Aljabar Max-plus Lintasan terpendek pada rute Transjogja dengan aljabar max-plus.

20 Dalam tugas akhir ini, peneliti hanya akan merepresentasikan jalur atau rute transjogja ke dalam bentuk petri net, tanpa melakukan suatu eksekusi. Sehingga dalam tugas akhir ini, peneliti tidak menggunakan token dalam setiap place.

2.2. Aljabar Max-plus

1. Pengertian, Operasi dan Sifat Operasi Aljabar Max-plus Definisi 2.2.1 Subiono, 2013 Aljabar max-plus adalah himpunan ℝ {�}, dengan ℝ adalah himpunan semua bilangan real, yang dilengkapi dengan operasi maksimum ⊕ dan operasi penjumlahan ⊗. Aljabar max-plus dinotasikan sebagai ℝ max = ℝ ℰ , ⊕,⊗, dimana ℝ ℰ = ℝ {�}, dengan � = {−∞}, dan untuk sembarang , ℝ berlaku : ⊕ ≝ max , , dan ⊗ ≝ + . Contoh aljabar max-plus yaitu himpunan bilangan real. Dalam himpunan bilangan real berlaku operasi penjumlahan dan optimasi. Jika diambil sembarang bilangan anggota himpunan bilangan real dan dilakukan operasi penjumlahan terhadap bilangan itu sendiri atau bilangan lainnya dalam himpunan bilangan real, maka hasil operasi tersebut juga merupakan anggota bilangan real. Demikian pula jika anggota himpunan bilangan real dibandingkan dengan anggota 21 himpunan bilangan real yang lain, maka hasilnya pun merupakan anggota bilangan real. Untuk selanjutnya, operasi ⊕ dibaca o-plus dan operasi ⊗ dibaca o-times Subiono, dkk., 2013:2 Contoh 2.1 : 13 ⊕ 18 = max 13,18 = 18 11 ⊗ 8 = 11 + 8 = 19 Operasi ⊕ dan ⊗ dalam aljabar max-plus memiliki kemiripan dengan operasi + dan × pada aljabar konvensional. Sehingga beberapa konsep dan sifat dari aljabar konvensional dapat diterapkan dalam aljabar max- plus. a. Komutatif i ⊕ = max , = max , = ⊕ . ii ⊗ = + = + = ⊗ . b. Assosiatif i ⊕ ⊕ z = maxmax , , = max , , ⊕ ⊕ z = max⁡x, max⁡y, z = max , , . ii ⊗ ⊗ z = x + y + z = + + ⊗ ⊗ z = x + y + z = + + . 22 c. Distributif ⊗ terhadap ⊕ i ⊕ ⊗ z = max x, y + z = max + , + = ⊗ z ⊕ y ⊗ z. ii ⊗ ⊕ z = x + max y, z = max + , + = ⊗ y ⊕ x ⊗ z. Selain itu, operasi ⊕ juga bersifat idempoten, yang berarti, untuk sembarang ℝ berlaku ⊕ = Krivulin, 1996. Menurut Subiono 2013, dalam aljabar max-plus terdapat � sebagai elemen netral dan = 0 sebagai elemen satuan, yang memenuhi kondisi ⊕ � = � ⊕ = , dan ⊗ 0 = 0 ⊗ = , untuk sembarang ℝ . Selanjutnya, untuk ℕ dan ℝ maka didefinisikan pangkat dalam aljabar max-plus adalah : ⊗ = ⊗ ⊗ ⊗ … ⊗ � Contoh 2.2: 5 8 = 5 ⊗ 5 ⊗ 5 ⊗ 5 ⊗ 5 ⊗ 5 ⊗ 5 ⊗ 5 8 � = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 40 23 Aljabar max-plus sering digunakan untuk menyelesaikan persoalan di beberapa bidang, seperti teori graf, kombinatorika, teori antrian dan masalah optimasi. 2. Matriks dalam Aljabar Max-plus Matriks dalam aljabar max-plus memiliki persamaan dengan matriks dalam aljabar biasakonvensional. Menurut Subiono 2013 himpunan matriks × dalam aljabar max-plus dinyatakan dalam ℝ × . Didefinisikan = 1,2,3, … , dan = 1,2,3, … , dengan , ℕ. Elemen matriks ℝ × , pada baris ke- dan kolom ke- dinyatakan dengan , , untuk dan . Matriks ℝ × dapat ditulis sebagai : = 1,1 1,2 1, 2,1 2,2 2, ,1 ,2 ⋱ … , Ada kalanya elemen , juga dinotasikan sebagai , , , . Jacob van der Woude 2005: 17 memaparkan, untuk matriks , ℝ × , penjumlahan matriks ⊕ didefinisikan sebagai : ⊕ , = , ⊕ , = , , , untuk , . Perlu diperhatikan, bahwa ⊕ = ⊕ , sebab: ⊕ , = , , , = , , , = ⊕ , untuk , . 