KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED GAMMA (α, β, θ) DENGAN MENGGUNAKAN METODE GENERALIZED MOMENT

KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED GAMMA(α,β,θ)DENGAN MENGGUNAKAN

METODE GENERALIZED MOMENT

(Skripsi)

Oleh DIAN SURIDA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2015

ABSTRACT

THE CHARACTERISTICS OF PARAMETER ESTIMATORS GENERALIZED GAMMA DISTRIBUTION (α, β, θ) USING

METHOD OF GENERALIZED MOMENT By

Dian Surida

Generalized gamma distribution (α, β, θ) is a continous probability distribution with three parameters, where as α > 0, β > 0, and θ > 0. Parameters α andβ called shape parameters and parameter θ called scale parameter. If parameter β is equal to 1, then generalized gamma distribution (α, β = 1, θ) become gamma distribution (α, θ). In this research, we will examine the characteristics of unbiasness, minimum variance, and consistent also investigate the asymptotic variance – covariance. The results show that the characteristics of parameter estimators generalized gamma distribution ( ̂, ̂, ̂) are unbiased, minimum variance and consistent also we are obtained the analytic of the asymptotic variance – covariance of parameter estimators ( ̂, ̂, ̂). Moreover, presented by the graph of probability density function of generalized gamma distribution using software R.3.1.2 to see the behavior of generalized gamma distribution.

Keywords: Generalized Gamma Distribution, Parameter Estimation, Method of Generalized Moment.

ABSTRAK

KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED GAMMA(α, β, θ)DENGAN MENGGUNAKAN

METODE GENERALIZED MOMENT

Oleh Dian Surida

Distribusi generalized gamma (α, β, θ) merupakan distribusi peluang kontinu dengan tiga parameter, dimana α > 0, β >0, dan θ > 0. Parameter α dan β dikenal sebagai parameter bentuk dan parameter θ dikenal sebagai parameter skala. Jika β = 1, maka distribusi generalizedgamma (α, β = 1, θ) akan membentuk distribusi gamma (α, θ). Dalam penelitian ini, akan mengkaji tentang karakteristik penduga parameter distribusi generalized gamma ( ̂, ̂, ̂) dengan menggunakan metode

generalized moment meliputi sifat tak bias, ragam minimum, dan konsisten serta memeriksa varian – kovarian asimtotiknya. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa penduga parameter distribusi generalized gamma ( ̂, ̂, ̂) merupakan penduga yang tak bias, ragam minimum, dan konsisten serta diperoleh bentuk analitik varian – kovarian asimtotik dari penduga parameter ( ̂, ̂, ̂). Selain itu, disajikan pula kurva fungsi kepekatan peluang distribusi generalized gamma dengan menggunakan software R.3.1.2 untuk melihat perilaku distribusi

generalized gamma.

Kata kunci: Distribusi Generalized Gamma, Pendugaan Parameter, Metode Generalized Moment

PERNYATAAN SKRIPSI MAHASISWA

Saya yang bertandatangan di bawah ini:

Nama : Dian Surida

Nomor Pokok Mahasiswa : 117031014 Jurusan : Matematika

Dengan ini menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil pekerjaan saya sendiri, dan sepanjang pengetahuan saya tidak berisi materi yang telah dipublikasikan atau ditulis orang lain atau telah dipergunakan dan diterima sebagai persyaratan penyelesaian studi pada universitas atau institut lain.

Bandar Lampung, Februari 2015 Yang Menyatakan,

Dian Surida

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 12 September 1993, sebagai anak pertama dari tiga bersaudara pasangan Bapak Suradi dan Ibu Saidah.

Penulis telah menempuh pendidikan sekolah dasar di SD Negeri 2 Pesawahan yang diselesaikan pada tahun 2005, sekolah menengah pertama di SMP Negeri 3 Bandar Lampung yang diselesaikan pada tahun 2008, dan sekolah menengah atas di SMA Negeri 4 Bandar Lampung yang diselesaikan pada tahun 2011.

Pada tahun 2011 penulis diterima sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN Undangan. Selama menjadi mahasiswa, penulis bergabung dalam organisasi Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika (HIMATIKA) sebagai anggota bidang eksternal periode 2012-2013 dan diamanahkan sebagai kepala biro kesekretariatan periode 2013-2014.

Pada bulan Januari - Maret 2014 penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Bumi Asih, Kecamatan Palas, Kabupaten Lampung Selatan. Setelah itu, penulis melaksanakan Kerja Praktik (KP) di Dinas Pendidikan Provinsi Lampung selama bulan Agustus 2014.

KATA INSPIRASI

Kata yang paling indah di bibir umat manusia adalah kata” ibu”, dan panggilan paling indah adalah “ibuku”, ini adalah kata penuh harapan dan cinta, kata manis dan baik yang keluar

dari kedalaman hati ~Kahlil Gibran~

Saat kamu ingin menyerah, ingat kembali alasan mengapa kamu dapat bertahan sajauh ini.

Bersyukur adalah cara terbaik agar merasa cukup bahkan disaat kekurangan. Jangan berharap lebih sebelum berusaha lebih.

