DASAR – DASAR AC

BAB VI DASAR – DASAR AC

Bentuk Gelombang

Pada bab sebelumnya kita telah membahas rangkaian listrik dengan sumbernya adalah sumber searah, dimana untuk selang waktu dari nol sampai tak hingga nilainya akan selalu tetap atau konstan, sedangkanp pada bab ini akan dibahas rangkaian listrik deengan sumbernya adalah bolak-balik, dimana untuk waktu tertentu akan didapatkan nilai yang berbeda-beda. Tentunya dengan sumber bolak-balik atau lebih singkatnya dengan sumber AC (Alternating Current) akan mempengaruhi komponen pasif yang digunakan, saat sumber DC maka komponen pasif seperti L dan C akan menjadi rangkaian hubungsingkat dan terbuka. Tetapi dengan sumber AC komponen pada L dan

C akan berbeda halnya saat deiberikan sumber DC. Sebelum membahas masalah AC secara mendalam alangkah baiknya kita memperhatikan terlebih dahulu karakteristik dari sumber AC atau gelombang AC ini. Salah satu sifat khusus dari gelombang AC adalah dia mempunyai sifat periodik atau berulang dengan selang waktu tertentu atau lebih sering disebut dengan perioda, dimana nilai dari periodik ini memenuhi persamaan :

f (t) = f ( t + nT ) dimana n : integer 0,1,2,… dengan T = perioda, seperti terlihat pada gambar dibawah ini :

Konsep Phasor

Phasor adalah bilangan kompleks yang merepresentasikan besaran atau magnitude dan phasa gelombang sinusoidal. Phasor biasanya dinyatakan dengan sebuah notasi pada domain frekuensi yang hanya terdiri dari besaran dan phasa. Formula Euler :

[] e + j Im [] e

j ω e t = cos ω t + j sin ω t = Re

[] e − j Im [] e

e = cos ω t − j sin

ω ω t = Re

Sebagai contoh : v ( t ) = V m cos( ω+ t θ ) Volt dalam domain waktu

Formula Euler : j v = Re

θ Volt

Notasi phasor : V ( ω ) = V m ∠ θ Volt dalam domain frekuensi

Bilangan Kompleks

Bilangan yang terdiri dari harga real (nyata) dan harga imajiner (khayal) Contoh : z = x + jy

dimana 2 j = − 1 atau j = − 1

Grafik bilangan kompleks :

Bentuk-bentuk bilangan kompleks :

1. Bentuk Kartesian / Rectanguler z = x + jy

2. Bentuk Polar z = r ∠ θ

dim ana : x = 2 r cos 2 θ → r = x + y

y = r sin θ → θ = tan

3. Bentuk Eksponensial j z θ = re

dim ana : x + jy = r cos θ + jr sin θ = r (cos θ + j sin

θ θ ) = re

4. Bentuk Trigonometri z = r ( cos θ + j sin θ )

Konjugate bilangan kompleks z → z * z * = x + jy → z = x − jy

− j z θ = re → z = re

z * = r ( cos θ + j sin θ ) → z = r ( cos θ − j sin θ )

Jumlah dan selisih bilangan kompleks z 1 = x 1 + jy 1

z 2 = x 2 + jy 2

z 1 + z 2 = x 1 + jy 1 + x 2 + jy 2 = ( x 1 + x 2 )( + j y 1 + y 2 )

z 1 − z 2 = x 1 + jy 1 − ( x 2 + jy 2 ) = ( x 1 + x 2 )( + j y 1 − y 2 )

Perkalian dan pembagian bilangan kompleks j z θ

Arus dan Tegangan Sinusoidal

Arus sinusoidal : Tegangan yang melewati elemen pasif jika arusnya sinusoidal

elemen i

V L = ω . L . I m ( − sin ω t )

dt

( − cos ω t ) V

idt m

C = sin ω t

Tegangan sinusoidal : Arus pada elemen pasif jika tegangannya sinusoidal

elemen v

vdt ∫ i L = ( − cos ω t ) i L = sin ω t

C ω CV m cos ω t i C = ω CV m ( −

sin ω t )

