BY : SRI ESTI
Bahan Bacaan Refferensi : 1. Seymour Lipschutz dan Marc Lars Lipson, Matematika Diskkrit
Shcaum’s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company, Penerbit Salemba Teknika.
2. Drs. Jong Jek Siang, M. Sc, Matematika Diskrit dan Aplikasinya,
Penerbit Andi Yogyakarta. 3. Heri Purwanto, ST., MM., MT, Gina Indriani, Ssi, dan Erlina Dayanti, ST,
Matematika Diskrit, Penerbit contara Rajawali Jakarta.
BY : SRI ESTI
PENDAHULUAN
Matematika diskrit atau diskret adalah cabang matematika
yang membahas segala sesuatu yang bersifat diskrit. Diskrit disini artinya tidak saling berhubungan
lawan dari kontinyu. Objek yang dibahas dalam Matematika Diskrit – seperti
bilangan bulat, graf, atau kalimat logika – tidak berubah secara kontinyu, namun
memiliki nilai yang tertentu dan terpisah. Beberapa hal yang dibahas dalam matematika ini adalah
teori himpunan , teori kombinatorial,
permutasi , relasi, fungsi,
rekursif, teori graf
, dan lain-lain. Matematika diskrit merupakan mata kuliah utama dan dasar untuk bidang
ilmu komputer atau
informatika .
BY : SRI ESTI
BAB I HIMPUNAN
Himpunan set adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Huruf-huruf besar A, B, C, ... menyatakan himpunan dan huruf-huruf kecil a, b, c, ... menyatakan elemen-elemen atau anggota dari himpunan.
Notasi himpunan : p Є A
p adalah elemen dari A atau p anggota dari A A B atau B A
A adalah himpunan bagiansamadengan subset B atau B mengandung A
A B atau B A A adalah himpunan bagian proper subset dari B atau
sebaliknya; ∅
himpunan kosong U
S himpunan semesta
1. Himpunan
a. Suatu himpunan ditunjukkan oleh anggota-anggota himpunannya Prinsiple of Extension : Dua himpunan A dan B adalah sama jika dan hanya jika
mereka mempunyai anggota yang sama. A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan
sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A. A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian
dari A. J ika tidak demikian, maka A ≠ B.
b. Suatu himpunan dapat digambarkan dalam hal sifatnya Prinsiple of Abstraction : Diberikan sembarang himpunan U dan mempunyai sifat
BY : SRI ESTI
himpunan P, ada suatu himpunan A sedemikian hingga elemen-elemen dari A merupakan anggota dari himpunan U yang mempunyai sifat himpunan P.
c. Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong null set. Himpunan kosong atau Ø atau {} tidak memuat satu elemenpun. Himpunan
{0} memuat satu elemen yaitu 0. Himpunan {Ø} juga memuat satu elemen yaitu himpunan kosong ini adalah himpunan dari himpunan. Himpunan
kosong merupakan subset dari himpunan manapun. d. A B A adalah subset dari B menyatakan bahwa setiap elemen dari A juga
anggota dari B, yang memungkinkan bahwa A = B. Notasi : A = B
↔ A B dan B A A B A adalah proper subset dari B menyatakan bahwa A adalah himpuan
bagian dari B tetapi A ≠ B; atau setidaknya satu elemen di B yang tidak ada di A
e. i Untuk sembarang himpunan A, kita mempunyai Ø A U ii Untuk sembarang himpunan A, kita mempunyai A A
iii Jika A B dan B C, maka A C iv A = B jika dan hanya jika A B dan B A
Bukti : i Setiap himpunan A adalah suatu subset dari himpunan U karena,
menurut definisi, semua anggota dari A adalah anggota dari U. Demikian juga himpunan Ø adalah subset dari A
ii Setiap himpunan A adalah subset dari dirinya sendiri karena elemen elemen dari A adalah anggota dari A.
