Proses White Noise Model Autoregressive

2.7.2 Order Kedua Autoregressive, AR2

Dari persamaan 2.9 diperoleh persamaan autoregressive orde kedua � = + � �− + � �− + � � dapat ditulis − � − � � = + � � Fungsi autokovarian adalah = � , �− = + � �− + � �− + � � , �− = � �− , �− + � �− , �− + , � � �− = � − + � − + {� = 0 0 0 sehingga 0 = � + � + � = � − + � − = , , … 2.10 Persamaan 2.10 disebut persamaan Yule-Walker untuk . Dengan cara yang sama kita peroleh fungsi autokorelasi dari pembagian persamaan 2.10 dengan 0 : = � − + � − = , , … Montgomery, 2008.

2.7.3 Bentuk Umum Model Autoregressive, ARp

Bentuk umum orde ke-p model Autoregressive adalah � = + � �− + � �− + + � �− + � � 2.11 Dimana � � white noise. Persamaan 2.11 dapat juga ditulis Φ B � = + � � dimana Φ B = − � − � − − � . untuk AR p stasioner � � = = − � − � − − � dan = � , �− = + � �− + � �− + + � �− + � � , �− = ∑ � = �− , �− + � � , �− 2.12 = ∑ � = − + {� � = 0 0 � 0 Kemudian kita peroleh 0 = ∑ � = + � ⇒ 0 [ − ∑ � = ] = � Hasil pembagian persamaan 2.12 dengan 0 untuk k 0 dapat digunakan untuk mencari nilai ACF pada proses ARp yang memenuhi persamaan Yule-Walker = ∑ � = − k = 1, 2, … Montgomery, 2008.

2.8 Model Moving Average

Model moving average dengan order q dinotasikan MA q didefinisikan sebagai : x t = µ + ε t - θ 1 ε t-1 - θ 2 ε t-2 - θ 3 ε t-3 - … - θ q ε t-q ; ε t ~ N 0,σ 2 dengan : x t : nilai variabel pada waktu ke-t ε t : nilai-nilai error pada waktu t θ i : koefisien regresi, i: 1,2,3, …,q q : order MA persamaan di atas dapat ditulis dengan operator backshift B, menjadi : x t = µ + 1 + θ 1 B + θ 2 B 2 + … + θ q B q ε t = µ + 1 - ∑ � = ε t = µ + Θ ε t dimana Θ = 1 - ∑ � = Karena ε t white noise, nilai harapan MA q adalah E x t = E µ + ε t - θ 1 ε t-1 - θ 2 ε t-2 - θ 3 ε t-3 - … - θ q ε t-q = µ dan varian Var x t = 0 = Var µ + ε t - θ 1 ε t-1 - θ 2 ε t-2 - θ 3 ε t-3 - … - θ q ε t-q = σ 2 1 + θ 1 2 + θ 2 2 + … + θ q 2 Dengan cara yang sama diperoleh nilai autokovarian pada lag k = Cov x t, x t+k = E [µ + ε t - θ 1 ε t-1 - … - θ q ε t-q µ + ε t+k - θ 1 ε t+k-1 - … - θ q ε t+k-q ] = {� −� + � � + + + � − � = , , … , Diperoleh nilai autokorelasi pada lag k yaitu = 0 = { −� + � � + + + � − � + � + + � , = , , , … Dari bagian ini diperoleh bahwa nilai ACF sangat membantu mengindentifikasi model MA dan order cut off tepat setelah lag q Montgomery, 2008.

2.8.1 Order pertama Moving Average, MA1

Model paling sederhana dari Moving Average yakni MA1 ketika nilai q =1 x t = µ + ε t - θ 1 ε t-1 untuk model MA 1 kita peroleh nilai autocovariance function 0 = � + � = −� � = 0 k 1 Demikian pula, kita peroleh fungsi autokorelasi = −� + � = 0 Kita dapat lihat bahwa lag pertama fungsi autokorelasi pada MA 1 dibatasi │ │ = │� │ + � ≤ dan autokorelasi cut off setelah lag 1 Montgomery, 2008.

2.8.2 Order kedua Moving Average, MA2

Model Moving Average lain yang berguna adalah MA 2, x t = µ + ε t - θ 1 ε t-1 - θ 2 ε t-2 = µ + 1 - θ 1 B - θ 2 B 2 ε t Fungsi autocovarian dan autokorelasi untuk model MA 2 yaitu 0 = � + � + � = � −� + � � = � −� = 0 k 1 dan = −� + � � + � + � = −� + � + � = 0 Montgomery, 2008.

2.9 Model Autoregressive Moving Average ARMA