1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Salah satu masalah dalam teori bilangan
adalah masalah residu kuadratik yaitu mencari solusi dari kongruensi
2
mod x
a n
≡ dengan
a dan n adalah suatu bilangan bulat.
Untuk mencari
solusi dari
2
mod x
a n
≡ terlebih dahulu ditentukan
apakah a merupakan residu kuadratik dari n atau bukan. Masalah residu kuadratik telah
dibahas sebelumnya oleh Yuliarti Ningsih 2006. Jika a merupakan residu kuadratik
maka
2
mod x
a n
≡ mempunyai solusi.
Mencari solusi dari
2
mod x
a n
≡ lebih
mudah jika n adalah bilangan prima, tetapi jika n adalah bilangan komposit yang tidak
diketahui faktor primanya maka akan sulit untuk dicari solusinya.
Pencarian solusi dari
2
mod x
a n
≡ dapat kita bagi menjadi beberapa kasus yaitu
untuk n prima, n = p q dengan p dan q prima ganjil, dan n =
j
p dengan p prima ganjil dan j bilangan bulat dimana
2 j
≥ .
Untuk kasus
2
mod x
a p
≡ dengan p
prima ganjil dan a adalah residu kuadratik, terdapat suatu algoritma yang dapat digunakan
untuk mencari solusinya yaitu Algoritma RESSOL Residue Solver dan Algoritma 1.
Untuk kasus
2
mod x
a pq
≡ dengan p
dan q prima ganjil, terlebih dahulu dicari solusi kongruensi dari masing-masing faktor
prima tersebut dengan Algoritma RESSOL, kemudian digunakan Teorema Sisa Cina
untuk menemukan solusinya.
Untuk kasus
2
mod
j
x a
p ≡
dengan p prima ganjil dan
2 j
≥ , terlebih dahulu diceri
solusi dari
2
mod x
a p
≡ dengan Algoritma
RESSOL, kemudian
digunakan Lemma
Hensel’s untuk mencari solusinya.
1.2 Tujuan
Tujuan dari penulisan ini adalah : 1.
Mempelajari teorema-teorema
yang terkait dengan solusi residu kuadratik dan
mengkonstruksi Algoritma
1 untuk
mencari solusinya. 2.
Merekonstruksi Algoritma RESSOL beserta analisisnya.
3. Mengkonstruksi Algoritma untuk mencari
solusi
2
mod x
a pq
≡ dan
dengan a dan j bilangan bulat 2
j ≥
serta p dan q prima ganjil. 4.
Membandingkan waktu
eksekusi Algoritma 1 dengan Algoritma RESSOL
yang terkait bilangan besar.
II. LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan dituliskan beberapa definisi dan teorema yang digunakan sebagai
landasan bagi
argumen-argumen yang
dituliskan pada bab-bab berikutnya.
2.1 Bilangan Bulat
Himpunan Bilangan Bulat dinotasikan .
{ }
..., 2, 1, 0,1, 2,... =
− − .
Definisi 2.1 [Keterbagian] Bilangan bulat b dikatakan pembagi dari
bilangan bulat a a
, jika ada bilangan bulat x sedemikian sehingga b
ax dan ditulis
a | b. Apabila b bukan pembagi dari a, maka
ditulis |
a b
.
[Niven, 1991]
Definisi 2.2 [Pembagi Bersama Terbesar] Suatu bilangan bulat tak negatif d dikatakan
pembagi bersama terbesar dari bilangan bulat a
dan b, jika : 1.
d adalah pembagi bersama dari a dan b, dan
2. Jika c
dimana c|a dan c|b, maka c
|d. Biasanya pembagi bersama terbesar dari a
dan b dinotasikan dengan ,
d a b
.
[Menezes, 1997]
Definisi 2.3 [Relatif Prima] Bilangan a dan b dikatakan relatif prima jika
, 1
a b dan bilangan-bilangan
1 2
, ,...,
n
a a a
dikatakan relatif prima jika
1 2
, ,...,
1
n
a a a
.
2
mod
j
x a
p ≡
2
Bilangan-bilangan
1 2
, ,...,
n
a a a
dikatakan relatif prima berpasangan jika
, 1
i j
a a untuk setiap
1, 2, 3..., i
n dan 1, 2, 3...,
j n
dengan i j .
[Niven, 1991]
Definisi 2.4 [Bilangan Prima]
Suatu bilangan bulat p 1 dinamakan prima atau bilangan prima , jika pembagi dari p
adalah 1 dan p itu sendiri. Bilangan bulat a 1 yang bukan prima
dinamakan bilangan komposit.
[Niven, 1991]
Teorema 2.1
1. Jika p ab dan p prima maka p a atau p b .
2. Jika
1 2
....
n
p a a a dan p prima maka
1
p a atau
2
p a atau
3
p a … atau
n
p a .
[Niven, 1991]
Teorema 2.2 [Teorema Dasar Aritmatika]
Setiap bilangan bulat n 1 dapat difaktorkan secara tunggal ke dalam faktor-faktor yang
semuanya prima,
tanpa memperhatikan
urutan.
[Niven, 1991]
Definisi 2.5 [Fungsi Euler Phi]
Fungsi Euler Phi dari n dengan n = 1, 2, 3, ... dinotasikan dengan
φn adalah banyaknya bilangan bulat pada interval [1,n] yang prima
relatif dengan n. [Menezes, 1997]
Teorema 2.3 [Sifat-sifat Fungsi Euler Phi]
1. Jika p prima maka φp = p – 1.
2. Jika m,n = 1, maka φmn = φm.φn.
3. Jika
3 1
2
1 2
3
...
k
e e
e e
k
n p p p
p =
dengan
i
p bilangan prima, maka
1 2
1 1
1 1
1 ... 1
k
n n
p p
p φ
= −
− −
[Menezes, 1997] 2.2 Kongruensi
Definisi 2.6
Misalkan a, b dan m bilangan bulat, dengan m
. Bilangan a dikatakan kongruen terhadap b modulo m, dinotasikan dengan
mod a
b m
, jika m pembagi a
b .
