5
Condongcatur dan halte Gedong Kuning Banguntapan. Dan jaraknya akan diakumulasikan.
b. Kedua halte tersebut juga dipilih karena memungkinkan
penumpang untuk mengganti jalur atau trayek bus. Contohnya, di halte Yos Sudarso memungkinkan bagi penumpang untuk
mengganti trayek bus. 2.
Dalam tugas akhir ini, peneliti hanya merepresentasikan jalur transjogja ke dalam bentuk petri net tanpa melakukan eksekusi atau firing.
3. Ada beberapa hal yang diabaikan peneliti, seperti waktu yang
dibutuhkan untuk mencapai halte tujuan, kepadatan lalu lintas, jumlah penumpang dalam bus, dan masalah teknis yang dialami bus.
1.3 Rumusan masalah
Berdasarkan latar belakang masalah di atas, peneliti dapat merumuskan beberapa masalah:
1. Bagaimana merepresentasikan jalur transjogja ke dalam bentuk petri
net? 2.
Bagaimana menentukan jalur terpendek jika seseorang akan melakukan perjalanan dari Terminal Jombor menuju Terminal Giwangan?
1.4 Tujuan
Tujuan dari penelitian ini, adalah: 1.
Dapat merepresentasikan jalur transjogja ke dalam bentuk petri net.
6
2. Menentukan jalur terpendek jika seseorang akan melakukan perjalanan
dari Terminal Jombor menuju Terminal Giwangan.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini, adalah : 1.
Mampu mengaplikasikan teori dalam Matematika, khususnya aljabar max-plus ke dalam kejadian dalam kehidupan sehari-hari.
2. Menambah wawasan mengenai optimasi menggunakan aljabar max-
plus.
1.6 Metode Penelitian
Penelitian ini termasuk dalam penelitian pustaka Library Research. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini, yaitu:
1. Mengumpulkan berbagai literatur yang membahas topik tentang aljabar
max-plus dan petri net 2.
Melakukan kajian mengenai topik tersebut 3.
Mencari data mengenai transjogja, khususnya mengenai rute, trayek dan juga jarak tempuh antar halte transjogja
4. Memilih sepuluh halte berdasarkan pertimbangan tertentu. Selanjutnya
mengakumulasikan jarak halte-halte tersebut 5.
Merepresentasikan rute transjogja ke dalam bentuk petri net 6.
Membangun matriks yang elemennya merupakan jarak tempuh antar halte
7
7. Menggunakan aljabar max-plus untuk menentukan rute terpendek
1.7 Sistematika Penulisan
Tugas akhir ini dibagi menjadi empat bagian pokok bahasan, yaitu: BAB 1 : PENDAHULUAN
Pada bab ini dijelaskan mengenai latar belakang, rumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian,
dan sistematika penulisan. BAB 2 : KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI
Pada bab ini dijelaskan mengenai dasar petri net yang meliputi pemahaman mengenai graf dan komponen dalam petri net, dan istilah dalam
petri net. Selain itu, dijelaskan pula mengenai pengetian aljabar max-plus, operasi dan sifat operasi dalam aljabar max-plus, matriks dan operasi matriks
dalam aljabar max-plus, serta pengetian lintasan terpendek dan cara menentukan lintasan terpendek menggunakan aljabar max-plus.
BAB 3 : HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Pada bab ini dijelaskan mengenai penggambaran rute transjogja ke
dalam bentuk petri net, matriks yang dibangun dari petri net yang telah dibuat, langkah-langkah pencarian rute terpendek dengan aljabar max-plus,
dan penentuan rute terpendek. BAB 4 : PENUTUP
8
Pada bab ini, dijelaskan mengenai kesimpulan dari pembahasan yang telah diuraikan pada bab sebelumnya, serta saran-saran yang berkaitan
dengan pembahasan tersebut.