24 Contoh 2.3: Diberikan matriks = 1 4 2 1 dan matriks = 3 2 1 2 . Selanjutnya, akan ditentukan ⊕ . ⊕ = 1 4 2 1 ⨁ 3 2 1 2 = 1 ⊕ 3 4 ⊕ 2 2 ⊕ 1 1 ⊕ 2 = max 1,3 max 4,2 max 2,1 max 1,2 = 3 4 2 2 Untuk matriks ℝ × , ℝ × , perkalian matriks ⊗ didefinisikan sebagai : ⊗ , = ⊕ = 1 , ⊗ , = , + , untuk , dan = {1,2, … , }. Contoh 2.4: Diberikan matriks = 2 3 1 1 dan matriks = 4 2 1 2 . Selanjutnya, akan ditentukan . = 2 3 1 1 4 2 1 2 = 2 ⊗ 4 ⨁ 3 ⊗ 1 2 ⊗ 2 ⨁ 3 ⊗ 2 1 ⊗ 4 ⨁ 1 ⊗ 1 1 ⊗ 2 ⨁ 1 ⊗ 2 = 2 + 4 ⨁ 3 + 1 2 + 2 ⨁ 3 + 2 1 + 4 ⨁ 1 + 1 1 + 2 ⨁ 1 + 2 25 = 6 ⨁ 4 4 ⨁ 5 5 ⨁ 2 3 ⨁ 3 = max 6,4 max 4,5 max 5,2 max 3,3 = 6 5 5 3 Lebih lanjut, Van der Woude juga mengatakan bahwa ≠ . Untuk matriks ℝ × dan α ℝ , perkalian skalar α didefinisikan sebagai α ⊗ i,j = α ⊗ , untuk , . Contoh 2.5: Diberikan matriks = 5 3 2 1 dan skalar α = 4. Selanjutnya, akan ditentukan α ⊗ . α ⊗ = 4 ⊗ 5 3 2 1 = 4 ⊗ 5 4 ⊗ 3 4 ⊗ 2 4 ⊗ 1 = 9 7 6 5 Untuk matriks ℝ × , pemangkatan matriks sebanyak , dinotasikan dengan ⊗ dan didefinisikan sebagai : ⊗ = ⊗ ⊗ ⊗ … ⊗ � = ⊗ ⊗ −1 26 Diberikan suatu graf berarah � = �, �, dengan � = {1,2, … , }. Menurut Rudhito, dkk 2008, graf berarah � dikatakan berbobot jika setiap sisi , � dikawanan dengan suatu bilangan real . Bilangan real disebut sebagai bobot busur , , dan dilambangkan dengan , . Selanjutnya, diberikan graf berarah berbobot � = �, �, dengan � = 1,2, … , , dan � = { , | , = ≠ �, ∀ , }. Untuk setiap graf berarah berbobot � = �, �, selalu dapat didefinisikan suatu matriks ℝ × dengan , , jika , � �, jika , � Siang 2004:233 memaparkan bahwa matriks bobot graf � adalah matriks persegi ℝ × dengan banyaknya baris dan kolom atau ukuran untuk matriks tersebut sama dengan banyaknya titik yang ada pada graf berarah berbobot �. Contoh 2.6: Diberikan graf berarah berbobot � 8 , yang terdiri dari 5 titik dan 5 sisi. Gambar 2.11 Graf � 8 1 4 5 2 3 4 3 2 6 3 27 Akan dibentuk matriks yang memuat bobot dari sisi graf berarah berbobot � 8 . Perlu diingat bahwa elemen matriks ke-ij berarti bobot busur dari titik-j ke titik-i. Tabel 2.1 Elemen Matriks yang Terbentuk dari Graf Berarah Berbobot � 8 . Sisi Graf � 8 Bobot Sisi Elemen ke-i,j a ij 1 → 1 � 1,1 � 1 → 2 4 2,1 4 1 → 3 3 3,1 3 1 → 4 � 4,1 � 1 → 5 2 5,1 2 2 → 1 � 1,2 � 2 → 2 � 2, 2 � 2 → 3 3 3, 2 3 2 → 4 � 4, 2 � 2 → 5 � 5, 2 � 3 → 1 � 1,3 � 3 → 2 � 2, 3 � 3 → 3 � 3, 3 � 3 → 4 � 4, 3 � 3 → 5 � 5, 3 � 4 → 1 � 1,4 � 4 → 2 � 2, 4 � 28 Sisi Graf � 8 Bobot Sisi Elemen ke-i,j a ij 4 → 3 � 3, 4 � 4 → 4 � 4, 4 � 4 → 5 6 5, 4 6 5 → 1 � 1,5 � 5 → 2 � 2, 5 � 5 → 3 � 3, 5 � 5 → 4 � 4, 5 � 5 → 5 � 5,5 � Matriks yang terbentuk dari graf berarah berbobot � 8 adalah matriks persegi yang berukuran 5 × 5, karena terdapat 5 titik pada graf � 8 . Bentuk matriks 5×5 adalah : = � � � � � 4 3 � 2 � 3 � � � � � � � � � 6 � � � �

2.3. Lintasan Terpendek