6
Contoh 1: Tentukan solusi dari
2
15 mod17 x
≡
.
Jawab :
17 1 2 8
15 15 mod 17
−
≡ 1 mod 17
≡ Karena
17 1 2
15 1 mod 17
−
≡ maka
berdasarkan kriteria Euler
2
15 mod 17 x
≡ mempunyai solusi.
Generator dari
17
adalah g = 3. Mencari nilai i sehingga 3
15mod17
i
≡ i
2 4
6 3 mod17
i
1 9
13 15 Dari tabel diperoleh nilai i adalah 6.
6 17 1
mod 2
2 u
− ≡
3mod 8 ≡
Solusinya adalah
3
3 10mod17
x ≡
≡ . Solusi
satunya adalah 10
7mod17 x
− ≡ − ≡
. Jadi solusi dari
2
15 mod17 x
≡ adalah
7 dan 10 .
Algoritma di atas tidak efisien untuk nilai p
yang besar p 1.000.000 , karena untuk mencari g yaitu generator dari
p
untuk nilai p
1.000.000 tidaklah mudah, kemudian mencari
nilai i
sedemikian sehingga
mod
i
g a
p ≡
juga memerlukan waktu yang lama untuk nilai p 1.000.000.
Oleh karena itu, di bagian berikutnya akan dibahas sebuah algoritma yang lebih
efisien untuk
mencari solusi
dari
2
mod x
a p
≡ yaitu
Algoritma RESSOL. Mencari solusi dari
2
mod x
a p
≡ memang tidak mudah, tetapi ada beberapa
kasus untuk nilai p tertentu yang solusinya sudah dengan ditentukan. Misal untuk
3mod 4 p
≡ maka
solusi dari
2
mod x
a p
≡ adalah
1 4
mod
p
x a
p
+
≡ ± karena
2 1 2
1 4 p
p
a a
+ +
± =
1 2
.
p
a a
−
= mod
a p
≡ .
Berdasarkan Teorema
2.9,
2
1 mod x
p ≡ −
mempunyai solusi jika dan hanya jika
2 p
= atau
1mod 4 p
≡ . Untuk
1mod 4 p
≡ misalkan
1 4
mod
p
x z
p
−
= ± dengan z adalah suatu bilangan non residu
kuadratik yang ambil secara acak dalam
p
. Berdasarkan
Kriteria Euler
diperoleh
2 2
1 4 1 2
1 mod
p p
x z
z p
− −
±
≡ ≡
≡ − .
Teorema 3.4
Jika a dan b relatif prima terhadap bilangan prima p, dan jika a dan b memiliki order
2 mod
j
p dengan
j , maka ab memiliki
order 2
mod
j
p untuk beberapa j
j .
[Niven, 1991]
Bukti :
2
ord 2 mod
1mod
j
j
a p
a p
≡ ⇔
≡ …1,
berdasarkan Teorema Fermat,
1
1mod
p
a p
−
≡ …2
Dari persamaan 1 dan 2 diperoleh 2 |
1
j
p −
dan p 2. Ambil
1
2
j
x a
−
= , karena ord
2 mod
j
a p
≡ maka
1
2
1mod
j
x a
p
−
= ≡
tetapi
2
2
1mod
j
x a
p =
≡ sehingga berdasarkan
Lemma 2.9 maka
1
2
1mod
j
x a
p
−
= ≡ −
. Dengan
cara yang
sama diperoleh
1
2
1mod
j
b p
−
≡ − , dan mengakibatkan
1 1
1
2 2
2
1 1 1mod
j j
j
ab a
b p
− −
−
= ≡ −
− ≡
. Berdasarka Lemma 2.13 maka order dari ab
membagi
1
2
j −
sehingga order dari ab adalah 2
j
untuk suatu j
j .
Teorema-teorema di
atas menjadi
landasan Algoritma RESSOL untuk mencari solusi dari
2
mod x
a p
≡ dengan
p
a Q
∈ dan
p prima ganjil.
