Penyelesaian Nonlinieritas METODOLOGI DAN PEMROGRAMAN

III - 7

3.4. Penyelesaian Nonlinieritas

Permasalahan nonlinier dapat didekati dengan beberapa metode antara lain: a Metode Newton-Rapshon Newton-Rapshon methods b Metode Modifikasi Newton-Rapshon modified Newton-Rapshon methods c Metode iterasi langsung direct iteration methods d Metode kekakuan tangensial tangential stiffness methods Dalam tesis ini digunakan metode Newton-Rapshon, langkah-langkah dalam setiap kali iterasi dalam metode Newton-Rapshon dapat dilustrasikan pada gambar III.2. Gambar 3.3. Metode Newton-Rapshon Anggap kondisi konvergen telah tercapai pada pembebanan P A , perpindahan yang didapat pada pembebanan tersebut adalah u A . Jika pembebanan berikutnya adalah P B maka inkrementasi beban yang harus dikenakan pada struktur adalah P B - P A . Pada iterasi pertama inkrementasi beban P B - P A dapat diinterpretasikan sebagai suatu ketidak seimbangan gaya atau gaya residu. Iterasi pertama dimulai dari pembentukan kekakuan tangen K A akibat 0 u A u 1 u 2 u B P A P 1 P B P A - P B P B - P 1 u P ∆u 1 ∆u 2 A 1 2 b a B K A K 1 III - 8 perpindahan struktur u A . Sehingga pertambahan perpindahan ∆u 1 = [ K A ] -1 P B – P A . Dengan demikian perpindahan keseluruhan menjadi u 1 = u A + ∆u 1 , dengan mengurai perpindahan struktur u 1 menjadi perpindahan titik nodal elemen maka tegangan-tegangan pada elemen dapat dihitung. Gaya-gaya ekuivalen pada titik-ttitk nodal merupakan hasil penjumlahan dari seluruh gaya ekuivalen elemen yang ada, anggap gaya ekuivalen tersebut adalah P 1 . selisih antara gaya luar dan gaya ekuivalen P B – P 1 merupakan gaya sisa yang harus diselesaikan pada iterasi berikutnya. Iterasi kedua dimulai juga dengan membentuk kekakuan tangen struktur K 1 baru pada akhir iterasi pertama . Pertambahan perpindahan ∆u 2 akibat gaya residu dapat ditentukan, dimana u 2 = u 1 + ∆u 2 . Dengan mengurai perpindahan struktur u 2 menjadi perpindahan-perpindahan titik nodal pada elemen maka tegangan-tegangan pada elemen dapat dihitung. Selisih antara gaya luar dan gaya ekuivalen P B – P 2 merupakan gaya residu yang harus diselesaikan pada iterasi ketiga, demikian dan seterusnya iterasi dilakukan sampai kondisi konvergen tercapai, seperti yang dikemukakan Nuroji 2004.

3.5. Pemilihan Orde