FUNGSI KARAKTERISTIK DISTRIBUSI THREE-PARAMETER GENERALIZED RAYLEIGH
ABSTRACT
CHARACTERISTICS FUNCTION OF THREE-PARAMETER
GENERALIZED RAYLEIGH DISTRIBUTION
By :
Nurman Fauzi
The main purpose of this research is to derive the characteristic function of the
three-parameter generalized Rayleigh distribution. The three-parameter
generalized Rayleigh distribution has three parameter which are : the shape
parameter ( ), the scale parameter ( ) and the location parameter (μ ).
The characteristic function can be used to determine the distribution function
from a random variable that is known as inversion theorem of characteristic
function. The characteristic function can be determined by using the definition
and trigonometry expansion. Both methods show similiar form of the
characteristic function of the three-parameter generalized Rayleigh distribution.
This research also discusses the fundamental properties of the characteristic
function of the three-parameter generalized Rayleigh distribution
Keywords : Rayleigh distribution, generalized Rayleigh distribution,
three-parameter generalized Rayleigh distribution, characteristics
function, the properties of characteristic function.
ABSTRAK
FUNGSI KARAKTERISTIK DISTRIBUSI THREE-PARAMETER
GENERALIZED RAYLEIGH
Oleh :
Nurman Fauzi
Tujuan utama penelitian ini adalah menentukan fungsi karakteristik dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh. Distribusi three-parameter generalized
Rayleigh memiliki tiga parameter yaitu parameter bentuk ( ), parameter
skala ( ) dan parameter lokasi ( ). Fungsi karakteristik dapat digunakan untuk
menentukan fungsi distribusi dari suatu peubah acak yang dikenal sebagai
teorema inversi fungsi karakteristik. Fungsi karakteristik dapat ditentukan dengan
menggunakan definisi dan ekspansi trigonometri. Kedua cara tersebut bertujuan
untuk menunjukkan kesamaan bentuk fungsi karakteristik dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh yang diperoleh, kemudian dilanjutkan
pembuktian sifat-sifat dasar fungsi karakteristik.
Kata kunci : distribusi Rayleigh, distribusi generalized Rayleigh,
distribusi three-parameter generalized Rayleigh, fungsi karakteristik,
sifat-sifat dasar fungsi karakteristik.
FUNGSI KARAKTERISTIK DISTRIBUSI
THREE-PARAMETER GENERALIZED RAYLEIGH
Oleh
Nurman Fauzi
Tesis
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar
Magister Sains
Pada
Jurusan Matematika Program Studi Magister Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
MAGISTER MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2015
FUNGSI KARAKTERISTIK DISTRIBUSI
THREE-PARAMETER GENERALIZED RAYLEIGH
(Tesis)
Oleh
Nurman Fauzi
MAGISTER MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2015
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1.
Grafik fungsi distribusi komulatif dari distribusi Rayleigh dengan
nilai = 1.5.....................................................................................................
19
Gambar 2.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
generalized Rayleigh dengan nilai = 1.5, = 0.1.....................................
20
Gambar 3.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh dengan nilai = 2, = 1,
= 2 ............................................................................................................
21
Gambar 4.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter
generalized
Rayleigh
dengan
nilai
= meningkat, = tetap, µ = tetap .........................................................
29
Gambar 5.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh dengan nilai = tetap,
= meningkat, µ = tetap .............................................................................
30
Gambar 6.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh
dengan
= tetap,
= tetap, µ = meningkat .............................................................................
31
Gambar 7.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh dengan = meningkat,
= meningkat, µ = tetap .............................................................................
32
Gambar 8.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter
generalized
Rayleigh
dengan
nilai
= meningkat, = tetap, µ = meningkat ..................................................
33
Gambar 9.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh dengan nilai = tetap ,
= meningkat, µ = meningkat....................................................................
34
Gambar 10.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter
generalized
Rayleigh
dengan
nilai
= meningkat, = tetap, µ = menurun ...................................................
35
Gambar 11.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh dengan nilai = menurun,
= tetap, µ = menurun................................................................................
36
Gambar 12.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter
generalized Rayleigh
dengan
nilai
= tetap, = menurun, µ = menurun.......................................................
37
Gambar 13.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter
generalized
Rayleigh
dengan
nilai
= menurun, = menurun, µ = tetap......................................................
38
Gambar 14.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter
generalized
Rayleigh
dengan
nilai
= tetap, = tetap, µ = menurun............................................................
39
Gambar 15.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter
generalized
Rayleigh
dengan
nilai
= meningkat, = meningkat, µ = menurun..........................................
40
DAFTAR ISI
SANWANCANA
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
I.
PENDAHULUAN
1.1.
Latar Belakang Masalah.......................................................................
1
1.2.
Batasan Masalah...................................................................................
3
1.3.
Tujuan Penelitian..................................................................................
4
1.4.
Manfaat Penelitian................................................................................
4
II.
FUNGSI-FUNGSI KHUSUS
2.1.
Fungsi Gamma .....................................................................................
5
2.2.
Fungsi Beta...........................................................................................
6
2.3.
Hubungan Distribusi Beta dengan Distribusi Gamma .........................
12
2.4.
Rumus Euler.........................................................................................
16
III. DISTRIBUSI RAYLEIGH, DISTRIBUSI GENERALIZED
RAYLEIGH DAN DISTRIBUSI THREE-PARAMETER
GENERALIZED RAYLEIGH
3.1.
Distribusi Rayleigh ...............................................................................
18
3.2.
Distribusi Generalized Rayleigh ..........................................................
19
3.3.
Distribusi Three-Parameter Generalized Rayleigh..............................
20
IV
FUNGSI KARAKTERISTIK
4.1.
Fungsi Karakteristik .............................................................................
22
4.2.
Sifat-sifat Dasar Fungsi Karakteristik ..................................................
23
V.
METODE PENELITIAN
VI.
PEMBAHASAN
6.1
Simulasi Grafik Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi
Three-Parameter Generalized Rayleigh..............................................
6.2.
Fungsi Karakteristik Distribusi Three-Parameter Generalized
Rayleigh dengan Menggunakan Definisi .............................................
6.3.
44
Pembuktian Sifat-Sifat Dasar Fungsi Karakteristik dari Fungsi
Karakteristik Distribusi Three-Parameter Generalized Rayleigh ......
VII.
41
Fungsi Karakteristik Distribusi Three-Parameter Generalized
Rayleigh dengan Menggunakan Ekspansi Trigonometri .....................
6.4.
29
KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
53
DAFTAR LAMPIRAN
Coding Program untuk grafik fungsi distribusi komulatif dari distribusi Rayleigh
dengan nilai ✄ 1.✁
Coding Program untuk grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
generalized Rayleigh dengan nilai ✄ 1.✁, ✂ 0.1
Coding Program untuk grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh dengan nilai , , dan ☎ yang berubah-ubah
MOTO
“Ilmu itu lebih baik daripada harta. Ilmu menjaga engkau dan engkau menjaga
harta. Ilmu itu penghukum (hakim) dan harta terhukum. Harta itu kurang apabila
dibelanjakan tapi ilmu bertambah bila dibelanjakan”
(Sayyidina Ali bin Abi Thalib)
PERSEMBAHAN
Dengan mengucap puji syukur kehadirat Allah SWT, atas izin dan ridha-Nya
karyaku ini dapat terselesaikan dan ku persembahkan kepada
orang - orang tercinta :
Orangtuaku tercinta,
Bapak Untung, Ibu Siti Khotijah, Bapak Hi. Sumaryo, Ibu Hj. Asmiati, terimakasih
atas doa dan kasih sayang yang diberikan yang selalu menjadi kekuatan dalam
setiap langkahku dalam mencapai impian dalam hidupku.
Adik-adikku tercinta,
Iman Suryaman dan Muhammad Fajar Sidiq, terimakasih atas dukungan moril
yang selalu diberikan dalam proses langkah perjuangan.
Kekasihku tercinta,
Retno Pangastuti, terimakasih atas segala bentuk cinta dan dukungan yang selalu
kau berikan.
Teman-teman seperjuangan yang selama ini selalu menemani.
Almamater Universitas Lampung.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Tugumulyo pada tanggal 18 Mei 1989.
Penulis adalah anak pertama dari tiga bersaudara dari pasangan
Bapak Untung dan Ibu Siti Khotijah. Pendidikan formal yang
pernah ditempuh :
1. Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri 2 Sriagung pada tahun 1996-2002.
2. Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Negeri 1 Padangratu pada
tahun 2002-2005.
3. Sekolah Menengah Atas (SMA) di Madrasah Aliyah (MA) Miftahul Ulum
Kotabaru pada tahun 2005 – 2008.
4. S1 Pendidikan Matematika di Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan
(STKIP) Muhammadiyah Pringsewu Lampung pada tahun 2008 - 2012.
5. Terdaftar sebagai mahasiswa S2 Progam Studi Magister Matematika Jurusan
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lampung pada tahun 2013.
Dari Juli 2011 sampai dengan Juli 2014 penulis bekerja sebagai guru honorer di
Madrasah Tsanawiyah (MTs) Miftahul Ulum Kotabaru dan Madrasah Ibtidaiyah
(MI) Miftahul Ulum Kotabaru Lampung Tengah, di SMK Islam Albarokah
Poncowarno dari Januari 2013 sampai dengan Juni tahun 2013. Kemudian dari
Juli 2014 sampai sekarang penulis bekerja sebagai guru honorer di SMA Negeri 1
Kalirejo dan MA Miftahul Ulum Kotabaru Lampung Tengah.
SANWACANA
Puji syukur kehadirat Allah SWT Yang Maha Pengasih dan Maha Penyayang
yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat
menyelesaikan tesis ini.
Penulis menyadari dapat diselesaikannya tesis ini tidak terlepas dari bantuan
berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Ir. Warsono, M.S., Ph.D., selaku pembimbing I yang telah memberikan
sumbangan pemikiran dalam penyusunan tesis ini.
2. Drs. Mustofa Usman, M.A., Ph.D., selaku ketua program studi magister
matematika Universitas Lampung sekaligus pembimbing II yang telah
memberikan bimbingan serta arahan kepada penulis.
3. Dra. Wamiliana,M.A., Ph.D., selaku pembahas yang telah memberikan
bimbingan serta arahan kepada penulis.
4. Dr. Asmiati, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing akademik yang telah
mendidik dan memberikan arahan kepada penulis.
5. Dian Kurniasari, S.Si., M.Sc., yang telah banyak membantu dan memberikan
pengarahan dalam poses penyusunan tesis ini.
6. Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku ketua jurusan matematika FMIPA
Universitas Lampung.
7. Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.