3.2 Konstruksi Algoritma RESSOL beserta Analisisnya.
Untuk mencari solusi
2
mod x
a p
≡ dengan p prima ganjil, ada sebuah algoritma
yang dapat digunakan untuk mencarinya yaitu Algoritma RESSOL Residue Solver.
Dalam bagian ini penulis akan mencoba merekonstruksi Algoritma RESSOL dan
menganalisisnya. Berikut ini akan dijelaskan langlah-langkah
penurunan Algoritma
RESSOL.
7
Langkah pertama
menghitung
1 2
mod
p
a p
−
dengan Kriteria Euleur. Jika
1 2
1 mod
p
a p
−
≡ − maka
2
mod x
a p
≡ tidak mempunyai solusi.
Jika
1 2
1 mod
p
a p
−
≡ maka untuk
menentukan solusi
dari
2
mod x
a p
≡ adalah mencari nilai k dan m dengan k 0 dan
m ganjil sedemikian sehingga
1 2
k
p m
− = .
Kemudian didefinisikan :
1 2
mod
m
r a
p
+
≡
…
1 Jika kedua ruas persamaan 1 dikuadratkan,
maka diperoleh :
1 2
mod
m
r a
p
+
≡
2
. mod
m
r a
a p
≡
.
Misalkan mod
m
n a
p ≡
, sehingga dapat
ditulis :
2
mod r
na p
≡
…
2 Jika
1 mod n
p ≡
,
maka solusinya adalah mod
x r
p ≡ ±
.
Jika n ≡ 1 mod p , maka untuk menentukan
solusinya diperlukan langkah penyelesaian sebagai berikut.
Ambil secara acak suatu bilangan nonresidu kuadratik di dalam
p
. Misal bilangan tersebut adalah z. Definisikan
mod
m
c z
p ≡
…3 Jika kedua ruas persamaan 3 dipangkatkan
dengan 2
k
, maka diperoleh :
2 2
k k
m
c z
=
1
1 mod
p
z p
−
= ≡
…
4 Berdasarkan Lemma 2.13, order dari c
membagi 2
k
. Sementara itu, karena z adalah nonresidu kuadratik maka
1 1
2 2
k k
m
c z
− −
=
1 2
1 mod
p
z p
−
= ≡ −
…
5 Jadi order dari c adalah tepat 2
k
. Hal ini dapat
ditulis ord
2
k
c ≡
atau
2
1 mod
k
c p
≡
.
Dengan cara yang sama diperoleh
1 2
2
1 mod
k k
p m
n a
a p
−
= =
≡ …6
Dengan demikian order dari n membagi 2
k
.
Dengan pengulangan kuadrat dapat ditentukan order dari n adalah
2
k
. Sementara itu
1 1
1 2 2
2
k k
p m
n a
a
− −
−
= =
, karena a
adalah kuadratik residu mod p maka
1
1 2 2
1 mod
k
p
n a
p
−
−
= ≡
…7 sehingga
k k
.
Algoritma ini dimulai dengan proses pengulangan.
Didefinisikan
1
2
mod
k k
b c
p
− −
≡ …8
mod r
br p
≡ …9
2
mod c
b p
≡ …10
mod n
c n p
≡ …11
Dengan melakukan perkalian pada kedua ruas persamaan 2 oleh
2
b diperoleh :
2 2
2
mod b r
b na p
≡ dengan menggunakan persamaan 9, 10 dan
11 diperoleh :
2
mod r
an p
≡ …12
Dari persamaan 8 dan 10 diperoleh
2
mod c
b p
≡
1
2 2
mod
k k
c p
− −
≡
2
mod
k k
c p
−
≡ …13
Jika kedua ruas persamaan 13 dipangkatkan dengan
2
k
, maka diperoleh :
2 2
2
mod
k
k k k
c c
p
−
≡
2
mod 1 mod
k
c p
p ≡
≡ .
