2.6.3 Batas Atas Nilai Beda d Pelabelan Selimut Super
a, d −
H-Antimagic ....................................................... 24
2.7 Hasil Pelabelan Selimut Super
a, d
− H-Antimagic ................ 25 BAB 3. METODE PENELITIAN
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1 Metode Penelitian
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Definisi Operasional
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.1
Super a, d
− H− Antimagic Total Selimut ..................... 27 3.2.2
Joint Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Teknik Penelitian
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1 Kardinalitas dan Batas Atas Nilai Beda d Antimagicness Super
Total Selimut Joint Graf nW
z
+ P
s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Pengembangan Partisi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Antimagicness Super Total Selimut pada Joint Graf G
= nW
z
+ P
s
35
4.4 Aplikasi
Antimagicness Super
Total Selimut
Joint Graf
G = nW
z
+ P
s
dengan Menggunakan Ciphertext
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.4.1
Pembangunan Ciphertext Alfabet pada Joint Graf 3W
5
+ P
6
dengan d = 128. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4.2 Pembangunan Ciphertext Simbol Alfabet pada Joint Graf
3W
5
+ P
6
dengan d = 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5 Hasil dan Pembahasan
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 BAB 5. PENUTUP
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1 Kesimpulan
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Saran
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 DAFTAR PUSTAKA
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
xi
DAFTAR GAMBAR
Halaman 2.1
Contoh Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Graf H subgraf dari Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 2.3
Graf Isomorfik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Graf Bintang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 2.5
Graf Lingkaran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.6 Graf Roda Roosen, 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 2.7
Graf Lintasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.8
Joint Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.9
Disjoint Graf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.10 Joint Graf nW
3
+ P
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.11 a Fungsi Injektif, b Fungsi Surjektif, dan c Fungsi Bijektif . . . . . . . . . . . . . . 16
2.12 Contoh pada Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1
Joint Graf nW
z
+ P
s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2
Diagram Alir Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.1
Super 4949, 128-
HAT C pada Joint Graf 3W
5
+ P
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2
Super 4615, 462-
HAT C pada Joint Graf 3W
5
+ P
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.3
Super 5057, 20-
HAT C pada Joint Graf 3W
5
+ P
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.4
Diagram Pohon Super 4949, 128-
HAT C pada Joint Graf 3W
5
+ P
6
. . . . . . 49 4.5
Diagram Pohon Super 5057, 20-
HAT C pada Joint Graf 3W
5
+ P
6
. . . . . . . 52
xii
DAFTAR TABEL
Halaman 2.1
Aturan Julius Caesar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2
Klasifikasi partisi d = 2m
2
− m. ................................................ 12 2.3
Stream Cipher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4
Klasifikasi Partisi d = m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Klasifikasi Partisi d
= m
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.6
Klasifikasi Partisi d =
m 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.7
Klasifikasi Partisi d = 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.8 Ringkasan Pelabelan Selimut Super
a, d- H-Antimagic. ..................... 26
4.1 Label
Titik, Label
Sisi dan
Bobot Total
Selimut dari
Super 4949, 128-
HAT C pada Joint Graf 3W
5
+ P
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.2
Label Titik,
Label Sisi
dan Bobot
Total Selimut
dari Super
4615, 462- HAT C pada Joint Graf 3W
5
+ P
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.3
Label Titik,
Label Sisi
dan Bobot
Total Selimut
dari Super
5057, 20- HAT C pada Joint Graf 3W
5
+ P
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.4
Pembentukan Chipertext Alfabet dari Gambar 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.5
Pengkodean untuk bilangan mod 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.6
Pembentukan Chipertext Simbol Alfabet dari Gambar 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.7
Ciphertext Alfabet Antimagicness Super 4949, 128- HAT C pada Joint
Graf 3W
5
+ P
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.8
Ciphertext Simbol Alfabet Antimagicness Super 5057, 20- HAT C pada
Joint Graf 3W
5
+ P
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.1
Ciphertext Alfabet Antimagicness Super 4949, 128- HAT C pada Joint
Graf 3W
5
+ P
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.2
Ciphertext Simbol Alfabet Antimagicness Super 5057, 20- HAT C pada
Joint Graf 3W
5
+ P
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
xiii
BAB 1. PENDAHULUAN 1.1
Latar Belakang
Teori graf dikemukakan matematikawan berasal dari Swiss yang bernama Leonhard Euler pada tahun 1736. Graf merupakan salah satu topik dalam teori graf
yang digunakan untuk mencari solusi permasalahan diskrit, yang dalam graf terdapat titikvertex dan sisiedge.
