FREKUENSI KOMPLEKS DAN FUNGSI TRANSFER

BAB IX FREKUENSI KOMPLEKS DAN FUNGSI TRANSFER

Sinyal Sinusoidal Teredam

Pada bab sebelumnya kita telah melihat bahwa fungsi sinusoidal mempunyai persamaan

sebagai berikut : v ( t ) = V m cos( ω+ t φ ) Volt.

Pada bab ini akan dibahas mengenai frekuensi kompleks yang sebetulnya muncul dari persamaan fungsi sinusoidal diatas hanya ditambahkan suatu nilai konstanta

peredamnya, dimana dituliskan dalam persamaan : t v ( t ) = V m e σ cos( ω t + φ ) Volt. Pada persamaan tersebut muncul suatu konstanta peredam t e σ , dimana σ adalah bernilai

negatif atau nol yang disebut dengan faktor peredam/frekuensi Neper dengan satuan Np/s.

Pada persamaan t v ( t ) V e = σ

cos( ω t + φ ) Volt tersebut apabila kita analisis bahwa :

Jika σ = 0 , ω = 0 ⇒ v ( t ) = V m merupakan sinyal searah atau DC.

Jika ) σ = 0 ⇒ v ( t ) = V m cos( ω t + θ merupakan sinyal sinusoidal murni.

Jika t ω = 0 , σ > 0 ⇒ v ( t ) = V m e σ merupakan sinyal eksponensial positif.

Jika − 0 , σ ω t = σ < 0 ⇒ v ( t ) = V m e merupakan sinyal eksponensial negatif.

Jika ) t σ > 0 ⇒ v ( t ) = V m e σ cos( ω t + φ merupakan sinyal sinusoidal teredam positif.

Jika ) 0 − σ σ t < ⇒ v ( t ) = V m e cos( ω t + φ merupakan sinyal sinusoidal teredam negatif.

Phasor Frekuensi Kompleks

Pada bab sebelumnya mengenai notasi phasor untuk sinyal AC murni adalah sebagai berikut :

v ( t ) = V m cos( ω+ t φ ) Notasi phasor :

[ V m e ] = Re [ V m e e ]

j ω V t = Re

V ( j ω ) = V m φ e = V m ∠ φ Jika konsep diatas diterapkan pada fungsi sinusoidal teredam maka :

v t ( t ) = V m e σ cos( ω t + φ ) Notasi phasor :

[ V m e e ] = Re [ V m e e ] = Re [ V m e e ]

V st = Re

V ( s ) V j = φ m e = V m ∠ φ dimana

:s= σ + jω

Impedansi dan Admitansi Frekuensi Kompleks

V ( s ) = Z ( s ) I ( s ) dimana :

Impedansi kompleks: Z R ( s ) = R

Z L ( s ) = sL

1 Z C ( s ) = sC

Admitansi kompleks :

1 Y L ( s ) = sL

Y C ( s ) = sC

Contoh latihan :

1. Tentukan frekuensi kompleks dari sinyal dibawah ini :

25 − a. t V = e cos 2 t − 4 b. t V = 3 e

Jawaban :

a. s = -1 + j2

b. s = -4

2. Tentukan arus i yang mengalir dari rangkaian berikut :

Jawaban : s = − 1 + j 2

i ( t ) = 5 − e t cos( 2 t − 53 , 1 o ) A

Fungsi Transfer Frekuensi Kompleks

Perbandingan antara output dengan input dalam frekuensi kompleks / H(s). H(s) bisa perbandingan tegangan terhadap arus, arus terhadap tegangan, tegangan terhadap tegangan, atau arus terhadap arus. Misal :

→ V o ( s ) = H ( s ). V i ( s )

Contoh latihan :

1. Tentukan fungsi transfer I terhadap V pada rangkaian berikut :

Jawaban :

H ( s ) = 3 2 s + 6 s + 11 s + 6

( s + 2 )( s + 3 )( s + 1 )

2. Tentukan output tegangan jika diberikan fungsi transfer :

H ( s ) = s 2 + 4 s + 5 dimana input o V

i ( s ) = 2 ∠ 0 dan s = -2+j3

V o o ( t ) = 3 2 e cos( 3 t − 135 )

Pole dan Zero

Jika fungsi transfer : H ( s ) =

dinyatakan dengan persamaan :

b m ( s − Z 1 )( s − Z 2 )........( s − Z

numerator

a n ( s − P 1 )( s − P 2 )........( s − P n )

deno min ator

Yang dikatakan dengan zero adalah pembuat nilai nol pada fungsi transfer tersebut,

dimana zero pada fungsi transfer diatas terdiri dari Z 1 ,Z 2 , …..Z m .

Yang dikatakan dengan pole adalah pembuat nilai tak hingga pada fungsi transfer tersebut, dimana pole pada fungsi transfer diatas terdiri dari P 1 ,P 2 , ….P n . Diagram s-plane :

Pada diagram s-plane tersebut dapat ditentukan kestabilan, dimana BIBO (Bounded Input Bounded Output ) stability terletak atau berada disebelah kiri pole-polenya. Macam-macam bentuk kestabilan : ‰

Absolutely stabil : berada disebelah kiri j ω axis.