Sementara itu
1
1
2 2
2
mod
k
k k k
c c
p
−
− −
≡
1
2
mod 1 mod
k
c p
p
−
≡ ≡ −
Dengan demikian c
memiliki order tepat 2
k
. Karena
ord 2
k
n ≡
dan ord
2
k
c ≡
,
maka berdasarkan Teorema 3.4, order dari mod
n c n
p ≡
adalah 2
k
dengan k
k .
Jika k
= , maka 1 mod
n p
≡ , dan dengan
menggunakan persamaan 12, maka solusi dari
2
mod x
a p
≡ adalah
mod x
r p
≡ ± .
Jika n
≡ 1 mod p maka
1 k
, dan kondisi ini serupa dengan ketika pengulangan dimulai,
sehingga pengulangan dilakukan kembali sampai solusi diperoleh.
Langkah penyelesaian untuk menentukan solusi
dari kongruensi
2
mod x
a p
≡ tersusun dalam algoritma berikut ini.
8
Algoritma 2 Algoritma RESSOL : Mencari akar kuadrat modulo p prima ganjil.
INPUT
: Bilangan prima ganjil p dan
bilangan bulat a, 1 ≤ a ≤ p – 1. OUTPUT : Dua akar kuadrat a modulo p.
1. Hitung
1 2 p
a
−
dengan Kriteria Euleur. Jika
1 2
1 mod
p
a p
−
≡ − maka a tidak
mempunyai akar kuadrat modulo p dan proses berhenti .
Jika
1 2
1 mod
p
a p
−
≡ lanjut ke langkah
2. 2.
Cari k dan m, dengan m ganjil sehingga 1
2
k
p m
− = .
3. Hitung
1 2
mod
m
r a
p
+
≡ dan
mod
m
n a
p ≡
.
4. Definisikan
2
mod r
an p
≡
…
i Jika
1 mod n
p ≡
,
maka solusinya adalah
mod x
r p
≡ ±
.
Jika n ≡ 1 mod p , lanjut langkah 5.
5. Ambil
p
z ∈
secara acak yang nonresidu kuadratik, dan tetapkan
mod
m
c z
p ≡
.
Sehingga ordc = 2
k
. 6.
Dengan pengulangan kuadrat diperoleh ordn =
2
k
.
7. Tetapkan
1
2
mod
k k
b c
p
− −
≡ ,
mod r
br p
≡ ,
2
mod c
b p
≡ dan
mod n
c n p
≡ dengan
k k
8. Kalikan kedua ruas i dengan
c .
Dengan demikian diperoleh
2
mod r
an p
≡ …ii
9. Jika
1 mod n
p ≡
,
maka solusinya adalah
mod x
r p
≡ ±
.
Jika n
≡ 1 mod p , lakukan
pengulangan langkah 6 – 8, sampai diperoleh
1 mod n
p ≡
.
10. Solusinya adalah
mod x
r p
≡ ±
.
Algoritma RESSOL adalah algoritma acak randomized algorithm karena langkah
ke-5 mensyaratkan untuk memilih bilangan nonresidu kuadratik secara acak dalam
p
. Dalam
p
, setengah dari anggotanya adalah
non residu
kuadratik sehingga
pengambilan bilangan nonresidu kuadratik mempunyai peluang
1 2
dengan rata-rata pengambilan adalah 2 kali percobaan.
Algoritma RESSOL bukanlah algoritma deterministic
, tetapi prosedur perhitungannya lebih praktis dan cepat.
Algoritma RESSOL mempunyai waktu eksekusi running time
4
lg O
p bit
operasi. [Menezes, 1997]
Contoh 2. Tentukan solusi dari
2
13 mod 23 x
≡
.
Jawab:
23 1 2 11
13 13
mod 23
−
≡ 1 mod 23
≡ .
Karena
23 1 2
13 1 mod 23
−
≡ maka
2
13 mod 23 x
≡ mempunyai solusi.