8. Seluruh dosen, staff dan karyawan jurusan matematika FMIPA Universitas
Lampung yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada
penulis.
9. Ayahanda Untung dan Ibunda Siti Khotijah yang selalu memberikan doa
yang terbaik bagi penulis.
10. Bapak Hi. Sumaryo dan Ibu Hj. Asmiati yang selalu memberikan motivasi dan
doa bagi penulis.
11. Kekasihku tercinta Retno Pangastuti dan Adikku tercinta Iman Suryaman serta
Muhammad Fajar Sidiq yang selalu membantu dan memberikan semangat
serta doa yang terbaik kepada penulis.
12. Sahabat dan teman-teman seperjuangan Nova Kristianto, Waryoto, Oktarini,
Ibnu Malik, Antonius Widi Asmoro, Dwi Mardiani, Herlyanti, Ayu Siska
Maryoni, Elisabeth Viviana, Rahman Cahyadi, Ade Septinasari, Fauzan,
Cut Nurliana Setia Putri, Ana Istiani, C. Ike Tri Widyastuti, Agus Irawan,
Paustinus Edi Kristanto, Permata, Suli Rakasiwi, Guiyana Ayu Chandra
Kumala, Fita fatmawati, Ibnu Wahid yang telah memberikan dukungan dan
semangat kepada penulis.
13. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan tesis ini yang tidak
dapat disebutkan satu persatu
Bandar Lampung, 07 Desember 2015
Penulis,
Nurman Fauzi
I.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Distribusi peluang kontinu merupakan distribusi yang biasa digunakan dalam
pemodelan data kelangsungan hidup. Distribusi Burr type X merupakan
distribusi yang cukup populer dalam pemodelan data kelangsungan hidup.
Dalam penerapannya biasa digunakan dalam bidang kesehatan, pertanian,
biologi dan ilmu pengetahuan lainnya. Distribusi burr type X telah dibahas
oleh beberapa peneliti salahsatunya adalah Fakhry dan Jaheen pada
tahun 1997, dalam jurnalnya mereka mengestimasi parameter dari distribusi
Burr type X dengan metode Empirical Bayes.
Pada tahun 2001, Surles and Padgett memperkenalkan distribusi Burr type X
dengan dua parameter yang dinamakan dengan distribusi generalized
Rayleigh. Distribusi generalized Rayleigh memiliki dua parameter, yaitu
parameter bentuk (α) dan parameter skala (λ).
Peneliti yang pernah membahas tentang distribusi generalized Rayleigh ini
diantaranya adalah Vladimirescu dan Tunaru pada tahun 2003, dengan
jurnalnya yang berjudul “Tests for Discrimination Between Two Generalized
Rayleigh Distributions”. Dalam jurnalnya mereka membahas bahwa
distribusi generalized Rayleigh adalah kumpulan dari distribusi dua
parameter yang dimiliki Rayleigh, Maxwell dan Chi-square pada kasus
2
tertentu dan melakukan tes seragam serta takbias untuk membedakan antara
parameter dari dua distribusi generalized Rayleigh yang tergantung pada nilai
dari parameter k.
Selain itu Kundu dan Raqab pada tahun 2005, dengan jurnalnya yang berjudul
“Generalized Rayleigh Distribution : Different Methods of Estimations”.
Di dalam jurnalnya tersebut, Kundu dan Raqab menggunakan metode yang
berbeda untuk mengestimasi parameter-parameter dari distribusi generalized
Rayleigh pada data yang sederhana.
Kemudian peneliti lain yang juga membahas tentang distribusi generalized
Rayleigh yaitu Blumenson dan Miller (2007), dalam jurnalnya mereka
membahas tentang metode yang digunakan dalam vektor ruang linier yang
terdiri dari dua jenis, rumus eksplisit dan representasi simbolik.
Kundu dan Raqab pada tahun 2005
generalized Rayleigh
distribusi
memperkenalkan pengembangan
menjadi
generalized Rayleigh, dengan penambahan parameter
lokasi.
> 0,
Untuk
> 0,
three-parameter
distribusi
<
<
sebagai parameter
,
> µ,
distribusi
three-parameter generalized Rayleigh memiliki fungsi distribusi kumulatif
sebagai berikut :
(
( ; , , µ) = 1
)
>µ
;
Dan mempunyai fungsi kepekatan peluang (fkp) :
( ; , , µ) = 2
dengan
,
dan
(
)
(
)
(1
(
)
)
;
>µ
adalah parameter bentuk, skala dan lokasi berturut-turut.
3
Dalam jurnalnya tersebut, Kundu dan Raqab juga membahas tentang penduga
parameter-parameter menggunakan metode maximum likelihood estimation
(MLE) dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh.
Salahsatu sifat penting dalam suatu distribusi adalah fungsi karakteristik.
Menurut Lukacs (1970), fungsi karakteristik dapat digunakan untuk
menentukan fungsi distribusi dari suatu peubah acak yang dikenal sebagai
teorema inversi fungsi karakteristik. Fungsi karakteristik suatu distribusi
harus memenuhi sifat-sifat dasar. Sejauh penelusuran yang telah penulis
lakukan, bahwa belum ditemukan penjelasan tentang fungsi karakteristik
distribusi three-parameter generalized Rayleigh.
Pada penelitian ini, penulis akan membahas mengenai fungsi karakteristik,
dan pembuktian sifat-sifat dasar fungsi karakteristik dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh. Fungsi karakteristik dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh dapat diperoleh dengan menggunakan
definisi fungsi karakteristik dan ekspansi trigonometri. Selanjutnya akan
dibuktikan sifat-sifat dasar fungsi karakteristik dari distribusi three-parameter
generalized Rayleigh. Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, maka
dalam penelitian ini akan dibahas kajian tentang “Fungsi Karakteristik
Distribusi Three-Parameter Generalized Rayleigh”.
1.2 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini yang menjadi batasan masalah adalah menentukan fungsi
karakteristik distribusi three-parameter generalized Rayleigh dengan dua cara
yaitu menggunakan definisi fungsi karakteristik dan menggunakan ekspansi
4
trigonometri serta pembuktian sifat-sifat dasar fungsi karakteristik dari fungsi
karakteristik distribusi three-parameter generalized Rayleigh.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan Penelitian ini adalah :
1. Membuat grafik gambar fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh.
2. Menentukan
fungsi
karakteristik
dari
distribusi
three-parameter
generalized Rayleigh menggunakan definisi dan membuktikan kembali
fungsi karakteristik yang diperoleh dengan ekspansi trigonometri.
3. Membuktikan sifat-sifat dasar fungsi karakteristik dari fungsi karakteristik
distribusi three-parameter generalized Rayleigh.
1.4 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah untuk memberikan sumbangan
pemikiran bagi peneliti lain mengenai cara membuat grafik fungsi
kepekatan peluang, menentukan fungsi karakteristik, dan membuktikan
sifat-sifat dasar fungsi karakteristik dari fungsi karakteristik distribusi
three-parameter generalized Rayleigh.
II.
FUNGSI – FUNGSI KHUSUS
Dalam penelitian ini, untuk menentukan fungsi karakteristik dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh, penulis menggunakan beberapa fungsi
khusus yang berkaitan dengan hasil yang ingin diperoleh penelitian ini, yakni
sebagai berikut :
2.1 Fungsi Beta
Menurut Nakhi dan Kalla (2001), fungsi beta untuk batas nol sampai satu
didefinisikan sebagai berikut :
1
B (α , β ) x α 1 (1 x ) β 1 dx
0
dengan
B (α , β )
konvergen untuk α , β 0
Selain itu, Nakhi dan Kalla (2001) juga mengungkapkan bahwa sifat yang
dimiliki fungsi Beta adalah simetris, yaitu :
B (α , β ) B ( β , α )
Bukti :
1
B (α , β ) x α 1 (1 x ) β 1 dx
0
Misal : x 1 y
dx (1)dy
6
Batas-batas integral :
x 0 y 1
x 1 y 0
0
B (α , β ) (1 y ) α 1 ( y ) β 1 (1)dy
1
0
B (α , β ) ( y ) β 1 (1 y ) α 1 dy
1
1
B (α , β ) ( y ) β 1 (1 y ) α 1 dy
0
B (α , β ) B ( β , α )
2.2 Fungsi Gamma
Fungsi Gamma, menurut Walpole et al. (1998), adalah fungsi yang
didefinisikan sebagai integral dengan bentuk umum sebagai berikut :
( x ) t x 1e t dt
0
b
( x ) lim t x 1e t dt
b
0
Walpole et al. (1998) juga mengemukakan beberapa sifat yang dimiliki oleh
fungsi Gamma, yaitu sebagai berikut :
1. ( x) ( x 1).( x 1)
Bukti :
Berdasarkan definisi fungsi Gamma, diketahui bahwa :
( x) t x 1e t dt
0
7
b
( x ) lim t x 1e t dt
b
0
Dengan menggunakan integral parsial, dilakukan perhitungan berikut :
Misal : u t x 1 du ( x 1)t x 2 dt
dv e t dt v e t
Sehingga :
b
( x ) lim t x 1e t dt
b
0
b
( x) lim t x1 ( e t ) ( e t )( x 1)t x2 dt
b
0
b
( x) lim t x1e t ( x 1)t x2 e t dt
b
0
b
( x) lim t x1e t ( x 1) t x2 e t dt
b
0
b
( x ) lim b x 1e b x 1 lim t x 2 e t dt
b
b
0
x 2 t
( x) 0 x 1 t e dt
0
( x) x 1 t ( x1)1e t dt
0
( x) ( x 1)( x 1)
2. ( x 1) x.( x)
Sifat ini dapat dibuktikan dengan cara yang sama pada sifat pertama,
yaitu :
8
( x 1) t ( x 1) 1e t dt
0
( x 1) t x e t dt
0
b
( x 1) lim t x e t dt
b
0
Misal : u t x du xt x 1 dt
dv e t dt v e t
Sehingga :
b
( x 1) lim t x e t dt
b
0
b
( x 1) lim t x (e t ) (e t )( x)t x1dt
b
0
b
( x 1) lim t x e t xt x1e t dt
b
0
x t b x1 t
( x 1) lim t e xt e dt
b
0
b
( x 1) lim b x e b x lim t x1e t dt
b
b
0
( x 1) 0 x t x1e t dt
0
x1 t
( x 1) x t e dt
0
( x 1) x. x
9
3. (1) 1
Bukti :
b (1) 1 t
(1) lim t e dt
b
0
b
(1) lim (1)e t dt
b
0
b t
(1) lim e dt
b
0
(1) e t dt
0
(1) e t
0
(1) 1
1
4. π
2
Bukti :
Berdasarkan definisi fungsi Gamma, maka :
1
1
1
t 2 e t dt
2 0
1
1
t 2 e t dt
2 0
Misal : t z 2 dt 2 zdz
Batas-batas integral :
x0 z 0
x z
10
Sehingga :
1
z 2
2 0
1
2
2
e z 2 zdz
2
1
2 z 1e z zdz
2
0
2
1
2 e z dz
2
0
2
z 2 v 2
1
2 e dz .2 e dz
2
0
0
2
1
z 2 v 2
dz
2 4 e
0 0
Dengan menggunakan bentuk koordinat polar, kita uraikan sebagai
berikut :
Misal : z r cos θ
v r sin θ
z
cos θ
dr
z
r sin θ
dθ
v
sin θ
dr
v
r cos θ
dθ
Sehingga memenuhi :
u
2
2
1
(( r cos θ ) r sin θ ) ) dr
2 4 e
u
0 0
dr
2
π
2
u
dr drdθ
u
dr
π
2
cos θ
2
2
2
1
e ( r (cos θ ) (sin θ ) )
4
2
r sin θ
0 0
2
sin θ
r cos θ
drdθ
11
2
π
2
2
π
2
2
π
2
1
2
2
r 2
2 4 e r cos θ r sin θ drdθ
0 0
1
r 2
2
2
2 4 e r cos θ sin θ drdθ
0 0
1
r 2
2 4 e (r )drdθ
0 0
Misal : t r 2
dr
dt 2rdr
Sehingga memenuhi :
2
π
2
2
π
2
2
π
2
2
π
2
1
1
r 2
4
(r ) dtdθ
e
2
2r
0 0
1
t
2 2 e dtdθ
0 0
1
2 2 (1)dθ
0
1
2 2 1dθ
0
2
1
2 2θ
2
π
2
0
1
π
2 2 2
1
dt
2r
12
2
1
2 π
1
π
2
2.3 Hubungan Distribusi Beta dengan Distribusi Gamma
Pada penelitian ini, hubungan distribusi Beta menjadi distribusi Gamma
digunakan untuk menyederhanakan fungsi karakteristik distribusi distribusi
three-parameter generalized Rayleigh menjadi bentuk yang lebih sederhana.
