1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Salah satu masalah dalam teori bilangan
adalah masalah residu kuadratik yaitu mencari solusi dari kongruensi
2
mod x
a n
≡ dengan
a dan n adalah suatu bilangan bulat.
Untuk mencari
solusi dari
2
mod x
a n
≡ terlebih dahulu ditentukan
apakah a merupakan residu kuadratik dari n atau bukan. Masalah residu kuadratik telah
dibahas sebelumnya oleh Yuliarti Ningsih 2006. Jika a merupakan residu kuadratik
maka
2
mod x
a n
≡ mempunyai solusi.
Mencari solusi dari
2
mod x
a n
≡ lebih
mudah jika n adalah bilangan prima, tetapi jika n adalah bilangan komposit yang tidak
diketahui faktor primanya maka akan sulit untuk dicari solusinya.
Pencarian solusi dari
2
mod x
a n
≡ dapat kita bagi menjadi beberapa kasus yaitu
untuk n prima, n = p q dengan p dan q prima ganjil, dan n =
j
p dengan p prima ganjil dan j bilangan bulat dimana
2 j
≥ .
Untuk kasus
2
mod x
a p
≡ dengan p
prima ganjil dan a adalah residu kuadratik, terdapat suatu algoritma yang dapat digunakan
untuk mencari solusinya yaitu Algoritma RESSOL Residue Solver dan Algoritma 1.
Untuk kasus
2
mod x
a pq
≡ dengan p
dan q prima ganjil, terlebih dahulu dicari solusi kongruensi dari masing-masing faktor
prima tersebut dengan Algoritma RESSOL, kemudian digunakan Teorema Sisa Cina
untuk menemukan solusinya.
Untuk kasus
2
mod
j
x a
p ≡
dengan p prima ganjil dan
2 j
≥ , terlebih dahulu diceri
solusi dari
2
mod x
a p
≡ dengan Algoritma
RESSOL, kemudian
digunakan Lemma
Hensel’s untuk mencari solusinya.
1.2 Tujuan
Tujuan dari penulisan ini adalah : 1.
Mempelajari teorema-teorema
yang terkait dengan solusi residu kuadratik dan
mengkonstruksi Algoritma
1 untuk
mencari solusinya. 2.
Merekonstruksi Algoritma RESSOL beserta analisisnya.
3. Mengkonstruksi Algoritma untuk mencari
solusi
2
mod x
a pq
≡ dan
dengan a dan j bilangan bulat 2
j ≥
serta p dan q prima ganjil. 4.
Membandingkan waktu
eksekusi Algoritma 1 dengan Algoritma RESSOL
yang terkait bilangan besar.
II. LANDASAN TEORI
Kategori