2.9 Model Autoregressive Moving Average ARMA
Dalam bentuk umum, model Autoregressive Moving Average atau ARMAp,q diberikan sebagai
�
= + �
�−
+ �
�−
+ + �
�−
+ �
�
− � �
�−
− � �
�−
− − � �
�−
= + ∑
�
�−
+ ∑ �
�
�− =
=
atau
Φ
�
= + Θ �
�
Wei, 2006 .
2.10 Model Autoregresive Integrated Moving Average ARIMA
Jika d adalah bilangan bulat nonnegative, maka {X
t
} dikatakan proses ARIMA jika Y
t
:= 1 - B
d
x
t
merupakan akibat dari proses ARMA. Definisi diatas berarti bahwa{X
t
} memenuhi persamaan : �
∗ �
≡ � −
� �
= � �
�
, {�
�
} ∼ � 0, � Dengan
� dan �
adalah derajat polinomial dari p dan q, �
≠ 0 untuk |�
| Brockwell, 2002.
2.11 Seasonal Proses
Data time series terkadang memiliki pola musiman. Hal ini sering kali menunjukkan data time series mempunyai nilai musiman. Ini sering terjadi ketika
data mempunyai pola interval yang spesifik bulan, minggu, dll. Salah satu cara merepresentasikan data seperti ini adalah dengan mengasumsikan model
mempunyai dua komponen x
t
= S
t
+ N
t
dengan S
t
adalah komponen dengan faktor musiman s dan N
t
adalah komponen stokastik yang mungkin merupakan model ARMA.
Karena S
t
dengan faktor musiman s kita dapatkan S
t
= S
t+s
atau S
t
- S
t+s
= 1-B
s
S
t
= 0 Gunakan 1 - B
s
pada persamaan x
t
= S
t
+ N
t
, kita peroleh 1-B
s
x
t
= 1-B
s
S
t
+ 1-B
s
N
t
= W
t
= 0
W
t
= 1-B
s
N
t
proses w
t
dapat dikatakan seasonally stationary . Karena proses ARMA dapat digunakan pada model N
t
, dalam bentuk umum kita diperoleh ΦBw
t
= 1 − B
s
ΘBε
t
dengan ε
t
white noise Kita dapat menganggap S
t
sebagai proses stokastik. Kita mengasumsikan setelah dilakukan pembedaan musiman 1-B
s
, 1-B
s
x
t
= w
t
menjadi stasioner. Itulah kenapa tidak dilakukan eliminasi pada data musiman. Maka setelah dilakukan
pembedaan musiman data mungkin tetap menunjukkan autokorelasi pada lag s, 2s, … . Sehingga model seasonal ARMA adalah
− Φ − Φ
− − Φ
�
= − Θ
− Θ − − Θ
�
�
Model ini merepresentasikan jika autokorelasi terjadi pada lag s, 2s, … . Oleh
karena itu bentuk umum seasonal ARMA dari order p,d,q x P,D,Q dengan periode s adalah
Φ ∅
−
�
−
�
= Θ θ
�
�
Contoh : Model ARIMA 0, 1, 1 × 0, 1, 1 dengan s = 12 adalah
−
�
−
�
= − θ − Θ + Θ�
�
�
Untuk proses ini, nilai autokovarian adalah 0 = Var
�
= � + � + Θ − Θ�
= � + � + Θ
= �
�
,
�−
= � −
�
+ Θ −Θ� =
�
� − Θ =
= =
0 = 0 = �
�
Θ = −� Θ
+ � = �
�
Θ = 0
Montgomery, 2008.
2.12 Pendugaan Parameter
Maximum likelihood estimation merupakan salah satu metode dalam pendugaan parameter. Metode ini menggunakan prinsip memaksimumkan fungsi likelihood
untuk menduga parameter θ dan � pada model ARIMA. Diberikan bentuk umum
model ARMA p,q sebagai berikut :
�
= + �
�−
+ �
�−
+ + �
�−
+ �
�
− � �
�−
− � �
�−
− − � �
�−
atau �
�
= � �
�−
+ � �
�−
+ + � �
�−
−
�
− −
�
�−
−
�
�−
− −
�
�−
dimana
�
�
∼ 0, � ,
fungsi kepekatan peluang dari � = � , � , … . , �
�
didefinisikan sebagai berikut : P
� │
�
, , �, �
�
= �
� −
�
exp[ −
�
�
∑ �
� �
�=
]
Kita dapat menuliskan fungsi likelihood dari parameter �
, , �, �
�
. ln �
, , �, �
�
= −
�
ln
�
�
−
�, ,� �
�
, 2.15
dimana S
�
, , �
=
∑ �
� �
�=
,
adalah sum square function. Nilai pendugaan �
, , �
diperoleh ketika memaksimumkan persamaan 2.15 yang kemudian kita menyebut sebagai pendugaan maximum likelihood . Setelah diperoleh nilai
pendugaan �, , �, maka dapat dihitung pula nilai pendugaan dari �
�
dari
�
�
=
S �
, ̂, �̂
� dengan df = n - p
– p + q + 1 = n – 2p + q + 1 Wei, 2006.
2.13 Kriteria Pemilihan Model Terbaik
Salah satu pemilihan model terbaik dari beberapa model yang sesuai dapat berdasarkan nilai AIC
Akaike’s Information Criterion dan SBC Schwarz Bayesian Criteria, rumus AIC dan SBC :
AIC = T ln � + 2k
SBC = T ln � + k ln T