Determinan Matriks Determinan dan Invers Matriks

54 Matematika SMAMA Kelas XII Program Bahasa 2. Diketahui determinan matriks A = 2 4 2 2 4 x x § · ¨ ¸ © ¹ bernilai 0. Hitunglah nilai x 3. Tentukan nilai a yang mungkin jika persamaannya seperti berikut: a. 3 3 3 a a = 3 b. 5 2 1 2 a a a a = 0 dengan a z 0 4. Diketahui A = 7 7 6 3 1 x § · ¨ ¸ © ¹ dan B = 2 4 7 5 x § · ¨ ¸ © ¹ . Bila A = 7 B , tentukan nilai x

2. Invers Matriks

Dalam perkalian bilangan real, a u 1 = 1 u a = a, a  R. Dalam hal ini, 1 adalah elemen identitas. Selain itu, juga diketahui bahwa a b u b a = 1 dengan a, b R dan b a dikatakan saling invers. a. Dua Matriks Saling Invers Invers suatu matriks dapat digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linear yang sederhana atau rumit. Jika A dan B merupakan matriks persegi berordo sama dan berlaku AB = BA = I, maka B adalah invers A B = A –1 atau A adalah invers B A = B –1 . Berarti A dan B saling invers. Contoh 2.27 Jika diketahui A = 3 4 2 3 § · ¨ ¸ © ¹ dan B = 3 4 2 3 § · ¨ ¸ © ¹ Apakah A dan B saling invers? Matriks 55 Jawab: AB = 3 4 2 3 § · ¨ ¸ © ¹ 3 4 2 3 § · ¨ ¸ © ¹ = 9 8 12 12 6 6 8 9 § · ¨ ¸ © ¹ = 1 0 0 1 § · ¨ ¸ © ¹ = I BA = 3 4 2 3 § · ¨ ¸ © ¹ 3 4 2 3 § · ¨ ¸ © ¹ = 9 8 12 12 6 6 8 9 § · ¨ ¸ © ¹ = 1 0 0 1 § · ¨ ¸ © ¹ = I Jadi, AB = BA = I, sehingga A merupakan invers B atau B merupakan invers A A dan B saling invers. b. Menentukan invers matriks persegi ordo 2 u 2 Misalkan matriks persegi berordo 2 yang akan kita cari inversnya adalah: A = a b c d § · ¨ ¸ © ¹ dan inversnya A –1 = p q r s § · ¨ ¸ © ¹ , maka: A.A –1 = I a b c d § · ¨ ¸ © ¹ p q r s § · ¨ ¸ © ¹ = 1 0 0 1 § · ¨ ¸ © ¹ ap br aq bs cp dr cq ds § · ¨ ¸ © ¹ = 1 0 0 1 § · ¨ ¸ © ¹ Diperoleh sistem persamaan linear dua variabel sebagai berikut: 1 1 ap br cp dr ½ ¾ ¿ diperoleh p = d ad bc r = c ad bc 2 1 aq bs cq ds ½ ¾ ¿ diperoleh q = b ad bc s = a ad bc Sehingga: A –1 = p q r s § · ¨ ¸ © ¹ 56 Matematika SMAMA Kelas XII Program Bahasa = d b ad bc ad bc c a ad bc ad bc § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ = 1 ad bc d b c a § · ¨ ¸ © ¹ Dengan demikian diperoleh: Jika A = a b c d § · ¨ ¸ © ¹ , maka A –1 = 1 ad bc d b c a § · ¨ ¸ © ¹ = 1 det A d b c a § · ¨ ¸ © ¹ dengan ad – bc z 0 Contoh 2.28 Tentukan invers dari matriks A = 3 4 1 2 § · ¨ ¸ © ¹ Jawab: A –1 = 1 32 41 2 4 1 3 § · ¨ ¸ © ¹ = 1 2 2 4 1 3 § · ¨ ¸ © ¹ A –1 = 1 2 1 3 2 2 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ Contoh 2.29 Jika X matriks berordo 2 u 2, tentukanlah X dari persamaan berikut ini X 2 1 1 2 § · ¨ ¸ © ¹ = 4 5 10 11 § · ¨ ¸ © ¹ Matriks 57 Jawab: Untuk mencari X, kedua ruas dikalikan dengan invers 2 1 1 2 § · ¨ ¸ © ¹ di sebelah kanan. Sehingga: X 2 1 1 2 § · ¨ ¸ © ¹ = 4 5 10 11 § · ¨ ¸ © ¹ X 2 1 1 2 § · ¨ ¸ © ¹ . 1 3 2 -1 -1 2 § · ¨ ¸ © ¹ = 4 5 10 11 § · ¨ ¸ © ¹ . 1 3 2 -1 -1 2 § · ¨ ¸ © ¹ X 2 1 1 2 § · ¨ ¸ © ¹ 2 1 3 3 1 2 3 3 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ = 4 5 10 11 § · ¨ ¸ © ¹ 2 1 3 3 1 2 3 3 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ X 1 0 0 1 § · ¨ ¸ © ¹ = 1 2 3 4 § · ¨ ¸ © ¹ X = 1 2 3 4 § · ¨ ¸ © ¹ Kerjakan dengan kelompok Anda 1. Tunjukkan bahwa sistem persamaan linear 1 ap br cp dr ½ ¾ ¿ mempunyai penyelesaian: p = d ad bc dan r = c ad bc 2. Tunjukkan bahwa sistem persamaan linear 1 aq bs cq ds ½ ¾ ¿ mempunyai penyelesaian: q = b ad bc dan s = a ad bc Tugas Kelompok Tugas Kelompok