PERSEMBAHAN

Dengan segala rasa syukur kehadirat Allah SWT atas segala nikmat dalam hidupku dan dengan segala kerendahan hati, kupesembahkan karya kecilku untuk orang - orang yang telah

memberi makna dalam hidupku.

Teruntuk emak dan bapak tercinta. Cinta kasihmu, tetesan keringatmu, jerih payahmu, serta doa-doamu selalu menyertai setiap langkahku.

Kedua adikku tersayang, Asa dan Tiwi. Kalian penyemangatku.

Keluarga besar, sahabat dan teman-teman yang telah memberikan dukungan dan doa untukku.

Seluruh Dosen yang tanpa pamrih memberikan ilmu pengetahuan kepadaku.

SANWACANA

Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan berkah dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Karakteristik Penduga Parameter Distribusi Generalized Gamma(α,β,θ) dengan Menggunakan Metode Generalized Moment” tepat pada waktunya.

Dalam proses penyusunan skripsi ini, banyak pihak yang telah membantu dalam memberikan bimbingan, dukungan, motivasi, serta kritik dan saran kepada penulis. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

1. Ibu Dian Kurniasari S.Si., M.Sc. selaku pembimbing pertama. Terima kasih Ibu atas kesediaan waktu, tenaga, pemikiran, motivasi, dukungan, pengarahan, dan canda tawa bersama dalam proses penyusunan skripsi ini. 2. Bapak Warsono Ph.D. selaku pembimbing kedua. Terima kasih atas

kesediaan waktu, tenaga, dan pemikiran Bapak dalam memberikan motivasi dan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.

3. Bapak Mustofa Usman M.A., Ph.D. selaku peguji. Terima kasih atas kesediaan waktu dan pemikiran Bapak dalam memberikan kritik dan saran yang membangun dalam proses penyusunan skripsi ini.

4. Ibu Widiarti S.Si., M.Si. Terima kasih Ibu atas kesediaan waktu, pemikiran, tenaga, dan motivasi yang membantu penulis selama membuat program. 5. Ibu Wamiliana, Ph.D. selaku pembimbing akademik.

xi

6. Bapak Prof Suharso, Ph.D. selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung. 7. Bapak Drs. Tiryono Ruby, Msc., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika

FMIPA Universitas Lampung.

8. Emak dan bapak tercinta, Asa dan Tiwi, Ante Nanna, Nenek Ondeng serta seluruh keluarga yang telah memberikan kasih sayang, dukungan, dan selalu mendoakan penulis.

9. Sahabat - sahabat penulis. Nafis, Ani, Rizka, Fara, dan Kajol. Terima kasih atas kebersamaan, canda tawa ceria pelipur lara, tempat berkeluh kesah, dan dukungan kalian selama ini. Semoga akan terus berlanjut sampai kapanpun. 10. Teman - teman satu bimbingan. Rizka, Ani, Nika, Dewi, Ofi. Terima kasih

atas bantuan dan dukungannya dalam menyelesaikan skripsi ini.

11. Teman - teman seperjuangan Matematika 2011. Terima kasih atas keakraban dan kebersamaan selama ini.

12. Keluarga HIMATIKA Unila khususnya periode 2013 - 2014.

13. Semua pihak yang telah memberikan bantuan dalam menyelesaikan skripsi ini yang tidak dapat penulis ucapkan satu - persatu.

14. Almamater tercinta.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, tapi besar harapan penulis semoga skripsi bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukannya.

Bandarlampung, Februari 2015 Penulis,

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR ISI ... xii

DAFTAR GAMBAR ... xiv

I. PENDAHULUAN ... 1

1.1. Latar Belakang dan Masalah ... 1

1.2. Rumusan Masalah ... 4

1.3. Batasan Masalah ... 4

1.4. Tujuan Penelitian ... 5

1.5. Manfaat Penelitian ... 5

III. TINJAUAN PUSTAKA ... 6

2.1. Distribusi Gamma ... 6

2.2. Distribusi Generalized Gamma ... 7

2.2.1 Nilai Harapan Distribusi Generalized Gamma ... 10

2.2.2 Ragam Distribusi Generalized Gamma ... 11

2.3. Pendugaan Parameter ... 13

2.4. Informasi Fisher ... 15

2.5. Matriks Informasi Fisher ... 17

2.6. Pertaksamaan Rao-Cramer ... 18

2.7. Matriks Informasi Fisher dari Penduga (α, β, θ) pada Distribusi Generalized Gamma ... 19

2.8. Pertaksamaan Rao-Cramer dari Penduga (α, β, θ) pada Distribusi Generalized Gamma ... 20

2.9. Metode GeneralizedMoment ... 21

2.10. Matriks Varian dan Kovarian Asimtotik ... 22

III. METODOLOGI PENELITIAN 3. 1. Waktu dan Tempat Penelitian ... 24

xiii

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ... 26

4. 1. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Gamma (α,β,θ) ... 26

4.1.1. Bentuk Grafik Saat α, β, dan θ Meningkat ... 27

4.1.2. Bentuk Grafik Saat α Meningkat, β dan θ Tetap ... 28

4.1.3. Bentuk Grafik Saat β Meningkat (Ganjil), α dan θ Tetap ... 29

4.1.4. Bentuk Grafik Saat β Meningkat (Genap), α dan θ Tetap ... 30

4.1.5. Bentuk Grafik Saat θ Meningkat, α dan β Tetap ... 31

4.1.6. Bentuk Grafik Saat α dan θ Meningkat, β Tetap ... 32

4.1.7. Bentuk Grafik Saat α dan β Meningkat, θ Tetap ... 33

4.1.8. Bentuk Grafik Saat β dan θ Meningkat, α Tetap ... 34

4. 2. Menduga Parameter Distribusi GeneralizedGamma (α,β,θ) Menggunakan Metode GeneralizedMoment... 35

