Matriks
57
Jawab: Untuk mencari X, kedua ruas dikalikan dengan invers
2 1
1 2 §
· ¨
¸ ©
¹
di sebelah kanan.
Sehingga:
X
2 1 1 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
4 5
10 11 §
· ¨
¸ ©
¹
X
2 1 1 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
.
1 3
2 -1 -1
2 §
· ¨
¸ ©
¹
=
4 5
10 11 §
· ¨
¸ ©
¹
.
1 3
2 -1 -1
2 §
· ¨
¸ ©
¹
X
2 1 1 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
2 1
3 3
1 2
3 3
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
=
4 5
10 11 §
· ¨
¸ ©
¹
2 1
3 3
1 2
3 3
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
X
1 0 0 1
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
1 2 3 4
§ ·
¨ ¸
© ¹
X =
1 2 3 4
§ ·
¨ ¸
© ¹
Kerjakan dengan kelompok Anda
1. Tunjukkan bahwa sistem persamaan linear
1 ap br
cp dr ½
¾ ¿
mempunyai penyelesaian: p =
d ad bc
dan r =
c ad bc
2. Tunjukkan bahwa sistem persamaan linear
1 aq bs
cq ds ½
¾ ¿
mempunyai penyelesaian: q =
b ad bc
dan s =
a ad bc
Tugas Kelompok Tugas Kelompok
58
Matematika SMAMA Kelas XII Program Bahasa
D. Invers Matriks Ordo 3 pengayaan
Sebelum mempelajari invers ordo 3, Anda harus paham terlebih dulu mengenai minor, kofaktor, dan adjoin.
1. Pengertian Minor
Misalkan matriks A =
11 12
13 21
22 23
31 32
33
a a
a a
a a
a a
a §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ©
¹
. Jika elemen–elemen pada baris ke–i, kolom ke–j dari matriks A dihapus,
maka akan diperoleh matriks persegi berordo 2. Determinan dari matriks persegi ordo 2 itu merupakan minor matriks A dan ditulis
dengan lambang
ij
M
disebut minor a
ij
. Matriks ordo 3 memiliki minor sebanyak 9 buah.
a Jika baris pertama dan kolom pertama dihapus, maka:
11 12
13 21
22 23
31 32
33
a a
a a
a a
a a
a §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ©
¹
diperoleh
22 23
32 33
a a
a a
§ ·
¨ ¸
© ¹
Sehingga minor a
11
adalah
11
M =
22 23
32 33
a a
a a
b Jika baris pertama kolom kedua dihapus, maka:
11 12
13 21
22 23
31 32
33
a a
a a
a a
a a
a §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ©
¹
diperoleh
21 23
31 33
a a
a a
§ ·
¨ ¸
© ¹
Sehingga minor a
12
adalah
12
M =
21 23
31 33
a a
a a
c Jika baris pertama kolom ketiga dihapus, maka:
11 12
13 21
22 23
31 32
33
a a
a a
a a
a a
a §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ©
¹
diperoleh
21 22
31 32
a a
a a
§ ·
¨ ¸
© ¹
Sehingga minor a
13
adalah
13
M =
21 22
31 32
a a
a a
Demikian seterusnya sampai minor ke–9 atau
33
M .
Matriks
59
2. Pengertian Kofaktor
Jika
ij
M
adalah minor a
ij
dari matriks A, maka bentuk –1
i+j ij
M
disebut kofaktor dari a
ij
, sehingga: Kofaktor a
11
adalah c
11
= –1
1+1 11
M =
+
11
M Kofaktor a
12
adalah c
12
= –1
1+2 12
M =
–
12
M Kofaktor a
13
adalah c
13
= –1
1+3 13
M =
+
13
M Kofaktor a
21
adalah c
21
= –1
2+1 21
M =
–
21
M Kofaktor a
22
adalah c
22
= –1
2+2 22
M =
+
22
M Kofaktor a
23
adalah c
23
= –1
2+3 23
M =
–
23
M Kofaktor a
31
adalah c
31
= –1
3+1 31
M =
+
31
M Kofaktor a
32
adalah c
32
= –1
3+2 32
M =
–
32
M Kofaktor a
33
adalah c
33
= –1
3+3 33
M =
+
33
M
3. Pengertian Adjoin
Jika c
ij
adalah kofaktor dari a
ij
pada matriks A, maka adjoin matriks A disingkat adj A ditentukan oleh:
adj A =
11 21
31 12
22 32
13 23
33
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
c c
c c
c c
c c
c
Atau
adj A =
22 23
21 23
21 22
32 33
31 33
31 32
12 13
11 13
11 12
32 33
31 33
31 32
12 13
11 13
11 12
22 23
21 23
21 22
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
60
Matematika SMAMA Kelas XII Program Bahasa
Contoh 2.30
Tentukan minor, kofaktor, dan adjoin dari matriks A =
2 3
1 3
2 5
1 4
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
Jawab: 1. Minor:
Minor a
11
=
11
M =
3 2
1 4
= –34 – –2–1 = –12 – 2 = –14
Minor a
12
=
12
M =
2 5
4
= 0 – –10 = 10
Minor a
13
=
13
M =
3 5
1
= 0 – –15 = 15
Minor a
21
=
21
M =
3 1 1 4
= 12 – –1 = 13
Minor a
22
=
22
M =
2 1
5 4
= 8 – 5 = 3
Minor a
23
=
23
M =
2 3
5 1
= –2 – 15 = –17
Minor a
31
=
31
M =
3 1
3 2
= –6 – –3 = –3
Minor a
32
=
32
M =
2 1
2
= –4 – 0 = –4
Minor a
33
=
33
M
=
2 3
3
= –6 – 0 = –6 2. Kofaktor:
c
11
= –1
1+1 11
M = +
11
M = –14
c
12
= –1
1+2 12
M = –
12
M = –10
c
13
= –1
1+3 13
M = +
13
M = 15
Matriks
61
c
21
= –1
2+1 21
M = –
21
M = –13
c
22
= –1
2+2 22
M = +
22
M = 3
c
23
= –1
2+3 23
M = –
23
M = 17
c
31
= –1
3+1 31
M = +
31
M = –3
c
32
= –1
3+2 32
M = –
32
M = 4
c
33
= –1
3+3 33
M = +
33
M = –6
3. Adjoin
adj A =
11 21
31 12
22 32
13 23
33
c c
c c
c c
c c
c §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ©
¹
=
14 13
3 10
3 4
15 17
6 §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ©
¹
4. Invers Matriks Ordo 3 × 3
Jika A =
11 12
13 21
22 23
31 32
33
a a
a a
a a
a a
a §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ©
¹
dan det A z 0, maka invers A adalah:
A
–1
=
1 det A
. adj A Contoh 2.31
Carilah invers matriks A =
2 3
1 3
2 5
1 4
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
Jawab:
det A =
2 3
1 2 3
3 2 0
3 5
1 4 5
1
= 2–34 + 3–25 + 10–1 – 1–35 – 2–2–1 –
304 =
–24 – 30 – 0 + 15 – 4 – 0 =
–43
