Konsep Dasar Matematis Kriptografi

3. Bila jumlah data yang dienkrip dengan kunci dan algoritma yang sama lebih sedikit dari jumlah data yang diperlukan untuk menembus algoritma tersebut Kurniawan, 2004.

2.1.7.2 Serangan pada Sistem Kriptografi

Pada dasarnya serangan terhadap sistem kriptografi dapat dibedakan menjadi dua jenis yaitu: 1. Serangan pasif adalah serangan dimana penyerang hanya memonitor saluran komunikasi. Penyerang pasif hanya mengancam kerahasiaan data. 2. Serangan aktif adalah serangan dimana penyerang mencoba untuk menghapus, menambahkan, atau dengan cara yang lain mengubah transmisi pada saluran. Penyerang aktif mengancam integritas data dan otentikasi, juga kerahasiaan.

2.2 Konsep Dasar Matematis Kriptografi

2.2.1 Sistem Persamaan Linear

Variabel adalah sebuah notasi yang mewakili suatu bilangan dengan nilai yang belum diketahui. Sebagai contoh, sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh persamaan yang berbentuk a 1 x + a 2 y = b. Persamaan ini dinamakan persamaan linear dalam peubah variabel x dan peubah y. Secara lebih umum, mendefenisikan persamaan linear dalam n peubah x 1 , x 2 , ... x n 1 1 2 2 n n a x a x a x b + + + =  sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: dimana a 1 , a 2 , ... , a n 1 2 , ,..., n s s s dan b adalah konstanta-konstanta. Solusi persamaan linear adalah urutan n bilangan sehingga suatu persamaan linear 1 1 2 2 n n a x a x a x b + + + =  dipenuhi bila disubtitusikan 1 1 2 2 , , , n n x s x s x s = = =  . Himpunan dari semua solusi persamaan linear dinamakan himpunan solusi. Sebuah sistem persamaan linear yang terdiri dari m persamaan linear dengan n bilangan tak diketahui variabel akan dituliskan sebagai berikut: 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + =        Dapat dilihat bahwa sistem persamaan linear tersebut bisa direpresentasikan sebagai persamaan perkalian matriks Ax = b, dengan 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a       =              berukuran m n × , matriks 1 2 n x x x x       =        dan matriks 1 2 m b b b b       =        adalah matriks kolom. Untuk selanjutnya jika disebut sistem Ax b = berarti ekivalen dengan menyebutkan sistem persamaan linear dengan n variabel dan m persamaan yang bisa direpresentasikan sebagai sistem persamaan perkalian matriks Ax = b. Jika 1 2 , ,..., n b b b semuanya nol maka sistem ini disebut sistem persamaan linear homogen. Jika terdapat 0, 1 i b i n ≠ ≤ ≤ maka disebut sistem persamaan linear tak homogen. 2.2.2 Matriks dan Operasi pada Matriks 2.2.2.1 Matriks Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom yang diletakkan dalam kurung biasa atau kurung siku. Matriks merupakan suatu cara visualisasi variabel yang merupakan kumpulan dari angka-angka atau variabel lain, misalnya vektor. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.

2.2.2.2 Operasi pada Matriks

Misal A, B, dan C adalah matriks yang berukuran sama dengan a, b ∈ R, maka berlaku operasi-operasi pada matriks sebagai berukut: 1. A + B = B + A Hukum komutatif, tetapi AB ≠ BA. 2. A + B + C = A + B + C Hukum asosiatif. 3. ABC = ABC Hukum asosiatif. 4. AB + C = AB +AC Hukum distributif. 5. B + CA = BA + CA Hukum distributf. 6 AB – C = AB – AC. 7. B -C – A = BA – CA. 8. aB + C = aB + aC 9. aB – C = aB – aC. 10. a + bC = aC + bC. 11. a – bC = aC – bC. 12. abC = abC. 13. aBC = aBC = BaC. Untuk membuktikan kesamaan-kesamaan diatas, maka perlu ditegaskan bahwa matriks pada ruas kiri harus mempunyai ukuran yang sama seperti matriks pada ruas kanan.

