I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Optimasi adalah salah satu cabang ilmu matematika
terapan yang
mempelajari masalah
untuk meminimumkan
atau memaksimumkan fungsi real dari variabel real
dengan kendala-kendala pada setiap variabel. Optimasi digunakan hampir di setiap aspek
kehidupan, termasuk dalam ilmu pengetahuan, ekonomi, teknik, manajemen dan industri.
Salah satu bagian dari optimasi adalah optimasi linear, yang mempelajari masalah
untuk meminimumkan atau memaksimumkan fungsi linear dengan kendala yang dinyatakan
dalam
persamaan linear
danatau pertaksamaan linear. Optimasi Linear OL
muncul sebagai sebuah model matematika setelah Perang Dunia II.
Pada tahun 1947 Danzig mengusulkan metode simpleks untuk memecahkan masalah
“pemrograman linear“. Daerah fisibel dari OL adalah suatu polihedron. Untuk memperoleh
solusi optimalnya, metode simpleks bergerak dari verteks ke verteks dari suatu polihedron
Silalahi 2011.
Pada tahun 1972 Klee dan Minty menyatakan
bahwa metode
simpleks memerlukan
iterasi untuk
menyelesaikan suatu masalah OL dengan 2n pertaksamaan Silalahi 2011.
Pada tahun 1978 Khachiyan mengusulkan metode elipsoid. Metode ini merupakan
algoritma polinomial pertama untuk masalah OL, tetapi di dalam praktek laju konvergensi
dari metode
elipsoid agak
lambat dibandingkan
dengan metode
simpleks Silalahi 2011.
Sebuah terobosan yang benar-benar efektif terjadi pada tahun 1984 ketika Karmarkar
mengusulkan metode polynomial –time yang
berbeda, yang dikenal dengan metode proyektif Karmarkar untuk masalah OL.
Metode ini memiliki kompleksitas yang lebih baik dari metode elipsoid dan juga efisien
dalam
penerapannya. Metode
proyektif Karmarkar memacu revolusi dalam bidang
optimasi, dengan munculnya penelitian- penelitian
mengenai pengoptimuman
menggunakan metode interior. Tidak seperti metode simpleks yang bergerak dari verteks
ke verteks dalam mencari solusi optimalnya, metode interior bergerak di dalam interior dari
domain secara monoton menuju solusi optimal Silalahi 2011.
Secara umum metode interior dapat dikelompokkan menjadi tiga kategori, yaitu:
metode affine scaling, metode potential reduction barrier dan metode central
trajectory path-following Mitchell 1998.
Deza dkk, memberikan suatu contoh kasus terburuk pada saat itu untuk kasus
penyelesaian optimasi linear dengan metode interior. Kasus
mereka adalah dengan
menambahkan kendala-kendala redundant pada masalah Klee-Minty KM. Secara
teoritis diperlihatkan bahwa central path dan analytic
center dapat
berubah dengan
penambahan kendala redundant Deza et al. 2006.
Dalam karya ilmiah ini, akan dibahas tentang perubahan analytic center pada
masalah Klee-Minty
KM dengan
penambahan kendala redundant yang akan dianalisis
menggunakan metode interior
dengan pendekatan central trajectory path- following
dengan bantuan
software MATLAB R2008b.
1.2 Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk:
i Membahas dan menjelaskan metode interior primal-dual langkah full-Newton.
ii Menganalisis perubahan analytic center pada penambahan kendala redundant
untuk masalah
Klee-Minty KM,
berdasarkan metode interior primal-dual langkah
full-Newton, menggunakan
bantuan software MATLAB R2008b.
II LANDASAN TEORI
2.1 Matriks Definisi 1 Hadamard Product
Misalkan vektor , dengan:
x
[ ] s [
]
Misalkan pula
adalah matriks diagonal dengan unsur diagonal utama
ialah vektor x, dan
adalah matriks diagonal dengan unsur diagonal utama
ialah vektor s, yaitu:
[ ]
[ ]
Maka hadamard product dari x dan s adalah:
[ ]
Dengan kata lain, hadamard product adalah perkalian antara unsur dengan unsur
yang seletak componentwise dari dua buah vektor yang berukuran sama.
Roos et al. 2006
Definisi 2 Hasil Kali Skalar di Misalkan x, y
dengan
x
[ ], s [
]
maka hasil kali skalar dari x dan s adalah
Leon 2001
2.2 Sistem Persamaan Linear
Suatu sistem persamaan linear SPL dari persamaan dan variabel adalah sistem
dengan bentuk:
dengan dan
adalah bilangan-bilangan real dan …
adalah variabel. SPL ini disebut SPL berukuran
. Leon 2001
SPL juga dapat ditulis dalam bentuk:
dengan adalah matriks berukuran
dan b berukuran
yaitu: [
]
b =
[ ]
matriks disebut juga matriks koefisien dan
vektor disebut vektor konstanta.
Penyelesaian SPL tersebut adalah vektor kolom
berukuran yaitu:
x =
[ ]
yang memenuhi semua persamaan linear dalam sistem. Vektor yang demikian disebut
vektor penyelesaian Leon 2001.
2.3 Optimasi Linear
Definisi 3 Daerah Fisibel
Daerah fisibel adalah himpunan titik-titik yang
memenuhi semua
kendala dan
pembatasan tanda pada optimasi linear. Winston 2004
Definisi 4 Solusi Optimal
Solusi optimal pada masalah maksimisasi adalah suatu titik pada daerah fisibel dengan
nilai fungsi objektif paling besar. Sedangkan solusi optimal untuk masalah minimisasi
adalah suatu titik pada daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif paling kecil.
Winston 2004 2.4 Dualitas
Terkait dengan suatu masalah optimasi linear, terdapat masalah optimasi linear lain
yang berpadanan. Kedua masalah ini dikenal dengan masalah primal dan masalah dual dari
optimasi linear. Bentuk normal dari masalah primal untuk kasus maksimisasi adalah:
Fungsi objektif
Kendala
Bentuk normal dari masalah dual untuk kasus maksimisasi di atas adalah:
Fungsi objektif
Kendala
Perubahan masalah primal menjadi dual tersebut dilihat dari tabel berikut:
Tabel Perubahan masalah dualitas
Min w Maks z
Winston 2003 Semua
masalah optimasi
linear bisa
ditransformasikan menjadi bentuk standar dengan cara menambahkan variabel baru.
Bentuk standar dari masalah primal P adalah:
{ }….. P
dimana ,
, dan
. Bentuk standar dari masalah dual D adalah:
{ }…..D
Dimana dan
Proposisi 1 Jika x dan y,s masing-masing fisibel
untuk P dan D maka ,
disebut kesenjangan dualitas berakibat adalah batas atas untuk nilai optimal dari
D, jika ada, serta
adalah batas bawah
untuk nilai optimal dari P, jika ada. Selanjutnya, jika kesenjangan dualitas adalah
nol maka x adalah solusi optimal dari P dan y,s adalah solusi optimal dari D.
Roos et al. 2006 Bukti dapat dilihat di Roos 2006
2.5 Masalah Redundant Klee-Minty KM Definisi 5 Masalah Klee-Minty KM
Kategori