Salah satu aplikasi graf dalam kehidupan sehari-hari adalah pembuatan sandi pesan rahasia.
Pesan rahasia ciphertext adalah pesan tersandi yang merupakan hasil pengamanan enkripsi dari pesan yang hendak dikirim
berupa data asli plaintext. Sedangkan ilmu yang mempelajari bagaimana cara
menjaga agar data atau pesan tetap aman saat dikirimkan, dari pengirim ke penerima tanpa mengalami gangguan dari pihak ketiga di sebut sebagai kriptografi. Salah satu
metode yang digunakan dalam pembuatan sandi pesan rahasia adalah menggunakan pelabelan graf.
Pelabelan graf pada pertengahan tahun 1960-an diperkenalkan melalui hipotesis Ringel dan Rosa.
Pelabelan graf merupakan fungsi bijektif yang memetakan himpunan dari elemen-elemen graf ke himpunan bilangan bulat positif.
Elemen-elemen graf terdiri dari himpunan titik, himpunan sisi, serta himpunan titik dan sisi. Pelabelan berkembang menjadi pelabelan super, pelabelan titik, pelabelan
sisi, pelabelan total, pelabelan magic, dan pelabelan antimagic. Pelabelan super
didefinisikan sebagai pelabelan titik dan sisi dimana label titik kurang dari label sisi, pelabelan titik mempunyai daerah asal berupa himpunan titik, pelabelan sisi
mempunyai daerah asal berupa himpunan sisi, pelabelan total mempunyai daerah asal berupa himpunan titik dan sisi Dafik,2007:17. Pelabelan magic didefinisikan
sebagai pelabelan dengan jumlah bobot total yang sama. Hartsfield dan Ringel 1994 mendefinisikan antimagic merupakan suatu graf G yang mempunyai verteks sebanyak
v
G
dan e
G
jika label titik dan sisinya berupa {1, 2, . . . , e
G
} sehingga mempunyai bobot total berbeda. Guti
´ errez dan Llad´
o 2005 mengatakan bahwa pelabelan total selimut magic berawal dari pelabelan total magic. Pelabelan total selimut
H magic
2 sebuah graf G
= v
G
, e
G
apabila setiap garis e
G
terdapat pada subgraf H dari G yang
isomorfik dengan H, H adalah subgraf dari G. Inayah 2013 mengembangkan
menjadi pelabelan selimut H − antimagic yang merupakan pelabelan total selimut
H − antimagic pada graf G yang mempunyai fungsi bijektif sehingga diperoleh jumlahan barisan aritmatika a, a
+ d, a + 2d, ..., a + n − 1d dimana fungsi bijektif
tersebut berbeda dan berurutan. Pelabelan graf mempunyai nilai d batas atas yang berbeda dan nilai d tidak tunggal Dafik et al., 2009.
Beberapa peneletian terdahulu tentang pelabelan selimut, yaitu dilakukan oleh Inayah 2013 tentang Pelabelan Selimut
a, d − H−Anti Ajaib Super
pada Graf Kipas F
n
dan Graf Roda W
n
ditemukan beberapa suku awal dan beda
a, d pada graf kipas h
2
+ 2hn − h + 3, 2h − 5, h
2
+ 2hn + h −
2n + 1, 2h − 1, 3hn + 3h − 4n, 3, 3h
2
− 3h + 3, 6h − 3; 3 ≤ h ≤ n serta pada graf roda
2n + 3h + n, 1, 3hn + 5; 3 ≤ h ≤ n + 1,
Pudyaningrum et al., 2014 meneliti Pengembangan Total Selimut Super
pada Graf Shackle triangular book menghasilkan d =
{0, 1, 2, . . . , 96} , 36n + 84, 96, 52n + 68, 60, 60n + 60, 48, 61n + 59, 40, 64n +
56, 33, 66n + 54, 30, 52n + 68, 28, 68n + 52, 25, 69n + 51, 23, 72n + 48, 20, 72n + 48, 18, 73n + 47, 15, 76n + 44, 12, 77n + 43, 8
− C
3
; n ≥ 2
pada graf konektif sedangkan pada graf diskonektif dihasilkan d =
{0, 2, 4, 6}, 73mn + 32m + 15, 15, 70mn + 34m + 16, 17, 69mn + 34m +
17, 19, 68mn + 34m + 18, 21, 67mn + 34m + 19, 23 − C
3
; n ≥ 2; m ≥ 2,
Wuni et
al., 2014
meneliti Super
a, d − H − antimagic Total
Covering pada
Gabungan Saling
