Pemilihan Orde METODOLOGI DAN PEMROGRAMAN

III - 8 perpindahan struktur u A . Sehingga pertambahan perpindahan ∆u 1 = [ K A ] -1 P B – P A . Dengan demikian perpindahan keseluruhan menjadi u 1 = u A + ∆u 1 , dengan mengurai perpindahan struktur u 1 menjadi perpindahan titik nodal elemen maka tegangan-tegangan pada elemen dapat dihitung. Gaya-gaya ekuivalen pada titik-ttitk nodal merupakan hasil penjumlahan dari seluruh gaya ekuivalen elemen yang ada, anggap gaya ekuivalen tersebut adalah P 1 . selisih antara gaya luar dan gaya ekuivalen P B – P 1 merupakan gaya sisa yang harus diselesaikan pada iterasi berikutnya. Iterasi kedua dimulai juga dengan membentuk kekakuan tangen struktur K 1 baru pada akhir iterasi pertama . Pertambahan perpindahan ∆u 2 akibat gaya residu dapat ditentukan, dimana u 2 = u 1 + ∆u 2 . Dengan mengurai perpindahan struktur u 2 menjadi perpindahan-perpindahan titik nodal pada elemen maka tegangan-tegangan pada elemen dapat dihitung. Selisih antara gaya luar dan gaya ekuivalen P B – P 2 merupakan gaya residu yang harus diselesaikan pada iterasi ketiga, demikian dan seterusnya iterasi dilakukan sampai kondisi konvergen tercapai, seperti yang dikemukakan Nuroji 2004.