2.2.2.3 Transpos, Transpos Konjugat, dan Hermitian

Diberikan sebarang matriks A berukuran mxn, maka transpos dari A didefinisikan dengan matriks n m × dinotasikan dengan T A yang setiap kolom dari A menjadi baris dari A T A . Konjugat dari A, ditulis A, merupakan matriks yang dibentuk dengan menegasikan bagian imajiner setiap entri , jadi [ ] ij A a = . Transpos konjugat dari A didefinisikan oleh A H = A T A . Matriks dikatakan hermitian jika A H A = A. Jika real, maka A dikatakan matriks simetri, yaitu A H A = A. Dapat dilihat bahwa setiap matriks hermitian haruslah persegi. Untuk setiap matriks berukuran m n × berlaku A H A H = A H A H H = A H H A A A, yaitu matriks Hermitian.

2.2.2.4 Eselon Baris Tereduksi

Matriks A disebut dalam bentuk eselon baris tereduksi reduced row echelon form disingkat rref jika memenuhi empat kondisi berikut: 1. Jika ada baris nol baris yang seluruh entrinya bernilai nol, maka baris nol tersebut terletak paling bawah atau paling akhir. 2. Jika baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka entri pertama yang bukan nol dalam baris itu adalah 1, disebut satu utama leading one. 3. Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka satu utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan dari satu utama dalam baris yang lebih tinggi. 4. Setiap kolom yang memuat satu utama mempunyai nol di tempat lain. Matriks yang hanya mempunyai sifat-sifat 1,2, dan 3, dikatakan berada dalam bentuk eselon baris row echelon form. Rank dari matriks A, ditulis rankA, adalah banyaknya baris tak nol setelah A dibentuk ke dalam bentuk eselon baris. Suatu matriks m n A × dikatakan mempunyai full column rank jika rank A n = dan full row rank jika rank A = m.

2.2.2.5 Invers Matriks

Jika A adalah matriks persegi, dan dapat ditemukan matriks A -1 sehingga A A -1 = A -1 A A = I, maka dikatakan dapat dibalik invertibel dan A -1 A dinamakan invers dari A, Salah satu metode sederhana mencari invers dari matriks yang dapat dibalik adalah dengan mencari urutan operasi baris elementer tereduksi menjadi matriks identitas, kemudian melakukan urutan operasi yang sama pada n I untuk mendapatkan A -1 . Operasi baris elementer adalah operasi pengubahan nilai elemen matriks berdasarkan barisnya, tanpa mengubah matriksnya. Cara menentukan invers matriks dengan operasi baris elementer yaitu: 1. Kalikanlah sebuah baris dengan sebuah konstanta yang tidak sama dengan nol. 2. Pertukarkanlah kedua baris tersebut. 3. Tambahkanlah perkalian dari satu baris pada baris yang lain. Jika A adalah sebarang matriks persegi n n × dan ij C adalah kofaktor a ij 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn C C C C C C C C C                    , maka matriks dinamakan matriks kofaktor A. Transpos matriks ini dinamakan adjoin A dan dinotasikan dengan AdjA. Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka 1 A -1 det A = = adjA detA Dari rumus di atas, dapat disimpulkan jika suatu matriks mempunyai nilai determinan nol maka matriks tersebut tidak punya invers. Sebab jika maka terjadi pembagian dengan nol.

2.2.3 Ruang-ruang Vektor.

Ruang Vektor V atas lapangan F adalah himpunan tak kosong atas objek yang dinamakan vektor bersama dengan operasi yang dinamakan penjumlahan vektor, dan operasi yang dinamakan pergandaan antara skalar dan vektor,

2.2.3.1 Ruang Baris dan Kolom Matriks

Suatu kolom dengan panjang n adalah 1 n × larik 1 2 1 2 T n n x x x x x x x       = =         Matriks A berukuran m n × merupakan larikan bilangan-bilangan dengan m baris dan n kolom, 11 1 1 n ij m mn a a A a a a     = =            , dengan ij a disebut entri isi pada baris ke-i dan kolom ke-j. Sehingga kolom dengan panjang n merupakan matriks berukuran n x 1, sedangkan baris dengan panjang n adalah matriks berukuran 1 x n.

2.2.3.2 Kombinasi Linear dan Bebas Linear

Jika di dalam suatu ruang vektor, satu vektor dapat dinyatakan sebagai hasil dari beberapa operasi yang terdefinisi dalam ruang vektor tersebut dengan melibatkan beberapa vektor lain, maka vektor tersebut dikatakan sebagai kombinasi linear atas vektor-vektor yang lain. Jika S ={v 1 , v 2 , ..., v r } adalah himpunan vektor, maka persamaan vektor k 1 v 1 + k 2 v 2 + ...+ k r v r = 0 mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yaitu: k 1 = 0, k 2 = 0, ... , k r = 0 Jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka S dinamakan himpunan bebas linear linearly independent. Jika ada pemecahan lain, maka S dinamakan himpunan tak bebas linear linearly dependent.