23 – 1 = 22 =
1
2 .11 pilih k = 1 dan m = 11
11 1 2
13 mod 23
r
+
≡
6
13 mod 23 6 mod 23
≡ ≡
Karena
2 12
13 mod 23
r ≡
11
13 .13 mod 23 ≡
dengan
11
13 mod 23
1 mod 23 n
≡ ≡
maka solusi dari
2
13 mod 23 x
≡ adalah
6 mod 23 x
≡ dan
6 mod 23 17 mod 23
x ≡ −
≡ Jadi solusi dari
2
13 mod 23 x
≡ adalah 6
dan 17.
9
Langkah-langkah dalam Algoritma RESSOL dapat dilihat melalui bagan berikut ini.
Algoritma RESSOL
hanya dapat
digunakan untuk
mencari solusi
dari
2
mod x
a p
≡ dengan p prima ganjil.
Tetapi Algoritma RESSOL ini dapat dijadikan landasan
untuk mencari
solusi dari
2
mod ,
x a
pq ≡
dengan p dan q prima ganjil, dan
2
mod
j
x a
p ≡
, dengan p prima ganjil dan bilangan bulat
2 j
≥ .
Hitung
1 2
mod
m
r a
p
+
≡ dan
mod
m
n a
p ≡
Tidak
Tetapkan
1
2
mod
k k
b c
p
− −
≡ ,
mod r
br p
≡ ,
2
mod c
b p
≡ ,
mod n
c n p
≡ dengan
k k
Ya
Selesai Tidak
Ya Hitung
1 2
mod
p
a p
−
Mulai Bilangan prima ganjil p
dan
[ ]
1, 1
a p
∈ −
Apakah
1 2
1 mod
p
a p
−
≡
2
mod x
a p
≡ tak punya solusi
Apakah 1 mod
n p
≡ Solusinya adalah
mod x
r p
≡ ± Misalkan z adalah bilangan
nonresidu kuadratik yang diambil secara acak dalam
p
. Hitung
mod
m
c z
p ≡
Hitung
2
mod r
an p
≡ Apakah
1 mod n
p ≡
Tidak Ya
Solusinya adalah mod
x r
p ≡ ±
2
mod x
a p
≡ punya solusi
Bagan 2. Algoritma RESSOL
10
3.3 Mengkontruksi
Algoritma untuk
Mencari Solusi
2
mod x
a pq
≡ dengan
p dan q bilangan prima ganjil.
Untuk mencari
solusi kongruensi
2
mod ,
x a
pq ≡
dengan p dan q prima ganjil, diawali dengan mencari terlebih
dahulu solusi dari
2
mod x
a p
≡ dan
2
mod x
a q
≡ menggunakan
Algoritma RESSOL.
Misalkan
2
mod x
a p
≡ mempunyai 2
solusi, yaitu mod
x r
p ≡
...14 mod
x r
p ≡ −
...15 Misalkan
2
mod x
a q
≡ mempunyai
2 solusi, yaitu
mod x
s q
≡ ...16
mod x
s q
≡ − ...17
Kombinasi dari solusi 14, 15, 16, dan 17 menghasilkan 4 buah sistem kongruensi
sebagai berikut : mod
mod i
x r
p x
s q
≡ ≡
mod mod
ii x
r p
x s
q ≡
≡ − mod
mod iii x
r p
x s
q ≡ −
≡ mod
mod iv
x r
p x
s q
≡ − ≡ −
Dengan menggunakan Teorema Sisa Cina, sistem kongruensi i, ii, iii dan iv
menghasilkan 4 solusi kongruensi dari
2
mod x
a pq
≡ dan secara berurutan dapat dituliskan sebagai
1
mod i
x u
pq ≡
,
2
mod ii
x v
pq ≡
,
3
mod iii
x u
pq ≡ −
,
4
mod iv
x v
pq ≡ −
. Keempat solusi ini merupakan solusi yang
khas dari modulo pq. Langkah penyelesaian untuk menentukan
solusi dari
kongruensi
2
mod x
a pq
≡ dengan p dan q bilangan prima ganjil tersusun
dalam algoritma berikut ini. Algoritma 3 :
Mencari akar kuadrat modulo pq, dengan p dan q prima ganjil.
