Vektor Normal dari bidang Datar V ≡ Ax + By + Cz + D = 0
3. Vektor Normal dari bidang Datar V ≡ Ax + By + Cz + D = 0
Vektor :
a X b , merupakan vektor yang tegak lurus pada bidang datar yang dibentuk oleh
a dan b , dalam hal ini bidang datar :
V ≡ Ax + By + Cz + D = 0
n A , B , C disebut vektor normal dari bidang rata :
V ≡ Ax + By + Cz + D = 0 Vektor normal ini akan memegang peran penting dalam pembahasan selanjutknya.
Dari persamaan (7) diatas, suatu bidang datar yang diketahui melalui
titik (x 1 ,y 1 ,z 1 ) dengan vektor normal n A , B , C berbentuk :
A ( x x 1 ) B ( y y 1 ) C ( z z 1 ) 0 ………………..(9)
Hal- hal khusus dari bidang datar : V ≡ Ax + By + Cz + D = 0 a). Jika D = 0, maka bidang datar melalui titik asal O(0,0,0) dan
sebaliknya , setiap bidang datar yang melalui titik asal persamannya akan mempunyai harga D = 0
b). Jika D ≠ 0, maka persamaan bidang V, dapat ditulis :
z 1 dan berturut-turut :
r , diperoleh :
px + qy + rz = 1, bidang ini memotong sumbu X di (p,0,0), sumbu Y di (0,q,0) dan sumbu Z di (0,0,r)
c). Jika A = 0, maka bidang sejajar sumbu X Jika B = 0, maka bidang sejajar sumbu Y Jika C = 0, maka bidang sejajar sumbu Z Jika A = B = 0, bidang sejajar dengan bidang XOY Jika A = C = 0, bidang sejajar dengan bidang XOZ Jika B = C = 0, bidang sejajar dengan bidang YOZ
Contoh 1 : Diketahui titik (1,1,2), (2,3,5) , dan (1,3,7).
Tentukan
a. Persamaan vektori bidang yang melalui ketiga titik tersebut ?
b. Persamaan meter bidang ?
c. Vektor normal bidang ?
d. Persamaan linier bidang ? Jawab :
a. Persamaan vektoris bidang :
x, , y z = x 1 , y 1 , z 1 x a , y a , z a x b , y b , z b
x , y , z 1 , 1 , 3 2 1 , 3 1 , 5 1 1 1 , 3 1 , 7 2
x , y , z 1 , 1 , 3 1 , 2 , 4 0 , 2 , 5
b. Persamaan parameter bidang : x=1+λ b. Persamaan parameter bidang : x=1+λ
c. Vektor normal :
Cross product dari 1 , 1 , 3 X 0 , 2 , 5 4 , 5 , 2
d. Persamaan linier bidang :
4(x – 1) + (-5) (y – 1) + 2 (z – 3) = 0 4x – 5y + 2z -13 = 0
Contoh 2 : Ganbarlah bidang 2x + 3 y + 4z = 12 dapat ditulis men x y z
1 akan memotong sumbu koordinat di titik (6,0,0) ,
(0,4,0), dan (0,0,3)
Contoh 3 Gambarlah bidang x = 2y
2 3 Dalam R Dalam R
x = 2y
bidang : x = 2y
Catatan :
1. Cara lain mencari persamaan linier bidang datar yang melalui titik P (x 1 , y 1 ,z 1 ) , Q (x 2 , y 2 , z 2 ), dan R(x 3 , y 3 , z 3 ) , adalah dengan menggunakan diterminan matriks :
x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 =0 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1
Contoh :
Tentukan persmaan linier bidang datar yang melalui titik A(-1,2,1) , B(-2,-
4, 2), dan R(-1 , 4,-1) ? Jawab :
x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 = 2 ( 1 ) 4 2 2 1 =\ x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 1 ( 1 ) 1 4 2 1 1
-4(x+1) + 0 -2(z-1) - {0+2(x+1)+2(y-2) = - 6x – 2y -2z = 0
2. Empat titik terletak satu bidang jika :
x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 =0