Lepas Graf
Semiwindmill dengan
hasil 22n + 20, 1, 23n + 13, 3, 25n + 17, 5, 18n + 27, 7
− C
3
; n ≥ 1, serta
Azizah 2016 meneliti Super a, d
− A
P O
Anti Ajaib Total Dekomposisi Graf
Shackle Generalisasi
Antiprisma untuk
Pengembangan Ciphertext
dan Keterampilan
Berpikir Tingkat
Tinggi menemukan
d konektif
dan diskonektif berturut-turut d
∈ {0, 1, 2, . . . , op − 2
2
+ 3op − 2o
2
+ 2 }
dan d
∈ {0, 2, . . . , op − 2
2
+ 3op − 2o
2
+ 2 } yang memenuhi
d = dt ⊕ ±op − 2 − t
2
⊕ dr ⊕ ±3op − 2o − r
2
± 2 dimana l = 0, 1, . . . , op
− 2 dan r = 0, 1, . . . , 3op − 2op dengan p, n, m ≥ 2 dan o ≥ 3.
3 Pada graf terdapat beberapa operasi graf, diantaranya adalah joint graf
G
1
+ G
2
dan disjoint graf. Berdasarkan latar belakang di atas ,peneliti akan
membahas tentang Antimagicness Super Total Selimut pada Joint Graf serta Aplikasinya untuk Pengembangan Ciphertext. Pencarian batas atas serta nilai-nilai
beda d. Nilai d ≤ s ,d bilangan bulat non negatif dan s nilai terbesar d dalam
suatu graf untuk d =
{1, 2, . . . , s} tidak akan ditemukan d s. Nilai batas atas digunakan untuk menentukan nilai beda maksimum dalam mencari pelabelan super
a, d − H − antimagic total selimut. Graf yang digunakan adalah joint graf
nW
z
+ P
s
dan untuk memecahkan pelabelan selimut digunakan batas atas dan pola partisi.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka dapat dirumuskan masalah dalam penelitian ini sebagai berikut:
a. bagaimana menentukan kardinalitas titik dan sisi joint graf nW
z
+ P
s
? b.
bagaimana menentukan batas atas antimagicness super total selimut joint graf nW
z
+ P
s
? c.
bagaimana menentukan nilai-nilai d pada ke-antimagic-an super total selimut joint graf nW
z
+ P
s
? d.
bagaimana mengembangkan aplikasi antimagicness super total selimut joint graf dengan menggunakan ciphertext?
1.3 Tujuan Penelitian
Sesuai dengan rumusan masalah dan latar belakang di atas, maka tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
a. menentukan kardinalitas titik dan sisi joint graf nW
z
+ P
s
; b.
menentukan batas atas antimagicness super total selimut joint graf nW
z
+ P
s
; c.
menentukan nilai-nilai d antimagicness super total selimut joint graf nW
z
+ P
s
;
4 d.
menentukan aplikasi antimagicness super total selimut joint graf dengan menggunakan ciphertext.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat yang didapatkan dari penelitian ini adalah: a.
menambah pengetahuan
baru tentang
teori graf,
khususnya tentang
antimagicness super total selimut pada joint graf; b.
memberi motivasi peneliti graf yang lain tentang antimagicness super total selimut pada graf jenis lainnya;
c. hasil penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai pengembangan atau
perluasan ilmu dan aplikasi dalam masalah antimagicness super total selimut.
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1
Terminologi Dasar Graf
Graf G adalah pasangan himpunan V G, EG. V G adalah himpunan
tak kosong dari elemen yang disebut titik dan E G adalah sebuah himpunan yang
mungkin kosong dari pasangan terurut {u, v} dari titik u, v ǫV G yang disebut sisi.
Terdapat graf yang tidak memiliki sisi tetapi hanya memiliki titik. Titik-titik yang berkelompok dan membentuk suatu himpunan titik tanpa sisi disebut graf kosong null
graphempty graph. Graf terdiri dari beberapa jenis, namun yang sering digunakan ada dua jenis.