C dV i

dt

Sudut Phasa Pengaruh gelombang AC pada elemen R :

i o = I m sin ω t ⇒ I = I m ∠ 0

R = RI m sin ω t ⇒ V R = RI m ∠ 0

phasanya .. sama Magnitude impedansi .. Z = R

Pengaruh gelombang AC pada elemen L :

i o = I m sin ω t ⇒ I = I m ∠ 0

L = ω LI m cos ω t = ω LI m sin ( ω t + 90 )

V ⇒ o L = ω LI m ∠ 90 Arus o tertinggal dibanding tegangan sebesar 90

→ arus lagging

ω LI m ∠ 90 =

I o I m ∠ 0 Z o = ω L ∠ 90 = j ω L

Pengaruh gelombang AC pada elemen C : m sin

( − cos ω t ) =

sin ( ω t − 90 )

C = ∠ − 90 ω C

Arus o mendahului dibanding tegangan sebesar 90 → arus leading

I m ∠ o − 90

Z = ∠ − 90 = −

Impedansi Kompleks

Jika rangkaian seri RL dihubungkan dengan gelombang AC maka :

j V t ()

d 1 () t

j ω KVL t : R

1 () t + L

= V () t = V m e

dt Misalkan :

j I t ()

t = Ke ω

j ω Rke t + j ω Lke = V

j ω I t ()

e R + j ω L Sehingga impedansi menjadi

j ω V t ()

I () t

Jika rangkaian seri RC dihubungkan dengan gelombang Ac maka :

= j ω V t ()

KVL : R 1 () t + ∫ I () t dt = V m e

C Misalkan :

j ω I t ()

t = Ke

j ω Rke t + ke = V

I () t =

C sehingga impedansi

j ω V t ()

I () t

e R + j ω L Diagram Impedansi :

Diagram Phasor

f j ω () t t = re = r ∠ ω t

Jika beda phasa antara tegangan dan arus sebesar θ, maka diagram phasornya sebagai berikut :

Rangkaian Seri dan Paralel

V = V 1 + V 2 + V 3 = IZ 1 + IZ 2 + IZ 3 Z eq = Z 1 + Z 2 + Z 3

1 1 1 = 1 + + Z eq Z 1 Z 2 Z 3

Admitansi Bilangan Kompleks

1 Y = Z Z = R ± jX

Y = G ± jB dimana :

Z = Impedansi R = Resistansi

X = Reaktansi Y = Admitansi

G = Konduktansi

B = Suseptansi

Contoh latihan :

1. Tentukan arus i 4 yang keluar dari percabangan saat arus i 1 ,i 2 , dan i 3 masuk percabangan jika :

i 1 = 6 cos 3 t

i 2 = 4 cos( 3 t − 30 ° )

i 3 = − 4 3 cos( 3 t + 60 ° )

Jawaban :

i 4 = i 1 + i 2 + i 3 = 6 cos 3 t + 4 cos( 3 t − 30 ° ) − 4 3 cos( 3 t + 60 ° )

Dalam notasi phasor :

I 4 = I 1 + I 2 + I 3 = 6 ∠ 0 ° + 4 ∠ − 30 ° − 4 3 ∠ 60 ° = 6 + 3 , 46 − j 2 − 3 , 46 − j 6

I 4 = 6 − j 8 = 10 ∠ − 53 , 1 ° sehingga : i 4 = 10 cos( 3 t − 53 , 1 ° )

2. Tentukan arus i 4 yang keluar dari percabangan saat arus i 1 ,i 2 , dan i 3 masuk percabangan jika :

i 1 = 5 cos( 3 t + 30 ° )

i 2 = 5 sin 3 t

i 3 = 5 cos( 3 t + 150 ° )