4.2.1 Penduga Parameter θ ... 37

4.2.2 Penduga parameter α ... 38

4.2.3 Penduga parameter β ... 39

4. 3. Memeriksa Ketakbiasan Penduga Parameter Distribusi Generalized Gamma (α,β,θ) ... 41

4.3.1 Penduga Parameter θ ... 41

4.3.2 Penduga parameter α ... 42

4.3.3 Penduga parameter β ... 44

4. 4. Memeriksa Varian Minimum Penduga Parameter Distribusi Generalized Gamma (α,β,θ) ... 49

4.4.1 Matriks Informasi Fisher dari Penduga (α, β, θ) pada Distribusi Generalized Gamma ... 50

4.4.2 Pertaksamaan Rao-Cramer dari Penduga (α, β, θ) pada Distribusi Generalized Gamma ... 50

4. 5. Memeriksa Kekonsistenan Penduga Parameter Distribusi Generalized Gamma (α,β,θ) ... 51

4.5.1 Penduga Parameter θ ... 51

4.5.2 Penduga parameter α ... 53

4.5.3 Penduga parameter β ... 54

4. 6. Memeriksa Matriks Varian dan Kovarian Asimtotik Penduga Parameter Distribusi Generalized Gamma(α,β,θ) ... 57

V. KESIMPULAN ... 68 DAFTAR PUSTAKA

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

1. Grafik fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Gamma α, β, dan θ meningkat ... 27 2. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi GeneralizedGamma α

meningkat, β dan θ tetap. ... 28 3. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Gamma β

meningkat (ganjil), α dan θ tetap. ... 29 4. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Gamma β

meningkat (genap), α dan θ tetap. ... 30 5. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Gamma θ

meningkat, α dan β tetap.. ... 31 6. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi GeneralizedGamma α

dan θ meningkat, β tetap ... 32 7. Grafik fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Gamma α

dan β meningkat, θ tetap ... 33 8. Grafik fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Gamma β

I. PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang dan Masalah

Perkembangan teori statistika telah mempengaruhi hampir semua aspek kehidupan. Hal ini disebabkan statistika merupakan salah satu disiplin ilmu yang berperan sebagai alat untuk mengumpulkan, menyusun, menyajikan, menganalisis data serta mengambil kesimpulan yang bersifat objektif mengenai populasi berdasarkan data sampel.

Dalam teori statistika dan peluang, distribusi gamma ( θ) adalah suatu famili dari distribusi peluang kontinu dengan parameter bentuk dan parameter skala θ. Distribusi gamma berasal dari fungsi gamma yang banyak dipelajari dalam bidang matematika. Distribusi gamma dapat membentuk dua famili dari peubah acak eksponensial dan chi-square yang sering digunakan dalam aplikasi statistika. Distribusi gamma khusus untuk = 1 disebut distribusi eksponensial, sedangkan distribusi gamma khusus untuk θ = 2 disebut distribusi chi-square dengan derajat kebebasan v. Distribusi eksponensial dan distribusi gamma berperan penting dalam pemodelan data kelangsungan hidup (survival data), dan masalah-masalah teori antrian, seperti jarak antara waktu menunggu sampai tiba di fasilitas pelayanan (seperti pada bank, loket tiket kereta api, rambu lalu lintas, dan

2

sebagainya) dan lamanya waktu sampai rusaknya suku cadang mesin, lampu dan lain-lain.

Distribusi gamma tidak selalu mengepas data dengan baik untuk semua jenis data kelangsungan hidup. Salah satu cara untuk mengatasi hal ini adalah dengan mengembangkan distribusi gamma menjadi distribusi yang lebih umum lagi. Agar dalam pemodelan dapat berlaku umum untuk setiap keadaan data, maka distribusi gamma digeneralisasikan dengan tiga parameter yang disebut juga distribusi

generalized gamma.

Distribusi generalized gamma (α, β, θ) merupakan distribusi peluang kontinu dengan tiga parameter, yaitu α > 0, β > 0, dan θ > 0. Parameter α dan β dikenal sebagai parameter bentuk dan parameter θ dikenal sebagai parameter skala. Distribusi generalized gamma adalah generalisasi dari dua parameter distribusi gamma, yaitu > 0, dan θ > 0. Distribusi weibull dan distribusi log-normal merupakan kasus khusus dari distribusi generalized gamma. Distribusi - distribusi tersebut pada umumnya digunakan untuk model parametrik dalam analisis kelangsungan hidup. Distribusi generalized gamma terkadang digunakan untuk menentukan model parametrik mana yang cocok untuk sekumpulan data. Jika β = 1, maka distribusi generalized gamma (α, β = 1, θ) akan membentuk distribusi gamma dengan parameter (α, θ).

