
5
2
−
c
6
2
Bukti. Menurut 4.1.1 joint graf memiliki himpunan titik
|V
1
| = {v
ij
; 1 ≤ i ≤
m; 1 ≤ j ≤ n} dan |V
2
| = {x
k
; 1 ≤ k ≤ s} dan sisi |E
1
| = {e
lj
; 1 ≤ l ≤ c; 1 ≤ j ≤
n } dan |E
2
| = {x
k
x
k
+ 1; 1 ≤ k ≤ s − 1}. Sedangkan jumlah titik |V
1
| = nm dan |V
2
| = s maka p
G
= |V
1
| + |V
2
| = nm + s dan jumlah sisi |E
1
| = nc dan |E
2
| = s − 1 maka q
G
= |E
1
|+|E
2
| = nc+s−1 sedangkan p
H
dan q
H
merupakan selimut p
H
= m+s dan q
H
= c + s − 1. Selanjutnya labeli titik dan fungsi joint graf sebagai berikut.
f V
1
= {P
n m
1
, 2m
1 2
− m
1
} ∪ {P
n m
2
,− 2m
2 2
− m
2
⊕ [2m
1
− 1n]} ∪ {P
n m
3
,m
3
⊕ [2m
2
−1n + 2m
1
− 1n]} ∪ {P
n m
4
,−m
4
⊕ [nm
3
+ 2m
2
− 1n + 2m
1
− 1n]} ∪{P
n m
5
,m
2 5
⊕ [nm
4
+ nm
3
+ 2m
2
− 1n + 2m
1
− 1n]} ∪ {P
n m
6
,−m
2 6
⊕ [nm
5
+ nm
4
+ nm
3
+ 2m
2
− 1n + 2m
1
− 1n]} ∪ {P
n m
7
,
m7 2
⊕ [nm
6
+ nm
5
+ nm
4
+ nm
3
+ 2m
2
− 1n + 2m
1
− 1n]} ∪ {P
n m
8
,−
m8 2
⊕ [nm
7
+nm
6
+ nm
5
+ nm
4
+ nm
3
+ 2m
2
− 1n + 2m
1
− 1n]} untuk r
= {1, 2, ..., n} didapat
f V
2
= S
n j
=1
{2i + r − 12z
1
+ 1; 1 ≤ i ≤ m
1
− 1 = z
1
} {2i + r − 12z
2
+ 1 + 2m
1
− 1n; 1 ≤ i ≤ m
2
− 1 = z
2
}
f E
1
= {P
n c
1
,c
1
⊕ [nm + s]} ∪ {P
n c
2
,−c
2
⊕ [nc
1
+ nm + s] } ∪ {P
n c
3
,c
2 3
⊕ [nc
2
+ nc
1
+ nm + s] } ∪ {P
n c
4
,−c
2 4
⊕ [nc
3
+ nc
2
+ nc
1
+ nm + s] } ∪ {P
n c
5
,
c5 2
⊕ [nc
4
+ nc
3
+ nc
2
+ nc
1
+ nm + s] } ∪ {P
n c
6
,−
c6 2
⊕ [nc
5
+ nc
4
+ nc
3
+nc
2
+ nc
1
+ nm + s] }
f E
2
=
n
[
j =1
{|V
1
| + |V
2
| + |E
1
| + 1 + k − 11; 1 ≤ k ≤ s − 1}
=
n
[
j =1
{nm + s + nc + k; 1 ≤ k ≤ s − 1}
37 Terlihat dengan mudah bahwa f
: V
1
∪ V
2
→ {1, 2, . . . , |V G|} dan f : E
1
∪ E
2
→ {|V G| + 1, |V G| + 2, . . . , |V G| + |EG|}. Jika W adalah bobot total selimut, maka W dapat diperoleh dengan menjumlahkan seluruh label titik dan sisi
diatas dengan j = 1, 2, . . . , n dan s = nm
1
− 1 + nm
2
− 1. Bobot total tersebut dapat dirumuskan.
W =
{ X
f v
1
+ X
f v
2
+ X
f e
1
+ X
f e
2
} W
= 1 + 2m
1
− j − m
1
m
1
+ 2m
2
n − n − 2jm
2
+ j + m
2
m
2
+ 2m
1
− 1n +
m
3
n 2
m
3
− 1 + m
3
j + 2m
2
− 1n + 2m
1
− 1n + m
4
n 2
m
4
+ 1 + m
4
−m
4
j + nm
3
+ 2m
2
− 1n + 2m
1
− 1n + m
5
2 1
− m
5
+ m
2 5
j + nm
4
+nm
3
+ 2m
2
− 1n + 2m
1
− 1n + m
6
2 2m
6
n + m
6
+ 1 − m
2 6
j + nm
5
+nm
4
+ nm
3
+ 2m
2
− 1n + 2m
1
− 1n + m
7
4 2m
7
n − n + 1 +
m
7
2 j
+nm
6
+ nm
5
+ nm
4
+ nm
3
+ 2m
2
− 1n + 2m
1
− 1n + m
8
4 2m
8
n + n +3
− m
8
2 j + nm
7
+ nm
6
+ nm
5
+ nm
4
+ nm
3
+ 2m
2
− 1n + 2m
1
− 1n +
nz
1
2 [21 + z
1
+ n − 12z
1
+ 1] + nz
2
2 [21 + z
2
+ n − 12z
2
+ 1] + 2m
1
− 1mn
2
+ c
1
n 2
c
1
− 1 + c
1
j + nm + s + c
2
n 2
c
2
+ 1 + c
2
−
38 c
2
j + nc
1
+ nm + s + c
3
2 1
− c
3
+ c
2 3
j + nc
2
+ nc
1
+ nm + s + c
4