iii Jika setiap elemen dari himpunan A anggota dari B, dan setiap elemen dari B adalah anggta dari suatu himpunan C, maka jelas setiap elemen
dari A adalah anggota dari C. dengan kata lain, jika A B dan B C, maka A C.
iv Jika A B dan B C maka A dan B mempunyai elemen-elemen yang sama, sehingga A = B. Sebaliknya jika A = B maka A B dan B C
karena setiap himpunan adalah subset dari dirinya sendiri. f. Simbol-simbol Baku
P = Himpunan bilangan bulat positif = {1, 2, 3, …}
BY : SRI ESTI
N = Himpunan bila ngan asli = {1, 2, …}
Z = Himpunan bilangan bulat = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} Q = Himpunan bilangan rasioanal bilangan dalam bentuk
ab, dengan a dan b anggota bilangan bulat dan b
≠ 0 R = Himpunan bilangan riil bilangan yang merupakan gabungan dari
bilangan rasioanal dan bilangan irrasioanal sendiri. Bilangan irrasional adalah bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan,
atau bilangan
yang bukan
bilangan rasional.
Contohnya : √2, √3, √5
C = Himpunan bilangan kompleks bilangan yang berbentuk a + bi
Contoh :
1. Tulislah kembali pernyataan-pernyataan berikut dengan menggunakan notasi himpunan :
a. 1 bukan anggota dari himpunan A → 1 A
b. 5 adalah anggota dari himpunan B → 5 B
c. A adalah himpunan bagiansama dengan subset C → A C
d. A bukan himpunan bagiansama dengan subset D → A D
e. F mengandung semua elemen dari G → G F atau F G
f. E dan F mengandung elemen-elemen yang sama → E = F
2. Tuliskan elemen dari himpunan-himpunan berikut; dalam hal ini N = {1, 2, 3,…}
a. A = {x : x N, 3 ˂ x ˂12} → A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
b. B ={x : x N, x bilangan genap, x ˂ 15} → B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
c. C = {x : x N, 4 + x = 3} → C = Ø
Latihan Soal :
1. Tuliskan elemen-elemen dari himpunan berikut; dalam hal ini N = {1, 2, 3, …
BY : SRI ESTI
a. A = {x : x Є N, 3 ˂ x 9}
b. B = {x : x Є N, x
2
+ 1 = 10} c.
C = {x : x Є N, x bilangan ganjil, -5 x 5} 2. Tuliskan elemen-elemen dari himpunan berikut; dalam hal ini Z = {bilangan
bulat a.
A = {x : x Є Z, 3 ˂ x 9} b.
B = {x : x Є Z, x
2
+ 1 = 10} c.
C = {x : x Є Z, x bilangan ganjil, -5 x 5} 3. Tentukan himpunan-himpunan berikut dengan menuliskan elemen-
elemennya a.
A = {x : x Є R, -5 ˂ x 5} b.
B = {x : x Є N, x kelipatan 3} c. C = {x : x warga negara Indonesia, x adalah remaja}
4. Misalkan A = {x : 3x = 6}. Apakah A = 2? 5. Perhatikan himpunan-himpunan berikut : {w}, {y, w, z}, {w, y, x}, {y, z, w},
{w, x, y, z}, {z, w}. Manakah dari himpunan-himpunan tersebut yang sama dengan himpunan A = {w, y, z}?
6. Tentukan himpunan-himpunan berikut dengan menuliskan elemen- elemennya:
a. M= {x l x adalah nama hari dalam satu minggu} b. P = {x l x
2
– 4 = 0} c. N = { x l x bilangan asli}
d. A = {x l x
2
= 9, x genap}
7. Tulislah notasi yang tepat untuk himpunan berikut: a. A = {2,1,4} dan B = {4,1,3}
, maka … b. P = {x l x
2
– 3x = -2}, dan Q = {2,1}, maka … c. P =
{1,2,4} dan Q = {1,4,5,2}, maka … d.
G = {x l x bilangan genap} dan H = {x l x blangan bulat}, maka …
BY : SRI ESTI
2. Diagram Venn