Untuk mengetahui karakteristik suatu distribusi perlu dilakukan pendugaan parameter pada distribusi tersebut dengan menggunakan metode pendugaan. Seperti yang diketahui, terdapat beberapa metode yang sudah lazim didengar,

3

seperti Method of Likelihood Estimation (MLE), Method of Moment (MM) dan

Method of Generalized Moment (GMM).

Menurut Wackerly at al (2008), metode momen mencari penduga dari parameter yang tidak diketahui dengan menyamakan hubungan sampel dan momen populasinya. Bagaimanapun, penduga dari metode ini seringkali tidak statistik cukup. Metode momen terkadang tidak terlalu efisien. Dalam banyak kasus, penduga dari metode momen adalah bias. Kelebihan utama dari metode ini adalah mudah digunakan dan terkadang penduga parameternya baik. Sedangkan MLE sudah ada sejak awal abad ke - 20 dan menjadi penduga yang terbaik dalam pandangan klasik statistik. Menurut Hall (2005), akar optimalitas MLE berdasarkan pada peluang distribusi gabungan dari data, yang dalam kontek ini dikenal dengan fungsi kemungkinan (likelihood function). MLE bergantung pada pengujian sampel hanya jika nilai statistik cukup. MLE memiliki beberapa penambahan yang membuat metode ini dari penduga yang baik. Walaupun demikian, dalam beberapa keadaan ketergantungan ini pada fungsi peluang dapat menjadikan kelemahan MLE. Penduga MLE yang diinginkan hanya dicapai jika distribusi ditetapkan secara benar dan dalam beberapa kasus model ekonomi yang diperoleh sesuai dengan fungsi peluang gabungan dari data. Namun, fungsi kemungkinannya sangat susah untuk dievaluasi secara numerik dengan teknologi komputerisasi yang ada.

GMM pertama kali diperkenalkan dalam literatur ekonometrik oleh Lars Hansen pada tahun 1982, dan merupakan pengembangan dari metode momen. GMM mengarah pada kelas penduga yang dibangun dari pengembangan anggota momen

4

sampel dari kondisi momen populasi dari model data yang dibangkitkan (Hansen, 2007). Dasar dari penerapan GMM adalah dengan menggunakan bentuk momen peluang terboboti (PWM). GMM dapat digunakan pada data yang mengabaikan sebaran fungsi distribusinya dan tidak memerlukan asumsi - asumsi yang harus dipenuhi seperti metode pendugaan klasik lainnya. Selain itu, GMM menyediakan metode yang sesuai secara komputasi dalam memperoleh penduga parameter yang konsisten dan normal asimtotik dari suatu distribusi dari model statistik. Metode ini telah diterapkan di banyak seperti bidang ekonometrik, hidrologi, kesehatan, dan lain-lain.

1.2. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah diatas, maka ruang lingkup yang dibahas dalam penelitian ini adalah:

“Bagaimana karakteristik penduga parameter distribusi generalized gamma (α,β,θ)dengan menggunakan metode generalized moment?”

1.3. Batasan Masalah

Dalam penelitian ini yang menjadi batasan masalah adalah mengkaji karakteristik berupa ketakbiasan, kekonsistenan, dan varian minimum serta varian dan kovarian asimtotik penduga parameter distribusi generalized gamma (α, β, θ) dengan menggunakan metode generalized moment.”

5

1.4. Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitan ini adalah:

1. Membangkitkan data dan membuat grafik fungsi kepekatan peluang distribusi

generalized gamma.

2. Menduga parameter distribusi generalized gamma dengan menggunakan metode generalized moment.

3. Memeriksa ketakbiasan penduga parameter pada distribusi generalized

gamma.

4. Memeriksa kekonsistenan penduga parameter pada distribusi generalized

gamma.

5. Memeriksa varian minimum penduga parameter pada distribusi generalized

gamma.

6. Memeriksa varian dan kovarian asimtotik penduga parameter pada distribusi

generalized gamma.

1.5. Manfaat Penelitian

Penelitian ini bermanfaat untuk memberikan informasi tentang karakteristik berupa ketakbiasan, kekonsistenan, dan varian minimum serta varian dan kovarian asimtotik penduga parameter distribusi generalized gamma dengan menggunakan metode generalized moment.

II. TINJAUAN PUSTAKA

Dalam proses penelitian untuk mengkaji karakteristik penduga distribusi generalized gamma dengan metode generalized moment ini, penulis menggunakan definisi, teorema dan konsep dasar yang berkaitan dengan distribusi generalized gamma, pendugaan parameter dan metode generalized moment sebagai berikut:

2.1. Distribusi Gamma

Suatu peubah acak Y dikatakan berdistribusi gamma dengan parameter dan

jika dan hanya jika:

(2.1)

Dimana

∫ _(2.2)

Nilai harapan dan ragam dari distribusi gamma masing-masing adalah

7

Distribusi gamma digeneralisasikan dengan tiga parameter yang disebut distribusi

generalized gamma yang akan dikaji karakteristik pendugaan parameternya dalam penelitian ini. Berikut penjelasannya:

2.2. Distribusi Generalized _Gamma

Suatu peubah acak X dikatakan mempunyai distribusi peluang generalized gamma dengan parameter α,β, dan θ jika dan hanya jika fungsi kepekatan peluang dari X

adalah

α β θ (2.3)

Parameter α dan β dikenal sebagai parameter bentuk dan parameter θ dikenal sebagai parameter skala (DiCiccio,1987).

Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi generalized gamma adalah:

∫

Misal:

y= →x=

dy= dx= sehingga,

∫

8

∫

∫

∫

∫

Berdasarkan mathematical handbook of formula and tables oleh Abramowitz dan Stegun (1970), terdapat rumus:

∫

∫ ∫

Dimana n adalah bilangan positif. Sehingga:

[ | ∫ ]

9

[ ₍

)]

[ (

)

]

[ (

) ]

(

)

[( ∑

) ]

(2.4)

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai nilai harapan dan ragam dari distribusi

10

2.2.1 Nilai Harapan Distribusi Generalized _Gamma

Menurut DiCicio (1987), nilai harapan dari distribusi generalized gamma adalah

_{[ ]}

Bukti:

Berdasarkan (2.3), fungsi kepekatan peluang dari X adalah

α β θ

Maka nilai harapan dari distribusi generalized gamma dapat dinyatakan sebagai berikut:

∫

∫ ∫

Misal:

y= →x=

dy= dx= Sehingga,

∫

∫

11

Berdasarkan (2.1), maka

[ _{] ∫} Sehingga,

(2.5)

Jadi, terbukti bahwa nilai harapan dari distribusi generalized gamma adalah

_{[ ]}

Setelah mengetahui nilai harapan dari distribusi generalized gamma, kemudian akan dijelaskan mengenai ragam dari distribusi generalized gamma tersebut. Berikut penjelasannya:

2.2.2 Ragam Distribusi Generalized Gamma

Menurut DiCicio (1987), ragam dari distribusi generalized gamma adalah

_{[ ] [ [ ]]}

Bukti:

Sedangkan dinyatakan sebagai berikut:

∫

12

∫

Misal:

y= →x=

dy= dx= Sehingga,

∫

∫

∫

Berdasarkan (2.1), maka

[ _{] ∫} Sehingga,

(2.6)

Jadi, dengan menggunakan persamaan (2.5) dan (2.6) diperoleh

13

[ ] [ [ ]]

[ ] (2.7)

Jadi, terbukti bahwa ragam dari distribusi generalized gamma adalah

[ ] [ [ ]]

Selanjutnya akan dibahas mengenai definisi, teorema dan konsep dasar pendugaan parameter yang berkaitan untuk menduga parameter distribusi generalized

gamma.

2.3. Pendugaan Parameter

Pendugaan parameter berarti melakukan estimasi terhadap nilai dugaan/taksiran suatu parameter tertentu, karena pada umumnya nilai parameter suatu distribusi tidak diketahui.

Definisi 2.1

Misalkan suatu peubah acak X memiliki fungsi kepekatan peluang yang bergantung pada suatu parameter tak diketahui θ dengan sebarang nilai dalam suatu himpunan ruang parameter Ω, maka dinotasikan dengan

14

Definisi 2.2

Suatu statistik T = (X1, X2, … , Xn) yang digunakan untuk menduga nilai τ( disebut sebagai penduga τ( , dan diamati nilai dari statistik t = (x1, x2, … , xn) disebut sebagai dugaan τ( (Bain and Engelhardt, 1992).

Berkaitan dengan pendugaan parameter bagi distribusi generalized gamma, akan dijelaskan beberapa sifat penduga yang baik sebagai berikut:

Definsi 2.3 (Penduga Tak Bias)

Suatu penduga T dikatakan penduga tak bias bagi τ( jika: E(T) = τ(

Untuk semua Ω. Sebaliknya dikatakan bahwa T merupakan penduga yang bias bagi τ( (Bain and Engelhardt, 1992).

Definisi 2.4 (Penduga Varian Minimum)

Misal T* merupakan penduga tak bias τ( , maka untuk sebarang penduga tak bias T bagi τ( , disebut penduga varians minimum jika Var (T* Var(T) untuk setiap , dimana

[ _]

15

Definisi 2.5 (Penduga Konsisten)

Jika merupakan rangkaian dari penduga τ( ). Penduga ini dikatakan penduga yang konsisten bagi τ( ) jika untuk setiap ɛ > 0,

ɛ Ω

(Bain and Engelhardt, 1992).

Teorema 2.1 (Tchebysheff’s Inequality)

Misalkan Y peubah acak dengann mean μ dan ragam berhingga . Maka, untuk setiap k > 0,

atau

(Wackerly et. al. ,2008).

Dalam pendugaan varian minimum erat kaitannya dengan informasi fisher dan pertidaksamaan Rao-Cramer. Perlu diketahui beberapa konsep dan definisinya sebagai berikut:

2.4. Informasi Fisher

Informasi fisher digunakan dalam menemukan pertidaksamaan Rao-Cramer. Menurut Hogg and Craig (1995), informasi fisher dinotasikan dengan I( ), dimana

16 [ ] ∫ atau ∫

Misalkan merupakan sampel acak dari suatu distribusi yang mempunyai fungsi kepekatan peluang . Maka fungsi kemungkinannya adalah Sehingga, dan

Dari persamaan diatas, dapat didefinisikan bahwa informasi fisher dalam sampel acak sebagai

{

}

Akan tetapi, setiap hubungan dari hasil akhir perhitungan , dan karena

Merupakan informasi fisher dalam sampel acak berukuran n adalah n kali informasi fisher dalam satu pengujian (Hogg and Craig, 1995).