Mc Donald et al (1995) mengungkapkan bahwa untuk menghitung nilai
fungsi Beta, digunakan hasil dari fungsi Gamma.
Diketahui bahwa definisi fungsi Gamma sebagai berikut :
1
B (α , β )
x
α 1
(1 x) β 1 dx
0
Dengan menggunakan koordinat polar, dilakukan perhitungan berikut :
Misal : x sin 2 θ
dx 2 sin θ cos θ .dθ
Batas-batas integral :
x 0 θ 0
π
x 1 y
2
1
B (α , β )
x
α 1
(1 x) β 1 dx
0
π
2
B (α , β ) (sin θ )
0
2
α 1
(1 sin 2 θ ) β 1.2 sin θ cos θ .dθ
13
π
2
B (α , β ) (sin θ )
2 (α 1)
(cos 2 θ ) β 1.2 sin θ cos θ .dθ
0
π
2
2 (α 1)
B (α , β ) 2 (sin θ )
sin θ (cos 2 θ ) β 1 cos θ .dθ
0
π
2
B (α , β ) 2
(sin θ )
2 (α 1) 1
(cos θ ) 2 ( β 1)1 dθ
0
π
2
B (α , β ) 2 (sin θ )
2α 1
(cos θ ) 2 β 1 dθ
0
π
2
2 α 1
B (α , β ) 2 (sin
θ)(cos
2 β 1
θ) dθ
0
Setelah perhitungan fungsi Beta di atas, kemudian dilakukan perhitungan
dengan menggunakan fungsi Gamma, yaitu sebagai berikut :
(α )
x
α 1 x
e dx
0
Misal : x u 2 dx 2u.du , maka memenuhi :
(α ) =
x
α 1 x
e dx
0
(α ) =
(u
2 α 1 u 2
)
e
2u.du
0
(α ) =
2 u ( 2α 2 ) 1e u du
2
0
(α ) = 2 u 2α 1e u du
0
2
14
Dengan cara yang sama, diketahui bahwa :
( β )
x
β 1 x
e dx
0
Misal x v 2 dx 2v.dv , maka memenuhi :
( β )
x
β 1 x
e dx
0
( β )
2 β 1 v 2
(v )
e
2v.du
0
( β ) 2 v
( 2 β 2 ) 1 v 2
e
dv
0
( β ) 2
v
2 β 1 v 2
e
dv
0
Selanjutnya diperoleh bahwa :
(α ).( β ) 2
2 β 1 v 2
2α 1 u 2
2 v e dv
u
e
du
0
0
(α ). ( β ) 4
u
2α 1 2 β 1 ( u 2 v 2 )
v
e
dudv
0 0
Dengan menggunakan bentuk koordinat polar, kita uraikan sebagai berikut :
Misal : u r cos θ
v r sin θ
u
cos θ
dr
v
sin θ
dr
u
r sin θ
dθ
v
r cos θ
dθ
15
Maka dengan menggunakan transformasi parameter diperoleh persamaan
berikut :
u
π
2
(α ). ( β ) 4
(r cosθ )
2α 1
(r sin θ )
e
2 β 1 ( r cosθ ) 2 ( r sin θ ) 2
0 0
π
2
(r cosθ )
(α ). ( β ) 4
2α 1
0 0
π
2
(α ). ( β ) 4
(r cosθ )
2α 1
dr
u
dr
u
dr dθdr
u
dr
cosθ
2
2
2
(r sin θ ) 2 β 1 e r (cos θ ) (sin θ )
r sin θ
sin θ
dθdr
r cosθ
(r sin θ ) 2 β 1 e r r cos 2 θ r sin 2 θ dθdr
2
0 0
π
2
(α ). ( β ) 4
2α 1
2 β 1 r
2
2
(r cos θ ) (r sin θ ) e r cos θ sin θ dθdr
2
0 0
π
2
(α ). ( β ) 4
(r cos θ )
2α 1
(r sin θ ) 2 β 1 e r (r )dθdr
2
0 0
π
2
(α ). ( β ) 4
r
2α 1
(cosθ ) 2α 1 r 2 β 1 ( sin θ ) 2 β 1 e r (r )dθdr
2
0 0
π
2
(α ). ( β ) 4
r
2α 1 2 β 1
r
r (cos θ ) 2α 1 ( sin θ ) 2 β 1 e r dθdr
2
0 0
π
2
(α ). ( β ) 4
r
2 (α β ) 1 r 2
e
(cos θ ) 2α 1 ( sin θ ) 2 β 1 dθdr
0 0
π
2
(α ). ( β ) 4
2 (α β ) 1 r
e (cos θ ) 2α 1 ( sin θ ) 2 β 1 dθdr
r
2
0 0
π2
2
2 (α β ) 1 r
2 (cos θ ) 2α 1 ( sin θ ) 2 β 1 dθ
e
dr
(α ). ( β ) 2 r
0
0
16
2(α β ) 1 r 2
(α ). ( β ) 2 r
e dr B (α , β )
0
2 (α β ) 1 r 2
re dr B (α , β )
(α ). ( β ) 2 r
0
Misal : t r 2
dt 2rdr
dr
1
dt
2r
Sehingga :
2 (α β ) 1 r 2
re dr B (α , β )
(α ). ( β ) 2 r
0
(α ). ( β ) 2 t
0
(α β ) 1
re t .
1
dt B (α , β )
2r
(α β ) 1 t
e dt B(α , β )
(α ). ( β ) t
0
(α ). ( β ) (α β )B (α , β )
Jadi, diperoleh rumus umum untuk menghitung nilai fungsi
Beta
menggunakan fungsi Gamma, yaitu :
B (α , β )
(α ). ( β )
(α β )
2.4 Rumus Euler
Rumus Euler adalah rumus matematika dalam analisis kompleks yang
menunjukkan hubungan mendalam antara fungsi trigonometri dan fungsi
eksponensial.
17
Kreyszig (1993) menuliskan bahwa rumus Euler untuk setiap bilangan riil x
sebagai berikut :
eit cos(t ) i sin(t )
Dan fungsi sekawannya yaitu :
e it cos(t ) i sin(t )
dengan :
adalah basis logaritma natural
adalah unit imajiner
yang diperoleh dari : cos(− ) = cos(t ) ; sin(− ) = − sin( ).
Diketahui bahwa :
eit cos(t ) i sin(t )
..(1)
e it cos(t ) i sin(t )
...(2)
Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh rumus untuk menghitung nilai cos (tx)
dan sin (tx) sebagai berikut :
cos(t )
eit e it
2
sin(t )
eit e it
2i
dan,
III. DISTRIBUSI RAYLEIGH, DISTRIBUSI GENERALIZED RAYLEIGH
DAN DISTRIBUSI THREE-PARAMETER GENERALIZED RAYLEIGH
3.1 Distribusi Rayleigh
Distribusi Rayleigh merupakan salahsatu keluarga distribusi peluang kontinu
yang biasa digunakan dalam pemodelan data kelangsungan hidup.
Distribusi Rayleigh diperkenalkan oleh Lord Rayleigh pada tahun 1880.
Distribusi Rayleigh dikenal secara luas di bidang oseanografi dan dalam teori
komunikasi untuk menggambarkan puncak sesaat kekuatan sinyal radio yang
diterima.
Spiegel dan Stephens (2004) menjelaskan bahwa sebuah distribusi Rayleigh
memiliki fungsi kepekatan peluang (fkp) sebagai berikut :
✝x
2
x
2
f ( x, α ) ✆ 2 e 2α ; α ð 0
α
Dan memiliki fungsi distribusi kumulatif yaitu :
( ; )=
Fungsi distribusi komulatif
digambarkan sebagai berikut :
/
;
>0;
>0
dari distribusi Rayleigh dengan niai
= 1.5
19
Gambar 1
3.2 Distribusi Generalized Rayleigh
Surles dan Padget (2001) menjelaskan bahwa distribusi generalized Rayleigh
merupakan salahsatu distribusi peluang kontinu yang memiliki dua parameter
yaitu
sebagai parameter bentuk dan
Surles dan Padget memisalkan X
sebagai parameter skala.
adalah peubah acak dari distribusi
generalized Rayleigh sehingga fungsi distribusi kumulatifnya adalah :
;
dan mempunyai fungsi kepekatan peluang (fkp) yaitu :
;
Fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi generalized Rayleigh dengan
nilai
digambarkan sebagai berikut :
20
Gambar 2
Xiao Ling dan David E. Giles (2011) telah memperoleh fkp dari distribusi
generalized Rayleigh dengan melakukan perhitungan dari fungsi kepekatan
peluang (fkp) distribusi Rayleigh, distribusi Half-Normal, distribusi Maxwell,
dan distribusi Chi-Square. Dari penjelasan tersebut, maka diketahui bahwa
distribusi generalized Rayleigh diperoleh dari penggabungan distribusi
Rayleigh dengan beberapa distribusi lain.
