Matriks
49
b AB + C =
1 0 0 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
2 3
2 1
1 1
3 ª
º §
· § ·
« »
¨ ¸ ¨
¸ ©
¹ © ¹
¬ ¼
=
1 0 0 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
5 2
2 4
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
5 2
4 8
§ ·
¨ ¸
© ¹
AB + AC =
1 0 0 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
2 1
1 §
· ¨
¸ ©
¹
+
1 0 0 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
3 2
1 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
2 2
2 §
· ¨
¸ ©
¹
+
3 2
2 6
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
5 2
4 8
§ ·
¨ ¸
© ¹
Jadi, AB + C = AB + AC 3 B + CA
= 2
3 2
1 1
1 3
ª º
§ · §
· «
» ¨
¸ ¨ ¸
© ¹ ©
¹ ¬
¼
1 0 0 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
5 2
2 4
§ ·
¨ ¸
© ¹
1 0 0 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
5 4
2 8
§ ·
¨ ¸
© ¹
BA + CA =
2 1
1 §
· ¨
¸ ©
¹ 1 0
0 2 §
· ¨
¸ ©
¹
+
3 2
1 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
1 0 0 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
2 1
2 §
· ¨
¸ ©
¹
+
3 4
1 6
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
5 4
2 8
§ ·
¨ ¸
© ¹
Jadi, B + CA = BA + CA
50
Matematika SMAMA Kelas XII Program Bahasa
Untuk setiap matriks A, B, dan C yang dapat dijumlahkan dikalikan dipenuhi:
1. ABC = ABC o Sifat Asosiatif
2. AB + C = AB + AC o Sifat Distributif Kiri
3. B + CA = BA + CA o Sifat Distributif Kanan
4. kAB = kAB = AkB o Perkalian Skalar
5. AI = IA = A o Sifat Identitas
6. AO = OA = O o Sifat Matriks Nol
7. AB
z
BA o Tidak Berlaku Sifat Kumutatif
Kerjakan dengan kelompok Anda Buktikan bahwa:
1. kAB = kAB = AkB
2. AI = IA = A
3. AO = OA = O
4. AB
z BA Diskusikan dengan kelompok Anda
Kerjakan di buku tugas Anda 1.
Tentukan hasil perkalian matriks berikut ini:
a.
4 2 1 3 0
3 § ·
¨ ¸ ¨ ¸
¨ ¸ © ¹
b.
2 4 1 x
y z
§ · ¨ ¸
¨ ¸ ¨ ¸
© ¹
c.
7 5 6
x y
z § ·
¨ ¸ ¨ ¸
¨ ¸ © ¹
Tugas Kelompok
Latihan 5
Matriks
51
2. Diketahui matriks A =
3 2
1 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
. Tentukan matriks A
3
3. Tentukan nilai ab + 2cd jika
3 4 10
1 5 1
11 13 a b
c d
§ ·§
· § ·
¨ ¸¨
¸ ¨ ¸
© ¹©
¹ © ¹
4. Diketahui matriks:
A =
1 2
2 §
· ¨
¸ ©
¹
, B =
2 3
4 1
§ ·
¨ ¸
© ¹
, dan C =
2 5 3
3 1 4
§ ·
¨ ¸
© ¹
. Tentukan:
a. AB d. A
t
. C b. AC
e. B
t.
C c.
BC f.
C
t
. A 5.
Diketahui matriks: A =
1 4
2 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
, B =
1 3 4 5
§ ·
¨ ¸
© ¹
, dan C =
2 3
1 4
§ ·
¨ ¸
© ¹
Tentukan: a. AB + C
b. AB + AC c.
B + CA d. BA + CA
C. Determinan dan Invers Matriks
Pada pembahasan berikut ini, kita akan mempelajari cara menentukan determinan dan invers matriks, khususnya matriks berordo 2
u 2, dan penggunaannya untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.
1. Determinan Matriks
Jika diketahui matriks A =
4 2 1 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
, maka hasil kali antara 4 dan 3 dikurangi hasil kali 1 dan 2, yaitu 12 – 2 = 10 dinamakan determinan.
Determinan sebuah matriks adalah sebuah angka atau skalar yang diperoleh dari elemen–elemen matriks tersebut dengan operasi tertentu.
52
Matematika SMAMA Kelas XII Program Bahasa
Penulisan determinan adalah dengan garis lurus.