2 2c
4
n +c
4
+ 1 − c
2 4
j + nc
3
+ nc
2
+ nc
1
+ nm + s + c
5
4 2c
5
n − n + 1 +
c
5
2 j +
nc
4
+ nc
3
+ nc
2
+ nc
1
+ nm + s + c
6
4 2c
6
n + n + 3 −
c
6
2 j + nc
5
+ nc
4
+ nc
3
+ nc
2
+ nc
1
+ nm + s + s − 1nm + s + nc +
ss − 1
2 W
= m
1
− m
2 1
+ 2m
2 2
n − nm
2
+ m
2 2
+ 2m
1
− 1n + m
3
n 2
m
3
− 1 + 2m
2
− 1n + 2m
1
− 1n + m
4
n 2
m
4
+ 1 + m
4
+ nm
3
+ 2m
2
− 1n + 2m
1
− 1n +
m
5
2 1
− m
5
+ nm
4
+ nm
3
+ 2m
2
− 1n + 2m
1
− 1n + m
6
2 2m
6
n +m
6
+ 1 + nm
5
+ nm
4
+ nm
3
+ 2m
2
− 1n + 2m
1
− 1n + m
7
4 2m
7
n −n + 1 + nm
6
+ nm
5
+ nm
4
+ nm
3
+ 2m
2
− 1n + 2m
1
− 1n + m
8
4 2m
8
n + n + 3 + nm
7
+ nm
6
+ nm
5
+ nm
4
+ nm
3
+ 2m
2
− 1n + 2m
1
−1n + nz
1
2 [21 + z
1
+ n − 12z
1
+ 1] + nz
2
2 [21 + z
2
+ n − 12z
2
+ 1] + 2m
1
− 1mn
2
+ c
1
n 2
c
1
− 1 + nm + s + c
2
n 2
c
2
+ 1 + c
2
+ nc
1
+ nm +s +
c
3
2 1
− c
3
+ nc
2
+ nc
1
+ nm + s + c
4
2 2c
4
n + c
4
+ 1 + nc
3
+ nc
2
+ nc
1
+ nm + s + c
5
4 2c
5
n − n + 1 + nc
4
+ nc
3
+ nc
2
+ nc
1
+ nm + s + c
6
4 2c
6
n + n + 3 + nc
5
+ nc
4
+ nc
3
+ nc
2
+ nc
1
+ nm + s + s − 1nm + s +
nc + ss
− 1 2
+ [2m
2 1
− m
1
− 2m
2 2
+ m
2
+ m
3
− m
4
+ m
2 5
− m
2 6
+ m
7
2 −
m
8
2 +c
1
− c
2
+ c
2 3
− c
2 4
+ c
5
2 −
c
6
2 ]j
W = a + dj.
Dengan mudah dapat dilihat bahwa bobot total terkecilnya adalah a = m
1
− m
2 1
+ 2m
2 2
n −nm
2
+m
2 2
+2m
1
−1n+
m
3
n 2
m
3
−1+2m
2
−1n+2m
1
−1n+
m
4
n 2
m
4
+ 1 + m
4
+ nm
3
+ 2m
2
−1n+2m
1
−1n+
m
5
2
1 −m
5
+ nm
4
+ nm
3
+ 2m
2
−1n+ 2m
1
− 1n +
m
6
2
2m
6
n + m
6
+ 1 + nm
5
+ nm
4
+ nm
3
+ 2m
2
− 1n + 2m
1
− 1n +
m
7
4
2m
7
n −n+1+nm
6
+nm
5
+nm
4
+nm
3
+2m
2
−1n+2m
1
−1n+
m
8
4
2m
8
n+ n + 3 + nm
7
+ nm
6
+ nm
5
+ nm
4
+ nm
3
+ 2m
2
−1n+2m
1
−1n+
nz
1
2
[21 + z
1
+ n
− 12z
1
+ 1] +
nz
2
2
[21 + z
2
+ n − 12z
2
+ 1] + 2m
1
− 1mn
2
+
c
1
n 2
c
1
− 1 +
39 nm + s +
c
2
n 2
c
2
+ 1 + c
2
+ nc
1
+ nm + s +
c
3
2
1 −c
3
+ nc
2
+ nc
1
+ nm + s +
c
4
2
2c
4
n + n
4
+1+nc
3
+nc
2
+nc
1
+nm+s+
c
5
4
2c
5
n −n+1+nc
4
+nc
3
+nc
2
+nc
1
+nm+s+
c
6
4
2c
6
n +n+3+nc
5
+nc
4
+nc
3
+nc
2
+nc
1
+nm+s+s −1nm+s+nc+
s s−1
2
dan d = 2m
2 1
−m
1
−2m
2 2
+m
2
+m
3
−m
4
+m
2 5
−m
2 6
+
m
7
2
−
m
8
2
+c
1
−c
2
+c
2 3
−c
2 4
+
c
5
2
−
c
6
2
terbukti. ¤
Sebagai ilustrasi akan diberikan beberapa contoh joint graf nW
z
+ P
s
beserta keterangan label titik, label sisi dan bobot total selimutnya sebagai berikut :
1. Gambar 4.1 dan tabel 4.1 merupakan contoh dari super
4949, 128- HAT C pada
joint graf 3W
5
+ P
6
2. Gambar 4.2 dan tabel 4.2 merupakan contoh dari super
4615, 462- HAT C pada
joint graf 3W
5
+ P
6
3. Gambar 4.3 dan tabel 4.3 merupakan contoh dari super
5057, 20- HAT Cl pada
joint graf 3W
5
+ P
6
4.4 Aplikasi Antimagicness Super Total Selimut Joint Graf G
