28
Sisi Graf �
8
Bobot Sisi Elemen ke-i,j
a
ij 4
→
3
� 3, 4
�
4
→
4
� 4, 4
�
4
→
5
6 5, 4
6
5
→
1
� 1,5
�
5
→
2
� 2, 5
�
5
→
3
� 3, 5
�
5
→
4
� 4, 5
�
5
→
5
� 5,5
�
Matriks yang terbentuk dari graf berarah berbobot �
8
adalah matriks persegi yang berukuran
5 × 5, karena terdapat 5 titik pada graf �
8
. Bentuk matriks
5×5
adalah :
= � � � � �
4 3
� 2
� 3
� �
� �
� �
� �
� 6
� �
� �
2.3. Lintasan Terpendek
1. Pengertian Lintasan Terpendek
Panjang suatu lintasan dari titik awal v ke titik tujuan v
n
di dalam graf
� adalah banyaknya sisi yang dilalui. Bobot lintasan ℓ, dengan
29
ℓ = →
1
→
2
→
3
→ →
, adalah jumlah dari bobot setiap sisi yang dilalui. Bobot lintasan ini dapat disimbolkan dengan
ℓ. Contoh 2.7:
Diberikan graf berarah berbobot �
8
, yang terdiri dari 5 titik dan 5 sisi.
Gambar 2.12 Graf berbobot �
9
Graf �
9
pada gambar 2.12 merupakan graf berarah berbobot. Lintasan
ℓ
1
adalah lintasan dari titik
1
ke titik
4
, sehingga dapat dituliskan sebagai
ℓ
1
=
1
→
2
→
3
→
4
. Panjang lintasan ℓ
1
adalah 3, karena lintasan tersebut melalui 3 sisi graf
�
8
, yaitu sisi
1
,
2
,
2
,
3
,
3
,
4
. Bobot lintasan ℓ
1
atau ℓ
1
ℓ
1
=
1
,
2
+
2
,
3
+
3
,
4
= 3 + 2 + 4 = 9
Dapat disimpulkan bahwa bobot lintasan ℓ
1
atau lintasan dari titik
1
ke titik
4
adalah 9 satuan.
1
5 4
3 2
3 2
4 2
1
30
Definisi 2.3.1 Lipschutz dan Lipson, 2008:181 Lintasan terpendek dari titik ke titik didefinisikan sebagai
lintasan dari ke dengan total bobot lintasannya adalah jumlah bobot minimum dari sisi-sisi pada sebarang lintasan yang berasal atau berawal
dari titik ke titik . Jika tidak ada lintasan dari ke , maka bobotnya dikatakan
∞. Total bobot lintasan terpendek dari ke , didefinisikan sebagai :
� , = min
{ ℓ : ⟶
ℓ
}, jika terdapat lintasan dari ke ∞ , lainnya
Dengan ⟶
ℓ
adalah lintasan ℓ yang terdiri atas beberapa sisi dari titik
ke titik .
2. Menentukan Lintasan Terpendek dengan Menggunakan Aljabar Max-
plus Diberikan sebarang graf
� = �, � , dengan � � adalah himpunan titik pada graf tersebut dan
� � adalah himpunan sisi pada graf tersebut. Dessi 2011 menjelaskan tahap-tahap yang dilakukan
untuk menentukan lintasan terpendek ℓ pada graf � = �, � , dimana
ℓ =
1
→
2
→
3
→ →
n
, adalah : i.
Membentuk matriks bobot sisi graf � = �, � . Misalkan matriks yang terbentuk adalah matriks persegi
×
.
31
ii. Mengubah elemen matriks menjadi negatif, dengan cara
mengalikan elemen-elemen pada matriks selain elemen � dengan
-1. Hal ini dilakukan karena dalam aljabar max-plus untuk mendapatkan penyelesaian dari masalah jalur terpendek, akan
digunakan nilai maksimum dari elemen-elemen negatif. Misalkan matriks yang terbentuk pada tahap ini adalah matriks
1
. iii.
Melakukan operasi pemangkatan matriks
1
sebanyak − 1
kali, dengan adalah ukuran dari matriks
1
. Dengan memangkatkan matriks
1
, akan diperoleh bobot lintasan dengan panjang lintasan adalah pangkatnya. Misalkan
1 4
, panjang lintasannya adalah 4, dengan elemen ke-
adalah bobot lintasan graf
� = �, � . iv.
Melakukan operasi ⊕ pada matriks-matriks yang diperoleh pada tahap sebelumnya. Misalkan matriks yang terbentuk pada tahap ini
adalah matriks
2
, maka
2
diperoleh dari:
2
=
1
⊕
1 ⊗2
⊕
1 ⊗3
⊕ … ⊕
1 ⊗ −1
v. Mengubah kembali elemen-elemen matriks
2
menjadi elemen yang positif, dengan cara mengalikan elemen matriks
2
selain �
dengan -1. Misalkan matriks yang terbentuk pada tahap ini adalah matriks
+
. Lebih lanjut, Dessi 2011 menjelaskan bahwa matriks
+
yang diperoleh pada tahap terakhir adalah matriks yang menyatakan lintasan
32
terpendek yang diperoleh dengan operasi pangkat dalam aljabar max- plus. Elemen
+
adalah bobot lintasan terpendek dari titik ke titik . Untuk mengetahui bobot lintasan terpendek tersebut, dapat dilihat
kembali hasil pemangkatan matriks
1
, yaitu
1 ⊗
. Jika
+
=
1 ⊗
× −1, berarti bobot tersebut merupakan bobot lintasan
terpendek dari titik ke titik , dengan panjang lintasan adalah . Contoh 2.8:
Diberikan graf berarah berbobot �
10
, yang terdiri dari 4 titik.