INPUT : Bilangan prima ganjil p dan q , dan 1 ≤ a ≤ pq – 1
OUTPUT : Empat akar kuadrat a modulo pq 1.
Gunakan Algoritma RESSOL untuk mencari dua akar r dan –r yang
merupakan solusi dari
2
mod x
a p
≡ .
2. Gunakan Algoritma RESSOL untuk
mencari dua akar s dan –s yang merupakan solusi dari
2
mod x
a q
≡ .
3. Gunakan Algoritma Euclidean yang
diperluas untuk mencari bilangan bulat c dan d sedemikian sehingga cp + dq = 1.
4. mod
x rdq
scp pq
≡ +
mod y
rdq scp
pq ≡
− 5.
Solusinya adalah
mod x
pq ±
dan mod
y pq
± Algoritma di atas mempunyai waktu eksekusi
running time
3
lg O
p bit operasi.
[Menezes, 1997] Contoh 3.
Tentukan solusi dari
2
71 mod 77 x
≡
.
Jawab Karena 77 = 7 . 11 maka
2 2
2
71 mod 7 ... 71 mod 77
71 mod 11 ... x
i x
x ii
≡ ≡
⇔ ≡
i
2
71 mod 7 1 mod 7
x ≡
≡ solusiya adalah
1 mod 7 x
≡ ± ii
2
71 mod 11 5 mod 11
x ≡
≡ solusiya adalah
4 mod 11 x
≡ ± Bilangan bulat yang memenuhi persamaan
7c+11d = 1 adalah c = -3 dan d = 2. x
= 1.2.11 + 4.-3.7 = -62 15 mod 77 y
= 1.2.11 - 4.-3.7 = 106 29 mod 77 -x
= -15mod 77 48 mod 77 -y
= -29 mod 77 62 mod 77 Jadi 4 solusi dari
2
71 mod 77 x
≡ yaitu
15, 29, 48 dan 62.
11
Langkah-langkah dalam Algoritma 3 dapat dilihat melalui bagan berikut ini.
Bagan 3. Algoritma mencari akar kuadrat modulo pq, p dan q prima ganjil.
3.4 Mengkonstruksi
Algoritma untuk
Mencari Solusi
2
mod
j
x a
p ≡
dengan p prima ganjil dan j 2.
Untuk mencari
solusi dari
2
mod
j
x a
p ≡
, dengan p prima dan 2
j ≥
, dapat
kita ubah
bentuknya menjadi
2
0mod
j
x a
p −
≡ . Kita misalkan f fungsi
polinom dengan
koefisien bilangan
bulat,
2
f x x
a =
− . Untuk mencari solusi
dari polinom 0mod
j
f x p
≡ … 18,
kita mulai dari solusi modulo p, kemudian p
2
, p
3
, sampai
j
p . Misalkan x
c =
adalah sebuah solusi untuk
0mod
j
f x p
≡ maka kita bisa
mencari solusi dari
1
0mod
j
f x p
+
≡ .
Solusi dari
1
0mod
j
f x p
+
≡ berbentuk
j
x c
tp =
+ , dengan t adalah suatu bilangan
bulat yang dapat kita cari menggunakan deret Taylor’s
2 2
3 3
2 . . .
3
j j
j j
n nj
n
t p f
c f c
tp f c
tp f c t p f
c t p f
c n
+ =
+ +
+ +
+ +
dimana n adalah derajatpangkat dari fungsi polinom
f x . Karena
2
f x x
a =
− polinom berderajat 2 dalam modulus
1 j
p
+
, maka deret Taylor’s tersebut menjadi
1
mod
j j
j
f c tp
f c tp f
c p
+
+ =
+
.