9
BAB II KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI
2.1. Petri Net
1. Dasar Petri Net
Petri net dikembangkan pertama kali oleh Carl Adam Petri,
pada tahun 1962. Petri net merupakan suatu graf khusus, maka untuk
memahami petri net perlu dipahami terlebih dahulu beberapa hal pada teori graf.
Definisi 2.1.1 Nugroho, 2008 Graf adalah himpunan pasangan terurut
�, �, ditulis dengan notasi
� = �, �, dimana �� adalah himpunan tak kosong dari titik- titik atau simpul-simpul vertex, dan
� � adalah himpunan sisi edge atau arc yang menghubungkan sepasang titik atau simpul. Teori graf
pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1736. Euler menggunakan teori graf untuk menyelesaikan masalah masyarakat
Königsberg, yang ingin melintasi tujuh jembatan di kota tersebut tepat sekali. Dalam kasus tersebut, Euler merepresentasikan daratan dengan
titik dan jembatan dengan sisi, seperti pada gambar 2.1.
10
Gambar 2.1 Jembatan Königsberg dan Bentuk Grafnya Menurut Nugroho 2008 terdapat beberapa istilah dalam graf,
yaitu: i.
Bertetangga adjacent. Dua titik dikatakan bertetangga jika terdapat sebuah sisi yang menghubungkan kedua titik tersebut.
ii. Bersisian incident. Untuk sembarang sisi = { , }, sisi
dikatakan bersisian dengan titik dan . Bisa juga dikatakan titik dan bersisian dengan sisi .
iii. Sisi ganda mutiple edge atau parallel edge adalah sisi-sisi
berbeda yang menghubungkan pasangan titik yang sama pada suatu graf.
iv. Gelang loop adalah suatu sisi pada graf yang bermula dan
berakhir pada titik yang sama. Berikut akan diberikan gambar untuk memperjelas keterangan di
atas:
C
A
B D
11
Gambar 2.2 Graf �
1
Gambar 2.2 adalah contoh graf yang memuat himpunan titik � �
1
=
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
dan himpunan sisi � �
1
=
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
i. Pada graf �
1
, pasangan titik
1
dan
5
serta
2
dan
3
merupakan titik-titik yang bertetangga adjacent karena dihubungkan oleh
sebuah sisi yaitu sisi
8
dan sisi
3
. Sedangkan titik
3
dan titik
6
bukan merupakan titik-titik yang bertetangga karena titik ada sisi yang menghubungkan keduanya.
ii. Pada graf �
1
, pasangan titik
4
dan
5
merupakan titik-titik yang bersisian incident dengan sisi
6
, atau sisi
6
bersisian dengan titik
4
dan
5
. Demikian juga dengan sisi
8
dengan titik
1
dan
5
. iii.
Pada graf �
1
, sisi
1
dan sisi
2
adalah sisi ganda multiple edge karena kedua sisi tersebut menghubungkan pasangan titik yang
�
1
�
4
�
3
�
2
�
5 8
6 4
5 3
2 1
�
6
7
12
sama, yaitu titik
1
dan titik
2
. Demikian juga sisi
4
dan sisi
5
, yang menghubungkan pasangan titik
3
dan
4
iv. Pada graf �
1
, terdapat gelang loop
5
,
7
,
5
dimana sisi
7
berawal dan berakhir di satu titik yaitu titik
5
. Graf dapat diklasifikasikan berdasarkan sifat-sifatnya, seperti
berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda, dan berdasarkan orientasi arah pada sisinya Yulianti, 2008.
Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda, graf dibedakan menjadi:
a. Graf sederhana simple graph, yaitu graf yang tidak mengandung
gelang maupun sisi ganda. b.
Graf tak-sederhana unsimple graph, yaitu graf yang mengandung gelang atau sisi ganda. Graf
�
1
pada gambar 2.2 merupakan contoh graf tak-sederhana. Selanjutnya, graf tak-sederhana dapat
dibedakan menjadi graf ganda mutigraph yaitu graf yang mengandung sisi ganda, dan graf semu pseudograph yaitu graf
yang mengandung sisi ganda dan gelang.
13
Gambar 2.3 Graf �
2
, Graf �
3
, dan Graf �
4
Pada gambar 2.3, graf �
2
merupakan graf sederhana simple graph, graf
�
3
dan graf �
4
merupakan graf tak-sederhana unsimple graph. Selain itu, graf
�
3
juga disebut sebagai graf ganda multigraph karena mengandung sisi ganda, dan graf
�
4
disebut sebagai graf semu pseudograph karena mengandung gelang.
Berdasarkan orientasi
arah pada
sisinya, graf
dapat dikelompokkan menjadi dua macam, yaitu:
a. Graf tak-berarah undirected graph, yaitu graf yang sisinya tidak
mempunyai orientasi arah. Graf �
1
pada gambar 2.2 merupakan contoh graf tak-berarah.
b. Graf berarah directed graph, yaitu graf yang sisinya mempunyai
orientasi arah.
Gambar 2.4 Graf �
5
dan Graf �
6
Graf �
2
Graf �
3
Graf �
4
Graf �
5
Graf �
6
14
Lebih lanjut, Yulianti 2008 juga memaparkan beberapa graf yang dapat digolongkan sebagai graf khusus.
a. Graf lengkap complete graph. Suatu graf � disebut graf lengkap
jika setiap titiknya bertetangga dengan semua titik lain pada graf tersebut. Notasinya adalah
� , dengan adalah banyaknya titik pada graf tersebut. Banyaknya sisi pada
� adalah 2
.
Gambar 2.5 Graf Lengkap
b. Graf sikel cycle graph. Suatu graf � disebut graf sikel jika setiap
titiknya mempunyai dua sisi yang bersisian. Notasinya adalah
Gambar 2.6 Graf Sikel �
1
�
2
�
3
�
4
�
5
15
c. Graf bipartit bipartite graph. Suatu graf � disebut graf bipartit
jika himpunan titiknya dapat dipisahkan menjadi dua partisi yang tak kosong dan saling lepas
�
1
dan �
2
, sedemikian hingga setiap sisi di
� menghubungkan sebuah titik di �
1
ke sebuah titik di �
2
.
Gambar 2.7 Graf bipartit Nugroho 2008, mendefinisikan beberapa istiah lain dalam teori
graf: i.
Jalan walk dalam graf � adalah suatu barisan bergantian titik dan sisi tak kosong berhingga
,
1
,
1
,
2
,
2
,
3
, … ,
−1
, ,
Secara khusus, apabila graf � adalah sederhana, jalan walk dapat
dinyatakan sebagai suatu barisan titik-titik ,
1
,
2
, … ,
−1
, Suatu jalan dikatakan tertutup jika titik-titik ujungnya adalah
sama. ii.
Suatu jalan walk adalah jejak trail jika semua sisinya berbeda. Suatu jejak trail adalah tertutup jika titik-titik ujungnya sama.
16
iii. Suatu lintasan path adalah suatu jejak trail dengan semua
titiknya berbeda.
Gambar 2.8 Graf �
7
Graf pada gambar 2.8 graf �
7
yang memuat himpunan titik � �
7
=
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
dan himpunan sisi � �
7
=
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
,
10
,
11
.
i.
2
,
4
,
3
,
2
,
1
,
2
,
3
,
5
,
4
,
6
,
5
adalah suatu jalan walk ii.
2
,
1
,
1
,
2
,
3
,
5
,
4
,
10
,
7
,
9
,
3
,
4
,
2
adalah suatu jalan tertutup close walk
iii.
2
,
4
,
3
,
5
,
4
,
10
,
7
,
9
,
3
,
2
,
1
adalah suatu jejak trail iv.
2
,
1
,
1
,
2
,
3
,
5
,
4
,
10
,
7
,
9
,
3
,
4
,
2
adalah suatu jejak tertutup close trail
v.