3.3 Distribusi Three-Parameter Generalized Rayleigh
Kundu dan Raqab (2005) memperkenalkan distribusi three-parameter
generalized
Rayleigh
yang
diperoleh
dari
pengembangan
distribusi
generalized Rayleigh dengan memperkenalkan penambahan
sebagai
parameter lokasi.
Misalkan X adalah peubah acak dari distribusi
Rayleigh dengan
,
distribusi komulatif adalah :
,
three-parameter generalized
dan
Sehingga fungsi
21
dan fungsi kepekatan peluang (fkp) adalah :
Fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi generalized Rayleigh dengan
nilai
digambarkan sebagai berikut :
Gambar 3
IV. FUNGSI KARAKTERISTIK
4.1 Fungsi Karakteristik
Fungsi karakteristik ini menunjukkan sebuah anggota terdapat dalam sebuah
himpunan atau tidak. Kendall dan Stuart (1958) menjelaskan tentang fungsi
karakteristik dari peubah acak
dari
X
didefinisikan sebagai nilai harapan
berikut :
( )=
=
∞
∞
( )=
∞
∞
( )
dengan :
=
( 1)
= cos( ) + sin( )
( )=
= [cos( ) + sin( )]
Dengan nilai ekspetasi fungsi kompleks
fungsi karakteristik
( ) dapat diberikan dalam bentuk integral berikut:
ϕ X (it ) e itx f ( x)dx
ϕ X (it ) (cos tx i sin tx) f ( x)dx
ϕ X (it ) cos(tx) f ( x)dx i sin(tx) f ( x)dx
= cos( ) + sin( ) , maka
23
4.2 Sifat-sifat Dasar dari Fungsi Karakteristik
Suatu fungsi karakteristik harus memenuhi sifat-sifat dasar dari fungsi
karakteristik. Berikut ini akan dibahas tentang sifat-sifat dasar yag harus
dipenuhi oleh fungsi karateristik dari suatu distribusi.
Sifat 1. (Lukacs,1970)
Misalkan ϕX t adalah fungsi karakteristik dari peubah acak X.
Maka ϕX 0 1.
Bukti:
Misalkan ϕ X t E eitx untuk t = 0, maka berlaku :
0 Ee
ϕ X t E eitx
ϕX
( 0)
ϕ X 0 E1
ϕ X 0 1
Sifat 2. (Lukacs,1970)
Fungsi karakteristik ada untuk sebarang sebaran.
ϕ X t 1
Bukti:
Misalkan X adalah sebarang peubah acak dengan fungsi peluang f(x).
Berdasarkan definisi
e itx
2
= cos( ) + sin( ) , diketahui bahwa :
cos 2 tx sin 2 tx 1
e itx
e itX 1
cos 2 tx sin 2 tx
24
Sehingga :
ϕ X t
e
itx
dF
itx
dF
ϕ X t
e
ϕ X t 1 dF
ϕ X t
f ( x)dx
ϕ X t 1
Sifat 3. (Lukacs,1970)
Misalkan X suatu peubah acak. Maka fungsi karakteristik dari X adalah
ϕ X t .
Bukti:
Misalkan ϕ X t adalah sekawan dari fungsi karakteristik ϕX t .
Perhatikan bahwa :
ϕ X t E e itx
ϕ X t Ecostx i sintx
ϕ X t Ecostx Ei sin tx
ϕ X t Ecostx i Esin tx
...(1)
Akan ditunjukkan bahwa fungsi karakteristik dari –X adalah ϕx t.
Ee
Ee
Ee
Ecos tx i sin tx
Ecostx i sintx
Ecostx i Esintx
E e it x E e itx
it x
it x
it x
E e it x ϕ X it
..(2)
25
Berdasarkan (1) dan (2) diperoleh bahwa fungsi karakteristik dari –X adalah
ϕx t, sekawan dari ϕX t
.
V.
METODE PENELITIAN
Penelitian ini dilakukan pada semester IV tahun akademik 2014/2015, bertempat
di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah
studi pustaka yang menggunakan buku-buku penunjang dan jurnal yang
berhubungan dengan penelitian ini.
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:
1. Membuat grafik gambar fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter
generalized
parameter. Parameter
parameter skala, dan
Rayleigh
dengan
mengubah-ubah
sebagai parameter bentuk, parameter
nilai
sebagai
sebagai parameter lokasi.
2. Menentukan fungsi karakteristik dari distribusi three-parameter generalized
Rayleigh. Untuk menentukan fungsi karakteristik dapat dilakukan dengan
menggunakan definisi fungsi karakteristik dan ekspansi trigonometri. Disini
akan digunakan kedua cara tersebut untuk menentukan fungsi karakteristik
dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh.
a. Langkah-langkah menentukan fungsi karakteristik dengan definisi fungsi
karakteristik sebagai berikut :
1.) Menentukan
fungsi
karakteristik
distribusi
three-parameter
generalized Rayleigh dan mensubtitusi batas x pada fungsi kepekatan
27
peluang (fkp) distribusi three-parameter generalized Rayleigh
menggunakan definisi fungsi karakteristik berikut :
✠
✠
✠
✠
ϕ x (it ) E e itx ✟ e itx dF x ✟ e itx f x dx
2.) Menghubungkan ke bentuk fungsi Beta :
1
B (α , β ) ✞ x α 1 (1 x ) β 1 dx
0
3.) Menghubungkan bentuk fungsi beta ke bentuk fungsi Gamma :
B (α , β )
b. Akan
✡(α ).✡( β )
✡ (α
ditunjukkan
β)
bahwa
fungsi
karakteristik
yang
diperoleh
menggunakan definisi sama dengan fungsi karakteristik melalui ekspansi
trigonometri.
Adapun langkah-langkahnya sebagai berikut :
1.) Menentukan
fungsi
karakteristik
distribusi
three-parameter
generalized Rayleigh dan mensubtitusi batas x pada fungsi kepekatan
peluang (fkp) distribusi three-parameter generalized Rayleigh
menggunakan ekspansi trigonometri berikut :
✠
✠
✠
✠
ϕ x (it ) E e itx ✟ e itx dF x ✟ e itx f x dx
2.) Menguraikan bentuk e itx ke dalam bentuk trigonometri yaitu :
= [cos( ) + sin( )]
3.) Menghubungkan ke bentuk fungsi Beta yaitu :
1
B (α , β ) ✞ x α 1 (1 x ) β 1 dx
0
28
4.) Menghubungkan bentuk fungsi Beta ke bentuk fungsi Gamma :
B (α , β )
☛(α ).☛( β )
☛(α β )
3. Pembuktian sifat-sifat dasar fungsi karateristik distribusi three-parameter
generalized Rayleigh
Akan ditunjukkan bahwa fungsi karakteristik distribusi three-parameter
generalized Rayleigh memenuhi sifat-sifat dasar fungsi karakteristik berikut:
a. Sifat 1. ϕx (0) 1
b. Sifat 2. ϕx (t) 1
c. Sifat 3. ϕ x (t ) ϕ x (t ); dengan ϕx (t) adalah konjugat kompleks ϕx (t)
VII.
KESIMPULAN
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan dapat disimpulkan sebagai berikut :
1. Perubahan nilai parameter ( ,
,
) pada grafik fungsi kepekatan peluang
(fkp) mempengaruhi bentuk yang meliputi perubahan kelandaian ataupun
keruncingan grafik, kerenggangan serta perubahan titik ekstrim (titik puncak)
grafik.
2. Fungsi karakteristik dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh yang
diperoleh dengan menggunakan definisi dan ekspansi trigonometri diperoleh
hasil yang sama, yaitu:
( + 1)
1
( )=
.
1
3. Fungsi
karakteristik
distribusi
+
three-parameter
memenuhi sifat-sifat dasar fungsi karakteristik.
generalized
Rayleigh
DAFTAR PUSTAKA
Ahmad, K.E., Fakhry, M.E. and Jaheen, Z.F. (1997). Empirical Bayes estimation
of P(Y < X) and characterization of Burr-type X model, Journal of
Statistical Planning and inference, 64, 297-308.
Blumenson, L. E. and K. S. Miller (2007). Properties of Generalized Rayleigh
Distributions The Annals of Mathematical Statistics Vol. 34, No. 3, pp.
903-910
Kendall, M. G. and Stuart, A. 1958. The Advanced Theory of Statistics :
Distribution Theory, Volume 1. London:C. Griffin-Company.
Kundu, Debasis and Raqab, Muhammad Z., “Generalized Rayleigh Distribution :
Different Methods Estimations”. Publishing Computational Statistics and
Data Analysis on Applied Mathematics. 15 April 2005, Vol. 49(1): 187200
Kundu, D. and Raqab, M.Z. (2005). “Estimation of R = P[Y < X] For Theree
Parameter Generalized Rayleigh Distribution” Postal Address2 :
Departement of Mathematics, University of Jordon Amman 11942,
JORDON.
Kreyszig, Erwin. 1993. Advanced Engineering Mathematics. Singapore: John Wiley
and Sons.
Ling Xiao, and David E. Giles.2011. Bias Reduction for the Maximum Likelihood
Estimator of the Parameters of the Generalized Rayleigh Family of
Distributions. Economic Working Paper.
Lukacs, Eugene:1970. Characteristic Function (second ed.). New York: Hafner
Pub.Co.
Mc. Donald, James B., Yexiao J. Xu.1995. A Generalized of the Beta Distribution
with Application. Journal of Econometrics 66.
Nakhi, Y. Ben and S.L. Kalla. 2001. A Generalized Beta Function And Associated
Probability Density. Kuwait : Department of Mathematics Kuwait
University.
Spiegel, Murray dan Larry J. Stephens. 2004. “Schaum’s Outlines of Theory and
Problems of Statistics Third Edition”. PT. Gelora Aksara
Surles, J.G. and Padgett, W.J. (2001), “Inference For Reliability And StressStrength For A Scaled Burr Type X distribution” , Lifetime Data
Analysis, vol. 7, 187-200.
Vladimirescu, Ion and Tunaru, Radu. “Tests for Discrimination between Two
Generalized Rayleigh Distribution”. Publishing House of the Romanian
Academy Journal on Applied Mathematics.Volume 4, pp, 2/2003.
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 1998. Probability
and Statistics for Engineers and Scientists, Sixth Edition. New Jersey:
Prentice Hall.
CHARACTERISTICS FUNCTION OF THREE-PARAMETER
GENERALIZED RAYLEIGH DISTRIBUTION
By :
Nurman Fauzi
The main purpose of this research is to derive the characteristic function of the
three-parameter generalized Rayleigh distribution. The three-parameter
generalized Rayleigh distribution has three parameter which are : the shape
parameter ( ), the scale parameter ( ) and the location parameter (μ ).
The characteristic function can be used to determine the distribution function
from a random variable that is known as inversion theorem of characteristic
function. The characteristic function can be determined by using the definition
and trigonometry expansion. Both methods show similiar form of the
characteristic function of the three-parameter generalized Rayleigh distribution.
This research also discusses the fundamental properties of the characteristic
function of the three-parameter generalized Rayleigh distribution
Keywords : Rayleigh distribution, generalized Rayleigh distribution,
three-parameter generalized Rayleigh distribution, characteristics
function, the properties of characteristic function.
ABSTRAK
FUNGSI KARAKTERISTIK DISTRIBUSI THREE-PARAMETER
GENERALIZED RAYLEIGH
Oleh :
Nurman Fauzi
Tujuan utama penelitian ini adalah menentukan fungsi karakteristik dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh. Distribusi three-parameter generalized
Rayleigh memiliki tiga parameter yaitu parameter bentuk ( ), parameter
skala ( ) dan parameter lokasi ( ). Fungsi karakteristik dapat digunakan untuk
menentukan fungsi distribusi dari suatu peubah acak yang dikenal sebagai
teorema inversi fungsi karakteristik. Fungsi karakteristik dapat ditentukan dengan
menggunakan definisi dan ekspansi trigonometri. Kedua cara tersebut bertujuan
untuk menunjukkan kesamaan bentuk fungsi karakteristik dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh yang diperoleh, kemudian dilanjutkan
pembuktian sifat-sifat dasar fungsi karakteristik.
Kata kunci : distribusi Rayleigh, distribusi generalized Rayleigh,
distribusi three-parameter generalized Rayleigh, fungsi karakteristik,
sifat-sifat dasar fungsi karakteristik.
FUNGSI KARAKTERISTIK DISTRIBUSI
THREE-PARAMETER GENERALIZED RAYLEIGH
Oleh
Nurman Fauzi
Tesis
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar
Magister Sains
Pada
Jurusan Matematika Program Studi Magister Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
MAGISTER MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2015
FUNGSI KARAKTERISTIK DISTRIBUSI
THREE-PARAMETER GENERALIZED RAYLEIGH
(Tesis)
Oleh
Nurman Fauzi
MAGISTER MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2015
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1.
Grafik fungsi distribusi komulatif dari distribusi Rayleigh dengan
nilai = 1.5.....................................................................................................
19
Gambar 2.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
generalized Rayleigh dengan nilai = 1.5, = 0.1.....................................
20
Gambar 3.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh dengan nilai = 2, = 1,
= 2 ............................................................................................................
21
Gambar 4.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter
generalized
Rayleigh
dengan
nilai
= meningkat, = tetap, µ = tetap .........................................................
29
Gambar 5.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh dengan nilai = tetap,
= meningkat, µ = tetap .............................................................................
30
Gambar 6.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh
dengan
= tetap,
= tetap, µ = meningkat .............................................................................
31
Gambar 7.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh dengan = meningkat,
= meningkat, µ = tetap .............................................................................
32
Gambar 8.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter
generalized
Rayleigh
dengan
nilai
= meningkat, = tetap, µ = meningkat ..................................................
33
Gambar 9.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh dengan nilai = tetap ,
= meningkat, µ = meningkat....................................................................
34
Gambar 10.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter
generalized
Rayleigh
dengan
nilai
= meningkat, = tetap, µ = menurun ...................................................
35
Gambar 11.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh dengan nilai = menurun,
= tetap, µ = menurun................................................................................
36
Gambar 12.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter
generalized Rayleigh
dengan
nilai
= tetap, = menurun, µ = menurun.......................................................
37
Gambar 13.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter
generalized
Rayleigh
dengan
nilai
= menurun, = menurun, µ = tetap......................................................
38
Gambar 14.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter
generalized
Rayleigh
dengan
nilai
= tetap, = tetap, µ = menurun............................................................
39
Gambar 15.
Grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter
generalized
Rayleigh
dengan
nilai
= meningkat, = meningkat, µ = menurun..........................................
40
DAFTAR ISI
SANWANCANA
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
I.
PENDAHULUAN
1.1.
Latar Belakang Masalah.......................................................................
1
1.2.
Batasan Masalah...................................................................................
3
1.3.
Tujuan Penelitian..................................................................................
4
1.4.
Manfaat Penelitian................................................................................
4
II.
FUNGSI-FUNGSI KHUSUS
2.1.
Fungsi Gamma .....................................................................................
5
2.2.
Fungsi Beta...........................................................................................
6
2.3.
Hubungan Distribusi Beta dengan Distribusi Gamma .........................
12
2.4.
Rumus Euler.........................................................................................
16
III. DISTRIBUSI RAYLEIGH, DISTRIBUSI GENERALIZED
RAYLEIGH DAN DISTRIBUSI THREE-PARAMETER
GENERALIZED RAYLEIGH
3.1.
Distribusi Rayleigh ...............................................................................
18
3.2.
Distribusi Generalized Rayleigh ..........................................................
19
3.3.
Distribusi Three-Parameter Generalized Rayleigh..............................
20
IV
FUNGSI KARAKTERISTIK
4.1.
Fungsi Karakteristik .............................................................................
22
4.2.
Sifat-sifat Dasar Fungsi Karakteristik ..................................................
23
V.
METODE PENELITIAN
VI.
PEMBAHASAN
6.1
Simulasi Grafik Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi
Three-Parameter Generalized Rayleigh..............................................
6.2.
Fungsi Karakteristik Distribusi Three-Parameter Generalized
Rayleigh dengan Menggunakan Definisi .............................................
6.3.
44
Pembuktian Sifat-Sifat Dasar Fungsi Karakteristik dari Fungsi
Karakteristik Distribusi Three-Parameter Generalized Rayleigh ......
VII.
41
Fungsi Karakteristik Distribusi Three-Parameter Generalized
Rayleigh dengan Menggunakan Ekspansi Trigonometri .....................
6.4.
29
KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
53
DAFTAR LAMPIRAN
Coding Program untuk grafik fungsi distribusi komulatif dari distribusi Rayleigh
dengan nilai ✄ 1.✁
Coding Program untuk grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
generalized Rayleigh dengan nilai ✄ 1.✁, ✂ 0.1
Coding Program untuk grafik fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh dengan nilai , , dan ☎ yang berubah-ubah
MOTO
“Ilmu itu lebih baik daripada harta. Ilmu menjaga engkau dan engkau menjaga
harta. Ilmu itu penghukum (hakim) dan harta terhukum. Harta itu kurang apabila
dibelanjakan tapi ilmu bertambah bila dibelanjakan”
(Sayyidina Ali bin Abi Thalib)
PERSEMBAHAN
Dengan mengucap puji syukur kehadirat Allah SWT, atas izin dan ridha-Nya
karyaku ini dapat terselesaikan dan ku persembahkan kepada
orang - orang tercinta :
Orangtuaku tercinta,
Bapak Untung, Ibu Siti Khotijah, Bapak Hi. Sumaryo, Ibu Hj. Asmiati, terimakasih
atas doa dan kasih sayang yang diberikan yang selalu menjadi kekuatan dalam
setiap langkahku dalam mencapai impian dalam hidupku.
Adik-adikku tercinta,
Iman Suryaman dan Muhammad Fajar Sidiq, terimakasih atas dukungan moril
yang selalu diberikan dalam proses langkah perjuangan.
Kekasihku tercinta,
Retno Pangastuti, terimakasih atas segala bentuk cinta dan dukungan yang selalu
kau berikan.
Teman-teman seperjuangan yang selama ini selalu menemani.
Almamater Universitas Lampung.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Tugumulyo pada tanggal 18 Mei 1989.
Penulis adalah anak pertama dari tiga bersaudara dari pasangan
Bapak Untung dan Ibu Siti Khotijah. Pendidikan formal yang
pernah ditempuh :
1. Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri 2 Sriagung pada tahun 1996-2002.
2. Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Negeri 1 Padangratu pada
tahun 2002-2005.
3. Sekolah Menengah Atas (SMA) di Madrasah Aliyah (MA) Miftahul Ulum
Kotabaru pada tahun 2005 – 2008.
4. S1 Pendidikan Matematika di Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan
(STKIP) Muhammadiyah Pringsewu Lampung pada tahun 2008 - 2012.
5. Terdaftar sebagai mahasiswa S2 Progam Studi Magister Matematika Jurusan
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lampung pada tahun 2013.
Dari Juli 2011 sampai dengan Juli 2014 penulis bekerja sebagai guru honorer di
Madrasah Tsanawiyah (MTs) Miftahul Ulum Kotabaru dan Madrasah Ibtidaiyah
(MI) Miftahul Ulum Kotabaru Lampung Tengah, di SMK Islam Albarokah
Poncowarno dari Januari 2013 sampai dengan Juni tahun 2013. Kemudian dari
Juli 2014 sampai sekarang penulis bekerja sebagai guru honorer di SMA Negeri 1
Kalirejo dan MA Miftahul Ulum Kotabaru Lampung Tengah.
SANWACANA
Puji syukur kehadirat Allah SWT Yang Maha Pengasih dan Maha Penyayang
yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat
menyelesaikan tesis ini.
Penulis menyadari dapat diselesaikannya tesis ini tidak terlepas dari bantuan
berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Ir. Warsono, M.S., Ph.D., selaku pembimbing I yang telah memberikan
sumbangan pemikiran dalam penyusunan tesis ini.
2. Drs. Mustofa Usman, M.A., Ph.D., selaku ketua program studi magister
matematika Universitas Lampung sekaligus pembimbing II yang telah
memberikan bimbingan serta arahan kepada penulis.
3. Dra. Wamiliana,M.A., Ph.D., selaku pembahas yang telah memberikan
bimbingan serta arahan kepada penulis.
4. Dr. Asmiati, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing akademik yang telah
mendidik dan memberikan arahan kepada penulis.
5. Dian Kurniasari, S.Si., M.Sc., yang telah banyak membantu dan memberikan
pengarahan dalam poses penyusunan tesis ini.
6. Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku ketua jurusan matematika FMIPA
Universitas Lampung.
7. Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.
8. Seluruh dosen, staff dan karyawan jurusan matematika FMIPA Universitas
Lampung yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada
penulis.
