Penerapan Metode Empirical Bayes pada Pendugaan Area Kecil (Studi Kasus Pendugaan Pengeluaran Per Kapita di Kota Bogor Tahun 2003)

RINGKASAN
ARTA YUNITA. Penerapan Metode Empirical Bayes pada Pendugaan Area Kecil (Studi
Kasus Pendugaan Pengeluaran Per Kapita di Kota Bogor Tahun 2003). Di bawah bimbingan
INDAHWATI dan ANANG KURNIA.
Pendugaan area kecil (small area estimation) sangat dibutuhkan untuk mendapatkan informasi
pada suatu area dengan ukuran contoh kecil. Pendugaan langsung yang dilakukan memiliki nilai
keragaman yang besar karena ukuran contohnya kecil. Salah satu solusi yang digunakan adalah
melakukan pendugaan tidak langsung dengan cara menambahkan peubah-peubah pendukung
berupa informasi dari dalam maupun luar area tersebut untuk menduga parameter. Pendugaan
tidak langsung pada area kecil dalam penelitian ini diterapkan untuk kasus pendugaan pengeluaran
per kapita di Kota Bogor tahun 2003. Salah satu metode yang dapat digunakan dalam kasus
tersebut adalah metode empirical Bayes (EB).
Pendugaan area kecil dengan metode EB menghasilkan nilai RRMSE (Relative Root Mean
Squared Error) yang lebih kecil daripada nilai RRMSE dari hasil pendugaan langsung. Hal ini
juga berlaku untuk kondisi keragaman antar desa di Kota Bogor yang besar dan ragam sampling
error yang heterogen. Hasil tersebut memperlihatkan bahwa pendugaan tidak langsung
menggunakan metode EB-jackknife dapat memperbaiki hasil pendugaan langsung.

PENERAPAN METODE EMPIRICAL BAYES
PADA PENDUGAAN AREA KECIL
(Studi Kasus Pendugaan Pengeluaran Per Kapita di Kota Bogor Tahun 2003)

ARTA YUNITA
G14103014

DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2008

RINGKASAN
ARTA YUNITA. Penerapan Metode Empirical Bayes pada Pendugaan Area Kecil (Studi
Kasus Pendugaan Pengeluaran Per Kapita di Kota Bogor Tahun 2003). Di bawah bimbingan
INDAHWATI dan ANANG KURNIA.
Pendugaan area kecil (small area estimation) sangat dibutuhkan untuk mendapatkan informasi
pada suatu area dengan ukuran contoh kecil. Pendugaan langsung yang dilakukan memiliki nilai
keragaman yang besar karena ukuran contohnya kecil. Salah satu solusi yang digunakan adalah
melakukan pendugaan tidak langsung dengan cara menambahkan peubah-peubah pendukung
berupa informasi dari dalam maupun luar area tersebut untuk menduga parameter. Pendugaan
tidak langsung pada area kecil dalam penelitian ini diterapkan untuk kasus pendugaan pengeluaran
per kapita di Kota Bogor tahun 2003. Salah satu metode yang dapat digunakan dalam kasus

tersebut adalah metode empirical Bayes (EB).
Pendugaan area kecil dengan metode EB menghasilkan nilai RRMSE (Relative Root Mean
Squared Error) yang lebih kecil daripada nilai RRMSE dari hasil pendugaan langsung. Hal ini
juga berlaku untuk kondisi keragaman antar desa di Kota Bogor yang besar dan ragam sampling
error yang heterogen. Hasil tersebut memperlihatkan bahwa pendugaan tidak langsung
menggunakan metode EB-jackknife dapat memperbaiki hasil pendugaan langsung.

PENERAPAN METODE EMPIRICAL BAYES
PADA PENDUGAAN AREA KECIL
(Studi Kasus Pendugaan Pengeluaran Per Kapita di Kota Bogor Tahun 2003)

Arta Yunita

Skripsi
sebagai salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Departemen Statistika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor

DEPARTEMEN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2008

Judul : Penerapan Metode Empirical Bayes pada Pendugaan Area Kecil (Studi
Kasus Pendugaan Pengeluaran Per Kapita di Kota Bogor Tahun 2003)
Nama : Arta Yunita
NRP : G14103014

Menyetujui:

Pembimbing I,

Pembimbing II,

Ir. Indahwati, M.Si
NIP.131909223

Anang Kurnia, M.Si
NIP. 132158749

Mengetahui:

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor

Dr. Drh. Hasim, DEA
NIP. 131578806

Tanggal Lulus:

PRAKATA
Alhamdulillahirobbil’alamin, segala puji dan syukur Penulis panjatkan kepada Allah SWT,
atas segala rahmat, hidayah serta karunia-Nya sehingga Penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah
ini. Shalawat serta salam semoga selalu tercurahkan kepada Rasulullah SAW, keluarga, sahabat,
dan umatnya hingga akhir zaman.
Karya ilmiah ini berjudul “Penerapan Metode Empirical Bayes pada Pendugaan Area Kecil
(Studi Kasus Pendugaan Pengeluaran Per Kapita di Kota Bogor Tahun 2003)”. Penelitian ini
bertujuan untuk mengkaji metode empirical Bayes pada pendugaan area kecil dan menerapkan
metode tersebut untuk menduga pengeluaran per kapita di Kota Bogor tahun 2003.

Terima kasih Penulis ucapkan kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian
karya ilmiah ini, terutama kepada:
• Ibu Ir. Indahwati, M.Si dan Bapak Anang Kurnia, M.Si terima kasih atas segala bimbingan,
saran, dan kritik sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan.
• My family: bapak, ibu, adik, serta seluruh keluarga besar yang aku sayangi, terima kasih atas
do’a, dukungan, semangat, dan kasih sayang yang selalu diberikan kepada Penulis.
• Seluruh staf pengajar Departemen Statistika FMIPA IPB terima kasih atas pengajaran yang
diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan studi dan karya ilmiah ini.
• Seluruh staf pegawai Departemen Statistika FMIPA IPB: Bu Markonah, Bu Sulis, Bu Dedeh,
Pak Ian, Pak Sudin, Pak Dur, Pak Herman, Pak Heri, dan Bu Aat yang selalu siap membantu
segala keperluan dalam penyelesaian studi dan karya ilmiah ini.
• My closed friend Enta, Proe, Dina, Tiwi, dan Cecep terima kasih atas do’a, kebersamaan, dan
dukungannya.
• Sahabatku Chichie, Muti, Lala, Mba Dian, Aril, Edo, Rosit, dan Dwi terima kasih untuk semua
bantuannya.
• Rekan-rekan Statistika 40 tercinta yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu. Keep contact!
• Seluruh kakak kelas dan adik-adik Statistika angkatan 41,42, dan 43.
• Teman-teman GAMAPURI, asrama A1 027 (Wnie, Veni, Anjar dan Wywy) serta teman satu
kosan di Citra Islamic 2 dan Pondok Adinda.
• Semua pihak yang telah memberikan dukungan kepada penulis yang tidak dapat disebutkan

satu per satu.
Penulis menyadari bahwa banyak kekurangan dalam karya ilmiah ini karena kesempurnaan
hanyalah milik Allah SWT. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat.

