21
Tabel 2.5 Klasifikasi Partisi d = m
2
.
i j 1
2 3
4 . . .
n 1
1 m + 1
2m + 1 3m + 1
. . . n
− 1m + 1 2
2 m + 2
2m + 2 3m + 2
. . . n
− 1m + 1 3
3 m + 3
2m + 3 3m + 3
. . . n
− 1m + 1 . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . m
m m + m
2m + m 3m + m . . .
n − 1m + 1
+ a
a + m
2
a + 2m
2
a + m
3
. . . a + n
− 1m
2
d = m
2
Tabel 2.6 Klasifikasi Partisi d =
m 2
.
i j 1
2 3
4 5
1 1
4 2
5 3
2 8
6 9
7 10
3 11 14 12 15 13
4 18 16 19 17 20
+ 38 40 42 44 46
d =
m 2
2.6 Pelabelan Graf
2.6.1 Definisi Pelabelan Graf
Pelabelan graf merupakan suatu fungsi bijektif yang memetakan himpunan dari elemen-elemen graf berupa sisi dan titik ke himpunan bilangan bulat positif. Secara
umum, fungsi f yang memetakan himpunan A ke dalam B disebut fungsi injektif jika setiap elemen dalam A mempunyai bayangan yang berbeda pada B jika dan hanya
jika rangef sama dengan B. Secara lebih singkat, f : A
→ B adalah satu satu jika f a = f a
′
maka a = a
′
dan merupakan onto jika f A = B Baca, 2007. Secara
matematik definisi pelabelan graf dapat dituliskan sebagai berikut: Pelabelan graf G
= V, E adalah suatu pemetaan: D → N, dimana D: domain,
N : himpunan label dari G, jika D = V maka disebut pelabelan titik, D = E maka disebut pelabelan sisi dan D
= V S E maka disebut pelabelan total. Pada pelabelan
titik, jumlah label titik lebih dari dua yang saling menempel disebut bobot selimut. Semua selimut yang mempunyai bobot selimut yang sama disebut pelabelan titik
selimut magic. Semua selimut yang mempunyai bobot selimut berbeda dan himpunan
22 bobot selimut dari semua selimut membentuk barisan aritmatika dengan suku pertama
a dan beda b disebut pelabelan titik selimut antimagic Simanjuntak dan Salman, 2010. sebagai contoh partisi diterapkan dalam pelabelan graf sebagai berikut :
2 4
6 8
1 3
5 7
Gambar 2.12 Contoh pada Graf
Tabel 2.7 Klasifikasi Partisi d = 8.
i j 1
2 3
1 1
3 5
2 2
4 6
3 3
5 7
4 4
6 8
+ 10 18 26
d = 8
dengan m baris m = 4 dan n kolom n = 3, menghasilkan d = 8 dan membentuk
barisan aritmatika: P
n 4,8
i, j = k − 12 + i; 1 ≤ i ≤ 4; 1 ≤ j ≤ n
2.6.2 Pelabelan Selimut Super
a, d − H − Antimagic
Pelabelan pada graf adalah pemetaan atau fungsi yang memasangkan setiap titik pada graf dengan bilangan bulat positif. Jika domain dari pemetaan tersebut
merupakan titik maka disebut pelabelan titik. Jika domain dari pemetaan tesebut
adalah sisi maka disebut pelabelan sisi dan jika domainnya merupakan titik dan sisi maka disebut pelabelan total.
Pelabelan selimut super a, d
− H-antimagic merupakan fungsi injektif karena label selimut dalam setiap selimut pasti berbeda sesuai dengan definisi pelabelan
selimut antimagic, label selimutnya selalu berbeda dan berurutan. Label selimut
23 dikatakan surjektif karena label selimutnya merupakan range dan semuanya adalah
kodomain yang diperoleh dari melabeli setiap selimut graf dengan bilangan berurutan setelah label titik terbesar. Penelitian ini merupakan fungsi bijektif.
Pelabelan selimut super a, d
− H-antimagic pada graf G dengan v merupakan titik dan e merupakan sisi, didefinisikan sebagai fungsi bijektif dari
titik-titik dan sisi-sisi pada himpunan bilangan bulat dari 1 sampai dengan sejumlah titik dan sisi yang ada.
