Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif
10
Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Sifat-1 di atas hanya berkaitan dengan bilangan bulat positif m dan n. Ada 3 tiga kemungkinan, yaitu a m n, b m = n, dan c m n.
a Kasus m n
Jika m dan n bilangan bulat positif dan m n maka m – n 0. Dengan demikian
a a
a a a a
a a a a
a
m n
m n
= × × × ×
× × × × =
× ...
...
faktor faktor
a a a
a a a a
a a a a
n n
× × × × × × ×
× × × × ...
... ..
faktor faktor
.. ...
× = × × × ×
=
− −
−
a a a a
a a
m n m n
m n faktor
faktor
Jadi
a a
m n
= a
m-n
, dengan m, n bilangan bulat positif dan m n b Kasus
m = n Jika
m = n, maka a
a
m n
= 1 = a =
a
m–n
. Bukti:
a a
a a
m n
m m
= , sebab m = n
= a
a a
a a
a a
a
m m
× × × × × × × ×
... ...
faktor faktor
= 1
= a
Latihan 1.2
Buktikan sendiri untuk kasus m n. Jelaskan perbedaan hasilnya dengan kasus a.
Sifat-3
Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n bilangan bulat positif, maka a
m n
= a
mn
11
Matematika
Bukti: a
a a
a a
a a
a a
m n
m m
m m
n m
= ×
× × ×
= × × × ×
... ...
faktor faktor
× × × ×
× × × ×
a a a a
a a a a
m
... ...
faktor m
m m
a a a a
faktor faktor
× × × ×
...
...
= × × × ×
× n
m n
a a a a
faktor fak
...
ttor
terbukti
=
×
a a
m n
m n
Diskusi
Diskusikan dengan temanmu, apakah syarat bahwa m dan n bilangan positif
diperlukan untuk Sifat-3 dan Sifat-4. Bagaimana jika m dan n adalah negatif atau
kedua-duanya bilangan negatif.
Contoh 1.2
a Buktikan bahwa jika a ∈ R, a 1 dan n m, maka a
n
a
m
. Bukti:
Karena a 1 dan n m maka n – m 0 dan a
n
0, a
m
0. Akibatnya, berlaku
⇔ =
⇔
−
a a
a a
a a
a
n m
n m
n m
n m
Lihat Sifat-1di atas Mengapa
? Beri al 1
1 aasamu
Karena terbukti
⇔ ×
× ⇔
a a
a a
a a
a
n m
m m
m m
n
1
b Perlukah syarat a 1? Misalkan kita ambil a bilangan real yang memenuhi a 1 dan n m. Apakah
yang terjadi? Pilih
a = –2, dengan n m, pilih n = 3 dan m = 2. Apakah yang terjadi? –2
3
= –2 × –2 × –2 = –8 –2
2
= –2 × –2 = 4
Lambang ⇔ dibaca jika dan
hanya jika.
12
Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Dengan demikian, a
n
= –8 4 = a
m
atau a
n
a
m
. Jadi, tidak benar bahwa a
n
a
m
bila a 1 dan n m. Jadi, syarat a adalah bilangan real, dengan a 1 dan n m merupakan syarat cukup untuk membuktikan a
n
a
m
.
Diskusi
Berdiskusilah dengan temanmu satu kelompok. Analisis pernyataan pada Contoh 1.2 • Apa akibatnya bila syarat a 1 tidak dipenuhi?
• Perlukah diperkuat dengan syarat n m 0? Jelaskan • Bolehkah syarat a 1 di atas diganti a
≥ 1? Jelaskan • Bagaimanakah bila 0
a
1 dan a 0? • Buat aturan hubungan antara a
n
dan a
m
untuk bermacam-macam nilai a di atas • Buat laporan hasil diskusi kelompokmu.
Contoh 1.3
Terapkan berbagai sifat bilangan berpangkat untuk menentukan hasil operasi bilangan pada soal yang disajikan pada contoh. Ujilah kebenaran hasilnya
1. 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 5
2 5
7
× = × × × × × ×
= × × × ×
faktor faktor
faktor
= =
+
2 2
7 2 5
dengan menggunakan Sifat-1
2. 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
5 5
= × × × ×
× × × × =
dengan menggunakan Sifat-2 kasus b
= 2
5–5
= 2
5–5
13
Matematika
3. 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2
3 2
3 3
3 3
= ×
= × ×
× × ×
= ×
f f
aktor aktor
2 2 2 2 2 2
2 2
6 3 3
6
× × × × =
=
+ faktor
dengan menggunakan
Sifat-3
4. 2
3 2
3 2
3 2
3 2
2 2
3 3
3
3 3
3
× =
× ×
× ×
× = × × × × ×
faktor faktor
= ×
2 3
3 3
dengan menggunakan Deinisi 1.1
5. 2
3 2
3 2
3 2
3 2
2 2
3 3
3 3
=
×
×
= × ×
× ×
faktor
3 3
2 3
3 3
3 faktor
= dengan menggunakan Deinisi 1.1
Contoh 1.4
Buktikan bahwa jika a 1 dan n m dengan n dan m bilangan bulat negatif, maka a
n
a
m
. Bukti:
Karena n m dengan n dan m bilangan bulat negatif, maka –n dan –m adalah bilangan bulat positif dan –m –n.
Karena a 1 maka a
a a
a
m n
n m
− −
= 1 Gunakan sifat a
–m
= 1
a
m
. a
a
n m
1 ⇒ a
n
a
m
terbukti
14
Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Contoh 1.5
Berdasarkan sifat perkalian dengan bilangan 7, tentukan angka satuan dari 7
1234
tanpa menghitung tuntas. Perhatikan angka satuan dari perpangkatan dari 7 berikut?
Perpangkatan 7
Nilai Angka Satuan
7
1
7 7
7
2
49 9
7
3
343 3
7
4
2401 1
7
5
16807 7
7
6
117649 9
7
7
823543 3
7
8
5764801 1
Coba lanjutkan langkah berikutnya untuk menemukan angka satuan 7
1234
. Cermati sifat satuan pada tabel di atas. Saat periode ke berapakah berulang? Selanjutnya
manfaatkan sifat-sifat perpangkatan dan perkalian bilangan berpangkat.