3.5. Pemilihan Orde

Gauss Quadratur Jumlah titik Gauss yang digunakan dalam mengevaluasi matrik kekakuan pada elemen quadrilateral 8 titik nodal ditentukan dengan cara membuat perbandingan analisis integrasi Gauss dengan menggunakan orde 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4 dan 5 × 5 sebagai berikut. ∫ ∫ ∑∑ − − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 1 1 1 1 , , i j i i j i W W d d I η ξ φ η ξ η ξ φ dimana : η ξ φ , merupakan salah satu elemen matrik kekakuan untuk elemen quadrilateral 8 titik nodal, dengan fungsi sebagai berikut untuk harga elastisitas beton E c = 25000 MPa serta Poisson ratio υ = 0.2. { } { } 2 2 2 2 4 2 3 2 3 4 4 2 2 2 2 67 . 10416 2 6 . 1627 , η ξ η ξ ξ η ξ η ξ ξη ξη η η ξ ξ η ξ φ + − × + − + + − − − × = Hasil analisis dapat dilihat dalam tabel berikut III - 9 Tabel 3.1. Analisis Gauss Quadratur ORDE GAUSS QUADRATUR 2 x 2 W1 = 1 ξ dan η = 0.5773502692 ξ dan η = -0.5773502692 1 ξ ,η -0.5773502692 -0.5773502692 = 8759.5722269 2 ξ ,η -0.5773502692 0.5773502692 = 587.9482101 3 ξ ,η 0.5773502692 -0.5773502692 = 8189.0621606 4 ξ ,η 0.5773502692 0.5773502692 = 740.8159217 TOTAL 18277.3985192 ORDE GAUSS QUADRATUR 3 X 3 W1 = 0.555555555556 W2 = 0.888888888889 ξ dan η = -0.774596692241 ξ dan η = 0.000000000000 ξ dan η = 0.774596692241 1 ξ ,η -0.774596692241 -0.774596692241 = 5906.047099 2 ξ ,η -0.774596692241 0 = 3568.672805 3 ξ ,η -0.774596692241 0.774596692241 = -152.3073797 4 ξ ,η 0 -0.774596692241 = -578.702291 5 ξ ,η 0 = 6 ξ ,η 0.774596692241 = -578.702291 7 ξ ,η 0.774596692241 -0.774596692241 = 5264.195116 8 ξ ,η 0.774596692241 0 = 3568.672805 9 ξ ,η 0.774596692241 0.774596692241 = -70.78149805 TOTAL 16927.0943644 ORDE GAUSS QUADRATUR 4 X 4 W1 = 0.347854845137 W2 = 0.652145154863 ξ dan η = -0.861136344594 ξ dan η = -0.339981043585 ξ dan η = 0.339981043585 ξ dan η = 0.861136311594 1 ξ ,η -0.861136344594 -0.861136344594 = 3086.748022 2 ξ ,η -0.861136344594 -0.339981043585 = 3381.000237 3 ξ ,η -0.861136344594 0.339981043585 = 994.4987039 4 ξ ,η -0.861136344594 0.861136311594 = -162.9214785 III - 10 5 ξ ,η -0.339981043585 -0.861136344594 = 649.5213681 6 ξ ,η -0.339981043585 -0.339981043585 = 979.8866075 7 ξ ,η -0.339981043585 0.339981043585 = 271.3062953 8 ξ ,η -0.339981043585 0.861136311594 = -397.1264962 9 ξ ,η 0.339981043585 -0.861136344594 = 351.1420919 10 ξ ,η 0.339981043585 -0.339981043585 = 955.1019064 11 ξ ,η 0.339981043585 0.339981043585 = 283.5142087 12 ξ ,η 0.339981043585 0.861136311594 = -374.8637307 13 ξ ,η 0.861136311594 -0.861136344594 = 2683.622861 14 ξ ,η 0.861136311594 -0.339981043585 = 3347.514642 15 ξ ,η 0.861136311594 0.339981043585 = 1010.992111 16 ξ ,η 0.861136311594 0.861136311594 = -132.8434041 TOTAL 16927.0939449 ORDE GAUSS QUADRATUR 5 X 5 W1 = 0.236926885056 W2 = 0.478628670499 W3 = 0.568888888889 ξ dan η = -0.906179845939 ξ dan η = -0.538469310106 ξ dan η = 0.000000000000 ξ dan η = 0.538469310106 ξ dan η = 0.906179845939 1 ξ ,η -0.906179845939 -0.906179845939 = 1645.893372 2 ξ ,η -0.906179845939 -0.538469310106 = 2376.227922 3 ξ ,η -0.906179845939 0.000000000000 = 1333.064235 4 ξ ,η -0.906179845939 0.538469310106 = 282.0718287 5 ξ ,η -0.906179845939 0.906179845939 = -106.113611 6 ξ ,η -0.538469310106 -0.906179845939 = 1070.210134 7 ξ ,η -0.538469310106 -0.538469310106 = 1673.996599 8 ξ ,η -0.538469310106 0.000000000000 = 950.8862244 9 ξ ,η -0.538469310106 0.538469310106 = 154.7773636 10 ξ ,η -0.538469310106 0.906179845939 = -239.530265 11 ξ ,η 0.000000000000 -0.906179845939 = -295.8537435 12 ξ ,η 0.000000000000 -0.538469310106 = -74.51567875 13 ξ ,η 0.000000000000 0.000000000000 = 14 ξ ,η 0.000000000000 0.538469310106 = -74.51567875 15 ξ ,η 0.000000000000 0.906179845939 = -295.8537435 16 ξ ,η 0.538469310106 -0.906179845939 = 788.2687955 17 ξ ,η 0.538469310106 -0.538469310106 = 1577.545372 18 ξ ,η 0.538469310106 0.000000000000 = 950.8862244 19 ξ ,η 0.538469310106 0.538469310106 = 183.7120983 20 ξ ,η 0.538469310106 0.906179845939 = -225.6534108 21 ξ ,η 0.906179845939 -0.906179845939 = 1411.023217 22 ξ ,η 0.906179845939 -0.538469310106 = 2295.879596 23 ξ ,η 0.906179845939 0.000000000000 = 1333.064235 24 ξ ,η 0.906179845939 0.538469310106 = 306.1757989 25 ξ ,η 0.906179845939 0.906179845939 = -94.55355062 TOTAL 16927.0933333 III - 11 HUBUNGAN NILAI DAN ORDE GAUSS QUADRATUR elemen quadrilateral 8 titik nodal 0.00E+00 2.00E+03 4.00E+03 6.00E+03 8.00E+03 1.00E+04 1.20E+04 1.40E+04 1.60E+04 1.80E+04 2.00E+04 1 2 3 4 5 6 ORDE GAUSS QUADRATUR NI L A I Gambar 3.4. Grafik hubungan orde Gauss Quadratur dengan hasil integrasi Gauss. Grafik 3.4. menunjukkan orde 2 × 2 memiliki nilai yang berbeda sementara untuk orde 3 × 3, 4 × 4 dan 5 × 5 menunjukan nilai yang sama, untuk itu dalam tesis ini digunakan orde 3 × 3 dalam mengevaluasi matrik kekakuan. IV-1

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN