2.7.2 Order Kedua Autoregressive, AR2
Dari persamaan 2.9 diperoleh persamaan autoregressive orde kedua
�
= + �
�−
+ �
�−
+ �
�
dapat ditulis − �
− �
�
= + �
�
Fungsi autokovarian adalah =
�
,
�−
= + �
�−
+ �
�−
+ �
�
,
�−
= �
�−
,
�−
+ �
�−
,
�−
+ , �
� �−
= � −
+ � −
+ {� = 0 0 0
sehingga 0 = �
+ � + �
= � −
+ � − = , , …
2.10
Persamaan 2.10 disebut persamaan Yule-Walker untuk . Dengan cara yang
sama kita peroleh fungsi autokorelasi dari pembagian persamaan 2.10 dengan 0 :
= � −
+ � − = , , … Montgomery, 2008.
2.7.3 Bentuk Umum Model Autoregressive, ARp
Bentuk umum orde ke-p model Autoregressive adalah
�
= + �
�−
+ �
�−
+ + �
�−
+ �
�
2.11
Dimana �
�
white noise. Persamaan 2.11 dapat juga ditulis Φ B
�
= + �
�
dimana Φ B = − �
− � − − �
. untuk AR p stasioner
�
�
= = − � − � − − � dan
=
�
,
�−
= + �
�−
+ �
�−
+ + �
�−
+ �
�
,
�−
= ∑ �
= �−
,
�−
+ �
�
,
�−
2.12 = ∑ �
=
− + {� � = 0 0 � 0
Kemudian kita peroleh 0 = ∑ �
=
+ �
⇒ 0 [ − ∑ �
=
] = �
Hasil pembagian persamaan 2.12 dengan 0 untuk k 0 dapat digunakan
untuk mencari nilai ACF pada proses ARp yang memenuhi persamaan Yule-Walker
= ∑ �
=
− k = 1, 2, … Montgomery, 2008.
2.8 Model Moving Average
Model moving average dengan order q dinotasikan MA q didefinisikan sebagai : x
t
= µ + ε
t
- θ
1
ε
t-1
- θ
2
ε
t-2
- θ
3
ε
t-3
- … - θ
q
ε
t-q
; ε
t
~ N 0,σ
2
dengan : x
t
: nilai variabel pada waktu ke-t ε
t
: nilai-nilai error pada waktu t θ
i
: koefisien regresi, i: 1,2,3, …,q
q : order MA persamaan di atas dapat ditulis dengan operator backshift B, menjadi :
x
t
= µ + 1 + θ
1
B + θ
2
B
2
+ … + θ
q
B
q
ε
t
= µ + 1 - ∑
�
=
ε
t
= µ + Θ
ε
t
dimana Θ
= 1 - ∑
�
=
Karena ε
t
white noise, nilai harapan MA q adalah E x
t
= E µ + ε
t
- θ
1
ε
t-1
- θ
2
ε
t-2
- θ
3
ε
t-3
- … - θ
q
ε
t-q
= µ dan varian
Var x
t
= 0 = Var µ + ε
t
- θ
1
ε
t-1
- θ
2
ε
t-2
- θ
3
ε
t-3
- … - θ
q
ε
t-q
= σ
2
1 + θ
1 2
+ θ
2 2
+ … + θ
q 2
Dengan cara yang sama diperoleh nilai autokovarian pada lag k = Cov x
t,
x
t+k
= E [µ + ε
t
- θ
1
ε
t-1
- … - θ
q
ε
t-q
µ + ε
t+k
- θ
1
ε
t+k-1
- … - θ
q
ε
t+k-q
]
= {� −� + � �
+
+ + �
−
� = , , … ,
Diperoleh nilai autokorelasi pada lag k yaitu
= 0 = {
−� + � �
+
+ + �
−
� + � + + �
, = , , , …
Dari bagian ini diperoleh bahwa nilai ACF sangat membantu mengindentifikasi model MA dan order cut off tepat setelah lag q Montgomery, 2008.
2.8.1 Order pertama Moving Average, MA1
Model paling sederhana dari Moving Average yakni MA1 ketika nilai q =1 x
t
= µ + ε
t
- θ
1
ε
t-1
untuk model MA 1 kita peroleh nilai autocovariance function 0 = �
+ � = −� �
= 0 k 1 Demikian pula, kita peroleh fungsi autokorelasi
= −�
+ �
= 0 Kita dapat lihat bahwa lag pertama fungsi autokorelasi pada MA 1 dibatasi
│ │ =
│� │ + �
≤
dan autokorelasi cut off setelah lag 1 Montgomery, 2008.
2.8.2 Order kedua Moving Average, MA2
Model Moving Average lain yang berguna adalah MA 2, x
t
= µ + ε
t
- θ
1
ε
t-1
- θ
2
ε
t-2
= µ + 1 - θ
1
B - θ
2
B
2
ε
t
Fungsi autocovarian dan autokorelasi untuk model MA 2 yaitu 0 = �
+ � + � = � −� + � �
= � −� = 0 k 1
dan =
−� + � � + � + �
= −�
+ � + � = 0 Montgomery, 2008.
2.9 Model Autoregressive Moving Average ARMA