9. Ayahanda Untung dan Ibunda Siti Khotijah yang selalu memberikan doa
yang terbaik bagi penulis.
10. Bapak Hi. Sumaryo dan Ibu Hj. Asmiati yang selalu memberikan motivasi dan
doa bagi penulis.
11. Kekasihku tercinta Retno Pangastuti dan Adikku tercinta Iman Suryaman serta
Muhammad Fajar Sidiq yang selalu membantu dan memberikan semangat
serta doa yang terbaik kepada penulis.
12. Sahabat dan teman-teman seperjuangan Nova Kristianto, Waryoto, Oktarini,
Ibnu Malik, Antonius Widi Asmoro, Dwi Mardiani, Herlyanti, Ayu Siska
Maryoni, Elisabeth Viviana, Rahman Cahyadi, Ade Septinasari, Fauzan,
Cut Nurliana Setia Putri, Ana Istiani, C. Ike Tri Widyastuti, Agus Irawan,
Paustinus Edi Kristanto, Permata, Suli Rakasiwi, Guiyana Ayu Chandra
Kumala, Fita fatmawati, Ibnu Wahid yang telah memberikan dukungan dan
semangat kepada penulis.
13. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan tesis ini yang tidak
dapat disebutkan satu persatu
Bandar Lampung, 07 Desember 2015
Penulis,
Nurman Fauzi
I.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Distribusi peluang kontinu merupakan distribusi yang biasa digunakan dalam
pemodelan data kelangsungan hidup. Distribusi Burr type X merupakan
distribusi yang cukup populer dalam pemodelan data kelangsungan hidup.
Dalam penerapannya biasa digunakan dalam bidang kesehatan, pertanian,
biologi dan ilmu pengetahuan lainnya. Distribusi burr type X telah dibahas
oleh beberapa peneliti salahsatunya adalah Fakhry dan Jaheen pada
tahun 1997, dalam jurnalnya mereka mengestimasi parameter dari distribusi
Burr type X dengan metode Empirical Bayes.
Pada tahun 2001, Surles and Padgett memperkenalkan distribusi Burr type X
dengan dua parameter yang dinamakan dengan distribusi generalized
Rayleigh. Distribusi generalized Rayleigh memiliki dua parameter, yaitu
parameter bentuk (α) dan parameter skala (λ).
Peneliti yang pernah membahas tentang distribusi generalized Rayleigh ini
diantaranya adalah Vladimirescu dan Tunaru pada tahun 2003, dengan
jurnalnya yang berjudul “Tests for Discrimination Between Two Generalized
Rayleigh Distributions”. Dalam jurnalnya mereka membahas bahwa
distribusi generalized Rayleigh adalah kumpulan dari distribusi dua
parameter yang dimiliki Rayleigh, Maxwell dan Chi-square pada kasus
2
tertentu dan melakukan tes seragam serta takbias untuk membedakan antara
parameter dari dua distribusi generalized Rayleigh yang tergantung pada nilai
dari parameter k.
Selain itu Kundu dan Raqab pada tahun 2005, dengan jurnalnya yang berjudul
“Generalized Rayleigh Distribution : Different Methods of Estimations”.
Di dalam jurnalnya tersebut, Kundu dan Raqab menggunakan metode yang
berbeda untuk mengestimasi parameter-parameter dari distribusi generalized
Rayleigh pada data yang sederhana.
Kemudian peneliti lain yang juga membahas tentang distribusi generalized
Rayleigh yaitu Blumenson dan Miller (2007), dalam jurnalnya mereka
membahas tentang metode yang digunakan dalam vektor ruang linier yang
terdiri dari dua jenis, rumus eksplisit dan representasi simbolik.
Kundu dan Raqab pada tahun 2005
generalized Rayleigh
distribusi
memperkenalkan pengembangan
menjadi
generalized Rayleigh, dengan penambahan parameter
lokasi.
> 0,
Untuk
> 0,
three-parameter
distribusi
<
<
sebagai parameter
,
> µ,
distribusi
three-parameter generalized Rayleigh memiliki fungsi distribusi kumulatif
sebagai berikut :
(
( ; , , µ) = 1
)
>µ
;
Dan mempunyai fungsi kepekatan peluang (fkp) :
( ; , , µ) = 2
dengan
,
dan
(
)
(
)
(1
(
)
)
;
>µ
adalah parameter bentuk, skala dan lokasi berturut-turut.
3
Dalam jurnalnya tersebut, Kundu dan Raqab juga membahas tentang penduga
parameter-parameter menggunakan metode maximum likelihood estimation
(MLE) dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh.
Salahsatu sifat penting dalam suatu distribusi adalah fungsi karakteristik.
Menurut Lukacs (1970), fungsi karakteristik dapat digunakan untuk
menentukan fungsi distribusi dari suatu peubah acak yang dikenal sebagai
teorema inversi fungsi karakteristik. Fungsi karakteristik suatu distribusi
harus memenuhi sifat-sifat dasar. Sejauh penelusuran yang telah penulis
lakukan, bahwa belum ditemukan penjelasan tentang fungsi karakteristik
distribusi three-parameter generalized Rayleigh.
Pada penelitian ini, penulis akan membahas mengenai fungsi karakteristik,
dan pembuktian sifat-sifat dasar fungsi karakteristik dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh. Fungsi karakteristik dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh dapat diperoleh dengan menggunakan
definisi fungsi karakteristik dan ekspansi trigonometri. Selanjutnya akan
dibuktikan sifat-sifat dasar fungsi karakteristik dari distribusi three-parameter
generalized Rayleigh. Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, maka
dalam penelitian ini akan dibahas kajian tentang “Fungsi Karakteristik
Distribusi Three-Parameter Generalized Rayleigh”.
1.2 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini yang menjadi batasan masalah adalah menentukan fungsi
karakteristik distribusi three-parameter generalized Rayleigh dengan dua cara
yaitu menggunakan definisi fungsi karakteristik dan menggunakan ekspansi
4
trigonometri serta pembuktian sifat-sifat dasar fungsi karakteristik dari fungsi
karakteristik distribusi three-parameter generalized Rayleigh.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan Penelitian ini adalah :
1. Membuat grafik gambar fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh.
2. Menentukan
fungsi
karakteristik
dari
distribusi
three-parameter
generalized Rayleigh menggunakan definisi dan membuktikan kembali
fungsi karakteristik yang diperoleh dengan ekspansi trigonometri.
3. Membuktikan sifat-sifat dasar fungsi karakteristik dari fungsi karakteristik
distribusi three-parameter generalized Rayleigh.
1.4 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah untuk memberikan sumbangan
pemikiran bagi peneliti lain mengenai cara membuat grafik fungsi
kepekatan peluang, menentukan fungsi karakteristik, dan membuktikan
sifat-sifat dasar fungsi karakteristik dari fungsi karakteristik distribusi
three-parameter generalized Rayleigh.
II.
FUNGSI – FUNGSI KHUSUS
Dalam penelitian ini, untuk menentukan fungsi karakteristik dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh, penulis menggunakan beberapa fungsi
khusus yang berkaitan dengan hasil yang ingin diperoleh penelitian ini, yakni
sebagai berikut :
2.1 Fungsi Beta
Menurut Nakhi dan Kalla (2001), fungsi beta untuk batas nol sampai satu
didefinisikan sebagai berikut :
1
B (α , β ) x α 1 (1 x ) β 1 dx
0
dengan
B (α , β )
konvergen untuk α , β 0
Selain itu, Nakhi dan Kalla (2001) juga mengungkapkan bahwa sifat yang
dimiliki fungsi Beta adalah simetris, yaitu :
B (α , β ) B ( β , α )
Bukti :
1
B (α , β ) x α 1 (1 x ) β 1 dx
0
Misal : x 1 y
dx (1)dy
6
Batas-batas integral :
x 0 y 1
x 1 y 0
0
B (α , β ) (1 y ) α 1 ( y ) β 1 (1)dy
1
0
B (α , β ) ( y ) β 1 (1 y ) α 1 dy
1
1
B (α , β ) ( y ) β 1 (1 y ) α 1 dy
0
B (α , β ) B ( β , α )
2.2 Fungsi Gamma
Fungsi Gamma, menurut Walpole et al. (1998), adalah fungsi yang
didefinisikan sebagai integral dengan bentuk umum sebagai berikut :
( x ) t x 1e t dt
0
b
( x ) lim t x 1e t dt
b
0
Walpole et al. (1998) juga mengemukakan beberapa sifat yang dimiliki oleh
fungsi Gamma, yaitu sebagai berikut :
1. ( x) ( x 1).( x 1)
Bukti :
Berdasarkan definisi fungsi Gamma, diketahui bahwa :
( x) t x 1e t dt
0
7
b
( x ) lim t x 1e t dt
b
0
Dengan menggunakan integral parsial, dilakukan perhitungan berikut :
Misal : u t x 1 du ( x 1)t x 2 dt
dv e t dt v e t
Sehingga :
b
( x ) lim t x 1e t dt
b
0
b
( x) lim t x1 ( e t ) ( e t )( x 1)t x2 dt
b
0
b
( x) lim t x1e t ( x 1)t x2 e t dt
b
0
b
( x) lim t x1e t ( x 1) t x2 e t dt
b
0
b
( x ) lim b x 1e b x 1 lim t x 2 e t dt
b
b
0
x 2 t
( x) 0 x 1 t e dt
0
( x) x 1 t ( x1)1e t dt
0
( x) ( x 1)( x 1)
2. ( x 1) x.( x)
Sifat ini dapat dibuktikan dengan cara yang sama pada sifat pertama,
yaitu :
8
( x 1) t ( x 1) 1e t dt
0
( x 1) t x e t dt
0
b
( x 1) lim t x e t dt
b
0
Misal : u t x du xt x 1 dt
dv e t dt v e t
Sehingga :
b
( x 1) lim t x e t dt
b
0
b
( x 1) lim t x (e t ) (e t )( x)t x1dt
b
0
b
( x 1) lim t x e t xt x1e t dt
b
0
x t b x1 t
( x 1) lim t e xt e dt
b
0
b
( x 1) lim b x e b x lim t x1e t dt
b
b
0
( x 1) 0 x t x1e t dt
0
x1 t
( x 1) x t e dt
0
( x 1) x. x
9
3. (1) 1
Bukti :
b (1) 1 t
(1) lim t e dt
b
0
b
(1) lim (1)e t dt
b
0
b t
(1) lim e dt
b
0
(1) e t dt
0
(1) e t
0
(1) 1
1
4. π
2
Bukti :
Berdasarkan definisi fungsi Gamma, maka :
1
1
1
t 2 e t dt
2 0
1
1
t 2 e t dt
2 0
Misal : t z 2 dt 2 zdz
Batas-batas integral :
x0 z 0
x z
10
Sehingga :
1
z 2
2 0
1
2
2
e z 2 zdz
2
1
2 z 1e z zdz
2
0
2
1
2 e z dz
2
0
2
z 2 v 2
1
2 e dz .2 e dz
2
0
0
2
1
z 2 v 2
dz
2 4 e
0 0
Dengan menggunakan bentuk koordinat polar, kita uraikan sebagai
berikut :
Misal : z r cos θ
v r sin θ
z
cos θ
dr
z
r sin θ
dθ
v
sin θ
dr
v
r cos θ
dθ
Sehingga memenuhi :
u
2
2
1
(( r cos θ ) r sin θ ) ) dr
2 4 e
u
0 0
dr
2
π
2
u
dr drdθ
u
dr
π
2
cos θ
2
2
2
1
e ( r (cos θ ) (sin θ ) )
4
2
r sin θ
0 0
2
sin θ
r cos θ
drdθ
11
2
π
2
2
π
2
2
π
2
1
2
2
r 2
2 4 e r cos θ r sin θ drdθ
0 0
1
r 2
2
2
2 4 e r cos θ sin θ drdθ
0 0
1
r 2
2 4 e (r )drdθ
0 0
Misal : t r 2
dr
dt 2rdr
Sehingga memenuhi :
2
π
2
2
π
2
2
π
2
2
π
2
1
1
r 2
4
(r ) dtdθ
e
2
2r
0 0
1
t
2 2 e dtdθ
0 0
1
2 2 (1)dθ
0
1
2 2 1dθ
0
2
1
2 2θ
2
π
2
0
1
π
2 2 2
1
dt
2r
12
2
1
2 π
1
π
2
2.3 Hubungan Distribusi Beta dengan Distribusi Gamma
Pada penelitian ini, hubungan distribusi Beta menjadi distribusi Gamma
digunakan untuk menyederhanakan fungsi karakteristik distribusi distribusi
three-parameter generalized Rayleigh menjadi bentuk yang lebih sederhana.