Informasi fisher tidak selalu dapat digunakan dalam sampel acak. Jika penduganya merupakan suatu vektor maka yang digunakan adalah matriks informasi fisher. Berikut penjelasannya:

17

2.5. Matriks Informasi Fisher

Pada kasus multivariat, jika merupakan suatu vektor dari parameter, maka adalah matriks informasi fisher.

Misalkan sampel acak dari suatu distribusi dengan fungsi kepekatan peluang Ω dalam kondisi yang ada. Tanpa memperhatikan kondisi yang rinci, misalkan dikatakan bahwa ruang dari X dimana

yang tidak meliputi dan , dan dapat diturunkan dibawah tanda integral.

Sehingga matriks informasi fisher adalah sebagai berikut:

[ { } { } ]

Atau dapat ditulis sebagai berikut:

[ ]

(Hogg and Craig, 1995).

Menurut Elandt-Jhonson (1971), misalkan terdapat s parameter atau dalam bentuk vektor dan terdapat logaritma fungsi kemungkinan maka informasi yang diperoleh dari sampel tentang dapat ditulis dalam bentuk matriks informasi fisher s x s Dimana elemennya didefinisikan sebagai berikut:

18

Dan untuk i = j adalah sebagai berikut:

Sehingga bentuk matriks informasi fisher tersebut adalah

[

]

Selanjutnya akan dijelaskan definisi mengenai pertidaksamaan Rao-Cramer

dimana informasi fisher maupun bentuk matriksnya merupakan bagian dari pertidaksamaan Rao-Cramer.

2.6. Pertidaksamaan Rao -Cramer Teorema 2.2

misal X1, X2, … , Xn sampel acak berukuran n yang bebas stokastik identik (iid) dengan , dan misalkan T = (X1, X2, … , Xn) merupakan statistik dengan (X1, X2, … , Xn )] = k(θ), maka

Akibat 2.1

Berdasarkan teorema 2.2 , jika T = (X1, X2, … , Xn) merupakan penduga yang tak bias bagi , maka k(θ)= θ . Sehingga pertidaksamaan Rao-Cramer menjadi

19

Dimana

disebut sebagai batas bawah Rao-Cramer.

Statistik T disebut penduga yang efisien bagi jika dan hanya jika ragam dari T mencapai batas bawah Rao-Cramer (Hogg and Craig, 1995).

Adapun matriks informasi fisher dan pertidaksamaan Rao-Cramer bagi distribusi

generalized gamma dijelaskan sebagai berikut:

2.7. Matriks Informasi Fisher dari Penduga (α, β, θ) pada Distribusi Generalized _Gamma

Matriks informasi fisher dari distribusi Generalized Gamma (α,β, θ) adalah

[ ]

Maninja (2007), memberikan matriks informasi fisher dari distribusi generalized

gamma (α,β, θ) yaitu

sebagai berikut:

[

20

Jadi, matriks informasi fisher dari distribusi generalized gamma adalah

[

]

(2.8)

2.8. Pertidaksamaan Rao-Cramer dari penduga (α, β, θ) pada Distribusi Generalized _Gamma

Matriks informasi fisher merupakan dasar yang digunakan dalam pertidaksamaan

Rao-Cramer. Secara umum pertidaksamaan Rao-Cramer dapat dituliskan sebagai berikut:

( ̂)

( )

Maninja (2007), memberikan invers matriks informasi fisher dari distribusi

generalized gamma, sebagai berikut:

[

]

Sehingga, pertidaksamaan Rao-Cramer dari distribusi generalized gamma (α,β, θ) yaitu

( ̂ ̂ ̂)

[

]

21

Dimana merupakan matriks varian dan kovarian dari penduga parameter .

Dalam melakukan pendugaan parameter pada distribusi generalized gamma, diperlukan suatu metode pendugaan. Dalam penelitian ini, penulis menggunakan metode generalized moment. Berikut penjelasannya:

2.9. Metode Generalized moment

Metode Generalized moment / Generalized Method of Moment (GMM) pertama kali diperkenalkan dalam literatur ekonometrik oleh Lars Petrus Hansen pada tahun 1982. Metode ini diaplikasikan dalam time series, cross sectional, dan data panel. Menurut Hansen (2007), GMM mengarah pada kelas penduga yang dibangun dari pengembangan anggota momen sampel dari kondisi momen populasi dari model data yang dibangkitkan. Adapun model yang ditetapkan sebagai vektor momen populasi yaitu:

Dimana f memiliki r koordinat dan merupakan vektor yang tidak diketahui dalam suatu ruang parameter.

