Vektor Normal dari bidang Datar V ≡ Ax + By + Cz + D = 0

3. Vektor Normal dari bidang Datar V ≡ Ax + By + Cz + D = 0

Vektor :

a X b , merupakan vektor yang tegak lurus pada bidang datar yang dibentuk oleh

a dan b , dalam hal ini bidang datar :

V ≡ Ax + By + Cz + D = 0

n   A , B , C  disebut vektor normal dari bidang rata :

V ≡ Ax + By + Cz + D = 0 Vektor normal ini akan memegang peran penting dalam pembahasan selanjutknya.

Dari persamaan (7) diatas, suatu bidang datar yang diketahui melalui

titik (x 1 ,y 1 ,z 1 ) dengan vektor normal n   A , B , C  berbentuk :

A ( x  x 1 )  B ( y  y 1 )  C ( z  z 1 )  0 ………………..(9)

Hal- hal khusus dari bidang datar : V ≡ Ax + By + Cz + D = 0 a). Jika D = 0, maka bidang datar melalui titik asal O(0,0,0) dan

sebaliknya , setiap bidang datar yang melalui titik asal persamannya akan mempunyai harga D = 0

b). Jika D ≠ 0, maka persamaan bidang V, dapat ditulis :

z  1 dan berturut-turut :

 r , diperoleh :

px + qy + rz = 1, bidang ini memotong sumbu X di (p,0,0), sumbu Y di (0,q,0) dan sumbu Z di (0,0,r)

c). Jika A = 0, maka bidang sejajar sumbu X Jika B = 0, maka bidang sejajar sumbu Y Jika C = 0, maka bidang sejajar sumbu Z Jika A = B = 0, bidang sejajar dengan bidang XOY Jika A = C = 0, bidang sejajar dengan bidang XOZ Jika B = C = 0, bidang sejajar dengan bidang YOZ

Contoh 1 : Diketahui titik (1,1,2), (2,3,5) , dan (1,3,7).

Tentukan

a. Persamaan vektori bidang yang melalui ketiga titik tersebut ?

b. Persamaan meter bidang ?

c. Vektor normal bidang ?

d. Persamaan linier bidang ? Jawab :

a. Persamaan vektoris bidang :

 x, , y z  =  x 1 , y 1 , z 1    x a , y a , z a    x b , y b , z b 

 x , y , z   1 , 1 , 3   2  1 , 3  1 , 5  1    1  1 , 3  1 , 7  2 

 x , y , z   1 , 1 , 3   1 , 2 , 4    0 , 2 , 5 

b. Persamaan parameter bidang : x=1+λ b. Persamaan parameter bidang : x=1+λ

c. Vektor normal :

Cross product dari  1 , 1 , 3 X 0 , 2 , 5   4 ,  5 , 2 

d. Persamaan linier bidang :

4(x – 1) + (-5) (y – 1) + 2 (z – 3) = 0 4x – 5y + 2z -13 = 0

Contoh 2 : Ganbarlah bidang 2x + 3 y + 4z = 12 dapat ditulis men x y z   

1 akan memotong sumbu koordinat di titik (6,0,0) ,

(0,4,0), dan (0,0,3)

Contoh 3 Gambarlah bidang x = 2y

2 3 Dalam R Dalam R

x = 2y

bidang : x = 2y

Catatan :

1. Cara lain mencari persamaan linier bidang datar yang melalui titik P (x 1 , y 1 ,z 1 ) , Q (x 2 , y 2 , z 2 ), dan R(x 3 , y 3 , z 3 ) , adalah dengan menggunakan diterminan matriks :

x 2  x 1 y 2  y 1 z 2  z 1 =0 x 3  x 1 y 3  y 1 z 3  z 1

Contoh :

Tentukan persmaan linier bidang datar yang melalui titik A(-1,2,1) , B(-2,-

4, 2), dan R(-1 , 4,-1) ? Jawab :

x 2  x 1 y 2  y 1 z 2  z 1 =  2  (  1 ) 4  2 2  1 =\ x 3  x 1 y 3  y 1 z 3  z 1  1  (  1 ) 1 4  2  1  1

-4(x+1) + 0 -2(z-1) - {0+2(x+1)+2(y-2) = - 6x – 2y -2z = 0

2. Empat titik terletak satu bidang jika :

x 3  x 1 y 3  y 1 z 3  z 1 =0