Jawaban :

i 4 = i 1 + i 2 + i 3 = 5 cos( 3 t + 30 ° ) + 5 sin 3 t + 5 cos( 3 t + 150 ° )

i 4 = 5 cos( 3 t + 30 ° ) + 5 cos( 3 t − 90 ° ) + 5 cos( 3 t + 150 ° )

Dalam notasi phasor :

I 4 = I 1 + I 2 + I 3 = 5 ∠ 30 ° + 5 ∠ − 90 ° + 5 ∠ 150 ° = 4 , 3 + j 2 , 5 − j 5 − 4 , 3 + j 2 , 5

I 4 = 0 sehingga : i 4 = 0

Harga Rata-Rata

Harga rata-rata fungsi periodik didefinisikan sebagai integral fungsi waktu atas keseleuruhan perioda dibagi dengan selang waktu periodanya. Fungsi umum y (t) dengan perioda T, maka harga rata – rata :

1 T Y av =

y ( t ) dt

Harga Efektif/ RMS ( Root Mean Square)

Fungsi umum y(t) dengan perioda T, maka harga efektif :

1 T 2 Y rms =

y ( t ) dt

Contoh latihan :

1. Tentukan harga rata-rata dan efektif fungsi y ( t ) = A sin ω t !

Jawaban :

- Harga rata-rata : Y av

2 = π y ( t ) dt =

A sin ω td ( ω t ) = . − cos ω t 0

cos 2 π − ( − cos 0 ) ] = [ − 1 + 1 ] = 0

- Harga efektif : Y rms

2 1 2 2 A ⎛− 1 cos 2 ω t ⎞ =

T ∫ y ( t ) dt = ∫ A sin ω td ( ω t ) = ∫ ⎜

cos 2 2 ω t A ⎡ 1 cos 2 . 2 π cos 2 . 0 ⎤ =

2. Tentukan harga rata-rata dan efektif fungsi y ( t ) = A sin ω t !

Jawaban :

- Harga rata-rata : Y av

y ∫ ( t ) dt = sin ω td ( ω ∫ A t ) = . − cos ω t

cos π − ( − cos 0 ) ] = [] 1 + 1 =

- Harga efektif : Y rms

2 1 2 2 A 1 cos 2 ω t =

∫ y ( t ) dt = ∫ A sin ω td ( ω t )

3. Tentukan harga rata-rata dan efektif fungsi y ( t ) = 25 t !

Jawaban :

- Harga rata-rata : Y av

2 2 1 2 1 1 25 t

= ∫ y ( t ) dt = ∫ 25 tdt = .

4 - Harga efektif :

Y rms

2 1 625 t 3 625 = 50 y ( t ) dt =

t dt =

Soal- soal :

1. Jika 4 x = 3 + j dan 9 y = 6 + j . Tentukan :

a. x dan y dalam bentuk polar

b. x dan y dalam bentuk trigonometri

2. Jika 3 A = 4 − j dan 5 B = − 2 + j . Tentukan :

3. Jika o Z

1 = 8 ∠ 45 dan Z 2 = 5 ∠ 30 . Tentukan :

4. Tentukan harga rata-rata dan efektif-nya !

5. Tentukan harga rata-rata dan efektif-nya !

6. Tentukan harga rata-rata dan efektif-nya !

7. Tentukan harga rata-rata dan efektif-nya !

8. Tentukan nilai rata-rata dan efektif fungsi y ( t ) = Y m sin ω t :

9. Tentukan nilai rata-rata dan efektif gelombang gigi gergaji berikut :

10. Tentukan nilai rata-rata dan efektif funhgsi berikut :

11. Tentukan nilai rata-rata dan efektif fungsi berikut :

12. Tentukan nilai rata-rata dan efektif fungsi berikut :

13. Tentukan nilai rata-rata dan efektif fungsi berikut :

14. Tentukna Yrms dari gambar berikut :