2
,
4
,
3
,
8
,
6
,
11
,
7
,
10
,
4
,
6
,
5
adalah suatu lintasan path
2 4
7 6
3 5
1 1
5 2
4 6
7 8
9 3
10 11
17
Menurut Lontoh 1994:16 struktur petri net atau jaringan petri terdiri dari himpunan place dan himpunan transisi. Petri net memiliki
dua jenis titik atau simpul, yaitu lingkaran atau elips yang menyatakan suatu place, dan garis tebal atau kotak yang menyatakan transisi. Sisi
dalam petri net biasanya disebut sebagai arc dan selalu memiliki arah.
Gambar 2.9 Bentuk Place, Transisi dan Arc dalam Petri Net Petri net digolongkan sebagai multigaf karena dalam petri net
diperbolehkan memiliki banyak sisi dari satu titik ke titik yang lain. Selain itu, karena sisi-sisi dalam petri net memiliki orientasi arah, maka
petri net digolongkan sebagai multigraf berarah. Titik-titik dalam petri net dipartisi menjadi dua jenis, yaitu place dan transisi, sehingga petri
net dikatakan sebagai graf bipartit. Untuk selanjutnya, petri net disebut sebagai multigraf berarah bipartit. Perlu diingat bahwa sisi dalam graf
bipartit hanya dapat dihubungkan titik dari partisi yang berbeda, sehingga dalam petri net, arc hanya dapat digunakan untuk
place transisi
arc
18
menghubungkan place dengan transisi atau transisi dengan place, dan tidak dapat digunakan untuk menghubungkan place dengan place atau
transisi dengan transisi.
2. Istilah dalam Petri Net.
Menurut Newcomb 2014 place dalam petri net menyatakan status atau kondisi condition dari suatu sistem dan transisi
menyatakan suatu kejadian event yang menyebabkan perubahan kondisi sistem tersebut. Walaupun hal ini tidak selalu berlaku.
Pengeksekusian suatu sistem pada petri net, ditandai dengan adanya token yang berpindah-pindah dari satu place ke place lain sesuai dengan
transisinya. Token dalam petri net digambarkan dengan titik dalam suatu place.
Newcomb 2014 juga memaparkan bahwa petri net dapat dinotasikan sebagai
� = , �, ℐ, , ℳ , dimana
i. adalah himpunan place
ii. � adalah himpunan transisi, dengan
� ≠ 0 dan � = 0
iii. ℐ adalah himpunan arc yang merupakan pemetaan dari place ke
transisi iv.
adalah himpunan arc yang merupakan pemetaan dari transisi ke place
v. ℳ
adalah bilangan yang menyatakan banyaknya token pada place .
19
Gambar 2.10 Petri Net �
Gambar 2.10 merupakan contoh dari petri net yang memiliki tujuh place dan empat transisi. Komponen-komponen dari petri net
tersebut dapat diuraikan menjadi: i.
= { �
, �
1
, �
2
, �
3
, �
4
, �
5
, �
6
} ii.
� = {� ,
�
1
, �
2
, �
3
} iii.
ℐ = { � ,
� , �
1
, �
2
, �
2
, �
1
, �
3
, �
2
, �
4
, �
, �
5
, �
3
, �
6
, �
3
} iv.
= { �
, �
1
, � ,
�
2
, �
1
, �
3
, �
1
, �
4
, �
2
, �
5
, �
3
, �
, �
3
, �
6
} v.
ℳ =
1, untuk �
, �
4
, �
6
0, untuk �
1
, �
2
�
3
, �
5
20
Dalam tugas akhir ini, peneliti hanya akan merepresentasikan jalur atau rute transjogja ke dalam bentuk petri net, tanpa melakukan
suatu eksekusi. Sehingga dalam tugas akhir ini, peneliti tidak menggunakan token dalam setiap place.
2.2. Aljabar Max-plus
