RANGKAIAN TRANSIEN

BAB XII RANGKAIAN TRANSIEN

Respon alami adalah respon yang tergantung hanya oleh energi dalam yang disimpan komponen atau elemen dan bukan oleh sumber luar.

Respon transien atau respon peralihan adalah respon sementara yang muncul dalam rentang waktu tertentu.

Respon steady state adalah respon yang ada atau muncul setelah waktu yang lama diikuti oleh beroperasinya saklar.

Respon paksa adalah respon yang muncul karena reaksi satu atau lebih sumber bebasnya.

Rangkaian Transien Orde – 1

Rangkain RC bebas sumber

Pada saat t = 0 , kondisi switch berada pada posisi gambar diatas, jika keadaan tersebut sebagai kondisi steady state maka :

V C ( 0 ) = V o Asumsi : kapasitor dicharge sampai V o

Energi di Kapasitor ( t = 0 ) :

1 2 W C ( 0 ) = CV o

Pada saat t > 0, kondisi switch berada seperti gambar diatas, maka : Analisis untuk menentukan V(t) untuk t > 0 :

Pada komponen C : dV C ( t )

i ( t ) = C dt

sehingga : dV C ( t )

V C ( t ) RC Kedua ruas masing – masing diintegralkan :

V ∫ 0 V C ( t ) ∫ 0 RC

V 1 t ∫ 1 dV ( t ) = ∫ − dt

V ( t ) = V o e RC Konstanta waktu : τ = RC

Daya pada resistor :

e RC

RR Energi pada resistor :

W R (t) = P ( t ) dt =

e R RC dt ∫

2 V ~ − 2 t = o e RC dt

− RC − 2 t ~

e RC

1 2 W R (~) = CV o

Secara umum, jika t awal = t 0 , maka :

V(t) = V o e RC ,t>t 0

Grafik waktu terhadap tegangan :

Rangkaian RL Bebas Sumber

Pada saat t = 0 kondisi saklar tertutup , jika rangakain tersebut dalam kondisi steady state maka :

Asumsi : induktor menyimpan arus I 0 di t = 0

Energi di induktor :

1 2 W L ( o ) = LI o

Pada saat t > 0, kondisi switch berada seperti gambar diatas, maka : Analisis untuk menentukan i(t) pada t > 0 :

Pada komponen L : di ( t )

V L ( t ) = L dt

sehingga : di ( t )

i ( t ) L Integralkan kedua ruas :

1 t ∫ R di ( t ) = ∫ − dt

ln i ( t ) − ln i o = − t L

i ( t ) R ln

Konstanta waktu : τ =

Daya pada resistor :

Energi pada resistor :

W (t) = P ( t ) dt = Ri e L R t dt ∫ R ∫ o

2 Grafik hubungan waktu terhadap arus :

Respon Fungsi Paksa Orde - 1

Rangkaian RC dengan Sumber

Menentukan nilai V C (t ) pada saat switch diubah ( t > 0 ) Analisis keadaan steady state ( t = 0 ) :

V C ( 0 ) = V o Analisis keadaan switch ditutup ( t > 0 ) :

Dengan metoda node ( simpul ) :

V C ( t ) − i o R RC Integralkan kedua ruas :

dt

dV C ( t ) = −

∫ RC

dt

t ln( V C ( t ) − i o R ) = −

RC

V C RC ( t ) − i o R = e

V ) = e C RC ( t e + i o R

V C ( t ) = Ae RC + i o R V C ( t ) = Ae RC + i o R

i 0 R adalah respon paksa Pada saat t = 0, maka Vc 0 = V o sehingga :

V = Ae C RC ( t ) + i o R

A = V o − i o R sehingga :

V C ( t ) = ( V o − i o R ) e RC + i o R ,... t > 0

Grafik hubungan waktu terhadap tegangan :

Rangkaian RL dengan Sumber

Menentukan nilai I L (t ) pada saat switch diubah ( t > 0 ) Analisis keadaan steady state ( t = 0 ) :

Analisis keadaan switch diubah ( t > 0 ) seperti gambar pada halaman sebelumnya, jika dianalisis sama halnya seperti pada rangkaian RC dengan sumber maka didapatkan persamaan akhir :

⎛− ⎜ I ⎟ e L L o R ⎝

V ⎞ − tR

Kasus secara umum

dy + Py = Q dt

dimana : y = fungsi V atau i P,Q = konstanta sehingga :

dt kalikan kedua ruas dengan dt dan integralkan :

d Pt ( ye ) = Qe dt ∫ ∫

Pt

Pt

ye Pt = Qe + A ∫

− kalikan kedua ruas dengan Pt e :

− Pt Pt

− y Pt = e Qe ∫ dt + Ae

Q y = Ae + P dimana : − Ae Pt adalah respon alami

Q adalah respon paksa

P Langkah-langkah praktis untuk menyelesaikan respon paksa orde 1 :

1. Untuk respon natural cari responnya dengan sumber diganti tahanan dalamnya

2. Untuk respon paksa cari dengan keadaan steady state

3. Cari keadaan awalnya

Contoh latihan :

1. Jika rangkaian tersebut pada saat t = 0 berada dalam kondisi steady state, cari V C untuk t > 0 !

Jawaban :