Conditionally stabil : tidak ada disebelah kanan pole tapi pada j ω axis untuk orde >

Unstable stabil : berada disebelah kanan j ω axis.

Diagram Bode Plot

Grafik penguatan fungsi transfer dalam desibel (dB) dan phasa dalam derajat terhadap logaritmik frekuensi.

b m ( s + Z 1 )( s + Z 2 )........( s + Z m )

( s + Z 1 )( s + Z 2 )........( s + Z m )

a n ( s + P 1 )( s + P 2 )........( s + P n )

( s + P 1 )( s + P 2 )........( s + P n )

( 1 + s )( 1 + s )......... ( 1 + s )

( 1 + s )( 1 + s )......... ( 1 + s ) P 1 P 2 P n

Jika : s = j ω

( 1 + j ω )( 1 + j ω )......... ( 1 + j ω )

( 1 + j ω )( 1 + j ω )......... ( 1 + j ω )

dimana besaran magnitude dan phasanya terpisah, maka didapatkan :

1 + j ω 1 + j ω ......... 1 + j ω

1 P ......... 1 2 + P n

∠ ( 1 + j ω ) ∠ ( 1 + j ω )......... ∠ ( 1 + j ω )

∠ ( 1 + j ω ) ∠ ( 1 + j ω )......... ∠ ( 1 + j ω )

Ada 4 jenis faktor yang dapat muncul pada diagram bode plot fungsi transfer, yaitu :

1. Konstanta K

2. Pole atau zero pada titik asal

3. Pole atau zero orde satu Æ ( 1 + j ω ) ω 1

4. Pole atau zero faktor kuadratik Æ 1 j + 2 ⎛ ξ ⎞ ⎛ j ω ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜

Maka diagram bode untuk masing-masing faktor tersebut :

1. Logaritmik K Æ 20 log K

Untuk nilai : K ≥1

Untuk nilai : 0 < K < 1

2. Pole atau zero pada titik asal

1 Untuk pole : 20 log

= − 20 log ω j ω

Untuk zero : 20 log j ω = 20 log ω

3. Pole atau zero orde satu.

Untuk pole : 20 log

Frekuensi cut off di ω= ω 1

Untuk zero : 20 log 1 + j ω

Frekuensi cut off di ω= ω 1

4. Pole atau zero faktor kuadratik

1 Untuk pole : 20 log

ω 0 Frekuensi cut off di ω= ω 0

Untuk zero : 20 log + j ⎛ 2 1 ξ ⎞ ⎛ j ω ⎜ ⎞ ⎟ + ⎜ ⎝ ω

ω 0 Frekuensi cut off di ω= ω 0

Contoh latihan :

1. Jika fungsi transfer dinyatakan dengan persamaan : H ( s ) = R + sL

Tentukan diagram bode plotnya ! Jawaban :

R + sL 1 + sL

Jika s = j ω

Gambar diagram bode plot :

2. Jika suatu rangkaian seri RL diberikan tegangan AC sebagai inputnya (V in ) dan output pada komponen L, maka tentukan :

a. Fungsi transfer dalam domain s

b. Diagram bode plot Jawaban :

a. Jika output pada komponen L maka fungsi transfer :

H ( s ) = sL + R

sL

b. Diagram bode plot :

Jika s = j ω , maka : j ω R

RL

2 = sL

R 1 + R 2 + sL Jawaban : ⎛

3. H ( s )

, tentukan diagram bode plot !

⎜⎜ R 2 R 2 + sL

R 2 ( 1 + sL )

⎟⎟

R + sL

⎜⎜

⎟⎟

( R 1 + R 2 )( 1 + sL

1 + s ⎜⎜

( R 1 + R 2 ) ⎟⎟ ⎝

Soal – soal :

1. Tentukan nilai V !

2. Tentukan fungsi transfer dari gambar berikut :

3. Gambarkan diagram bode pada soal nomor 2 diatas !

4. Tentukan fungsi transfer dari gambar berikut :

5. Gambarkan diagram bode pada soal nomor 4 diatas !

6. Tentukan fungsi transfer dari gambar berikut :

7. Gambarkan diagram bode pada soal nomor 6 diatas !

8. Tentukan fungsi transfer dari gambar berikut :

9. Gambarkan diagram bode pada soal nomor 8 diatas !

10. Gambarkan diagram bode jika H () s =

32 ( s + 1 )

11. Tentukan fungsi transfer dari gambar berikut :

12. Gambarkan diagram bode jika H () s =

13. Gambarkan diagram bode jika H () s =

s ( 1 + 0 , 5 s )( 1 + 0 , 6 s + () s )

14. Gambarkan diagram bode jika H () s =

400 ( s + 1 )

( s + 4 )( s + 10 )

15. Gambarkan diagram bode jika H () s =

16 s

+ 4 s + 16

16. Tentukan fungsi transfer dari gambar berikut :

17. Gambarkan diagram bode untuk soal nomor 16 diatas !

18. Tentukan fungsi transfer dari gambar berikut :

19. Gambarkan diagram bode untuk soal nomor 18 diatas !