Bogor,

Penulis

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Purworejo, Jawa Tengah pada tanggal 30 Juni 1985 dari pasangan Bapak
Suhendro dan Ibu Supriyati. Penulis merupakan putri pertama dari dua bersaudara dengan adik
bernama Huda Arta Bahri.
Penulis menyelesaikan sekolah dasar di SD Negeri Butuh I pada tahun 1997. Pendidikan
selanjutnya ditempuh di SLTP Negeri I Kutoarjo yang diselesaikan pada tahun 2000. Penulis
melanjutkan ke SMU Negeri I Purworejo dan lulus tahun 2003. Pada tahun yang sama berhasil
masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih jurusan
Statistika.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis ikut serta dalam kegiatan Himpunan Profesi Gamma
Sigma Beta (GSB) sebagai staf Departemen Kewirausahaan periode 2003/2004 dan staf
Departemen Kesekretariatan periode 2004/2005, anggota Keluarga Mahasiswa Muslim Statistika

periode 2004/2005, serta divisi PSDM Keluarga Mahasiswa Purworejo IPB periode 2004/2005.
Penulis juga berkesempatan melaksanakan kegiatan praktek lapang di IFF PT.Essence Indonesia
pada tanggal 5 Februari 2007 sampai dengan 5 April 2007.

DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL..........................................................................................................................viii
DAFTAR LAMPIRAN..................................................................................................................viii
PENDAHULUAN.............................................................................................................................1
Latar Belakang .............................................................................................................................1
Tujuan...........................................................................................................................................1
TINJAUAN PUSTAKA....................................................................................................................1
Pengeluaran Per Kapita ................................................................................................................1
Pendugaan Area Kecil ..................................................................................................................1
Penduga Sintetik...........................................................................................................................2
Model Area Kecil .........................................................................................................................2
Metode Empirical Bayes ..............................................................................................................2
Pendekatan Jackknife dalam Pendugaan MSE .............................................................................3
BAHAN DAN METODE .................................................................................................................3
Bahan............................................................................................................................................3

Metode..........................................................................................................................................4
HASIL DAN PEMBAHASAN.........................................................................................................4
Eksplorasi Data.............................................................................................................................4
Pendugaan Langsung....................................................................................................................4
Pendugaan Tidak Langsung..........................................................................................................5
KESIMPULAN .................................................................................................................................7
DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................................................7
LAMPIRAN......................................................................................................................................9

viii

DAFTAR TABEL
Halaman
1. Hasil Pendugaan Beta ...................................................................................................................5
2. Pendugaan pengeluaran per kapita (x Rp. 10.000,00) dengan pendugaan langsung dan
pendekatan EB - jackknife beserta nilai RRMSE (%)....................................................................5
3. Perbandingan statistik MSE ...........................................................................................................6

DAFTAR LAMPIRAN
Halaman

1. Scatterplot, boxplot, dan nilai korelasi peubah-peubah pendukung (xi)........................................9
2. Pendugaan langsung pengeluaran per kapita (x Rp. 10.000,00) beserta nilai Di .........................10
3. Pendugaan pengeluaran per kapita (x Rp. 10.000,00) untuk desa yang tidak disurvei
beserta nilai RRMSE (%) ...........................................................................................................11

1

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

Latar Belakang

Pengeluaran Per Kapita

Dewasa ini permintaan akan statistik area
kecil (small area statistics) semakin meningkat
dalam berbagai bidang. Pendugaan area kecil
sangat dibutuhkan untuk mendapatkan
informasi-informasi pada area kecil, misalnya

pada lingkup kabupaten/kota, kecamatan,
maupun kelurahan/desa. Informasi tersebut
menjadi sangat penting seiring dengan
berkembangnya era otonomi daerah di
Indonesia karena dapat digunakan sebagai
acuan
menyusun
sistem
perencanaan,
pemantauan, dan kebijakan daerah lainnya
tanpa harus mengeluarkan biaya besar untuk
mengumpulkan data sendiri. Metode yang terus
dikembangkan untuk menduga statistik area
kecil adalah pendugaan area kecil (small area
estimation).
Pendugaan
secara
langsung
(direct
estimation) pada area kecil akan menghasilkan

nilai ragam yang besar jika contoh yang
diambil berasal dari data survei yang dirancang
untuk skala besar/nasional. Hal ini disebabkan
oleh ukuran contoh yang terambil pada area
tersebut kecil. Salah satu solusi yang digunakan
adalah melakukan pendugaan tidak langsung
dengan cara menambahkan peubah-peubah
pendukung dalam menduga parameter. Peubah
pendukung tersebut berupa informasi dari area
lain yang serupa, survei terdahulu pada area
yang sama, atau peubah lain yang berhubungan
dengan peubah yang ingin diduga.
Evaluasi hasil pendugaan tidak langsung
dapat diketahui dengan membandingkan nilai
RRMSE (Relative Root Mean Squared Error)
pendugaan langsung dengan nilai RRMSE
pendugaan tidak langsung. Pendugaan tidak
langsung untuk area kecil dalam penelitian ini
diterapkan untuk kasus pendugaan pengeluaran
per kapita di Kota Bogor tahun 2003. Metode
yang digunakan untuk menduga pengeluaran
per kapita tersebut adalah metode empirical
Bayes dengan pendekatan jackknife untuk
menghitung MSE.

Pengeluaran per kapita menunjukkan
besarnya pengeluaran setiap anggota rumah
tangga dalam kurun waktu satu bulan (BPS,
2003). Pengertian rumah tangga yang
dimaksud pada definisi di atas yaitu
sekelompok orang yang mendiami sebagian
atau seluruh bangunan fisik dan biasanya
tinggal bersama serta makan dari satu dapur
(BPS, 2003). Satu rumah tangga bisa terdiri
dari satu, dua, atau lebih kepala keluarga.
Perhitungan pengeluaran per kapita
dirumuskan sebagai berikut:
p
y =
q
dimana;
y = pengeluaran per kapita
p = pengeluaran rumah tangga sebulan
q = jumlah anggota rumah tangga

Tujuan
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Mengkaji metode empirical Bayes pada
pendugaan area kecil.
2. Menerapkan metode empirical Bayes untuk
menduga pengeluaran per kapita di Kota
Bogor tahun 2003.

Pendugaan Area Kecil
Pendugaan area kecil saat ini sangat umum
digunakan dalam survey sampling, dimana
banyak metode analisis data telah dikemukakan
dalam beberapa literatur. Area kecil (small
area) diartikan sebagai bagian dari wilayah
populasi (small domain) baik berdasarkan
geografi, ekonomi, sosial budaya, ataupun yang
lainnya (Rao, 2003). Suatu daerah disebut
small area jika dalam daerah tersebut jumlah
contoh yang terambil kurang besar untuk
mendapatkan nilai pendugaan langsung yang
akurat. Nilai pendugaan langsung pada area
kecil merupakan penduga tak bias tetapi
memiliki ragam yang besar karena diperoleh
dari ukuran contoh yang kecil (Ramsini et.al
(2001) dalam Kurnia dan Notodiputro
(2006b)).
Metode pendugaan yang dapat digunakan
untuk mendapatkan pendugaan area kecil yaitu
pendugaan langsung dan pendugaan tidak
langsung. Pendugaan tidak langsung (indirect
estimation)
dilakukan
dengan
cara
memanfaatkan informasi peubah lain yang
berhubungan dengan parameter yang diamati.
Contoh informasi yang dapat digunakan adalah
catatan sensus ataupun survei pada area
tersebut. Ada beberapa metode pada pendugaan
tidak langsung untuk area kecil antara lain
EBLUP (Empirical Best Linear Unbiased
Prediction), EB (Empirical Bayes), dan HB
(Hierarchical Bayes).