Bilangan bulat m disebut modulus dari kongruensi.
[Menezes, 1997]
Teorema 2.4
Jika a, b, c, d, dan m adalah bilangan bulat, dengan
m maka :
1. Ketiga pernyataan berikut adalah
ekuivalen : i.
mod a
b m ,
ii. mod
b a
m , dan iii.
0mod a
b m .
2. Jika
mod a
b m dan
mod b
c m
maka mod
a c
m . 3.
Jika mod
a b
m dan mod
c d
m maka
mod mod
a c
m b
d m .
4. Jika
mod a
b m dan
mod c
d m
maka mod
ac bd
m . 5.
Jika mod
a b
m dan |
d m , dengan d
maka mod
a b
d . 6.
Jika mod
a b
m maka mod
ac bc
m untuk setiap c positif.
[Niven, 1991]
Definisi 2.7 [Himpunan Bilangan Bulat Modulo n]
Himpunan bilangan
bulat modulo
n ,
dinotasikan
n
, merupakan suatu himpunan dari bilangan-bilangan bulat {0,1,2,3,…, n –
1}. [Menezes, 1997]
Operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian bilangan bulat modulo n bersifat
tertutup dalam
n
.
Definisi 2.8 [Invers Perkalian]
Misalkan
n
a ∈
. Jika , 1
a n = maka invers
perkalian dari mod
a n
adalah bilangan bulat
n
x ∈
sedemikian sehingga
1 mod ax
n ≡
. Invers dari a dinotasikan
1
a
−
. [Niven, 1991]
Teorema 2.5 [Teorema Euler]
Jika ,
1, a m
= maka
1 mod
m
a m
φ
≡ .
[Niven, 1991]
3
Teorema 2.6 [Teorema Fermat]
1. Jika
, 1
a p = maka
1
1 mod
p
a p
−
≡ .
2. mod
p
a a
p ≡
untuk setiap a ∈ .
[Niven, 1991]
Definisi 2.9 [Grup Perkalian dari
n
]
Grup perkalian
n
adalah
{ }
, 1
n n
a a n
= ∈
= .
[Menezes, 1997] Jika n prima, maka
{ }
1 1
n
a a
n =
≤ ≤
− .
Jika
n
a ∈
dan
n
b ∈
maka .
n
a b ∈
.
n
bersifat tertutup terhadap perkalian.
Definisi 2.10 [Order]
Misalkan
n
a ∈
. Order dari a dinotasikan
orda adalah bilangan bulat positif terkecil t sedemikian sehingga
1 mod
t
a n
≡ .
[Menezes, 1997]
Definisi 2.11 [Generator]
Bilangan
n
g ∈
dinamakan generator dari
n
jika ord g
n φ
= . Grup perkalian
n
yang mempunyai generator dinamakan grup siklik.
[Menezes, 1997]
Teorema 2.7
Jika g adalah generator dari
n
, maka
{ }
mod 1
i n
g n
i n
φ =
≤ ≤ −
. [Menezes, 1997]
Teorema 2.8
Jika p prima maka
p
mempunyai generator. [Niven, 1991]
Definisi 2.12 [Residu Kuadratik]
Bilangan
n
c ∈
dinamakan residu kuadratik modulo n
atau kuadrat modulo n jika ada
n
m ∈ Ζ dengan
2
mod m
c n
≡ . Himpunan
semua residu kuadrat modulo n dinotasikan Q
n
. [Menezes, 1997]
Lemma 2.9
2
1 mod x
p ≡
dengan p prima jika dan hanya jika
1 mod x
p ≡ ±
. [Niven, 1991]
Teorema 2.10
Misalkan p adalah bilangan prima, maka
2
1 mod x
p ≡ −
mempunyai solusi jika dan hanya jika
2 p
= atau
1mod 4 p
≡ .
[Niven, 1991]
Teorema 2.11
Misal , ,
a b m ∈
dengan m
, dan ,
g a m
= .
Kongruensi mod
ax b
m ≡
mempunyai solusi jika dan hanya jika g b . Jika kondisi tersebut dipenuhi, solusinya
membentuk barisan aritmatika dengan beda m
g dan memberikan sebanyak g solusi
[Niven, 1991]
Teorema 2.12 [Teorema Sisa Cina]
Jika
1 2
, ,....,
r
m m m adalah bilangan bulat
positif dimana
i
m relatif prima dengan
j
m untuk i
j ≠
, dan
1 2
, ,....,
r
a a a adalah bilangan
bulat sembarang, maka sistem kongruensi
1 1
2 2
mod mod
mod
r r
x a
m x
a m
x a
m ≡
≡ ≡
mempunyai solusi. Jika x
adalah solusi dari sistem tersebut, maka
x x
km =
+ dengan
k ∈
dan
1 2
3
. .
.....
r
m m m m
m =
juga solusi dari sistem tersebut.
[Niven, 1991]
Lemma 2.13
Misal
n
a ∈
.
Jika orda = h, dan 1 mod
k
a n
≡ maka h k .
[Niven, 1991]
Akibat 2.14
Jika ,
1 a m
= , maka order dari mod
a m
pembagi m
φ .
[Niven, 1991] mod .
m
4
Lemma 2.15
Jika a memiliki order mod
h m
, maka
k
a memiliki
order mod
, h
m h k
. [Niven, 1991]
III. PEMBAHASAN
Kategori