A =
11 12
13 1
21 22
23 2
1 2
3
... ...
... ...
... ...
.... ...
n n
m m
m mn
a a
a a
a a
a a
a a
a a
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
, maka determinan matriks A:
det A = A
=
11 12
13 1
21 22
23 2
1 2
3
... ...
... ...
... ...
... ...
n n
m m
m mn
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a. Memahami determinan matriks ordo 2 u 2
Khusus untuk matriks ordo 2 u 2, nilai determinannya merupakan
hasil kali elemen–elemen pada diagonal utama dikurangi hasil kali elemen–elemen pada diagonal samping.
Jika A =
a b
c d §
· ¨
¸ ©
¹
, maka determinan matriks A didefinisikan:
det A = A =
a b c
d
= ad – bc Contoh 2.25
1 Diketahui matriks A =
5 3
2 4
§ ·
¨ ¸
© ¹
. Hitunglah determinan matriks A
Jawab:
det A = A =
5 3
2 4
= 5–4 – 2–3 = –20 + 6 = –14 b. Memahami determinan matriks ordo 3
u 3 pengayaan Untuk menentukan determinan matriks ordo 3
u 3, yaitu dengan meletakkan lagi elemen–elemen kolom pertama dan kedua di sebelah
kanan kolom ketiga.
Jika A =
11 12
13 21
22 23
31 32
33
a a
a a
a a
a a
a §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ©
¹
, maka determinan matriks A:
Matriks
53
det A = A =
11 12
13 21
22 23
31 32
33
a a
a a
a a
a a
a
=
11 12
13 11
12 21
22 23
21 22
31 32
33 31
32
a a
a a a
a a
a a a
a a
a a a
– – – + + + =
a
11
. a
22
. a
33
+ a
12
. a
23
. a
31
+ a
13
. a
21
. a
32
– a
13
. a
22
. a
31
– a
11
. a
23
. a
32
– a
12
. a
21
. a
33
Contoh 2.26
Diketahui matriks A =
3 4 2
2 1 0 5
2 7 §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ©
¹
. Hitunglah determinan matriks A
Jawab:
det A = A =
3 4 2 3
4 2 1 0 2 1
5 2 7 5
2
– – – + + + =
317 + 405 + 2–22 – 215 – 302 – 4–27
= 21 + 0 – 8 – 10 – 0 + 56
= 59
Kerjakan di buku tugas Anda 1.
Tentukan determinan dari matriks berikut: a.
A =
6 2
3 5 §
· ¨
¸ ©
¹
b. B =
1 7 3 0
§ ·
¨ ¸
© ¹
c. C =
4 3
3 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
Catatan
G Matriks yang determinannya
nol 0 disebut matriks singular dan tidak mempunyai invers.
G Matriks yang determinannya
tidak nol 0 disebut matriks taksingular atau nonsingular
dan selalu mempunyai invers.
Latihan 6
54
Matematika SMAMA Kelas XII Program Bahasa
2. Diketahui determinan matriks A =
2 4 2
2 4
x x
§ ·
¨ ¸
© ¹
bernilai 0. Hitunglah nilai x
3. Tentukan nilai a yang mungkin jika persamaannya seperti berikut:
a.
3 3
3 a
a
= 3
b.
5 2
1 2
a a
a a
= 0 dengan a z 0
4. Diketahui A =
7 7
6 3 1
x §
· ¨
¸ ©
¹
dan B =
2 4
7 5 x
§ ·
¨ ¸
© ¹
. Bila A = 7 B , tentukan nilai x
2. Invers Matriks
Dalam perkalian bilangan real, a u 1 = 1 u a = a, a R. Dalam hal ini, 1
adalah elemen identitas. Selain itu, juga diketahui bahwa
a b
u
b a
= 1 dengan a, b
R dan
b a
dikatakan saling invers. a. Dua Matriks Saling Invers
Invers suatu matriks dapat digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linear yang sederhana atau rumit. Jika A dan B merupakan
matriks persegi berordo sama dan berlaku AB = BA = I, maka B adalah invers A B = A
–1
atau A adalah invers B A = B
–1
. Berarti A dan B saling invers.
Contoh 2.27
Jika diketahui A =
3 4 2 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
dan B =
3 4
2 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
Apakah A dan B saling invers?