2

Small
area
estimation
merupakan
pendugaan suatu area yang lebih kecil dengan
memanfaatkan informasi dari luar area,
informasi dari dalam area itu sendiri, dan dari
luar survei (Longford, 2005). Pendugaan secara
tidak langsung pada small area estimation
mempunyai beberapa keuntungan, yaitu
mendapatkan penduga optimal, memperoleh
model valid yang berasal dari data contoh,
serta dapat menjelaskan berbagai macam model
berdasar pada respon alami suatu peubah dan
kekomplekan struktur data (Rao, 2003).
Penduga Sintetik
Penduga sintetik merupakan penduga tak
bias yang diperoleh dari sebuah survei contoh
untuk area yang besar, ketika penduga ini
digunakan sebagai penduga untuk sub-area
(area yang lebih kecil) dengan mengasumsikan
bahwa sub-area tersebut memiliki karakteristik
yang sama dengan area besar (Gonzales (1973)
dalam Ghosh dan Rao (1994)). Metode ini
cocok digunakan untuk semua desain sampling.
Penduga sintetik pada pendugaan area kecil
dapat digunakan untuk menduga nilai respon
pada sub-area yang tidak disurvei. Penduga
sintetik dapat memberikan dugaan dengan
memanfaatkan informasi dari area kecil lain
yang diasumsikan mirip dengan area kecil yang
akan diduga.
Model Area Kecil
Pendugaan area kecil terdiri atas dua jenis
model dasar yaitu basic area level model dan
basic unit level model (Rao, 2003).
a. Basic area level (type A) model yaitu model
yang didasarkan pada ketersediaan data
pendukung yang hanya ada untuk level area
tertentu, misalkan xi = (x1i,…,xpi)T dan
parameter yang akan diduga θi, diasumsikan
mempunyai hubungan dengan xi. Data
pendukung tersebut digunakan untuk
membangun model: θi = xiT β + bivi ,
i =1,…,m dengan vi ~ N(0, σ2v), sebagai
pengaruh acak yang diasumsikan normal.
Kesimpulan mengenai θi, dapat diketahui
dengan mengasumsikan bahwa model
penduga langsung yi telah tersedia yaitu:
yi = θi + ei , i =1,…,m dengan sampling
error ei ~ N(0, σ2ei) dan σ2ei diketahui.
Pada akhirnya, kedua model digabungkan
dan menghasilkan model gabungan:
yi = xiT β + bivi + ei , i =1,…,m dimana bi
diketahui
bernilai
positif
konstan
(diasumsikan bernilai 1).

Model tersebut merupakan bentuk khusus
dari model linier campuran (general linear
mixed model) yang terdiri dari pengaruh
tetap (fixed effect) yaitu β dan pengaruh acak
(random effect) yaitu vi (Saei dan Chambers,
2003).
b. Basic unit level (type B) model yaitu suatu
model dimana data-data pendukung yang
tersedia bersesuaian secara individu dengan
data respon, misal xij = (xij1,...,xijp)T, sehingga
dapat dibuat suatu model regresi tersarang
yij = xijTβ + vi + eij; i=1,…,m dan j=1,...,Ni
dengan vi ~ N(0, σ2v) dan ei ~ N(0, σ2ei).
Penelitian ini menggunakan model basic area
level (type A) karena data pendukungnya hanya
ada untuk level area tertentu yaitu pada level
desa.
Metode Empirical Bayes
Metode empirical Bayes (EB) merupakan
salah satu pendekatan yang dapat digunakan
pada pendugaan area kecil. Hal pertama yang
ingin didapatkan pada metode Bayes adalah
sebaran posterior untuk parameter yang diamati
yang dinotasikan f (θi |yi, β, σ2v), dengan asumsi
β dan σ2v diketahui. Sedangkan pada metode
EB, inferensia yang diperoleh berdasar pada
dugaan sebaran posterior dari θi dengan
memasukkan nilai dugaan β dan σ2v yaitu
f(θi|yi, β̂ , σ̂ v2 ).
Model Fay dan Heriot (1979) untuk model
basic area level adalah:
yi = xiT β + vi + ei
dimana vi ~ N(0, σ2v) dan ei ~ N(0, σ2ei), vi dan
ei saling bebas. β dan σ2v tidak diketahui
sedangkan σ2ei diasumsikan diketahui (Kurnia
dan Notodiputro, 2006b).
Misal σ2v dan σ2ei disimbolkan dengan A
dan Di, selanjutnya θˆiΒ merupakan penduga
Bayes untuk θi, dengan mengikuti model
Bayes:
(i) yi |θi ~ N(θi, Di)
(ii) θi ~ N(xiTβ, A) adalah sebaran prior
untuk θi, i=1,2,...,m.
Model Bayes dijelaskan oleh:
dan
1
1
⎛
2 ⎞
f (yi | θi) =

2π D i

(yi − θi) ⎟
exp ⎜ −
⎠
⎝ 2 Di

1
⎛
⎞
exp ⎜ −
(θ i − x iT β ) 2 ⎟ dan
2
A
2π A
⎝
⎠
m
⎛
⎞
1
1
f ( y i ,θ i | β , A ) = ∏
exp ⎜⎜ −
( y i − θ i ) 2 ⎟⎟
2π D i
i =1
⎝ 2D i
⎠

π (θ i ) =

1

⎞
⎛ 1
(θ i − xiT β ) 2 ⎟
exp⎜ −
2πA
⎠
⎝ 2A
1

untuk yi = (y1, y2,...,ym)T dan θi = (θ1,θ2,...,θm)T.

3

Lihat dua fungsi eksponensial tanpa faktor
(-1/2) dari f(yi, θi | β, A),
1
1
( y i − θ i ) 2 + (θ i − xiT β ) 2
Di
A
1
1
2
=
( y i − 2 y iθ i + θ i2 ) + (θ i2 − 2θ i x iT β + ( x iT β ) 2 )
Di
A
⎛ y
⎛ 1
xTβ ⎞
1 ⎞
= ⎜⎜
+ ⎟⎟θ i2 − 2 ⎜⎜ i + i ⎟⎟θ i + a *i
A ⎠
⎝ Di A ⎠
⎝ Di
T
⎧ 2 ⎛ ⎛ yi x i β ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎞⎫
⎟ ⎜ + ⎟ ⎟⎪
⎪θi − ⎜⎜ 2θi ⎜⎜ +
A ⎟⎠ ⎜⎝ Di A ⎟⎠ ⎟⎠⎪
⎪
⎝ ⎝ Di
⎪
⎪
⎛ 1 1 ⎞⎪ ⎧⎡⎛ yi x iT β ⎞ ⎛ 1 1 ⎞⎤ ⎫ ⎪ *
⎟ ⎜ + ⎟⎥ ⎪ ⎬ + a i
= ⎜⎜ + ⎟⎟⎨ ⎪⎢⎜⎜ +
A ⎟⎠ ⎜⎝ Di A ⎟⎠⎦⎥ ⎪ ⎪
⎝ Di A ⎠⎪ ⎪⎣⎢⎝ Di
⎬ ⎪
⎪+ ⎨
T
⎪ ⎪× ⎡⎛⎜ yi + x i β ⎞⎟ ⎛⎜ 1 + 1 ⎞⎟⎤⎪ ⎪
⎥
⎪ ⎪ ⎢⎢⎜⎝ Di
A ⎟⎠ ⎜⎝ Di A ⎟⎠⎦⎥⎪⎭ ⎪
⎩ ⎩ ⎣
⎭
2

⎛ 1 1 ⎞⎧⎪ ⎛ y xT β ⎞ ⎛ 1 1 ⎞⎫⎪
= ⎜⎜ + ⎟⎟⎨θi − ⎜⎜ i + i ⎟⎟ ⎜⎜ + ⎟⎟⎬ + a*i
A ⎠ ⎝ Di A ⎠⎪⎭
⎝ Di A ⎠⎪⎩ ⎝ Di
*
dengan ai adalah konstanta dan bebas dari θi.
−1
⎡ ⎛ Ay + D x T β ⎞ ⎛ 1
1⎞ ⎤
i
i i
⎟, ⎜⎜
⎟
⎥
(θ i | y i , β , A ) ~ Ν ⎢ ⎜⎜
+
⎟ D
A + Di
A ⎟⎠ ⎥
⎢⎣ ⎝
⎠ ⎝ i
⎦
⎛ T
Α
AD i
T
(θ i | y i , β , A ) ~ Ν ⎜⎜ xi β +
y i − xi β ,
A + Di
A + Di
⎝