Mc Donald et al (1995) mengungkapkan bahwa untuk menghitung nilai
fungsi Beta, digunakan hasil dari fungsi Gamma.
Diketahui bahwa definisi fungsi Gamma sebagai berikut :
1
B (α , β )
x
α 1
(1 x) β 1 dx
0
Dengan menggunakan koordinat polar, dilakukan perhitungan berikut :
Misal : x sin 2 θ
dx 2 sin θ cos θ .dθ
Batas-batas integral :
x 0 θ 0
π
x 1 y
2
1
B (α , β )
x
α 1
(1 x) β 1 dx
0
π
2
B (α , β ) (sin θ )
0
2
α 1
(1 sin 2 θ ) β 1.2 sin θ cos θ .dθ
13
π
2
B (α , β ) (sin θ )
2 (α 1)
(cos 2 θ ) β 1.2 sin θ cos θ .dθ
0
π
2
2 (α 1)
B (α , β ) 2 (sin θ )
sin θ (cos 2 θ ) β 1 cos θ .dθ
0
π
2
B (α , β ) 2
(sin θ )
2 (α 1) 1
(cos θ ) 2 ( β 1)1 dθ
0
π
2
B (α , β ) 2 (sin θ )
2α 1
(cos θ ) 2 β 1 dθ
0
π
2
2 α 1
B (α , β ) 2 (sin
θ)(cos
2 β 1
θ) dθ
0
Setelah perhitungan fungsi Beta di atas, kemudian dilakukan perhitungan
dengan menggunakan fungsi Gamma, yaitu sebagai berikut :
(α )
x
α 1 x
e dx
0
Misal : x u 2 dx 2u.du , maka memenuhi :
(α ) =
x
α 1 x
e dx
0
(α ) =
(u
2 α 1 u 2
)
e
2u.du
0
(α ) =
2 u ( 2α 2 ) 1e u du
2
0
(α ) = 2 u 2α 1e u du
0
2
14
Dengan cara yang sama, diketahui bahwa :
( β )
x
β 1 x
e dx
0
Misal x v 2 dx 2v.dv , maka memenuhi :
( β )
x
β 1 x
e dx
0
( β )
2 β 1 v 2
(v )
e
2v.du
0
( β ) 2 v
( 2 β 2 ) 1 v 2
e
dv
0
( β ) 2
v
2 β 1 v 2
e
dv
0
Selanjutnya diperoleh bahwa :
(α ).( β ) 2
2 β 1 v 2
2α 1 u 2
2 v e dv
u
e
du
0
0
(α ). ( β ) 4
u
2α 1 2 β 1 ( u 2 v 2 )
v
e
dudv
0 0
Dengan menggunakan bentuk koordinat polar, kita uraikan sebagai berikut :
Misal : u r cos θ
v r sin θ
u
cos θ
dr
v
sin θ
dr
u
r sin θ
dθ
v
r cos θ
dθ
15
Maka dengan menggunakan transformasi parameter diperoleh persamaan
berikut :
u
π
2
(α ). ( β ) 4
(r cosθ )
2α 1
(r sin θ )
e
2 β 1 ( r cosθ ) 2 ( r sin θ ) 2
0 0
π
2
(r cosθ )
(α ). ( β ) 4
2α 1
0 0
π
2
(α ). ( β ) 4
(r cosθ )
2α 1
dr
u
dr
u
dr dθdr
u
dr
cosθ
2
2
2
(r sin θ ) 2 β 1 e r (cos θ ) (sin θ )
r sin θ
sin θ
dθdr
r cosθ
(r sin θ ) 2 β 1 e r r cos 2 θ r sin 2 θ dθdr
2
0 0
π
2
(α ). ( β ) 4
2α 1
2 β 1 r
2
2
(r cos θ ) (r sin θ ) e r cos θ sin θ dθdr
2
0 0
π
2
(α ). ( β ) 4
(r cos θ )
2α 1
(r sin θ ) 2 β 1 e r (r )dθdr
2
0 0
π
2
(α ). ( β ) 4
r
2α 1
(cosθ ) 2α 1 r 2 β 1 ( sin θ ) 2 β 1 e r (r )dθdr
2
0 0
π
2
(α ). ( β ) 4
r
2α 1 2 β 1
r
r (cos θ ) 2α 1 ( sin θ ) 2 β 1 e r dθdr
2
0 0
π
2
(α ). ( β ) 4
r
2 (α β ) 1 r 2
e
(cos θ ) 2α 1 ( sin θ ) 2 β 1 dθdr
0 0
π
2
(α ). ( β ) 4
2 (α β ) 1 r
e (cos θ ) 2α 1 ( sin θ ) 2 β 1 dθdr
r
2
0 0
π2
2
2 (α β ) 1 r
2 (cos θ ) 2α 1 ( sin θ ) 2 β 1 dθ
e
dr
(α ). ( β ) 2 r
0
0
16
2(α β ) 1 r 2
(α ). ( β ) 2 r
e dr B (α , β )
0
2 (α β ) 1 r 2
re dr B (α , β )
(α ). ( β ) 2 r
0
Misal : t r 2
dt 2rdr
dr
1
dt
2r
Sehingga :
2 (α β ) 1 r 2
re dr B (α , β )
(α ). ( β ) 2 r
0
(α ). ( β ) 2 t
0
(α β ) 1
re t .
1
dt B (α , β )
2r
(α β ) 1 t
e dt B(α , β )
(α ). ( β ) t
0
(α ). ( β ) (α β )B (α , β )
Jadi, diperoleh rumus umum untuk menghitung nilai fungsi
Beta
menggunakan fungsi Gamma, yaitu :
B (α , β )
(α ). ( β )
(α β )
2.4 Rumus Euler
Rumus Euler adalah rumus matematika dalam analisis kompleks yang
menunjukkan hubungan mendalam antara fungsi trigonometri dan fungsi
eksponensial.
17
Kreyszig (1993) menuliskan bahwa rumus Euler untuk setiap bilangan riil x
sebagai berikut :
eit cos(t ) i sin(t )
Dan fungsi sekawannya yaitu :
e it cos(t ) i sin(t )
dengan :
adalah basis logaritma natural
adalah unit imajiner
yang diperoleh dari : cos(− ) = cos(t ) ; sin(− ) = − sin( ).
Diketahui bahwa :
eit cos(t ) i sin(t )
..(1)
e it cos(t ) i sin(t )
...(2)
Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh rumus untuk menghitung nilai cos (tx)
dan sin (tx) sebagai berikut :
cos(t )
eit e it
2
sin(t )
eit e it
2i
dan,
III. DISTRIBUSI RAYLEIGH, DISTRIBUSI GENERALIZED RAYLEIGH
DAN DISTRIBUSI THREE-PARAMETER GENERALIZED RAYLEIGH
3.1 Distribusi Rayleigh
Distribusi Rayleigh merupakan salahsatu keluarga distribusi peluang kontinu
yang biasa digunakan dalam pemodelan data kelangsungan hidup.
Distribusi Rayleigh diperkenalkan oleh Lord Rayleigh pada tahun 1880.
Distribusi Rayleigh dikenal secara luas di bidang oseanografi dan dalam teori
komunikasi untuk menggambarkan puncak sesaat kekuatan sinyal radio yang
diterima.
Spiegel dan Stephens (2004) menjelaskan bahwa sebuah distribusi Rayleigh
memiliki fungsi kepekatan peluang (fkp) sebagai berikut :
✝x
2
x
2
f ( x, α ) ✆ 2 e 2α ; α ð 0
α
Dan memiliki fungsi distribusi kumulatif yaitu :
( ; )=
Fungsi distribusi komulatif
digambarkan sebagai berikut :
/
;
>0;
>0
dari distribusi Rayleigh dengan niai
= 1.5
19
Gambar 1
3.2 Distribusi Generalized Rayleigh
Surles dan Padget (2001) menjelaskan bahwa distribusi generalized Rayleigh
merupakan salahsatu distribusi peluang kontinu yang memiliki dua parameter
yaitu
sebagai parameter bentuk dan
Surles dan Padget memisalkan X
sebagai parameter skala.
adalah peubah acak dari distribusi
generalized Rayleigh sehingga fungsi distribusi kumulatifnya adalah :
;
dan mempunyai fungsi kepekatan peluang (fkp) yaitu :
;
Fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi generalized Rayleigh dengan
nilai
digambarkan sebagai berikut :
20
Gambar 2
Xiao Ling dan David E. Giles (2011) telah memperoleh fkp dari distribusi
generalized Rayleigh dengan melakukan perhitungan dari fungsi kepekatan
peluang (fkp) distribusi Rayleigh, distribusi Half-Normal, distribusi Maxwell,
dan distribusi Chi-Square. Dari penjelasan tersebut, maka diketahui bahwa
distribusi generalized Rayleigh diperoleh dari penggabungan distribusi
Rayleigh dengan beberapa distribusi lain.