Sedangkan, untuk menduga parameter dari suatu distribusi, studi oleh Rasmussen (2001) dan oleh Ashkar dan Mahdi (2003), sebagai dasar dari penerapan GMM adalah dengan menggunakan bentuk momen peluang terboboti (PWM):

∫ (2.10)

22

∫ (2.11)

Dimana x adalah invers dari distribusi kumulatif F(x), merupakan momen ke- dan adalah statistik tataan ke – . Persamaan (2.10) digunakan jika invers dari CDF suatu distribusi tidak terdefinisi secara analitik, sebaliknya persamaan (2.11) digunakan jika invers suatu distribusi terdefinisi secara analitik.

Dalam metode PWM, diambil sebagai bilangan bulat positi sekecil mungkin dan dengan = 1. ini bertindak sebagai suatu dasar untuk menerapkan GMM. Dalam GMM, diambil sama dengan 0, dan diambil sembarang yang tidak harus bilangan bulat, maupun positif (Ashkar dan mahdi, 2006).

2.10. Matriks Varian dan Kovarian Asimtotik

Dalam Ashkar dan mahdi (2006), untuk menentukan matriks varian dan kovarian asimtotik dari penduga parameter ( ̂ ̂) dihitung dari varian dan kovarian dari momen sampel ̂ dan ̂ sebagai berikut:

̂ ̂ ̂ ̂

[

̂

̂ ̂ ̂

23

Dimana:

( ̂ ) ₍ )

( ̂ ) ₍ )

( ̂ ̂ ) ₍ )

dan secara berturut-turut mengikuti bentuk dari dan dengan sederhana mengubah menjadi .

III. METODOLOGI PENELITIAN

3. 1. Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitin ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2014/2015, bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3. 2. Metode dan Tahapan Penelitian

Langkah - langkah yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Membangkitkan data dan membuat grafik fungsi kepekatan peluang distribusi

generalized gamma dengan menggunakan software R.3.1.2.

2. Menduga parameter α, β, dan θ pada distribusi generalized gamma (α, β, θ) dengan menggunakan metode pendugaan generalized moment.

3. Memeriksa ketakbiasan penduga parameter ( ̂, ̂, ̂) pada distribusi

generalized gamma (α, β, θ).

4. Memeriksa kekonsistenan penduga parameter ( ̂, ̂, ̂) pada distribusi

generalized gamma (α, β, θ).

5. Memeriksa varian minimum penduga parameter ( ̂, ̂, ̂) pada distribusi

25

6. 1 Menentukan matriks informasi fisher pada distribusi generalized

gamma (α, β, θ).

6. 2 Menentukan pertidaksamaan Rao-Cramer pada distribusi generalized

gamma (α, β, θ).

6. Memeriksa matriks varian dan kovarian asimtotik penduga parameter ( ̂, ̂, ̂) pada distribusi generalizedgamma (α, β, θ).

V. KESIMPULAN

Adapun kesimpulan yang diperoleh dari hasil penelitian sebagai berikut:

1. Perubahan nilai parameter α, β, dan θ memberikan pengaruh perubahan bentuk grafik fungsi kepekatan peluang distribusi generalized gamma berupa perubahan kelandaian dan kecuraman kurva serta perubahan pergeseran arah kurva.

2. Adapun bentuk distribusi generalized gamma yang bertindak sebagai suatu dasar untuk menerapkan GMM yaitu:

∏ [ ] Sehingga, ̂ ̂ ̂ ̂ _̂ ∏ [ ] ̂ ̂ ̂ ̂ _̂ ∏ [ ] ̂ ̂ _̂ ̂ ̂ ∏ [ ]

69

3. Berdasarkan diperoleh ̂ ̂ ̂ ̂ _̂

( ̂ )

. dimana ̂

merupakan penduga parameter bagi .

4. Berdasarkan diperoleh ̂

( _̂ ) ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ( ̂ ) ̂

. Dimana ̂

merupakan penduga parameter bagi .

5. Berdasarkan diperoleh ̂ ̂ ( _̂ )̂ ( ̂̂ ̂ _̂ ) ̂ ̂ ( ̂̂ ̂ _̂ ) [ ̂ ( ̂̂ ̂ _̂ ) – ̂ ̂ ] – ( _̂ )̂ ( ̂̂ ̂ _̂ ) ̂ ( ̂̂ ̂ _̂ ) – ̂ ̂ .

dimana ̂ merupakan penduga parameter bagi .

6. Dengan menggunakan metode generalized moment, penduga distribusi

generalized gamma yaitu ̂, ̂, dan ̂ merupakan penduga parameter yang tak bias bagi α,β, θ dan karena varian dari penduga parameter ( ̂ ̂ ̂) mencapai batas bawah Rao-Cramer sehingga penduga parameter ( ̂ ̂ ̂) merupakan penduga yang efisien serta penduga parameter ( ̂ ̂ ̂) merupakan penduga parameter yang konsisten bagi α, β, dan θ.

70

7. Adapun entri-entri matriks varian kovarian asimtotik distribusi generalized

gamma dengan menggunakan metode generalized moment sebagai berikut:

[

̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ] [

]

x

DAFTAR PUSTAKA

Abramowitz, M. and Stegun, I.A. 1972. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. U.S.Government, Washington.

Ashkar, F and Mahdi, S. 2006. Fitting the log-logistik distribution by generalized moment. Journal of Hidrology. 328, 694-703.