Berdasarkan ada atau tidaknya gelang loop maupun sisi ganda pada suatu graf dan berdasarkan sisi pada graf yang mempunyai orientasi arah. Graf sederhana simple
graf adalah graf yang tidak mengandung gelang atau sisi ganda. Pada graf sederhana sisi merupakan pasangan tak terurut. Jadi sisi
u, v sama saja dengan v, u. Graf tak-sederhana unsimple-grafmultigraf adalah graf yang mengandung sisi ganda atau
gelang. Berdasarkan orientasi arah pada sisi, ada dua jenis graf yaitu graf tidak berarah
dan graf berarah. Graf tidak berarah undirect graph adalah graf yang tidak
mempunyai orientasi arah. Urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi,
u, v = v, u adalah sisi yang sama. Graf berarah directed grafdigraf adalah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah.
Ordo dari sebuah graf G adalah banyaknya titik pada G. Berdasarkan Gambar 2.1 menunjukkan sebuah contoh graf sederhana dan tidak berarah yang berordo 7 dengan
himpunan titik {v
1
,v
2
,v
3
,v
4
,v
5
,v
6
,v
7
} dan himpunan sisi {e
1
, e
2
, e
3
, e
4
, e
5
, e
6
, e
7
, e
8
}. Misalkan u dan v merupakan titik-titik dari graf G, u dikatakan bertetangga dengan v. Sebuah sisi e yang menghubungkan u dan v yaitu e
= uv, selanjutnya kita sebut v tetangga dari u. Himpunan semua tetangga dari u disebut
ketetanggaan dari u dan dinotasikan dengan N u. Kedua titik u dan v dapat juga
disebut bersisisan dengan sisi e Slamin, 2009.
6
e
2
e
4
e
3
e
5
e
7
e
8
e
6
v
5
v
1
v
2
v
3
v
4
v
6
v
7
e
1
Gambar 2.1 Contoh Graf G
Derajat titik v pada G adalah banyaknya titik-titik yang bertetangga dengan v yaitu jumlah semua tetangga dari v. Jika sebuah titik v mempunyai derajat 0, dengan
kata lain v tidak bertetangga dengan sembarang titik yang lain, maka v adalah titik terasing. Titik yang mempunyai derajat satu disebut titik akhir
end vertex atau daun. Jika semua titik pada graf G mempunyai derajat yang sama d maka dikatakan graf
singular d Dafik dkk, 2009. Graf H merupakan subgraf dari G jika setiap titik di H adalah titik di G dan setiap
sisi di H adalah sisi di G V H
⊆ V G dan EH ⊆ EG. Graf H merupakan subgraf dari G maka dapat ditulis H
⊆ G. Gambar 2.2 graf H yang merupakan subgraf dari graf G.
7
e
4
e
6
e
7
e
8
v
4
v
5
v
6
v
7
e
5
Gambar 2.2 Graf H subgraf dari Graf G
Dua buah graf G
1
dan G
2
dikatakan graf isomorfik jika graf G
1
dan G
2
dapat dipresentasikan sehingga tampak identik dan tidak merubah ketetanggaan.
Graf V G
1
∼ = V G
2
terdapat korespondensi satu-satu f : V G
1
→ V G
2
, jika u, v
∈ EG
1
maka f u, f v ∈ EG
2
. Dengan demikian, jika G
1
∼ = G
2
maka | V G
1
|=| V G
2
| dan | EG
1
|=| EG
2
|. Kesamaan jumlah vertex dan edge dari graf tidak menjamin bahwa graf tersebut isomorfik. Sehingga untuk membuktikan
dua graf isomorfik yaitu dengan mencari korespondensi satu-satu dari V G
1
ke V G
2
. Graf G
V, E dan Gv
∗
, e
∗
disebut isomorfik jika ada korespondensi satu satu f : V
−→ V
∗
sedemikian hingga u, v adalah suatu sisi dari G jika dan hanya jika f u, f v adalah suatu sisi dari graf G
∗
. Graf isomorfik tidak dibedakan meskipun diagramnya ”tampak beda”. Gambar 2.3 menunjukkan graf G
1
mirip dengan huruf K dan G
2
mirip dengan huruf X. Perhatikan gambar 2.3 bahwa K dan X adalah graf-graf isomorfik Lipschutz dan Lipson, 2002:138.