Secara matematis dapat ditulis f : V G
S EG
→ {1, 2, 3, ..., |V G| + |EG|} dengan setiap subgraf dari G yang isomorfik dengan H
dimana H juga subgraf dari G mempunyai total label. Graf G dikatakan memiliki pelabelan selimut
H antimagic jika himpunan titik V G merupakan pemetaan bijektif f ke
{1,2,3,...,V G}Gutierrez dan Lliado,2005. Suatu selimut dari G adalah
H = {H
1
, H
2
, H
3
, . . . , H
n
} keluarga subgraf dari G dengan sifat setiap sisi di G termuat pada sekurang-kurangnya satu graf
H
i
, untuk suatu iǫ
{1, 2, . . . , n}. Jika untuk setiap iǫ{1, 2, . . . , n}, H
i
isomorfik dengan suatu subgraf
H, maka H dikatakan suatu selimut-H dari G. Selanjutnya dikatakan bahwa G memuat selimut-
H. Diberikan G = V G, EG graf sederhana dan berhingga yang memuat selimut-
H dengan |V G| = v
G
, |EG| = e
G
, dan banyak subgraf H
i
dari G yang isomorfik dengan H adalah n. Graf G adalah a, d
− H-antimagic jika ada suatu pelabelan total ξ
: V G ∪ EG → {1, 2, . . . , v
G
+ e
G
} yang memenuhi ξH
i
|H
i
∼ = H =
{a, a + d, a + 2d, . . . , a + n − 1d} untuk dua bilangan bulat positif a dan d tertentu. Dalam hal ini, ξ
H
i
dikatakan bobot dari H
i
bobot − H
i
dan didefinisikan ξ H
i
= {Σ
vǫV H
i
ξv + Σ
eǫE H
i
ξe }. Kemudian, ξ dikatakan
pelabelan total super a, d
− H-antimagic, jika ξV G = {1, 2, . . . , v
G
}. Suatu graf yang mempunyai pelabelan total super
a, d − H-antimagic disebut super
a, d − H-antimagic. Jika G memuat suatu selimut-H, maka pelabelan total super
a, d − H-antimagic dikatakan pelabelan selimut super a, d − H − antimagic
Inayah, 2013. Dengan demikian pelabean selimut super
a, d − H antimagic adalah pelabelan
terhadap unsur titik dan sisi pada graf dengan bilangan {1, 2, 3, ..., p + q} sedemikian
hingga bobot selimut Hnya membentuk barisan aritmatika {a, a + d,
a + 2d, ..., a + n − 1d} dengan a adalah suku pertama, b adalah beda, dan k adalah
24 jumlah selimutnya.
2.6.3 Batas Atas Nilai Beda d Pelabelan Selimut Super
a, d − H-Antimagic
Lemma 2.6.1.
Jika sebuah graf GV, E adalah pelabelan super a, d-
H-antimagic total covering maka
d ≤
p
G
− p
H
p
H
+ q
G
− q
H
q
H
n − 1
untuk s =
|H
i
|, p
G
= |V |, q
G
= |E|, p
H
= |V
′
|, q
H
= |E
′
|
Bukti.
f V = 1, 2, 3, .., p
G
dan f E = p
G
+ 1, p
G
+ 2, p
G
+ 2, .., p
G
+ q
G
. Misal-kan graf p
G
,q
G
mempunyai pelabelan super a, d- H-antimagic total covering
dengan fungsi total f total = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., p
G
+ q
G
} maka himpunan bobot covering sebuah graf adalah
{a, a + d, a + 2d, . . . , an − 1d} dimana a merupakan bobot dekomposisi terkecil maka berlaku:
1 + 2 + . . . + p
H
+ p
G
+ 1 + p
G
+ 2 + . . . + p
G
+ q
H
≤ a p
H
2 1 + p
H
+ q
H
p
G
+ q
H
2 1 + q
H
≤ a p
H
2 +
p
2 H
2 + q
H
p
G
+ q
H
2 +
q
2 H
2 ≤ a
Sedangkan untuk nilai terbesar berlaku: a + n
− 1d ≤ p
G
+ p
G
− 1 + p
G
− 2 + ... + p
G
− p
H
− 1 + p
G
+ q
G
+p
G
+ q
G
− 1 + p
G
+ q
G
− 2 + ... + p
G
+ q
G
− q
H
− 1 = p
H
p
G
− p
H
− 1 2
1 + p
H
− 1 + q
H
p
G
+ q
H
p
G
− q
H
− 1 2
1 + q
H
− 1 = p
H
p
G
− p
H
− 1 2
p
H
+ q
H
p
G
+ q
H
p
G
− q
H
− 1 2
q
H
25
s − 1d ≤ p
H
p
G
− p
H
− 1 2
p
H
+ q
H
p
G
+ q
H
p
G
− q
H
− 1 2
q
H
− a ≤ p
H
p
G
− p
H
− 1 2
p
H
+ q
H
p
G
+ q
H
p
G
− q
H
− 1 2
q
H
− p
H
2 +
p
2 H
2 + q
H
p
G
+ q
H
2 +
q
2 H
2 = p
H
p
G
− p
2 H
2 +
p
H
2 + q
H
p
G
− q
2 H
2 +
q
H
2 −
p
H
2 +
p
2 H
2 +
q
H
2 +
q
2 H
2 = p
H
p
G
+ q
H
q
G
− p
2 H
− q
2 H
= p
H
p
G
− p
2 H
+ q
H
q
G
− q
2 H
= p
G
− p
H
p
H
+ q
G
− q
H
q
H
d ≤
p
G
− p
H
p
H
+ q
G
− q
H
q
H
n − 1
Persamaan diatas membuktikan bahwa batas atas d ≤
p
G
− p
H
p
H
+q
G
− q
H
q
H
n− 1
jika graf G memiliki pelabelan super a, d-
H-antimagic total covering dari berbagai famili graf Dafik. 2007.
¤
2.7 Hasil Pelabelan Selimut Super