(

)

⎞
⎟⎟
⎠

Berdasarkan formula tersebut diperoleh suatu
penduga:

θˆiΒ = E (θi | yi, β, A) = xiTβ + (1 – Bi)(yi - xiTβ),
B

dengan Bi = Di / (A + Di)
MSE( θˆiΒ ) = Var (θi | yi, β, A) = ADi / (A + Di )
Parameter A pada formula diatas dapat
diduga dengan metode momen, minimum
variance quadratic unbiased estimation
(MIVQUE), maximum likelihood (ML), atau
restricted/residual
maximum
likelihood
(REML). Sedangkan parameter β dapat diduga
dengan metode momen ataupun weighted least
square (WLS).
Jika A dan β diduga, maka akan diperoleh
suatu penduga empirical Bayes:
θˆiΕΒ = xiΤ βˆ + 1 − Βˆ i yi − xiT βˆ ,
dengan Βˆ i = D i /( Αˆ + D i )
Berdasarkan metode Bayes, diperoleh:
ˆ ) = ÂD / Â + D
MSE( θˆiΕΒ ) = Var (θi |yi , β̂ , Α
i
i

(

)(

)

(

)

Penduga MSE tersebut menjadi bersifat
underestimate karena adanya pendugaan pada
nilai A dan β. Hal tersebut dapat dikoreksi
dengan menggunakan pendekatan jackknife
(Jiang, Lahiri, dan Wan, 2002) maupun dengan
pendekatan bootstrap (Butar dan Lahiri (2003)
dalam
Rao
(2003)).
Penelitian
ini
menggunakan
metode
jackknife
untuk
mengoreksi MSE tersebut.

Pendekatan Jackknife dalam
Pendugaan MSE( θˆiΕΒ )
Pendekatan jackknife merupakan salah satu
metode yang sering digunakan dalam survei
karena konsepnya yang sederhana (Jiang,
Lahiri, dan Wan, 2002). Metode ini
diperkenalkan oleh Tukey (1958) dan
berkembang menjadi suatu metode yang dapat
mengoreksi bias suatu penduga. Prosedur yang
dilakukan yaitu dengan menghapus observasi
ke-i untuk i = 1,2,...,m dan selanjutnya
melakukan pendugaan parameter.
Small area estimation menerapkan metode
jackknife untuk mengoreksi pendugaan MSE
akibat adanya pendugaan β dan A, dengan:
MSE( θˆiΒ ) = ADi / (A + Di ) = g1i(A) dimana A
diduga oleh s2v (Kurnia dan Notodiputro,
2006a). Tahapan-tahapan untuk menghitung
MSEJ( θˆiΕΒ ) adalah sebagai berikut:
1.Hitung
nilai
h1i
dengan
rumus:
m
m
1
−
⎞
⎛
2
2
h 1i = g1i (s 2v ) − ⎜
⎟∑ [g1i (s v ( − u ) ) − g1i (s v )]
⎝ m ⎠ u =1
dimana
g1i(s2v(-u))
diperoleh
dengan
menghapus pengamatan ke-u pada himpunan
data g1i(s2v).
dengan
rumus:
2.Hitung
nilai
h2i

[(

) ( )]

⎛ m − 1 ⎞ m ˆ ΕΒ
EB
h2i = ⎜
⎟ ∑ θ i ( − u ) − θˆi
⎝ m ⎠ u =1
dimana ( θˆiΕΒ
( −u ) ) diperoleh dengan menghapus
2

pengamatan ke-u pada himpunan data θˆiΕΒ .
3.Hitung nilai MSE: MSEJ( θˆ ΕΒ ) = h1i + h2i
i

BAHAN DAN METODE
Bahan
Data yang digunakan dalam penelitian ini
adalah data SUSENAS 2003 dengan informasi
data berbasis rumah tangga serta PODES 2003
sebagai sumber data peubah pendukung .
Peubah respon yang menjadi perhatian
dalam penelitian ini adalah pengeluaran per
kapita anggota rumah tangga pada beberapa
desa di Kota Bogor. Peubah pendukung xi yang
diasumsikan
mempengaruhi
dan
menggambarkan pengeluaran per kapita yaitu,
x1 = persentase keluarga prasejahtera dan
sejahtera 1
x2 = persentase keluarga pengguna listrik
PLN
x3 = persentase
surat
miskin yang
dikeluarkan desa
x4 = jumlah penduduk

4

Metode
Tahapan-tahapan pada penelitian ini adalah:
1. Memilih peubah pendukung xi yang
diasumsikan
mempengaruhi
dan
menggambarkan pengeluaran per kapita
berdasarkan eksplorasi data serta penelitianpenelitian sebelumnya.
2. Menduga pengeluaran per kapita rumah
tangga untuk masing-masing kelurahan/ desa
secara langsung (direct estimation).
3. Melakukan pendugaan A dan β dengan
metode momen.
4. Menduga pengeluaran per kapita rumah
tangga untuk masing-masing kelurahan/ desa
dengan metode empirical Bayes ( θˆiΕΒ ).
5. Menghitung MSEJ( θˆ ΕΒ ) dengan konsep
i

jackknife menggunakan proc IML pada SAS
9.1.
6. Membandingkan nilai RRMSE pendugaan
langsung dan nilai RRMSEJ( θˆiΕΒ ), dengan
perhitungan RRMSE sebagai berikut:
MSE θˆi
× 100 %
RRMSE θˆi =
θˆ

( )

( )

i

Software yang digunakan adalah Minitab
14, Microsoft Excell dan SAS 9.1.

HASIL DAN PEMBAHASAN
Eksplorasi Data

Eksplorasi untuk masing-masing peubah
dilakukan dengan menggunakan scatterplot,
boxplot, dan nilai korelasi Pearson yang tersaji
Scatterplot
data
pada
Lampiran
1.
menunjukkan bahwa desa dengan pengeluaran
per kapita yang besar diindikasikan oleh
persentase keluarga pengguna listrik dan
jumlah penduduk yang besar pula. Selain itu,
desa dengan pengeluaran per kapita yang besar
diindikasikan oleh persentase keluarga
prasejahtera dan sejahtera 1 serta persentase
surat miskin yang dikeluarkan desa kecil. Nilai
korelasi Pearson yang dihasilkan juga sesuai
dengan hasil scatterplot.
Boxplot digunakan untuk mengetahui
ukuran pemusatan data. Boxplot untuk peubah
x1, x2, dan x4 menunjukkan bahwa tidak ada
data yang jauh dari kumpulan data, sedangkan
pada peubah x3 ada satu data yang agak jauh
dari kumpulan data.
Berdasarkan eksplorasi data yang telah
dilakukan, terlihat bahwa hasilnya sesuai
dengan logika. Peubah tersebut juga digunakan
dalam penelitian sebelumnya pada skripsi

(Dewi, 2006). Berdasar alasan-alasan di atas,
peubah x1, x2, x3, dan x4 cukup sesuai
digunakan untuk menggambarkan pengeluaran
per kapita rumah tangga pada beberapa desa di
Kota Bogor.
Pendugaan Langsung