2.2.3.3 Basis dan Dimensi

Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S ={v 1 , v 2 , ..., v r Sebuah ruang vektor taknol V dinamakan berdimensi berhingga finite dimensional jika ruang vektor tersebut mengandung sebuah himpunan berhingga dari } merupakan himpunan berhingga dari vektor-vektor pada V, maka S dinamakan basis untuk V jika S bebeas linear dan S merentang V. vektor-vektor {v 1 , v 2 , ..., v n { } } yang membentuk sebuah basis. Jika tak ada himpunan seperti itu, maka V dinamakan berdimensi tak berhingga infinite dimensional.

2.2.4 Struktur Aljabar

Aljabar adalah bidang matematika yang berhubungan dengan himpunan elemen seperti himpunan bilangan dan operasi yang dilakukan pada elemen tersebut Churchhouse, 2004. Aljabar abstrak adalah cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar. Struktur aljabar adalah satu atau lebih himpunan dengan sejumlah operasi yang didefenisikan didalamnya serta memenuhi beberapa aksioma. Di dalam struktur aljabar terdapat grup, ring dan grup berhingga yang penting dalam kriptografi pada umumnya dan kriptografi kunci publik khususnya Churchhouse, 2004. Himpunan adalah sekumpulan objek atau unsur dengan kriteria atau syarat tertentu. Unsur-unsur dalam elemen S disebut anggota elemen dari S. Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong dan ditulis atau Φ .

2.2.4.1 Grup

Grup group , G adalah suatu struktur yang terdiri dari himpunan G dan suatu operasi biner dengan sifat: a. , a b G ∀ ∈ berlaku sifat a b G ∈ . b. 1 2 1 2 , , , a a b b G ∀ ∈ berlaku 1 2 a a = dan 1 2 1 1 2 2 b b a b a b = ⇒ = . c. Terhadap operasi memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut: 1. Assosiatif, yaitu , , a b c G ∀ ∈ , berlaku a b c a b c = . 2. e G ∃ ∈ sedemikian sehingga 1 1 a a a a e − − = = , ∈ ∀ G. 3. 1 , a G a G − ∀ ∈ ∃ ∈ sedemikian sehingga 1 1 a a a a e − − = = . Sifat a dan b di atas berarti bahwa operasi biner bersifat tertutup closed dan terdefinisi dengan baik well defined pada G . Jika G adalah grup terhadap operasi dan , a b G ∀ ∈ berlaku a b b a = , yaitu operasi bersifat komutatif, G dikatakan grup komutatif commutative group.

2.2.4.2 Gelanggang Ring

Gelanggang Ring +•〉 〈 , R adalah himpunan tak kosong yang dilengkapi dua operasi biner yang disajikan dengan tanda jumlahan dan tanda pergandaan yang memenuhi aksioma-aksioma berikut: 1. , R 〈 +〉 grup komutatif. 2. Terhadap operasi pergandaan memenuhi sifat assosiatif. 3. Memenuhi sifat distribusi kiri dan distribusi kanan, yaitu untuk setiap a, b, c ∈R berlaku ab+c = ab + ac dan a+bc = ac + bc.

2.2.4.3 Lapangan field

Suatu gelanggang yang bersifat komutatif dimana setiap elemen tidak nol mempunyai invers perkalian disebut dengan lapangan field. Yang dimaksud dengan invers perkalian adalah untuk setiap a ≠ 0 yang termasuk dalam F, terdapat a -1 Є F sedemikian hingga a × a -1 Diberikan = 1.

2.2.5 Teori Bilangan

Teori bilangan Number Theory adalah teori mendasar dalam memahami kriptografi. Bilangan yang digunakan disini adalah bilangan bulat positif integer. Bilangan bulat positif adalah himpunan bilangan asli yang dinotasikan dengan “A” yaitu A = {1, 2, 3, ...}. Himpunan semua bilangan bulat yang dinotasikan dengan Z adalah himpunan {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}. Himpunan ini berperan sangat penting karena banyak algoritma kriptografi yang menggunakan sifat-sifat himpunan semua bilangan bulat dalam melakukan prosesnya. Pada himpunan bilangan bulat berlaku sifat asosiatif, komutatif dan distributif terhadap operasi penjumlahan dan pergandaan biasa.