Karena
1
0mod
j j
f c tp
p
+
+ ≡
maka persamaan diatas dapat kita ubah menjadi
1
0 mod
j j
f a tp f c
p
+
+ ≡
. Karena
0mod
j
f x p
≡ mempunyai solusi
x c
= maka kita dapatkan
mod
j
f c tf c
p p
≡ − …19
yang merupakan persamaan linear dalam t. Persamaan 19 mungkin tidak mempunyai
solusi, mempunyai solusi tunggal atau mempunyai p solusi. Jika
0mod f c
p ≡
maka persamaan tersebut mempunyai tepat satu solusi.
Solusi dari persamaan 18 dapat ditentukan dengan menggunakan Lemma Hensel’s.
Lemma Hensel’s : Misalkan
f x adalah fungsi polinom dengan koefisien-koefisiennya bilangan bulat dan p
prima. Jika
0mod
j
f c p
≡ dan
0mod f c
p ≡
maka ada bilangan bulat t mod
p yang tunggal sedemikian sehingga
1
0mod
j j
f c tp
p
+
+ ≡
. [Niven, 1991]
Mencari bilangan bulat c dan d sehingga cp + dq
= 1
Ya
Selesai Ya
Tidak Tidak
Mulai
RESSOL [ , ] a p
RESSOL [ , ] a q
Bilangan prima p dan q, dan
[1, 1]
a pq
∈ −
Apakah ada solusi
Apakah ada solusi
mod x
r p
≡ mod
x r
p ≡ −
mod x
s q
≡ mod
x s
q ≡ −
Solusinya adalah mod
mod x
n y
n ±
±
mod x
rdq scp
n ≡
+ mod
y rdq
scp n
≡ −
12
Bukti dari Lemma Hensel’s tidak dicantumkan karena di luar jangkauan
pembahasan. Jika
f c 0mod
p dan
0mod
j
f c p
≡ maka bilangan bulat c
disebut akar
nonsingular .
Jika f c
0mod p
dan 0mod
f c p
≡ maka c disebut akar singular.
Dari Lemma Hensel’s kita lihat bahwa sebuah
akar nonsingular
mod c
p menghasilkan sebuah akar
2 2
mod c
p .
Karena
2
mod c
c p
≡ maka
2
0mod f c
f c p
≡ ≡
. Dari
akar
2 2
mod c
p akan dihasilkan sebuah akar
3 3
mod c
p dan
seterusnya sehingga
mendapatkan akar mod
j j
c p
. Dari persamaan 19 diperoleh sebuah
persamaan rekursif untuk mencari solusi yaitu
1
1
j j
j
c c
f c f
r
+
−
= −
, dengan
1
f r
−
adalah sebuah bilangan bulat sedemikian sehingga
1
1mod f c
f r
p
−
≡ .
Contoh 4. Tentukan solusi dari
2
3
5mod11 x
≡ .
Jawab :
2 2
3
3
5mod11 5
0mod11 x
x ≡
⇔ −
≡ Solusi dari
2
5 0mod11
x −
≡ adalah x = ±4
mengunakan Algoritma RESSOL
2
5 2
f x x
f x
x =
− =
4 8
0mod11 f
≡ ≡
Karena 4
0mod11 f
≡ maka 4 adalah akar
nonsingular. 4
8 7mod 11
f =
≡
2
1
4 4 4 11.7
c c
f f
= −
= −
2
73 48mod11
= − ≡
3
2
48 4 48
2299.7 c
c f
f =
− =
−
3
16045 1258mod11
= − ≡
Solusi dari
2
3
5mod11 x
≡ adalah
3
1258mod11 x
≡ ± yaitu
1258 x
= dan
73 x
= .
Jika 0mod
j
f c p
≡ dan
0mod f c
p ≡
maka berdasarkan deret Taylor,
1
mod
j j
f c tp
f a p
+
+ ≡
untuk semua bilangan bulat t.
Kemudian jika
1
0mod
j
f c p
+
≡ maka
1
0mod
j j
f c tp
p
+
+ ≡
, sehingga
sebuah akar mod
j
c p
akan menghasilkan p buah
akar
1
mod
j
p
+
. Tetapi
jika
1
0mod
j
f c p
+
≡ maka tidak ada solusi
untuk
1
mod
j
p
+
. Contoh 5.