3.3 Distribusi Three-Parameter Generalized Rayleigh
Kundu dan Raqab (2005) memperkenalkan distribusi three-parameter
generalized
Rayleigh
yang
diperoleh
dari
pengembangan
distribusi
generalized Rayleigh dengan memperkenalkan penambahan
sebagai
parameter lokasi.
Misalkan X adalah peubah acak dari distribusi
Rayleigh dengan
,
distribusi komulatif adalah :
,
three-parameter generalized
dan
Sehingga fungsi
21
dan fungsi kepekatan peluang (fkp) adalah :
Fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi generalized Rayleigh dengan
nilai
digambarkan sebagai berikut :
Gambar 3
IV. FUNGSI KARAKTERISTIK
4.1 Fungsi Karakteristik
Fungsi karakteristik ini menunjukkan sebuah anggota terdapat dalam sebuah
himpunan atau tidak. Kendall dan Stuart (1958) menjelaskan tentang fungsi
karakteristik dari peubah acak
dari
X
didefinisikan sebagai nilai harapan
berikut :
( )=
=
∞
∞
( )=
∞
∞
( )
dengan :
=
( 1)
= cos( ) + sin( )
( )=
= [cos( ) + sin( )]
Dengan nilai ekspetasi fungsi kompleks
fungsi karakteristik
( ) dapat diberikan dalam bentuk integral berikut:
ϕ X (it ) e itx f ( x)dx
ϕ X (it ) (cos tx i sin tx) f ( x)dx
ϕ X (it ) cos(tx) f ( x)dx i sin(tx) f ( x)dx
= cos( ) + sin( ) , maka
23
4.2 Sifat-sifat Dasar dari Fungsi Karakteristik
Suatu fungsi karakteristik harus memenuhi sifat-sifat dasar dari fungsi
karakteristik. Berikut ini akan dibahas tentang sifat-sifat dasar yag harus
dipenuhi oleh fungsi karateristik dari suatu distribusi.
Sifat 1. (Lukacs,1970)
Misalkan ϕX t adalah fungsi karakteristik dari peubah acak X.
Maka ϕX 0 1.
Bukti:
Misalkan ϕ X t E eitx untuk t = 0, maka berlaku :
0 Ee
ϕ X t E eitx
ϕX
( 0)
ϕ X 0 E1
ϕ X 0 1
Sifat 2. (Lukacs,1970)
Fungsi karakteristik ada untuk sebarang sebaran.
ϕ X t 1
Bukti:
Misalkan X adalah sebarang peubah acak dengan fungsi peluang f(x).
Berdasarkan definisi
e itx
2
= cos( ) + sin( ) , diketahui bahwa :
cos 2 tx sin 2 tx 1
e itx
e itX 1
cos 2 tx sin 2 tx
24
Sehingga :
ϕ X t
e
itx
dF
itx
dF
ϕ X t
e
ϕ X t 1 dF
ϕ X t
f ( x)dx
ϕ X t 1
Sifat 3. (Lukacs,1970)
Misalkan X suatu peubah acak. Maka fungsi karakteristik dari X adalah
ϕ X t .
Bukti:
Misalkan ϕ X t adalah sekawan dari fungsi karakteristik ϕX t .
Perhatikan bahwa :
ϕ X t E e itx
ϕ X t Ecostx i sintx
ϕ X t Ecostx Ei sin tx
ϕ X t Ecostx i Esin tx
...(1)
Akan ditunjukkan bahwa fungsi karakteristik dari –X adalah ϕx t.
Ee
Ee
Ee
Ecos tx i sin tx
Ecostx i sintx
Ecostx i Esintx
E e it x E e itx
it x
it x
it x
E e it x ϕ X it
..(2)
25
Berdasarkan (1) dan (2) diperoleh bahwa fungsi karakteristik dari –X adalah
ϕx t, sekawan dari ϕX t
.
V.
METODE PENELITIAN
Penelitian ini dilakukan pada semester IV tahun akademik 2014/2015, bertempat
di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah
studi pustaka yang menggunakan buku-buku penunjang dan jurnal yang
berhubungan dengan penelitian ini.
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:
1. Membuat grafik gambar fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
three-parameter
generalized
parameter. Parameter
parameter skala, dan
Rayleigh
dengan
mengubah-ubah
sebagai parameter bentuk, parameter
nilai
sebagai
sebagai parameter lokasi.
2. Menentukan fungsi karakteristik dari distribusi three-parameter generalized
Rayleigh. Untuk menentukan fungsi karakteristik dapat dilakukan dengan
menggunakan definisi fungsi karakteristik dan ekspansi trigonometri. Disini
akan digunakan kedua cara tersebut untuk menentukan fungsi karakteristik
dari distribusi
three-parameter generalized Rayleigh.
a. Langkah-langkah menentukan fungsi karakteristik dengan definisi fungsi
karakteristik sebagai berikut :
1.) Menentukan
fungsi
karakteristik
distribusi
three-parameter
generalized Rayleigh dan mensubtitusi batas x pada fungsi kepekatan
27
peluang (fkp) distribusi three-parameter generalized Rayleigh
menggunakan definisi fungsi karakteristik berikut :
✠
✠
✠
✠
ϕ x (it ) E e itx ✟ e itx dF x ✟ e itx f x dx
2.) Menghubungkan ke bentuk fungsi Beta :
1
B (α , β ) ✞ x α 1 (1 x ) β 1 dx
0
3.) Menghubungkan bentuk fungsi beta ke bentuk fungsi Gamma :
B (α , β )
b. Akan
✡(α ).✡( β )
✡ (α
ditunjukkan
β)
bahwa
fungsi
karakteristik
yang
diperoleh
menggunakan definisi sama dengan fungsi karakteristik melalui ekspansi
trigonometri.
Adapun langkah-langkahnya sebagai berikut :
1.) Menentukan
fungsi
karakteristik
distribusi
three-parameter
generalized Rayleigh dan mensubtitusi batas x pada fungsi kepekatan
peluang (fkp) distribusi three-parameter generalized Rayleigh
menggunakan ekspansi trigonometri berikut :
✠
✠
✠
✠
ϕ x (it ) E e itx ✟ e itx dF x ✟ e itx f x dx
2.) Menguraikan bentuk e itx ke dalam bentuk trigonometri yaitu :
= [cos( ) + sin( )]
3.) Menghubungkan ke bentuk fungsi Beta yaitu :
1
B (α , β ) ✞ x α 1 (1 x ) β 1 dx
0
28
4.) Menghubungkan bentuk fungsi Beta ke bentuk fungsi Gamma :
B (α , β )
☛(α ).☛( β )
☛(α β )
3. Pembuktian sifat-sifat dasar fungsi karateristik distribusi three-parameter
generalized Rayleigh
Akan ditunjukkan bahwa fungsi karakteristik distribusi three-parameter
generalized Rayleigh memenuhi sifat-sifat dasar fungsi karakteristik berikut:
a. Sifat 1. ϕx (0) 1
b. Sifat 2. ϕx (t) 1
c. Sifat 3. ϕ x (t ) ϕ x (t ); dengan ϕx (t) adalah konjugat kompleks ϕx (t)
VII.
KESIMPULAN
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan dapat disimpulkan sebagai berikut :
1. Perubahan nilai parameter ( ,
,
) pada grafik fungsi kepekatan peluang
(fkp) mempengaruhi bentuk yang meliputi perubahan kelandaian ataupun
keruncingan grafik, kerenggangan serta perubahan titik ekstrim (titik puncak)
grafik.
2. Fungsi karakteristik dari distribusi three-parameter generalized Rayleigh yang
diperoleh dengan menggunakan definisi dan ekspansi trigonometri diperoleh
hasil yang sama, yaitu:
( + 1)
1
( )=
.
1
3. Fungsi
karakteristik
distribusi
+
three-parameter
memenuhi sifat-sifat dasar fungsi karakteristik.
generalized
Rayleigh
DAFTAR PUSTAKA
Ahmad, K.E., Fakhry, M.E. and Jaheen, Z.F. (1997). Empirical Bayes estimation
of P(Y < X) and characterization of Burr-type X model, Journal of
Statistical Planning and inference, 64, 297-308.
Blumenson, L. E. and K. S. Miller (2007). Properties of Generalized Rayleigh
Distributions The Annals of Mathematical Statistics Vol. 34, No. 3, pp.
903-910
Kendall, M. G. and Stuart, A. 1958. The Advanced Theory of Statistics :
Distribution Theory, Volume 1. London:C. Griffin-Company.
Kundu, Debasis and Raqab, Muhammad Z., “Generalized Rayleigh Distribution :
Different Methods Estimations”. Publishing Computational Statistics and
Data Analysis on Applied Mathematics. 15 April 2005, Vol. 49(1): 187200
Kundu, D. and Raqab, M.Z. (2005). “Estimation of R = P[Y < X] For Theree
Parameter Generalized Rayleigh Distribution” Postal Address2 :
Departement of Mathematics, University of Jordon Amman 11942,
JORDON.
Kreyszig, Erwin. 1993. Advanced Engineering Mathematics. Singapore: John Wiley
and Sons.
Ling Xiao, and David E. Giles.2011. Bias Reduction for the Maximum Likelihood
Estimator of the Parameters of the Generalized Rayleigh Family of
Distributions. Economic Working Paper.
Lukacs, Eugene:1970. Characteristic Function (second ed.). New York: Hafner
Pub.Co.
Mc. Donald, James B., Yexiao J. Xu.1995. A Generalized of the Beta Distribution
with Application. Journal of Econometrics 66.
Nakhi, Y. Ben and S.L. Kalla. 2001. A Generalized Beta Function And Associated
Probability Density. Kuwait : Department of Mathematics Kuwait
University.
Spiegel, Murray dan Larry J. Stephens. 2004. “Schaum’s Outlines of Theory and
Problems of Statistics Third Edition”. PT. Gelora Aksara
Surles, J.G. and Padgett, W.J. (2001), “Inference For Reliability And StressStrength For A Scaled Burr Type X distribution” , Lifetime Data
Analysis, vol. 7, 187-200.
Vladimirescu, Ion and Tunaru, Radu. “Tests for Discrimination between Two
Generalized Rayleigh Distribution”. Publishing House of the Romanian
Academy Journal on Applied Mathematics.Volume 4, pp, 2/2003.
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 1998. Probability
and Statistics for Engineers and Scientists, Sixth Edition. New Jersey:
Prentice Hall.