2.2.5.1 Sifat Pembagian pada Bilangan Bulat

Ζ ∈ n a, . Bilangan bulat a dikatakan membagi divides n jika terdapat Ζ ∈ b sedemikian sehingga n ab = . Jika a membagi n, maka a disebut pembagi divisior n dan n disebut kelipatan multiple a. Bilangan bulat a yang membagi n ditulis a n . Diberikan Ζ ∈ m b a , , , m . Jika m membagi b – a, maka a disebut kongruen dengan b modulo m, ditulis mod a b m ≡ . Bilangan bulat m disebut modulus. Misalkan a dan b dibagi dengan m, didapatkan hasil bagi bilangan bulat dan sisa, dimana sisa bernilai antara 0 dan m – 1. Yaitu 1 1 a q m r = + dan b = q 2 + r 2 1 2 1 dan 0 1 r m r m ≤ ≤ − ≤ ≤ − , dimana . Maka jelas bahwa mod a b m ≡ jika hanya jika 1 2 r r = .

2.2.5.2 Pembagi Persekutuan Terbesar

Dalam Z p a dengan p prima, suatu bilangan mempunyai invers terhadap pergandaan jika hanya jika gcd , 1 a p = . Bilangan tersebut adalah semua elemen dalam Z p A kecuali 0. Matriks atas Z p gcddet , =1 A p mempunyai invers modulo p jika hanya jika .

2.2.5.3 Algoritma Euclide

Telah diperlihatkan bahwa jika Ζ ∈ a p, maka a mempunyai invers terhadap pergandaan pada Z p gcd , 1 a p = jika hanya jika . Algoritma Euclide dapat digunakan untuk menghitung nilai pembagi persekutuan terbesar gcd dari dua bilangan bulat dengan efisien. Pertama, misalkan ingin dihitung 1 1 gcd , , , bilangan bulat r r r r dengan 1 r r . Algoritma Euclid terdiri dari beberapa pembagian : 1 1 2 2 1 , 0 o r q r r r r = + ≤ 1 2 2 3 3 2 , 0 r q r r r r = + ≤    2 1 1 1 , 0 m m m m m m r q r r r r − − − − = + ≤ 1 m m m r q r − = , maka 1 1 2 1 gcd , gcd , gcd , m m m r r r r r r r − = = = =  . Dan didapatkan 1 gcd , m r r r = .

2.2.5.4 Algoritma Euclide yang Diperluas

Dari algoritma Euclide dapat diketahui apakah suatu bilangan mempunyai invers atas Z p 1 2 , , , m t t t t  atau tidak, namun belum dapat menghitung nilai inversnya jika ada. Dengan algoritma Euclide yang diperluas, dapat dihitung nilai invers dari suatu bilangan. Misalkan didefinisikan suatu barisan bilangan dengan ketentuan sebagai berikut: 1 2 1 1 1 mod 2 j j j j t t t t q t r j − − − = = = − ≥ maka, untuk 0 j m ≤ ≤ , 1 mod j j r t r r ≡ . Dimana j r didapatkan dari algoritma Euclid. Pembuktian dilakukan dengan induksi matematika. Pernyataan benar untuk 0 dan 1 j j = = . Asumsi pernyataan benar untuk 1 j i = − dan 2 j i = − , untuk 2 i ≥ , akan dibuktikan pernyataan benar untuk j i = . Dengan induksi didapatkan: 2 2 1 mod i i r t r r − − ≡ dan 1 1 1 mod i i r t r r − − ≡ Selanjutnya dihitung : i r 2 1 1 i i i r q r − − − ≡ − 2 1 1 1 1 i i i t r q t r − − − ≡ − mod r 2 1 1 1 i i i t q t r − − − ≡ − mod r 1 mod i t r r ≡ Dapat disimpulkan pernyataan terbukti untuk semua j . Misalkan 1 gcd , 1 r r = , maka 1 1 mod m t r r − = , dapat dibuktikan jika 1 gcd , 1 r r = maka 1 m r = . Sehingga dari teorema di atas, 1 1 mod m m r t r r = ≡ , dengan melihat bentuk : 1 1 m t r ≡ , berarti 1 1 mod m t r r − = .

2.3 Invers Matriks Tergeneralisasi