19
Matematika
bilangan real yang bukan bilangan rasional. Bilangan irasional merupakan bilangan yang mengandung pecahan desimal tak berhingga dan tak berpola. Contoh bilangan
irasional, misalnya 2
= 1,414213562373..., e = 2,718..., dan � = 3,141592653…
Bilangan irasional yang menggunakan tanda akar dinamakan bentuk akar.
Tetapi ingat, tidak semua bilangan yang berada dalam tanda akar merupakan bilangan irasional. Contoh:
25 dan
64 bukan bentuk akar, karena nilai
25 adalah 5 dan
nilai 64
adalah 8, keduanya bukan bilangan irasional. Agar lebih jelas, perhatikan contoh berikut.
1. 20
adalah bentuk akar 2.
27
3
bukan bentuk akar, karena 27
3
= 3
7. Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat
Perlu diketahui bahwa bilangan berpangkat memiliki hubungan dengan bentuk akar. Berdasarkan Sifat-4, jika a adalah bilangan real dengan a 0,
p n
dan m
n adalah
bilangan pecahan dengan n ≠ 0, maka
a a
a
m n
p n
m p
n
=
+
.
Dengan demikian p
p p
1 2
1 2
1 2
1 2
× =
+
= p dan perhatikan bahwa p
p p
× =
, sehingga dapat disimpulkan
p p
1 2
= .
Perhatikan untuk kasus di bawah ini p
p p
p
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
× ×
=
+ +
= p
1
= p dan perhatikan juga bahwa p
p p
p
3 3
3
× ×
= , sehingga berdasarkan Deinisi 1.6 disimpulkan
p p
1 3
3
= .
Latihan 1.3
Cermatilah dan buktikan apakah berlaku secara umum bahwa p
p
n n
1
= .
20
Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Perhatikan bahwa p
p p
2 3
2 3
2 3
´ ´
= p
2
, sehingga berdasarkan sifat perkalian bilangan berpangkat diperoleh:
p
2 3
3
= p
2
Ingat, p
m n
= p
m × n
Diubah menjadi, p
p
2 3
2 3
= .
Secara umum dapat disimpulkan bahwa p
p p
m n
m n
n m
= =
sebagaimana diberikan pada Deinisi-1.6.
8. Operasi pada Bentuk Akar a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk akarnya senama. Bentuk akar senama adalah bentuk akar yang mempunyai
eksponen dan basis sama. Untuk setiap p, q, dan r adalah bilangan real dan r ≥ 0
berlaku sifat-sifat berikut. p r
q r p
q r
p r q r
p q
r
n n
n n
n n
+ =
+ −
= −
Perhatikan contoh berikut ini
Contoh 1.6
Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut dalam bentuk yang sederhana 1.
3 5 4 5
3 4 5
7 5 +
= +
= 2.
5 3
+ tidak dapat disederhanakan karena akarnya tidak senama
3. 2 4
3 4 2
3 4
4
3 3
3 3
− =
− = −
4. 3
3 1
2
3 3
3 3
x x
x x
− =
− =
21
Matematika
b. Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar
Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa a
a
p q
p q
= . Sifat perkalian dan
pembagian bentuk akar dapat dicermati pada beberapa contoh berikut.
Contoh 1.7
1 8
2 2
2 2
3 3
3 3
3 1
= = = =
2 64
2 2
2 2
6 6
6 6
6 1
= =
= = 3
4 5 2 7
4 2 5 7
8 35
3 3
3 3
× =
× ×
=
4 3 5 5 5
3 5 5
5 15 5
15 5
5 7
1 5
1 7
12 35
12 35
× =
× ×
=
=
5 3 4
4 5 3
4 4
5
3 3
3
=
6 2 3
3 5 2
3 3
5
4 4
4
=
Latihan 1.4
1 Buktikan: jika a bilangan real dan a 0, maka a
n n
= a. 2 Buktikan: jika a, b, c, dan d bilangan real, c 0 dan d 0, maka
a c b
d ab cd
n n
n
× =
. 3 Buktikan: jika a, b, c, dan d bilangan real, c 0 dan d 0, maka
a c b
d a
b c
d
n n
n
= .
c. Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar
Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti 2
5 3
7 2
6 ,
, ,
+ −
, dan seterusnya merupakan bilangan irasional. Jika bentuk akar tersebut menjadi penyebut
pada suatu pecahan, maka dikatakan sebagai penyebut irasional.