Hasil yang didapatkan dari pendugaan
langsung pengeluaran per kapita yaitu besarnya
pengeluaran per kapita anggota rumah tangga
pada beberapa desa di Kota Bogor dan nilai
simpangan bakunya. Jumlah desa/kelurahan
yang diamati adalah 34 desa/kelurahan yang
ada di Kota Bogor.
Nilai ragam sampling error (Di) yang
menjadi perhatian diduga oleh si2/ni yang
merupakan rasio antara ragam di dalam area
dengan banyaknya contoh. Nilai Di dapat
dihitung dari hasil pendugaan langsung. Hasil
pendugaan langsung dan nilai ragam sampling
error (Di) dapat dilihat pada Lampiran 2.
Pendugaan langsung pengeluaran per kapita
rumah tangga pada beberapa kelurahan/desa di
Kota Bogor dilakukan berdasarkan data survei
dengan objek survei sebanyak 16 rumah tangga
untuk masing-masing desa, kecuali untuk desa
Sukadamai sebesar 15 rumah tangga. Jumlah
tersebut
termasuk
kecil
untuk
merepresentasikan seluruh rumah tangga pada
masing-masing desa, sehingga memberikan
hasil dugaan dengan ragam yang besar.
Penelitian sebelumnya (Dewi, 2006)
menggunakan prosedur proc tabulate pada SAS
9.1 untuk menghitung pengeluaran per kapita,
menggunakan lima peubah pendukung, dan
menggunakan metode REML untuk menduga
parameter A dan β. Perbedaan penelitian ini
dengan penelitian tersebut adalah perhitungan
pengeluaran per kapita menggunakan rumus
sebagai berikut:

y=

∑p
∑q

j

; j = 1,2,...,16

j

dimana;
= pengeluaran per kapita suatu desa
y

∑p

j

= jumlah pengeluaran seluruh rumah
tangga contoh selama sebulan

∑ q j = jumlah seluruh anggota rumah tangga
contoh
Penelitian ini hanya menggunakan empat
peubah pendukung, menggunakan metode
momen untuk menduga parameter A dan β, dan
menambahkan pendugaan pengeluaran per
kapita untuk desa-desa di Kota Bogor yang
tidak disurvei.

5

Pendugaan Tidak Langsung

Nilai dugaan ragam pengaruh acak
(keragaman antar desa) yang diperoleh dengan
metode momen yaitu Α̂ =100.6987, sedangkan
nilai dugaan beta ( β̂ ) tersaji pada Tabel 1.
Tabel 1. Hasil Pendugaan Beta
xi
Beta
Ragam Beta Duga
x0
-1.6806
2.57072
x1
-0.3473
5.59824
x2
0.3290
2.04967
x3
-0.2830
40.18948
x4
0.0015
0.00004

Nilai dugaan beta yang diperoleh tidak
bertentangan dengan hasil eksplorasi. Tanda
positif (+) dan negatif (-) pada dugaan
koefisien regresi sama dengan tanda pada nilai
korelasi Pearson.
Pendugaan tidak langsung pada area kecil
dalam penelitian ini menggunakan metode
empirical Bayes dengan pendekatan jackknife.
Software yang digunakan adalah SAS 9.1
dengan prosedur proc IML. Hasil perbandingan
pendugaan langsung dan tidak langsung pada
pengeluaran per kapita beberapa desa di Kota
Bogor tersaji pada Tabel 2.

Tabel 2. Pendugaan pengeluaran per kapita (x Rp. 10.000,00) dengan pendugaan langsung dan
pendekatan EB - jackknife beserta nilai RRMSE (%)
Desa
1002

Nama Desa
PAMOYANAN

Pendugaan Langsung
Theta_hat
MSE
RRMSE
19.1191

0.9293

5.0421

EB - Jackknife
Theta_hat
MSE
RRMSE
19.2372

0.9205

4.9874

1009

MUARASARI

17.9906

2.2942

8.4193

18.0240

2.2269

8.2795

1011

CIPAKU

21.4518

2.2046

6.9215

21.2751

2.1593

6.9070

1013

BATU TULIS

31.3429

4.0476

6.4189

31.0658

3.8291

6.2989

1015

EMPANG

25.2997

8.0337

11.2032

25.6703

7.3307

10.5473

1016

CIKARET

22.1055

1.7929

6.0573

22.3988

1.7607

5.9240

2002

SINDANGRASA

15.9537

2.8804

10.6382

16.0880

2.7696

10.3445

2004

KATULAMPA

83.1377

9.3593

3.6798

80.2945

8.5730

3.6465

2005

BARANANGSIANG

90.7744

15.4758

4.3337

86.9504

14.7351

4.4147

2006

SUKASARI

22.2171

1.3323

5.1953

22.2820

1.3081

5.1328

3001

BANTARJATI

37.4703

39.9670

16.8719

40.2468

29.5742

13.5122

3002

TEGALGUNDIL

15.6954

2.0068

9.0258

16.0259

1.9954

8.8145

3004

CIMAHPAR

19.7865

10.1551

16.1054

20.1946

9.1058

14.9425

3006

CIBULUH

33.3486

6.3171

7.5367

33.7739

5.9061

7.1956

3007

KEDUNGHALANG

32.2212

5.4344

7.2349

31.8530

5.1364

7.1151

3008

CIPARIGI

29.2072

10.5921

11.1430

30.8084

9.8066

10.1646

4002

GUDANG

19.3093

2.4111

8.0415

19.1262

2.3498

8.0146

4004

TEGAL LEGA

70.2715

14.1207

5.3475

65.5288

12.4862

5.3924

4006

SEMPUR

62.9482

47.7744

10.9803

51.5552

30.2529

10.6687

4010

KEBON KELAPA

19.2118

5.1451

11.8067

19.7593

4.8433

11.1378

5002

PASIR KUDA

23.5635

1.0743

4.3987

23.5869

1.0592

4.3633

5003

PASIR JAYA

22.9930

3.8767

8.5632

23.1314

3.7352

8.3552

5004

GUNUNG BATU

22.3138

1.2109

4.9315

22.4463

1.1955

4.8710

5006

MENTENG

25.4122

8.6638

11.5827

25.8190

7.7591

10.7887

5008

CILENDEK BARAT

17.3314

1.2641

6.4873

17.6725

1.2568

6.3435

5009

SINDANGBARANG

25.2394

7.0908

10.5504

25.8323

6.5624

9.9167

5015

CURUGMEKAR

33.1897

8.8772

8.9771

32.8701

8.0614

8.6378

6001

KEDUNGWARINGIN

40.3853

3.8766

4.8753

40.2849

3.6994

4.7744

6003

KEBON PEDES

63.9131

25.8852

7.9604

60.4054

20.5842

7.5109

6004

TANAH SAREAL

25.0582

4.9867

8.9117

24.8285

4.7188

8.7492
13.5023

6005

KEDUNGBADAK

31.1814

24.5786

15.8995

33.5947

20.5759

6007

SUKADAMAI

26.8992

44.1745

24.7085

28.6054

28.5596

18.6822

6009

KAYUMANIS

36.9552

55.4564

20.1512

30.8806

32.1790

18.3697

6011

KENCANA

14.6173

1.2836

7.7509

14.6436

1.2624

7.6728

6

Pengeluaran per kapita rumah tangga untuk
masing-masing desa dengan pendugaan tidak
langsung tidak berbeda jauh nilainya dengan
hasil pendugaan langsung. Ada beberapa desa
yang mempunyai nilai dugaan pengeluaran per
kapita sangat besar dibanding desa yang lain
yaitu Katulampa, Baranangsiang, Tegal Lega,
Sempur, dan Kebon Pedes. Desa-desa tersebut
merupakan desa dengan sumber utama
penghasilan penduduknya adalah industri,
perdagangan, dan jasa. Sebagian besar
penduduknya juga sudah berlangganan telepon,
menggunakan bahan bakar gas untuk memasak,
dan sumber air untuk minum/memasak
bersumber dari PAM/air kemasan dan sumur.
Beberapa desa letaknya dekat dengan pusat
kota, mempunyai perguruan tinggi/akademi,
dan fasilitas pendidikannya cukup memadai.
Berdasarkan pada karakteristik-karakteristik
tersebut, desa-desa dengan nilai dugaan
pengeluaran per kapita yang besar dapat
digolongkan sebagai desa yang cukup maju
dibandingkan desa-desa yang lain.
Nilai MSE ( θˆiΕΒ ) yang diperoleh dengan
pendekatan jackknife sangat beragam dengan
jangkauan
nilai
yang
cukup
besar.
Perbandingan nilai MSE pendugaan langsung
dan MSE EB-jackknife terdapat pada Tabel 2.
Boxplot perbandingan nilai MSE dari hasil
pendugaan langsung (MSE_n) dan MSE EBjackknife (MSE_j) tersaji pada Gambar 1.
Boxplot
60

