III HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dibahas tentang metode interior primal-dual langkah full-Newton serta
perubahan analytic
center terhadap
penambahan kendala redundant.
3.1 Kondisi Optimal bagi Optimasi Linear
Daerah fisibel dari masalah primal P dinotasikan oleh
dan daerah fisibel dari masalah dual D dinotasikan oleh
adalah: { }
{ }
Jika merupakan himpunan kosong maka
P takfisibel, lainnya fisibel. Jika merupakan himpunan kosong maka D
takfisibel, lainnya fisibel. Daerah interior untuk
dinotasikan oleh dan daerah interior untuk
dinotasikan dengan
, yaitu: { }
{ }
Jika merupakan himpunan takkosong
maka P adalah strictly feasible, jika merupakan himpunan takkosong maka D
adalah strictly feasible.
Teorema 1
Jika P dan D fisibel maka kedua masalah tersebut mempunyai solusi optimal,
kemudian dan adalah solusi
optimal jika dan hanya jika .
Bukti :
Mengacu pada proposisi 1, x fisibel untuk P dan y,s fisibel untuk D, maka
. Dimana batas atas untuk
nilai optimal dari D dan
batas bawah
untuk nilai
optimal dari
P, untuk
memperoleh solusi optimal haruslah sehingga
maka teorema 1
terbukti. Berdasarkan teorema 1, mencari solusi
optimal dari masalah primal P dan masalah dual D setara dengan memecahkan sistem
berikut:
3.1
Dimana xs adalah hadamard product dari vektor x dan s dan 0 adalah vektor nol.
Diketahui bahwa x dan s adalah vektor taknegatif maka
berlaku jika dan hanya jika
Roos et al. 2006. Sistem 3.1 adalah kondisi optimal untuk
optimasi linear. Baris pertama sistem 3.1 adalah kendala fisibel untuk masalah primal
P dan baris kedua merupakan kendala fisibel untuk masalah dual D. Persamaan terakhir
adalah kondisi complementary.
3.2 Central Path
Secara geometrik, central path merupakan kurva analitik yang konvergen menuju solusi
optimal. Untuk menyelesaikan sistem 3.1 kondisi
complementary diganti
dengan , dimana adalah bilangan positif
dan adalah vektor yang semua unsur-
unsurnya satu. Kendala baru ini disebut sebagai
kondisi centering
dengan memperhatikan
. Sistem yang dihasilkan adalah:
3.2
Jika sistem 3.2 mempunyai solusi untuk beberapa
, maka dan
merupakan himpunan takkosong. Kondisi dimana
dan takkosong disebut dengan kondisi interior.
Selanjutnya jika kondisi interior terpenuhi maka sistem 3.2 mempunyai solusi untuk
setiap Roos et al. 2006.
Solusi untuk setiap dinotasikan ,
, dan . Solusi dari disebut dari P dan solusi dari
disebut dari D. Central path dari P adalah kurva
, dengan
yang ditulis dengan { }. Sedangkan central path
dari D adalah kurva dengan
yang ditulis
dengan { }.
Jika maka , dan
konvergen ke solusi dari sistem 3.1, artinya central path konvergen ke himpunan solusi
optimal dari P dan D. Di sisi lain, jika maka dan
konvergen ke analytic center dari P dan D Roos et al. 2006. Definisi formal dari
analytic center P dan D adalah sebagai berikut:
Jika kondisi interior terpenuhi maka: i Analytic
center primal
adalah {
} dan ii Analytic
center dual
adalah {
}.
3.3 Langkah Full-Newton