Gambar 2.13 Graf Berarah Berbobot �
10
Akan ditentukan bobot lintasan terpendek pada graf tersebut. Berikut langkah-langkah yang dilakukan untuk menentukan bobot lintasan
terpendek: i.
Graf �
10
mengandung 4 titik. Maka matriks yang dapat dibentuk dari graf
�
10
adalah matriks
4×4
.
1
4 3
2
3 2
4 2
1
33
Tabel 2.2 Elemen Matriks yang Terbentuk dari Graf Berarah Berbobot
�
10
. Sisi Graf
�
10
Bobot Sisi Elemen ke-i,j
a
ij 1
→
1
� 1,1
�
1
→
2
3 2,1
3
1
→
3
2 3,1
2
1
→
4
4 4,1
4
2
→
1
� 1,2
�
2
→
2
� 2, 2
�
2
→
3
� 3, 2
�
2
→
4
2 4, 2
2
3
→
1
� 1,3
�
3
→
2
� 2, 3
�
3
→
3
� 3, 3
�
3
→
4
� 4, 3
�
4
→
1
� 1,4
�
4
→
2
� 2, 4
�
4
→
3
1 3, 4
1
4
→
4
� 4, 4
�
Matriks yang terbentuk dari graf berarah berbobot �
10
adalah matriks persegi yang berukuran
4 × 4, karena terdapat 5 titik pada graf
�
10
. Bentuk matriks
4×4
adalah :
34
= � � � �
3 � � �
2 4
� 2
� �
1 �
ii. Mengubah elemen matriks menjadi negatif, dengan cara
mengalikan elemen-elemen pada matriks selain elemen � dengan
-1.
1
= −1 ×
= −1 ×
� � � � 3
� � � 2
4 �
2 �
� 1
�
= �
� � �
−3 �
� � −2
−4 �
−2 �
� −1
�
iii. Melakukan operasi pemangkatan matriks
1
sebanyak 3 kali
1 ⊗2
=
1
⊗
1
= �
� � �
−3 �
� � −2
−4 �
−2 �
� −1
� ⊗
� �
� � −3
� � �
−2 −4
� −2
� �
−1 �
= �
� � �
� �
� � −5
−5 −3
� �
� �
�
1 ⊗3
=
1 ⊗2
⊗
1
= �
� � �
� �
� � −5
−5 −3
� �
� �
� ⊗
� �
� � −3
� � �
−2 −4
� −2
� �
−1 �
35
= �
� � � �
� � � −6
� �
� �
� �
�
iv. Melakukan operasi ⊕ pada matriks-matriks yang diperoleh pada
tahap sebelumnya.
2
=
1
⊕
1 ⊗2
⊕
1 ⊗3
= �
� � �
−3 �
� � −2
−4 �
−2 �
� −1
� ⊕
� �
� � �
� � �
−5 −5
−3 �
� �
� �
⊕
� � � �
� � � �
−6 �
� �
� �
� �
= �
� � �
−3 �
� � −2
−4 −3
−2 �
� −1
� ⊕
� � � �
� � � �
−6 �
� �
� �
� �
= �
� � �
−3 �
� � −2
−4 −3
−2 �
� −1
�
v. Mengubah kembali elemen-elemen matriks
2
menjadi elemen yang positif, dengan cara mengalikan elemen matriks
2
selain � dengan
-1.
+
=
2
× −1
= �
� � �
−3 �
� � −2
−4 −3
−2 �
� −1
� × −1
36
= � � � �
3 � � �
2 4
3 2
� �
1 �
Bobot lintasan terpendek pada graf �
10
dapat dinyatakan dalam tabel berikut:
Tabel 2.3 Lintasan Terpendek pada Graf �
10
Sisi Dari Titik ke Titik
Total Bobot Minimum
Lintasan Terpendek
Panjang Lintasan
1,2 3
1
→
2
1 1,3
2
1
→
2
1 1,4
4
1
→
4
1 2,3
3
2
→
4
→
3
2 2,4
2
2
→
4
1 4,3
1
4
→
3
1 Dari contoh di atas, dapat disimpulkan beberapa hal, yaitu:
i. Bobot lintasan terpendek dari titik
1
ke
2
adalah 3, dengan panjang lintasan adalah 1 satuan.
ii. Bobot lintasan terpendek dari titik
1
ke
3
adalah 2, dengan panjang lintasan adalah 1 satuan.
iii. Bobot lintasan terpendek dari titik
1
ke
4
adalah 4, dengan panjang lintasan adalah 1 satuan.
iv. Bobot lintasan terpendek dari titik
2
ke
3
adalah 3, dengan panjang lintasan adalah 2 satuan.
37
v. Bobot lintasan terpendek dari titik
2
ke
4
adalah 2, dengan panjang lintasan adalah 1 satuan.
vi. Bobot lintasan terpendek dari titik
4
ke
3
adalah 1, dengan panjang lintasan adalah 1 satuan.
38
BAB III
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
3.1 Representasi Jalur Transjogja ke dalam Bentuk Petri Net