50

Dat a

40

30

Perbandingan beberapa statistik untuk MSE
dari hasil pendugaan langsung dan MSE EBjackknife terdapat pada Tabel 3.
Tabel 3. Perbandingan statistik MSE
Statistik MSE
Nilai minimum
Nilai maksimum
Rataan
Q1
Median
Q3
Jangkauan

Pendugaan
Langsung
0.9293
55.4564
11.3110
2.1552
5.2898
11.4743
54.5271

EB jackknife
0.9205
32.1790
8.7729
2.1183
4.9899
10.4765
31.2585

Evaluasi hasil pendugaan langsung dan
tidak langsung dapat diketahui dengan
membandingkan nilai RRMSE keduanya. Nilai
RRMSE untuk metode EB-jackknife secara
umum lebih kecil daripada nilai RRMSE pada
pendugaan
langsung,
kecuali
untuk
desa/kelurahan Baranangsiang dan Tegal Lega.
Hal ini menunjukkan bahwa pendugaan tidak
langsung menggunakan metode EB-jackknife
dapat memperbaiki hasil pendugaan langsung.
Hasil tersebut juga memperlihatkan bahwa
small area estimation baik digunakan untuk
pendugaan
parameter
pada
level
desa/kelurahan yang memiliki ukuran contoh
kecil (15 dan 16 rumah tangga) dengan nilai
keragaman antar desa yang besar.
Ada beberapa desa di Kota Bogor yang
tidak disurvei pada SUSENAS 2003. Konsep
penduga sintetik dapat digunakan untuk
menduga pengeluaran per kapita desa-desa
yang tidak disurvei tersebut, dengan asumsi
perilaku antar desa di Kota Bogor sama (nilai
β̂ sama). Nilai harapan dari model small area
adalah xiTβ, sehingga pengeluaran per kapita
dihitung dengan rumus:

ŷ i = x iT β̂

20

Sedangkan rumus pendugaan MSE adalah:

10

0
MSE_n

MSE_j

Gambar 1. Boxplot nilai MSEJ( θˆiΕΒ )
Semua nilai MSE untuk metode empirical
Bayes lebih kecil daripada nilai MSE pada
pendugaan langsung. Bahkan terdapat beberapa
desa dengan nilai MSE EB-jackknife jauh lebih
kecil dari nilai MSE pendugaan langsung.
Beberapa desa masih memiliki nilai
MSEJ( θˆiΕΒ ) yang cukup besar, di atas 20, yaitu
desa Bantarjati, Sempur, Kebon Pedes,
Kedungbadak, Sukadamai, dan Kayumanis.
Hal ini terjadi karena nilai ragam sampling
error (Di) pada desa-desa tersebut juga besar.

(

) ∑x

MSE (ŷ i ) = Var x iT βˆ =

4

p=0

2
pi

( )

Var βˆ pi

Hasil pendugaan pengeluaran per kapita untuk
desa-desa yang tidak disurvei terdapat pada
Lampiran 3.
Kajian lebih lanjut diperlukan untuk
penyelesaian pendugaan area kecil dengan
berbagai metode terutama dalam penerapannya
pada data BPS. Pemilihan peubah pendukung
pada pendugaan tidak langsung sangat penting
untuk mendapatkan model yang sesuai. Peubah
pendukung yang dipilih sebaiknya benar-benar
berkaitan dengan peubah respon, sesuai dengan
logika
yang
telah
ada
dan
dapat
menggambarkan peubah respon dengan baik.

7

KESIMPULAN
Pendugaan tidak langsung pada area kecil
menggunakan metode empirical Bayes dengan
pendekatan jackknife memiliki presisi yang
baik dalam menduga pengeluaran per kapita
rumah tangga di Kota Bogor. Pendugaan tidak
langsung tersebut mampu memperbaiki nilai
RRMSE pendugaan langsung meskipun
kondisi datanya memiliki ragam sampling
error yang heterogen dan keragaman antar desa
yang besar. Namun demikian, masih ada nilai
RRMSE pendugaan tidak langsung yang lebih
besar dari nilai RRMSE pendugaan langsung.

DAFTAR PUSTAKA
Badan Pusat Statistik. 2003.http://www.bps.
go.id/publikasi/2003[ Agustus 15, 2007]
Dewi, L. 2006. Penerapan Metode Empirical
Bayes pada Model Small Area Estimation
dalam Pendugaan Pengeluaran Per Kapita
di Kota Bogor [skripsi]. Bogor: Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Institut Pertanian Bogor.
Ghosh, M. dan Rao, J.N.K.1994. Small Area
Estimation : An Appraisal. Statistical
Science, 9, No. 1, p:55-93.

Jiang, J., Lahiri, P., dan Wan. S. M. 2002. A
Unified Jackknife Theory, Annals of
Statistics, 30.
Kurnia, A. dan Notodiputro, K.A. 2006a.
Penggunaan Metode Jackknife dalam
Pendugaan
Area
Kecil.
Makalah
disampaikan pada Seminar Nasional
Matematika. UNPAD Bandung, 22 April
2006.
Kurnia, A. dan Notodiputro, K.A. 2006b. EBEBLUP MSE Estimator on Small Area
Estimation with Application to BPS Data.
Paper presented in International Conference
on Mathematical Sciences 1. Bandung 1921 June 2006.
Longford, N. T. 2005. Missing Data and Small
Area Estimation : Modern Analytical
Equipment for the Survey Statistician. New
York : Springer Science + Business Media,
Inc.
Rao, J. N. K. 2003. Small Area Estimation.
New Jersey: John Willey & Sons, Inc.
Saei, A. dan Chambers. 2003. Small Area
Estimation : A Review of Methods Based
on the application of Mixed Models. S3RI
Methodologi Working Paper M03/16.
University of Southampton, UK.

LAMPIRAN

9

Lampiran 1. Scatterplot, boxplot, dan nilai korelasi peubah-peubah pendukung (xi)

Scatterplot
x1

x2

1000000

pengeluaran per kapit a

800000
600000
400000
200000
0

15

30

45

60

20

40

x3

1000000

60

80

100

x4

800000
600000
400000
200000
0

5

10

15

20
5000

10000

15000

20000

Boxplot
x1
60

80

45

60

30

40

15

20

0
20

x2
100

x3

25000

15

20000

10

15000

5

10000

0

5000

Korelasi xi dengan pengeluaran per kapita:
rx1 = -0.264
rx2 = 0.282
rx3 = -0.104
rx4 = 0.425

x4

25000

10

Lampiran 2. Pendugaan langsung pengeluaran per kapita (x Rp. 10.000,00) beserta nilai Di

Desa
1002
1009
1011
1013
1015
1016
2002
2004
2005
2006
3001
3002
3004
3006
3007
3008
4002
4004
4006
4010
5002
5003
5004
5006
5008
5009
5015
6001
6003
6004
6005
6007
6009
6011

