Definisi 4 Solusi Optimal
Solusi optimal pada masalah maksimisasi adalah suatu titik pada daerah fisibel dengan
nilai fungsi objektif paling besar. Sedangkan solusi optimal untuk masalah minimisasi
adalah suatu titik pada daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif paling kecil.
Winston 2004 2.4 Dualitas
Terkait dengan suatu masalah optimasi linear, terdapat masalah optimasi linear lain
yang berpadanan. Kedua masalah ini dikenal dengan masalah primal dan masalah dual dari
optimasi linear. Bentuk normal dari masalah primal untuk kasus maksimisasi adalah:
Fungsi objektif
Kendala
Bentuk normal dari masalah dual untuk kasus maksimisasi di atas adalah:
Fungsi objektif
Kendala
Perubahan masalah primal menjadi dual tersebut dilihat dari tabel berikut:
Tabel Perubahan masalah dualitas
Min w Maks z
Winston 2003 Semua
masalah optimasi
linear bisa
ditransformasikan menjadi bentuk standar dengan cara menambahkan variabel baru.
Bentuk standar dari masalah primal P adalah:
{ }….. P
dimana ,
, dan
. Bentuk standar dari masalah dual D adalah:
{ }…..D
Dimana dan
Proposisi 1 Jika x dan y,s masing-masing fisibel
untuk P dan D maka ,
disebut kesenjangan dualitas berakibat adalah batas atas untuk nilai optimal dari
D, jika ada, serta
adalah batas bawah
untuk nilai optimal dari P, jika ada. Selanjutnya, jika kesenjangan dualitas adalah
nol maka x adalah solusi optimal dari P dan y,s adalah solusi optimal dari D.
Roos et al. 2006 Bukti dapat dilihat di Roos 2006
2.5 Masalah Redundant Klee-Minty KM Definisi 5 Masalah Klee-Minty KM
Suatu permasalah yang diberikan oleh Klee dan Minty yang kemudian dikenal
dengan masalah Klee-Minty KM yaitu: min
kendala ,
dimana ,
Klee Minty 1972
Definisi 6 Kendala Redundant
Kendala redundant adalah kendala yang tidak mengubah daerah fisibel dari masalah
optimasi linear. Silalahi 2011
2.6 Metode Newton
Metode Newton atau metode Newton- Rapson adalah suatu metode yang digunakan
untuk menyelesaikan persamaan taklinear, yang dituliskan dalam bentuk:
Metode Newton-Rapson dapat diturunkan dari ekspansi deret Taylor orde pertama.
Berikut ini adalah contoh untuk persamaan
satu variabel, persamaan dapat ditulis sebagai berikut:
dimana adalah hampiran awal Munir
2003. Dengan menggunakan metode Newton-
Rapson, fungsi taklinear dapat didekati dengan fungsi linear. Untuk mencari solusi
persamaan , metode Newton
melakukan pendekatan dengan cara mencari solusi persamaan:
dimana adalah fungsi
linear. Contoh 1
Diketahui suatu fungsi taklinear untuk satu variabel
. Gunakan metode Newton-Rapson untuk mencari akar-akar
persamaan dengan hampiran awal
. Penyelesaian:
Untuk mencari solusi dari , lakukan
pendekatan terhadap
.
Apabila iterasinya diteruskan maka nilai akan konvergen ke akar persamaan
. Contoh untuk dua variabel, deret Taylor
orde pertama dapat dituliskan untuk masing- masing persamaan sebagai berikut:
dimana dan
adalah hampiran awal Munir 2003.
Untuk mencari
solusi persamaan
dan , metode
Newton-Rapson melakukan
pendekatan dengan cara mencari solusi persamaan:
dan
dimana kedua persamaan adalah fungsi linear. Dengan mengeliminasi kedua persamaan
diperoleh nilai dan
. Kemudian nilai tersebut menjadi hampiran awal untuk iterasi
berikutnya sampai diperoleh nilai dan
yang konvergen ke nilai dan
sesungguhnya.
Contoh 2 Gunakan metode Newton-Rapson untuk
mencari akar-akar persamaan bila diketahui suatu fungsi taklinear untuk dua variabel
adalah:
dengan hampiran awal
Penyelesaian:
Eliminasi persamaan 2.1 dan persamaan 2.2 untuk memperoleh nilai dan
, sehingga diperoleh nilai
dan . Kemudian iterasi diteruskan dengan nilai
dan menjadi nilai hampiran awal yang baru, sehingga
dan akan konvergen ke akar
sesungguhnya yaitu dan
.
III HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dibahas tentang metode interior primal-dual langkah full-Newton serta
perubahan analytic
center terhadap
penambahan kendala redundant.
3.1 Kondisi Optimal bagi Optimasi Linear