G
1
G
2
v
5
v
2
v
3
v
4
v
5
v
1
v
2
v
3
v
4
v
1
Gambar 2.3 Graf Isomorfik
8 Jalan
walk pada sebuah graf adalah barisan titik edge dan sisi vertex yang diawali dan diakhiri dengan titik. Jalan
walk dikatakan tertutup jika titik awal dan titik akhirnya sama atau identik. Jika titik jalan yang berbeda maka disebut lintasan
path, sedangkan jika semua sisinya yang berbeda maka jalan tersebut disebut jejak trail. Sikel cycle adalah jalan tertutup dengan barisan titik yang berbeda lintasan
yang tertutup. Suatu graf dikatakan terhubung atau konektif
connected, jika ada lintasan dari u ke v dan jika tidak ada lintasan dari u ke v disebut graf tak terhubung atau diskonektif
disconnected. Jarak antara verteks u dan v dalam G yang ditulis du, v adalah panjang dari jarak tersingkat antara u dan v. Diameter dari G yang dituliskan diam
G adalah jarak maksimum antara sembarang dua titik dalam GLipchutz dan Lipson,
2002
2.2 Graf Khusus dan Operasi Graf
2.2.1 Graf Khusus
Berikut ini beberapa contoh graf khusus. a.
Graf Bintang Star Graph Graf Bintang adalah graf pohon yang terdiri dari satu titik pusat yang memiliki
derajat n dan n + 1 titik dan n sisi. Gambar 2.4 merupakan contoh graf bintang.
v
6
S
5
v
1
v
2
v
3
v
4
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
S
3
Gambar 2.4 Graf Bintang
9 b.
Graf Lingkaran Cycle graph Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua. Graf
lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan C
n
. Gambar 2.5 adalah contoh graf lingkaran
C
5
C
6
v
6
v
2
v
3
v
4
v
5
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
1
Gambar 2.5 Graf Lingkaran
c. Graf Roda W heels Graph
Graf roda adalah graf yang diperoleh dengan cara menambahkan satu simpul pada graf lingkaran C
n
dan menghubungkan simpul baru tersebut dengan semua simpul pada graf lingkaran tersebut. Gambar 2.6 adalah contoh graf roda dari
graf roda W
3
dan W
6
..
W
3
W
6
v
7
v
2
v
3
v
4
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
v
1
Gambar 2.6 Graf Roda Roosen, 2003
10 d.
Graf Lintasan P ath Graph Graf lintasan atau path graph adalah graf yang terdiri dari satu lintasan. Graf
lintasan dengan n titik dinotasikan P
n
dengan n ≥ 2. Contoh Gambar 2.7 dari
graf lintasan P
2
dan P
4
. P
2
P
4
x
1
x
2
x
1
x
2
x
3
x
4
Gambar 2.7 Graf Lintasan
2.2.2 Operasi Graf
Berikut ini beberapa contoh Operasi Graf. a.
Joint Graf Joint graf
G
1
+ G
2
joint dari graf G
1
dan G
2
, dinotasikan dengan G = G
1
+ G
2
, adalah graf G dimana V G = V G
1
∪ V G
2
dan EG = EG
1
∪ EG
2
∪ uv|u ∈ V G
1
, v ∈ V G
2
Harsya, 2014. Contoh dari operasi joint ditunjukkan pada Gambar 2.8.
W
3
+ P
2
x
1
x
2
v
1
v
2
v
3
v
4
Gambar 2.8 Joint Graf
11 b.
Disjoint Graf Disjoint graf adalah gabungan dari dua graf atau lebih misalkan pada G
1
dan G
2
dinotasikan dengan G
1
∪ G
2
, didefinisikan sebagai graf dengan himpunan titiknya adalah V
G
1
∪ V G
2
dan himpunan sisi EG
2
∪ EG
2
. Pada Gambar 2.9, graf G merupakan gabungan graf G
1
dan G
2
, yaitu G = G
1
∪ G
2
. Union graf nG didefinisikan sebagai gabungan saling lepas dari n buah kopi
graf G dan dapat juga dikatakan sebagai graf dengan n komponen, dimana setiap komponennya adalah graf G.
v
42
= v
1
v
2
v
3
v
4
v
1
v
2
v
3
v
4
v
11
v
31
v
21
v
41
v
12
v
22
v
32
S
Gambar 2.9 Disjoint Graf
2.3 Aplikasi Graf