Bain, L.J. and Engelhardt M. 2000 .Introduction to Probability and Mathematical Statistics . Brooks / Cole. Duxbury.

DiCiccio, T.J. 1987. Aproximate Inference for Generalized Gamma Distribution.

Technometrics 29(1): 33-40.

Elandt R.C and Jhonson. 1971. Probability Model and Statistical Methods in Genetic. Johb Willey and Son inc., Canada.

Hall, A.R .2005. Generalized Method of Moment. Oxford University Press Inc., New York.

Hansen, L.P .2007 . Generalized Method of Moments Estimation. Departement of Economics. University of Chicago., Chicago.

Hogg, R.V., McKean J.W., Craig A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Seventh Edition. Pearson Education Inc., Boston.

Maninja, D.R. 2007. Matriks Informasi Fisher Penduga Kemungkinan Maksimum dari Distribusi Generalized Gamma. (Skripsi). Universitas Lampung. Bandar Lampung.

Wackerly D.D., Mendenhall W., Scheaffer R.L. 2008. Mathematical Statistics With Application. Seventh Edition. Brooks / Cole ., USA.

25

6. 1 Menentukan matriks informasi fisher pada distribusi generalized

gamma (α, β, θ).

6. 2 Menentukan pertidaksamaan Rao-Cramer pada distribusi generalized

gamma (α, β, θ).

6. Memeriksa matriks varian dan kovarian asimtotik penduga parameter ( ̂, ̂, ̂) pada distribusi generalizedgamma (α, β, θ).

V. KESIMPULAN

Adapun kesimpulan yang diperoleh dari hasil penelitian sebagai berikut:

1. Perubahan nilai parameter α, β, dan θ memberikan pengaruh perubahan bentuk grafik fungsi kepekatan peluang distribusi generalized gamma berupa perubahan kelandaian dan kecuraman kurva serta perubahan pergeseran arah kurva.

2. Adapun bentuk distribusi generalized gamma yang bertindak sebagai suatu dasar untuk menerapkan GMM yaitu:

∏ [

]

Sehingga,

̂ ̂ ̂

̂ _̂ ∏ [

]

̂ ̂ ̂

̂ _̂ ∏ [

]

̂ ̂ _̂ ̂

̂

∏ [

]

69

3. Berdasarkan diperoleh ̂ ̂ ̂ ̂ _̂

( ̂ )

. dimana ̂

merupakan penduga parameter bagi .

4. Berdasarkan diperoleh ̂

( _̂ ) ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ( ̂ ) ̂

. Dimana ̂

merupakan penduga parameter bagi .

5. Berdasarkan diperoleh ̂

̂ ( _̂ )̂ ( ̂̂ ̂ _̂ ) ̂ ̂ ( ̂̂ ̂ _̂ ) [ ̂ ( ̂̂ ̂ _̂ ) – ̂ ̂ ] – ( _̂ )̂ ( ̂̂ ̂ _̂ ) ̂ ( ̂̂ ̂ _̂ ) – ̂ ̂ .

dimana ̂ merupakan penduga parameter bagi .

6. Dengan menggunakan metode generalized moment, penduga distribusi

generalized gamma yaitu ̂, ̂, dan ̂ merupakan penduga parameter yang tak bias bagi α,β, θ dan karena varian dari penduga parameter ( ̂ ̂ ̂) mencapai batas bawah Rao-Cramer sehingga penduga parameter ( ̂ ̂ ̂) merupakan penduga yang efisien serta penduga parameter ( ̂ ̂ ̂) merupakan penduga parameter yang konsisten bagi α, β, dan θ.

70

7. Adapun entri-entri matriks varian kovarian asimtotik distribusi generalized

gamma dengan menggunakan metode generalized moment sebagai berikut:

[

̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ] [

]

x [ _]

DAFTAR PUSTAKA

Abramowitz, M. and Stegun, I.A. 1972. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. U.S.Government, Washington.

Ashkar, F and Mahdi, S. 2006. Fitting the log-logistik distribution by generalized moment. Journal of Hidrology. 328, 694-703.

Bain, L.J. and Engelhardt M. 2000 .Introduction to Probability and Mathematical Statistics . Brooks / Cole. Duxbury.

DiCiccio, T.J. 1987. Aproximate Inference for Generalized Gamma Distribution.

Technometrics 29(1): 33-40.

Elandt R.C and Jhonson. 1971. Probability Model and Statistical Methods in Genetic. Johb Willey and Son inc., Canada.

Hall, A.R .2005. Generalized Method of Moment. Oxford University Press Inc., New York.

Hansen, L.P .2007 . Generalized Method of Moments Estimation. Departement of Economics. University of Chicago., Chicago.

Hogg, R.V., McKean J.W., Craig A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Seventh Edition. Pearson Education Inc., Boston.

Maninja, D.R. 2007. Matriks Informasi Fisher Penduga Kemungkinan Maksimum dari Distribusi Generalized Gamma. (Skripsi). Universitas Lampung. Bandar Lampung.

Wackerly D.D., Mendenhall W., Scheaffer R.L. 2008. Mathematical Statistics With Application. Seventh Edition. Brooks / Cole ., USA.