Nama Desa
PAMOYANAN
MUARASARI
CIPAKU
BATU TULIS
EMPANG
CIKARET
SINDANGRASA
KATULAMPA
BARANANGSIANG
SUKASARI
BANTARJATI
TEGALGUNDIL
CIMAHPAR
CIBULUH
KEDUNGHALANG
CIPARIGI
GUDANG
TEGAL LEGA
SEMPUR
KEBON KELAPA
PASIR KUDA
PASIR JAYA
GUNUNG BATU
MENTENG
CILENDEK BARAT
SINDANGBARANG
CURUGMEKAR
KEDUNGWARINGIN
KEBON PEDES
TANAH SAREAL
KEDUNGBADAK
SUKADAMAI
KAYUMANIS
KENCANA

N
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
15
16
16

Pengeluaran
per kapita
19.1191
17.9906
21.4518
31.3429
25.2997
22.1055
15.9537
83.1377
90.7744
22.2171
37.4703
15.6954
19.7865
33.3486
32.2212
29.2072
19.3093
70.2715
62.9482
19.2118
23.5635
22.9930
22.3138
25.4122
17.3314
25.2394
33.1897
40.3853
63.9131
25.0582
31.1814
26.8992
36.9552
14.6173

StDev
3.8561
6.0587
5.9392
8.0474
11.3375
5.3560
6.7887
12.2372
15.7357
4.6170
25.2878
5.6665
12.7468
10.0535
9.3247
13.0182
6.2110
15.0310
27.6476
9.0731
4.1460
7.8757
4.4016
11.7737
4.4973
10.6514
11.9179
7.8757
20.3510
8.9324
19.8307
25.7414
29.7876
4.5319

Di
0.9293
2.2942
2.2046
4.0476
8.0337
1.7929
2.8804
9.3593
15.4758
1.3323
39.9670
2.0068
10.1551
6.3171
5.4344
10.5921
2.4111
14.1207
47.7744
5.1451
1.0743
3.8767
1.2109
8.6638
1.2641
7.0908
8.8772
3.8766
25.8852
4.9867
24.5786
44.1745
55.4564
1.2836

11

Lampiran 3. Pendugaan pengeluaran per kapita (x Rp. 10.000,00) untuk desa yang tidak disurvei
beserta nilai RRMSE (%)

Nama Desa
MULYAHARJA
RANGGAMEKAR
GENTENG
BOJONGKERTA
HARJASARI
PAKUAN
LAWANG GINTUNG
BONDONGAN
SINDANG SARI
TAJUR
TANAH BARU
CILUAR
PALEDANG
BABAKAN PASAR
BABAKAN
PABATON
CIBOGOR
PANARAGAN
CIWARINGIN
PASIR MULYA
LOJI
CILENDEK TIMUR
MARGAJAYA
BALUMBANG JAYA
BUBULAK
SEMPLAK
CURUG
KEDUNGJAYA
SUKARESMI
CIBADAK
MEKARWANGI

Pengeluaran
per Kapita
31.9639
33.4561
22.1764
29.0968
33.4401
19.3847
27.6699
33.6287
29.4229
28.0761
45.8028
18.3914
34.1114
23.0592
26.5659
23.3994
25.6134
14.6340
36.4841
22.3987
29.8252
26.6234
30.3393
26.0864
22.2129
17.5101
29.7435
30.4747
30.8295
37.3416
22.5034

MSE
2.7144
3.0821
3.4638
2.7861
2.5359
4.2761
1.0697
3.3373
3.2154
2.5875
3.2873
1.9703
2.3757
2.9059
1.6324
1.8963
1.7711
2.6196
2.1587
2.1103
3.2767
3.5175
2.4968
2.9556
1.5797
4.5532
2.8444
2.8173
3.1219
3.2635
0.9840

RRMSE
5.1544
5.2475
8.3924
5.7366
4.7621
10.6680
3.7378
5.4323
6.0944
5.7293
3.9585
7.6322
4.5185
7.3925
4.8093
5.8850
5.1958
11.0599
4.0271
6.4856
6.0692
7.0446
5.2081
6.5904
5.6582
12.1860
5.6702
5.5078
5.7312
4.8378
4.4081

PENERAPAN METODE EMPIRICAL BAYES
PADA PENDUGAAN AREA KECIL
(Studi Kasus Pendugaan Pengeluaran Per Kapita di Kota Bogor Tahun 2003)

ARTA YUNITA
G14103014

DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2008

1

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

Latar Belakang

Pengeluaran Per Kapita

Dewasa ini permintaan akan statistik area
kecil (small area statistics) semakin meningkat
dalam berbagai bidang. Pendugaan area kecil
sangat dibutuhkan untuk mendapatkan
informasi-informasi pada area kecil, misalnya
pada lingkup kabupaten/kota, kecamatan,
maupun kelurahan/desa. Informasi tersebut
menjadi sangat penting seiring dengan
berkembangnya era otonomi daerah di
Indonesia karena dapat digunakan sebagai
acuan
menyusun
sistem
perencanaan,
pemantauan, dan kebijakan daerah lainnya
tanpa harus mengeluarkan biaya besar untuk
mengumpulkan data sendiri. Metode yang terus
dikembangkan untuk menduga statistik area
kecil adalah pendugaan area kecil (small area
estimation).
Pendugaan
secara
langsung
(direct
estimation) pada area kecil akan menghasilkan
nilai ragam yang besar jika contoh yang
diambil berasal dari data survei yang dirancang
untuk skala besar/nasional. Hal ini disebabkan
oleh ukuran contoh yang terambil pada area
tersebut kecil. Salah satu solusi yang digunakan
adalah melakukan pendugaan tidak langsung
dengan cara menambahkan peubah-peubah
pendukung dalam menduga parameter. Peubah
pendukung tersebut berupa informasi dari area
lain yang serupa, survei terdahulu pada area
yang sama, atau peubah lain yang berhubungan
dengan peubah yang ingin diduga.
Evaluasi hasil pendugaan tidak langsung
dapat diketahui dengan membandingkan nilai
RRMSE (Relative Root Mean Squared Error)
pendugaan langsung dengan nilai RRMSE
pendugaan tidak langsung. Pendugaan tidak
langsung untuk area kecil dalam penelitian ini
diterapkan untuk kasus pendugaan pengeluaran
per kapita di Kota Bogor tahun 2003. Metode
yang digunakan untuk menduga pengeluaran
per kapita tersebut adalah metode empirical
Bayes dengan pendekatan jackknife untuk
menghitung MSE.

Pengeluaran per kapita menunjukkan
besarnya pengeluaran setiap anggota rumah
tangga dalam kurun waktu satu bulan (BPS,
2003). Pengertian rumah tangga yang
dimaksud pada definisi di atas yaitu
sekelompok orang yang mendiami sebagian
atau seluruh bangunan fisik dan biasanya
tinggal bersama serta makan dari satu dapur
(BPS, 2003). Satu rumah tangga bisa terdiri
dari satu, dua, atau lebih kepala keluarga.
Perhitungan pengeluaran per kapita
dirumuskan sebagai berikut:
p
y =
q
dimana;
y = pengeluaran per kapita
p = pengeluaran rumah tangga sebulan
q = jumlah anggota rumah tangga

Tujuan
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Mengkaji metode empirical Bayes pada
pendugaan area kecil.
2. Menerapkan metode empirical Bayes untuk
menduga pengeluaran per kapita di Kota
Bogor tahun 2003.