Pada saat t = 0 atau keadaan switch ditutup dalam keadaan steady state (mantap)

40 = 25 V

5 + 3 Pada saat switch dibuka atau t > 0, maka :

V C ( t ) = V o e RC

V C ( t ) = 25 e 10 25 e 2 = t

2. Cari i pada saat t > 0, ketika t = 0 dalam kondisi steady state.

Jawaban :

Pada saat t = 0 (switch terbuka) dalam kondisi steady state :

64 = 48 V

30 + 6 + 4 Pada saat t > 0 (switch ditutup), maka :

6 . 30 R t = 15 + = 20 Ω

V = V e C RC ( t ) o

20 1 − 2 t

V C ( t ) = 48 e 40 = 48 e

V − 2 C t ( t ) 48 e

3. Tentukan nilai i pada saat t > 0, jika t = 0 kondisi steady state pada rangkaian tersebut !

Jawaban :

Pada saat t = 0, kondisi mantap :

6 + 2 8 Pada saat t > 0, maka :

Rangkaian Transien Orde – 2

Rangkaian yang di dalamnya terdapat dua komponen penyimpan energi ( baik L atau C )

Contoh kasus :

Loop i 1 : di

2 1 + 12 i 1 − 4 i 2 = V g .......... .( 1 )

dt Loop i 2 : di − 2

4 dt dari persamaan (1) dan (2) :

dt dt sehingga secara umum persamaan orde – 2 :

d 2 x dx

dt dt

dimana respon lengkap : x = x n + x f

Respon alami ( x ) n Terjadi pada saat f ( t ) = 0 , sehingga jika x n = Ae st :

Tipe – tipe respon alami

1. Akar – akar real : Overdamped − x s = A e 1 t

2. Akar – akar kompleks : Underdamped s 12 = α+ β

1 cos βt+j A 1 sin βt+ A 2 cos βt- A 2 sin β t) = e α t (( A+ 1 2 A )cos β t + j( A- 1 2 A )sin βt)

= e α t ( B 1 cos βt + B 2 sin βt)

3. Akar real sama : Critical Damped s 1 = s 2 =k x kt

n = ( A 1 + A 2 t) e

Respon paksa ( x) f Contoh kasus :

d 2 x dx

1. 2 + 10 + 16x = 32 dt

dt misalkan : x f =A

16 A = 32

A =2

− 8 sehingga : t x

(t ) = x n + x f = A 1 e + A 2 e

d 2 x dx

2. 2 + 10 + 16x = 40cos4t dt

dt misalkan : x f = Acos4t + Bsin4t

dx = -4Asin4t + 48Bcos4t dt

d 2 x = -16Acos4t – 16Bsin4t

dt 2

-16Acos4t – 16Bsin4t – 40Asin4t + 40Bcos4t + 16Acos4t + 16Bsin4t = 40cos4t cos4t(-16A+40B+16A) + sin4t(-16B-40A+16B) = 40cos4t 40Bcos4t – 40Asin4t = 40cos4t sehingga : 40Bcos4t = 40cos4t Æ B=1

-40Asin4t = 0 Æ A=0

x f = Acos4t + Bsin4t = sin4t

− 8 sehingga : t x

(t ) = x n + x f = A 1 e + A 2 e + sin4t

Tabel Trial Respon Paksa ( x) f

sinbt , cosbt Asinbt + Bcosbt

e (Asinbt + Bcosbt)

e sinbt , e cosbt

Respon Lengkap Gabungan antara respon alami dan respon paksa dengan initial kondisi ( kondisi awal )

Contoh latihan :

Tentukan nilai V pada saat t > 0, jika t = 0 kondisi steady state !

Jawaban : Pada saat t = 0, kondisi steady state :

4 Pada saat t > 0, maka :

di L ( t )

dt

dim ana : i L ( t ) C = C dt

dV ( t )

di L ( t )

dt

dV

dt dt

C ( t ) 1 dV C ( t )

20 dt

5 dt

d 2 V 160

C ( t ) dV C ( t = )

2 + 4 + 20 V C ( t )

dt dt

Respon alami :

Respon paksa : V f = A

Pada saat : V ( 0 ) = A 1 + 8 = 0 → A 1 = − 8

Pada saat : i L ( 0 ) = 2

L ( t ) = { − 2 e ( A 1 cos 4 t + A 2 sin 4 t ) + e ( − 4 A 1 sin 4 t + 4 A 2 cos 4 t ) }

i L ( 0 ) = { − 2 ()() A 1 + 4 A 2 } = 2

− 2 ()( A 1 + 4 A 2 ) = 40 , dim ana : A 1 = − 8

16 + 4 A 2 = 40 → A 2 =

sehingga :

− 2 V t ( t ) = e ( 6 sin 4 t − 8 cos 4 t ) + 8

Soal – soal :

1. Tentukan nilai i pada saat t > 0, jika t = 0 kondisi steady state !

2. Tentukan nilai V(t) pada saat t > 0, jika t = 0 - kondisi rangkaian dalam keadaan steady state (mantap) !

3. Tentukan nilai i pada saat t > 0, jika t = 0 kondisi steady state !

4. Tentukan nilai i pada saat t > 0, jika t = 0 kondisi steady state !

5. Tentukan V pada saat t > 0, jika V(0) = 6 dan i(0) = 2 !