Tentukan solusi dari
2
9mod 27 x
≡ .
Jawab :
2 2
3
9mod 27 9
0mod 3 x
x ≡
⇔ −
≡ Solusi dari
2
9 0mod 3
x −
≡ adalah x = 0.
2
9 2
f x x
f x
x =
− =
0mod 3 f
≡ Karena
0mod 3 f
≡ maka 0 adalah
akar singular.
2
9 0mod 3
f = − ≡
, maka solusi mod 9 adalah x = 0, x = 0 + 3 = 3, x = 3 + 3 = 6
3
9 0mod 3
f = − ≡
, maka tak ada solusi mod 27
3
3 0mod 3
f ≡
, maka solusi mod 27 adalah x = 3, x = 3 + 9 = 12, x = 12 + 9 = 21
3
6 27
0mod 3 f
= ≡
, maka solusi mod 27 adalah x = 6, x = 6 + 9 = 15, x = 15 + 9 =
24. Jadi solusi dari
2
9mod 27 x
≡ adalah x = 3,
x = 6, x = 12, x = 15, x = 21 dan x = 24.
Langkah penyelesaian untuk menentukan solusi
dari kongruensi
2
mod
j
x a
p ≡
dengan p bilangan prima ganjil dan bilangan bulat
2 j
≥ tersusun dalam algoritma berikut
ini.
13
Algoritma 4 :
Mencari akar kuadrat modulo
j
p , dengan p prima ganjil dan bilangan bulat
2 j
≥ .
INPUT : Bilangan prima ganjil p , bilangan bulat
2 j
≥ dan
1 1
j
a p
≤ ≤
−
OUTPUT : Dua akar kuadrat a modulo
j
p .
1. Gunakan Algoritma RESSOL untuk
mencari dua akar r dan –r yang merupakan solusi dari
2
mod x
a p
≡ .
2. Tetapkan
2
f x x
a =
− dan
2 f
x x
= 3.
Jika 0mod f
r p
≡ , tentukan
dan
1 1
1
mod
j j
j j
r r
f r f
r p
− −
= −
dengan
1
r r
= . Solusinya
dari
2
mod
j
x a
p ≡
adalah mod
j
j
x r
p = ±
. Jika
0mod f
r p
≡ lanjut ke langkah
4. 4.
Untuk 2, 3, ...,
1 k
j =
− berlaku jika 0mod
k
f r p
≡ maka
k
x r
tp ≡
+ dengan
1, 2, 3, ..., t
p =
merupakan solusi dari
2 1
mod
k
x a
p
+
≡ .
Jika 0mod
k
f r p
≡ maka tak ada
solusi dari
2 1
mod
k
x a
p
+
≡ .
Langkah-langkah dalam Algoritma 4 dapat dilihat melalui bagan berikut ini.
Ya
Tak ada solusi dari
2 1
mod
k
x a
p
+
≡
Selesai Tidak
Apakah 0mod
f r p
≡
Solusinya adalah mod
j j
x r
p ≡ ±
Tetapkan
2
f x x
a =
− dan
2 f
x x
= RESSOL [ , ]
a p Mulai
Bilangan prima ganjil p, 2
j ≥
dan [1,
1] a
p ∈
−
Ya Apakah
ada solusi
mod x
r p
≡ mod
x r
p ≡ −
Hitung
1
f r
−
dan
1
1 1
mod
j j
j j
r r
f r f r
p
−
− −
= −
dengan
1
r r
= . Hitung
mod
k
f r p
untuk 2, 3, ...,
1 k
j =
− Apakah
0mod
k
f r p
≡ Tidak
Ya
k t
x r
tp ≡
+ dengan
1, 2, 3, ..., t
p =
adalah Solusi dari
2 1
mod
k
x a
p
+
≡ Tidak
Bagan 4. Algoritma mencari akar kuadrat mod
j
p , dengan p prima ganjil dan 2
j ≥
.
1
f r
−
14
3.5 Membandingkan