Pendugaan Area Kecil
Pendugaan area kecil saat ini sangat umum
digunakan dalam survey sampling, dimana
banyak metode analisis data telah dikemukakan
dalam beberapa literatur. Area kecil (small
area) diartikan sebagai bagian dari wilayah
populasi (small domain) baik berdasarkan
geografi, ekonomi, sosial budaya, ataupun yang
lainnya (Rao, 2003). Suatu daerah disebut
small area jika dalam daerah tersebut jumlah
contoh yang terambil kurang besar untuk
mendapatkan nilai pendugaan langsung yang
akurat. Nilai pendugaan langsung pada area
kecil merupakan penduga tak bias tetapi
memiliki ragam yang besar karena diperoleh
dari ukuran contoh yang kecil (Ramsini et.al
(2001) dalam Kurnia dan Notodiputro
(2006b)).
Metode pendugaan yang dapat digunakan
untuk mendapatkan pendugaan area kecil yaitu
pendugaan langsung dan pendugaan tidak
langsung. Pendugaan tidak langsung (indirect
estimation)
dilakukan
dengan
cara
memanfaatkan informasi peubah lain yang
berhubungan dengan parameter yang diamati.
Contoh informasi yang dapat digunakan adalah
catatan sensus ataupun survei pada area
tersebut. Ada beberapa metode pada pendugaan
tidak langsung untuk area kecil antara lain
EBLUP (Empirical Best Linear Unbiased
Prediction), EB (Empirical Bayes), dan HB
(Hierarchical Bayes).

1

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

Latar Belakang

Pengeluaran Per Kapita

Dewasa ini permintaan akan statistik area
kecil (small area statistics) semakin meningkat
dalam berbagai bidang. Pendugaan area kecil
sangat dibutuhkan untuk mendapatkan
informasi-informasi pada area kecil, misalnya
pada lingkup kabupaten/kota, kecamatan,
maupun kelurahan/desa. Informasi tersebut
menjadi sangat penting seiring dengan
berkembangnya era otonomi daerah di
Indonesia karena dapat digunakan sebagai
acuan
menyusun
sistem
perencanaan,
pemantauan, dan kebijakan daerah lainnya
tanpa harus mengeluarkan biaya besar untuk
mengumpulkan data sendiri. Metode yang terus
dikembangkan untuk menduga statistik area
kecil adalah pendugaan area kecil (small area
estimation).
Pendugaan
secara
langsung
(direct
estimation) pada area kecil akan menghasilkan
nilai ragam yang besar jika contoh yang
diambil berasal dari data survei yang dirancang
untuk skala besar/nasional. Hal ini disebabkan
oleh ukuran contoh yang terambil pada area
tersebut kecil. Salah satu solusi yang digunakan
adalah melakukan pendugaan tidak langsung
dengan cara menambahkan peubah-peubah
pendukung dalam menduga parameter. Peubah
pendukung tersebut berupa informasi dari area
lain yang serupa, survei terdahulu pada area
yang sama, atau peubah lain yang berhubungan
dengan peubah yang ingin diduga.
Evaluasi hasil pendugaan tidak langsung
dapat diketahui dengan membandingkan nilai
RRMSE (Relative Root Mean Squared Error)
pendugaan langsung dengan nilai RRMSE
pendugaan tidak langsung. Pendugaan tidak
langsung untuk area kecil dalam penelitian ini
diterapkan untuk kasus pendugaan pengeluaran
per kapita di Kota Bogor tahun 2003. Metode
yang digunakan untuk menduga pengeluaran
per kapita tersebut adalah metode empirical
Bayes dengan pendekatan jackknife untuk
menghitung MSE.

Pengeluaran per kapita menunjukkan
besarnya pengeluaran setiap anggota rumah
tangga dalam kurun waktu satu bulan (BPS,
2003). Pengertian rumah tangga yang
dimaksud pada definisi di atas yaitu
sekelompok orang yang mendiami sebagian
atau seluruh bangunan fisik dan biasanya
tinggal bersama serta makan dari satu dapur
(BPS, 2003). Satu rumah tangga bisa terdiri
dari satu, dua, atau lebih kepala keluarga.
Perhitungan pengeluaran per kapita
dirumuskan sebagai berikut:
p
y =
q
dimana;
y = pengeluaran per kapita
p = pengeluaran rumah tangga sebulan
q = jumlah anggota rumah tangga

Tujuan
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Mengkaji metode empirical Bayes pada
pendugaan area kecil.
2. Menerapkan metode empirical Bayes untuk
menduga pengeluaran per kapita di Kota
Bogor tahun 2003.

Pendugaan Area Kecil
Pendugaan area kecil saat ini sangat umum
digunakan dalam survey sampling, dimana
banyak metode analisis data telah dikemukakan
dalam beberapa literatur. Area kecil (small
area) diartikan sebagai bagian dari wilayah
populasi (small domain) baik berdasarkan
geografi, ekonomi, sosial budaya, ataupun yang
lainnya (Rao, 2003). Suatu daerah disebut
small area jika dalam daerah tersebut jumlah
contoh yang terambil kurang besar untuk
mendapatkan nilai pendugaan langsung yang
akurat. Nilai pendugaan langsung pada area
kecil merupakan penduga tak bias tetapi
memiliki ragam yang besar karena diperoleh
dari ukuran contoh yang kecil (Ramsini et.al
(2001) dalam Kurnia dan Notodiputro
(2006b)).
Metode pendugaan yang dapat digunakan
untuk mendapatkan pendugaan area kecil yaitu
pendugaan langsung dan pendugaan tidak
langsung. Pendugaan tidak langsung (indirect
estimation)
dilakukan
dengan
cara
memanfaatkan informasi peubah lain yang
berhubungan dengan parameter yang diamati.
Contoh informasi yang dapat digunakan adalah
catatan sensus ataupun survei pada area
tersebut. Ada beberapa metode pada pendugaan
tidak langsung untuk area kecil antara lain
EBLUP (Empirical Best Linear Unbiased
Prediction), EB (Empirical Bayes), dan HB
(Hierarchical Bayes).

2

Small
area
estimation
merupakan
pendugaan suatu area yang lebih kecil dengan
memanfaatkan informasi dari luar area,
informasi dari dalam area itu sendiri, dan dari
luar survei (Longford, 2005). Pendugaan secara
tidak langsung pada small area estimation
mempunyai beberapa keuntungan, yaitu
mendapatkan penduga optimal, memperoleh
model valid yang berasal dari data contoh,
serta dapat menjelaskan berbagai macam model
berdasar pada respon alami suatu peubah dan
kekomplekan struktur data (Rao, 2003).
Penduga Sintetik
Penduga sintetik merupakan penduga tak
bias yang diperoleh dari sebuah survei contoh
untuk area yang besar, ketika penduga ini
digunakan sebagai penduga untuk sub-area
(area yang lebih kecil) dengan mengasumsikan
bahwa sub-area tersebut memiliki karakteristik
yang sama dengan area besar (Gonzales (1973)
dalam Ghosh dan Rao (1994)). Metode ini
cocok digunakan untuk semua desain sampling.
Penduga sintetik pada pendugaan area kecil
dapat digunakan untuk menduga nilai respon
pada sub-area yang tidak disurvei. Penduga
sintetik dapat memberikan dugaan dengan
memanfaatkan informasi dari area kecil lain
yang diasumsikan mirip dengan area kecil yang
akan diduga.
Model Area Kecil
Pendugaan area kecil terdiri atas dua jenis
model dasar yaitu basic area level model dan
basic unit level model (Rao, 2003).
a. Basic area level (type A) model yaitu model
yang didasarkan pada ketersediaan data
pendukung yang hanya ada untuk level area
tertentu, misalkan xi = (x1i,…,xpi)T dan
parameter yang akan diduga θi, diasumsikan
mempunyai hubungan dengan xi. Data
pendukung tersebut digunakan untuk
membangun model: θi = xiT β + bivi ,
i =1,…,m dengan vi ~ N(0, σ2v), sebagai
pengaruh acak yang diasumsikan normal.
Kesimpulan mengenai θi, dapat diketahui
dengan mengasumsikan bahwa model
penduga langsung yi telah tersedia yaitu:
yi = θi + ei , i =1,…,m dengan sampling
error ei ~ N(0, σ2ei) dan σ2ei diketahui.
Pada akhirnya, kedua model digabungkan
dan menghasilkan model